Hệ phương trình nhiều ẩn đại học cao đẳng

Trang 1

TRẦN SĨ TÙNG

›š & ›š

TÀI LIỆU ƠN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Trang 2

1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn a x b y cababa x b y c1 1 1 12 12 22 22222( 0, 0)ì + = + ¹ + ¹í + =ỵ

Giải và biện luận:

– Tính các định thức: abDab1122= , xcbDcb1122= , yacDac1122=

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta cĩ thể dùng các cách giải đã biết như:

phương pháp thế, phương pháp cộng đại số

2 Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các

phương trình hay hệ phương trình cĩ số ẩn ít hơn Để khử bớt ẩn, ta cũng cĩ thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1 Giải các hệ phương trình sau: a) xyxy5 4 37 9 8ì - =í - =ỵ b) x yxy2 115 4 8ì + =í - =ỵ c) x yxy3 16 2 5ì - =í - =ỵd) ()( x y)xy2 1 2 12 2 1 2 2ìï + + = -í- - =ïỵ e) xyxy3 2 164 35 3 112 5ì+ =ïíï - =ỵf) x yy3 15x 2 3ìï - =í+ =ïỵĐS:

Bài 2 Giải các hệ phương trình sau:

a) xyx y1 8 185 4 51ì- =ïïíï + =ïỵ b) xyxy6 5 39 10 1ì+ =ïïíï - =ïỵ c) xyxy10 1 11 225 3 21 2ì+ =ïï - +íï + =ï - +ỵd) x y xyx y xy27 32 72 345 48 12 3ì+ =ïï - +íï - = -ï - +ỵ e) xy xyxy xy6 2 32 23 4 12 2ì+ =ïï - +íï + = +ïỵf) xyx y4 1 312 2 41ì+ =ïï -íï - =-ïỵĐS: a) b) c) d) e) 3 ; 8770140 - ỗữốứ f)

Bi 3 Giải các hệ phương trình sau: a) xyyxxyyx6 3 2 51 14 2 4 21 1ì - - =ïï - +í -ï - =- +ïỵb) xxyyxxyy3 6 11 22 3 71 2ì - - =ïï + í -ï + =+ -ïỵ c) xyxyxyxy2 3 7 52 31 3 1 52 3ì - + + =ïï - +í + +ï + =- +ïỵI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN Xét D Kết quả D ¹ 0 H c nghim duy nht DxDyxyD ; D = =ỗ ÷è ø

Dx ¹ 0 hoặc Dy ¹ 0 Hệ vơ nghiệm D = 0

Trang 3

d) x yx yx yx y1 13( ) 2 61 13( ) 2 4ỡ + + - =ù ỗ ữù ố ứớ ù - + ỗ + ữ=ù ố øỵe) x yx yx yy x3( ) 75 53ì += ùù -ớ -ù =-ùf) S: a) 0;12ỗữốứ b)5 7;8 4ỗữốứ c) d) ( )1;1 , 1; 2 , 2;1 , 2; 23333ỉ - ư ỉư ỉ - ỗữ ỗữ ỗữốứ ốứ ốứ

Bi 4 Gii các hệ phương trình sau:

a) xxyxxy222 2 1 32 1 4ìï + - - =í+ + - =ïỵ b) xyxy22 3 12 7 15ìï + =í- =ïỵ c) xyxy2252(4 ) 224 4ì- + =ïïíï - + =ïỵ ĐS: a) (1;2),( 2;2)- b) (± -2; 1) c)

a) xyx y1 02 1ì - + =í - =ỵ b) xyxy1 2 11 3ì - + - =í - + =ỵ c) xyx 2 y 22 3 1ì + =í - =ỵ d) xyxy2 6 3 1 55 6 4 1 1ì - + + =í - - + =ỵ e) x yx yx yx y2 93 2 17ì + - - =í + + - =ỵ f) x yx yx yx y4 3 83 5 6ì + + - =í + - - =ỵĐS:

