Skkn chuyên đề phương trình ,hệ phương trình , bất phương trình

Trường THPT chuyên Lào Cai Tổ Toán Tin Giáo viên Bùi Ngọc Diệp CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH skkn Mục lục 1 Phương pháp đặt ẩn phụ 3 2 Phương pháp nhân liên hợp 15 3 Phương[.]

Trường THPT chuyên Lào Cai Tổ Toán - Tin Giáo viên: Bùi Ngọc Diệp CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH skkn Mục lục Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp nhân liên hợp 15 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 19 Phương pháp hàm số 25 Một số phương pháp khác 33 Tài liệu tham khảo 41 skkn Mở đầu Như biết phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nhiều dạng, phương pháp giải khác thường gặp kỳ thi học sinh giỏi tốn Chun đề trình bày phương pháp giải phân loại dạng toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Các tập chủ yếu sưu tầm từ đề thi thức đề đề xuất DHBB, THHV, HSG tỉnh năm gần đây, tạp chí THTT tạp chí Pi Hy vọng chuyên đề tài liệu tham khảo có ích cho em học sinh ôn luyện thi học sinh giỏi toán THPT, thi DHBB THHV skkn Bùi Ngọc Diệp Phương pháp đặt ẩn phụ Bài Giải phương trình x= √ √ √ √ √ √ − x − x + − x − x + − x − x Lời giải Điều kiện xác định: ≤ x ≤ Đặt √ − x ⇔ u2 = − x (u ≥ 0) √ v = − x ⇔ v = − x (v ≥ 0) √ w = − x ⇔ w2 = − x (w ≥ 0) u= Suy x = − u2 = uv + wv + wu x = − v = uv + wv + wu x = − w2 = uv + wv + wu Ta có hệ            (u + v)(u + w) =          (u + v)(v + w) = ⇔       (v + w)(u + w) =   Suy √ 30 √5 30 v+w= √2 30 u+w= u+v = √ u= 239 30 ⇔ x = − u2 = 60 120 239 120 Bài (Đề thức THHV 2017) Giải phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = √ − x2 + √ x2 + x − + √ − x = Lời giải √ −1 + Điều kiện xác định: ≤ x ≤ (1) √ √2 √ Đặt u = − x2 , v = x2 + x − 1, t = − x Ta u, v, t ≥ 0, u + v + t = 1, u2 + v + t3 = (2) Từ (2) suy ≤ u, v, t ≤ ⇒ = u2 + v + t3 ≤ u + v + t = Trường THPT chuyên Lào Cai skkn  Bùi Ngọc Diệp Do               u, v, t ≥                u+v+t=1 (2) ⇔  u2 = u      v2 = v       t3 = t u=1 v=t=0 v=1 u=1 t=1 u=v=0 Thay lại biến x ta tập nghiệm phương trình S = {1} Bài Giải phương trình √ x3 + = 2x − +  24x − 18 x2 − 2x − Lời giải √ √ Điều kiện xác định: x ≥ −2, x 6= − 2, x 6= + 2 Phương trình cho tương đương với ä√ Ä x2 − 2x − x3 + = 2x3 − 6x2 + 14x − ä» Ä Ä ä Ä ä ⇔ x2 − 2x − (x + 2) (x2 − 2x + 4) = x3 + − x2 − 2x + + 2(x + 2) √ √ Đặt a = x2 − 2x + 4, b = x + với a > 0, b ≥ Ta thu phương trình Ä ä a2 − 11 ab = 2a2 b2 − 6a2 + 2b2 ⇔ a3 b − 2a2 b2 + 6a2 − 11ab − 2b2 = ⇔ a2 b(a − 2b) + (a − 2b)(6a + b) = Ä ä ⇔ (a − 2b) a2 b + 6a + b = (∗) Vì a > 0, b ≥ nên a2 b + 6a + b > Do (∗) ⇔ a = 2b Trở cách đặt ta có √ √ √  x = − 13 − 2x + = x + ⇔ x − 6x − = ⇔  √ x = + 13  x2 Đối chiếu với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x=3− √ √ 13, x = + 13  Trường THPT chuyên Lào Cai skkn Bùi Ngọc Diệp Bài Giải phương trình 2x + + (x + 1) Lời giải    a= √ x2 + (a ≥ Đặt  √  b = x2 + 2x + √ √ √ x2 + + (x + 2) x2 + 2x + = (x ∈ R)    a2 = x + √ 6; b ≥ 2) Lúc  ⇒ b2 − a2 = 2x + 2  b = x + 2x + Phương trình cho trở thành b − a2 − − a2 − +1 a+ +2 b=0 b −a + 2 Ä ä Ä ä Ä ä ⇔ b − a2 + b − a2 − a + b − a2 + b = Ç b Ä ä å Ä Ç å ä ⇔ b2 − a2 + (a + b) b2 − a2 + (b − a) = ỵ ó ⇔ (b − a) 2(b + a) + (a + b)2 + = ⇔ a = b Từ ta 2x + = ⇔ x = − ´ ® Vậy, tập nghiệm phương trình S = −  » √ √  2 x + 3y + − y = x + Bài Giải hệ phương trình » √  y − − − x + − x2 =  (1) (2) Lời giải   −2 Nhận xét x + 3y + = (x + 2) + 3y Điều kiện   ≤x≤4 y ≥ √ = x+2 Với điều kiện đặt  , (u ≥ 0, v ≥ 0) v = √ y √ Phương trình (1) có dạng u2 + 3v = u + 3v   u √ Ä ä u2 + 3v = u + 3v ⇔ u2 + 3v = u2 + 6uv + 9v ⇔ u = v Với u = v ⇒ x + = y Thay vào phương trình (2) ta có √ √ x + − − x + − x2 = Ä√ ä Ä√ ä ⇔ x + − − − x − + − x2 = x−3 x−3 ⇔ √ +√ − (x − 3) (x + 3) = 4−x+1 x+1+2  ⇔ x=3 1 √ +√ = x + (3) 4−x+1 x+1+2    Xét phương trình (3), với điều kiện −1 ≤ x ≤ ta có VT ≤ trình (3) vơ nghiệm Với x = ⇒ y = (thỏa mãn điều kiện) Kết luận (x; y) = (3; 5) Trường THPT chuyên Lào Cai skkn 1 + = , VP ≥ Do phương 2 Bùi Ngọc Diệp  Ä Bài Giải bất phương trình 3x + √ 9x2 − ≥ 9x + x x +1 ô å ä (1) Lời giải   9x2 Điều kiện   −4≥0 x 6= Ç đ 2 ⇔ x ∈ −∞; − ∪ ; +∞ 3 • Trường hơp Với x ≥ Suy VT (1) ≥ 12x ≥ 9x 9x ≤ + ≤ + = VP (1) + x x +1 x 2x 2 Vậy bất phương trình khơng có nghiệm trường hợp • Trường hơp Với x ≤ − Ta có (1) ⇔ − Ç å Đặt t = < t ≤ Ta x √ 12 − − 4t ≤ t + 1+ t   9− x ! ≤ + 2 x x +1 √ 9t ⇔ 12 − − 4t ≤ t + 1+t √ ⇔ t + − 4t − − ≤ 1+t √ − y2 Đặt − 4t = y (0 ≤ y < 3) ⇒ t = Ta 144 − y2 + 4y − − ≤ ⇔ − y + 16y − 12 − ≤0 9−y 13 − y +1 ⇔ y − 16y − 10y + 208y − 183 ≤ ⇔ (y − 1)(y − 15y − 25y + 183) ≤ ⇔ (y − 1)(y − 3)(y − 12y + 61) ≤ ⇔ ≤ y ≤ √ Do ≤ y < nên ta ≤ y < Khi < t ≤ ⇒ < ≤ ⇔ x ≤ − x √ Vậy nghiệm bpt x ≤ −    (x + 1)2 Bài Giải hệ phương trình   » + (x + 1) y + + y = » x + (2 + x) y + = Lời giải Điều kiện y ≥ −1 Đặt   u = x + »   y+1=v Trường THPT chuyên Lào Cai , ta có hệ phương trình ≥0 skkn (1) (2) Bùi Ngọc Diệp   u + uv + v =  u + (u + 1)v =5   (u + v)2 ⇔   • Với   −4 với u, v nghiệm phương trình t2 + 4t + = (vơ nghiệm) uv =   u + v • Với   = −4 (u + v) + uv =   u + v =     uv =     u + v =    uv = ⇔   u + v − uv = =3 uv =   u Từ đó, ta có    t=2 với u, v nghiệm phương trình t2 − 3t + = ⇔   t = =1 v=2   u – Trường hợp     u   =1 =2 v = , ta có v=2   u =2 – Trường hợp  , ta có v =   x + = »   y+1=   x + = »   y+1=   x =0 y =   x =1 y = ⇔ ⇔ Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) (0; 3) (1; 0) 4Nhận xét ! √ Từ phương trình (1) toán ta thấy (x+1)2 +(x+1) y + 1+y +1 = phương trình đẳng cấp bậc hai Kết hợp với kiện PT (2) ta nhận thấy ý tưởng đặt ẩn phụ cho tự nhiên trình bày  Bài Giải hệ phương trình    x4 − 2x = y − y   (x2 − y ) = 3 Lời giải Đặt x + y = a, x − y = b, = c3 Từ phương trình thứ hai hệ, ta có (ab)3 = c3 ⇔ ab = c a+b a−b Ta có x = ,y = , suy 2 4 Ä x − y = (x − y)(x + y) x + y Trường THPT chuyên Lào Cai ä "Ç = ab skkn a+b å2 a−b + Ç å2 # = ä ab Ä a + b2 Bùi Ngọc Diệp Hơn (a − b) a + 3b a + c3 b = = 2 Do đó, phương trình thứ hệ cho tương đương với 2x − y = (a + b) − ä Ä ä ab Ä a + c3 b a + b2 = ⇔ c a2 + b2 = a + c3 b 2 Ta có hệ    c (a2 + b2 ) = a + c3 b ab = c ⇔a= ∨a=c c   c2 ⇒c a + a Ç å =a+ c4 ⇔ ca4 + c3 = a3 + ac4 ⇔ (ca − 1) (a3 − c3 ) = a Ç å Suy hệ có hai nghiệm (a, b) = (c, 1); ,c c Xét hai trường hợp √ √ 3 c+1 3+1 3−1 • Nếu a = c, b = x = = ,y = 2 1 • Nếu a = , b = c2 x = c Ç 1 + c3 + c2 = = √ ,y = c 2c å Vậy hệ cho có hai nghiệm (x, y) = √ √ 3+1 , 3−1   , −1 √ , √ 33  Ç 1 − c3 −1 − c2 = = √ c 2c å  Bài (T6/480-Toán học & Tuổi trẻ, tháng năm 2017) Giải phương trình 4x3 − 24x2 + 45x − 26 = √ −x2 + 4x − Lời giải Điều kiện để phương trình có nghĩa −x2 + 4x − ≥ ⇔ ≤ x ≤ Biến đổi phương trình cho dạng 4(x − 2)3 − 3(x − 2) = » − (x − 2)2 √ Đặt t = x − 2, điều kiện −1 ≤ t ≤ 1, ta thu phương trình 4t3 − 3t = − t2 Do −1 ≤ t ≤ 1, đặt t = cos α (α ∈ [0; π]), ta thu phương trình cos3 α − cos α = √ − cos2 α ⇔ cos 3α = sin α ⇔ cos 3α = cos Å ã π −α π − α + 2kπ 2Å ã π 3α = − − α + 2kπ  π π α = + k ⇔ (k ∈ Z)  π α = − + kπ  3α ⇔  = Do α ∈ [0; π], Trường THPT chuyên Lào Cai skkn (∗) Bùi Ngọc Diệp π π + k , ta có k = k = π • Với α = − + kπ, ta có k = ´ ® π 5π 3π , , Do ta thu nghiệm α ∈ 8 Thay x = t + = cos α + 2, ta thu tập nghiệm phương trình cho l ã Vi = đ 3π S = + cos ; + cos ; + cos 8 Lưu ý: Phương trình (∗) giải√bằng cách sau  t ≥  √2 Điều kiện xác định: 4t3 − 3t ≥ ⇔   ≤ t ≤ − Bình phương hai vế, chuyển vế phân tích thành thừa số để phương trình √ ! √ ! Ç å 2+ 2− 2 2 t − t − t − =0 4  t =  √   2+  ⇔ t =  √   2− t2 = » » √ √ √ 2+ 2− Đối chiếu điều kiện, ta thu nghiệm t = − ,t = , t = −  » 2√ » √2 √ 2  2+ 2 − 2 Suy phương trình cho có tập nghiệm S = 2 − ;2 + ;2 −   2 Bài 10 (T5/481, Toán học & tuổi trẻ, tháng năm 2017) Giải phương trình √ (1 − 2x) − x2 = x − Lời giải √ √ √ Điều kiện: − ≤ x ≤ Đặt − x2 = a (a ≥ 0) ⇒ x2 + a2 = (1) Phương trình cho trở thành (1 − 2x)a = x − ⇔ a − 2ax = x − (2) Cộng theo vế phương trình (1) (2) ta được√(a − x)2 + (a − x) − = √ (3) √ −1 ± −1 ± Giải phương trình (3) ta a − x = ⇒ − x2 − x = 2 √ √ √ √ √ √ −1 − + + Trường hợp 1: − x2 −x = ⇔ − x2 = x− Do x ≤ nên x− < 2 Trường hợp loại √  1−   √   x ≥ √ −1 + 2 √ !2 ⇔ Trường hợp 2: − x −x =  −   (4) 2 − x = x − Trường THPT chuyên Lào Cai skkn ... trình có nhiều dạng, phương pháp giải khác thường gặp kỳ thi học sinh giỏi toán Chuyên đề trình bày phương pháp giải phân loại dạng tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Các tập chủ... 25 Một số phương pháp khác 33 Tài liệu tham khảo 41 skkn Mở đầu Như biết phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có... x Ta u, v, t ≥ 0, u + v + t = 1, u2 + v + t3 = (2) Từ (2) suy ≤ u, v, t ≤ ⇒ = u2 + v + t3 ≤ u + v + t = Trường THPT chuyên Lào Cai skkn  Bùi Ngọc Diệp Do               u, v, t ≥