Bài 6 Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

a) mxmy mx my( 1) 12 2ì + - = +í + =ỵ b) mxmymx (m 2)y 5( 2) ( 1) 2ì + - =í + + + =ỵ c) mxymmx ym( 1) 2 3 1( 2) 1ì - + = -í + = -ỵ

Bài 7 Trong các hệ phương trình sau hãy:

i) Giải và biện luận ii) Tìm m Ỵ Z để hệ cĩ nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

a) mxy mm x y m2 2 m( 1) 2 12ì + - = -í- = +ỵ b) mx yx 4(m 1)y 14mì - =í + + =ỵ c) mx yìí + - + =ỵx my+ - =3 32m 1 0

Bài 8 Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận

ii) Khi hệ cĩ nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m a) mxy mx my2 m 12 2 5ì + = +í + = +ỵ b) mxm ymx my6 (2 ) 3( 1) 2ì + - =í - - =ỵ c) mxmy mx my( 1) 12 2ì + - = +í + =ỵ

Bài 9 Trong các hệ phương trình sau:

i) Tìm số nguyên m để hệ cĩ nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên ii) Khi hệ cĩ nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m

a) x yy xm2 52 10 5ì + =í - = +ỵ b) mx ymx my 32m 1ì + =í + = +ỵ c) xymx y2 4m2 3 3ì - = -í + = +ỵ

a) ax y bì + =í + = -ỵ3x 2y 5 b) y ax bì -íỵ2x-3y==4 c) ax y a bì + = +í + =ỵx 2y a

Trang 4

1 Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai

· Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia

· Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn · Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này

2 Hệ đối xứng loại 1

Hệ cĩ dạng: (I) f x yg x y( , ) 0( , ) 0

ì =

í =

ỵ (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x))

(Cĩ nghĩa là khi ta hốn vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) khơng thay đổi) · Đặt S = x + y, P = xy

· Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P

· Giải hệ (II) ta tìm được S và P

· Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X2-SX P+ = 0

3 Hệ đối xứng loại 2 Hệ cĩ dạng: (I) f x yf y x( , ) 0( , ) 0 (1)(2)ì =í =ỵ

(Cĩ nghĩa là khi hốn vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại)

· Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (I) Û f x y f y xf x y( , )( , ) 0( , ) 0 (3)(1)ì - =í =ỵ

· Biến đổi (3) về phương trình tích:

(3) Û x y g x y( - ) ( , ) 0= Û x yé =êëg x y( , ) 0=

· Như vậy: (I) Û

f x yx yf x yg x y( , ) 0( , ) 0( , ) 0éì =íêỵ =êì =êíêỵ =ë

· Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I)

Chú ý: Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ cĩ nghiệm ( ; ) thì y xx y0 0 ( ; )0 0

cũng là nghiệm của hệ Do đĩ nếu hệ cĩ nghiệm duy nhất thì x0 =y0

4 Hệ đẳng cấp bậc hai Hệ cĩ dạng: (I) a xb xy c yda xb xy c yd221111222222ì + + =ïí+ + =ïỵ

· Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0)

· Khi x ¹ 0, đặt y kx= Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k Giải phương trình này ta tìm được k, từ đĩ tìm được (x; y)

Trang 5

VẤN ĐỀ 1: Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai

a) xyxy2 4 2 82 4ì + =í + =ỵ b) xxyxy2 242 3 1ì - =í - =ỵ c) x yxy2( ) 493 4 84ì - =í + =ỵd) xxy yx yxy2 2 2 62 3ì + + - - =í - =ỵ e) xyxyx y3 4 1 03( ) 9ì - + =í = + -ỵ f) xyxy x y2 3 26 0ì + =í + + + =ỵg) y xxx y2 42 5 0ì + =í + - =ỵ h) xyx2 y2 y2 3 53 2 4ì + =í - + =ỵ i) x yx2 xy y22 57ì - =í + + =ỵ ĐS:

Bài 2 Giải các hệ phương trình sau: a) x yy2 x2 xy2 7 02 2 4 0ì - - =í - + + + =ỵ b) xyx2 xy xy4 9 63 6 3 0ì + =í + - + =ỵ c) xx yxxy222 1 012 2 10 0ìï + + + =í+ + + =ïỵd) xyxyxy y2 x( 2 1)( 2 2) 03 1 0ì + + + + =í + + + =ỵ e) xyxyxy(2 3 2)( 5 3) 03 1ì + - - - =í - =ỵ f) xyxy2 11 5 22 3 12ì + =í + =ỵĐS:

a) xxyyyyx y222 3 7 12 11 0ì - + = + -í - + =ỵ b) xyxyx y22 6 2 08 0ì + + + =í + + =ỵc) xyxyxyxy229 4 6 42 40 135 03 2 9 0ì + + + - + =í - + =ỵ d) xxy xxy2 102 5ì + + =í = -ỵd) xyxyxyxy227 9 12 5 3 5 02 3 1ì + - + + + =í - =ỵ e) xxy yxyx y2 3 2 2 3 6 02 3ì - + + + - =í - =ỵĐS:

a) x y x yxyx y3 21 24ì + =ïí -ï - =ỵ b) xyx2 y21 1 13 2 31 1 149 4ì- =ïïíï - =ïỵ c) xyx 2 y21 1 11 31 1 14( 1)ì+ =ï +ïíï - =ï +ỵd) x yx yx y22( ) 4( ) 117 025ì + + + - =í - =ỵ e) x yx3 y317ì - =í - =ỵ f) x y xyx y22( )( ) 455ì - - =í + =ỵĐS:

Trang 6

VẤN ĐỀ 2: Hệ đối xứng loại 1

Bài 1 Giải các hệ phương trình sau: a) x xy yx2 y2 xyx y112( ) 3ì + + =í + - - + = -ỵ b) x yx2 xy y2413ì + =í + + =ỵ c) xy x yx2 y2 x y58ì + + =í + + + =ỵd) x yy xx y1366ì+ =ïíï + =ỵ e) xx yyx y xy33 33 175ì + + =í + + =ỵ f) xx yyxxy y42 2422 48137ìï + + =í+ + =ïỵĐS: a) (2;3),(3;2) b) (1;3),(3;1) c) (1;2),(2;1) d) 12 8; , ;8 125 5 5 5ỉ ư ỗ ữ ỗ ữố ứ ố ứ e) (1;2),(2;1) f) (4;3),(3;4),( 4; 3),( 3; 4)- - - -

Bài 2 Giải các hệ phương trình sau: a) x xy yx y y x2 216ì + + = -í + = -ỵ b) xyxx yy2242 25 413ìï + =í- + =ïỵ c) x y y xxy2233 3035ìï + =í+ =ïỵd) xyxyxy3355 122ìï + =í+ = +ïỵ e) xyxyxyx y22442 2721ìï + + =í+ + =ïỵ f) x y xyx2 y2 x y113( ) 28ì + + =í + + + =ỵĐS: a) b) c) (2;3),(3;2) d) e) f)

a) xxy yx xy y22 42ì + + =í + + =ỵ b) x xy yx2 y2 xy513ì + - =í + + =ỵ c) xxy yx xy y22 197ì - + =í + + = -ỵd) x y xyx2 y2 x y113( ) 28ì + + =í + + + =ỵ e) xxy yx xyy22 32 2 3ì + + =í + + = -ỵ f) x y xyx2 y2 xy57ì + + =í + + =ỵĐS: a)(1;1) b) c) d) e) f) (1;2),(2;1)

a) xxy yxx yy2242 24721ìï + + =í+ + =ïỵ b) xyxx yy2242 25 413ìï + =í- + =ïỵ c) xyxyxy4422 173ìï + =í+ + =ïỵd) xyxy x y33 7( ) 2ì + =í + = -ỵ e) xyx yxy33 19( )(8 ) 2ì + =í + + =ỵ f) xyxyxy5599 144ìï + =í+ = +ïỵĐS: a) b) c) d) e) f)

a) xx yyx xy y22 18( 1) ( 1) 72ì + + + =í + + =ỵ b) x xx yx2 x y( 2)(2 ) 94 6ì + + =í + + =ỵ c) xyx2 y2112ì + =ïí + =ïỵd) xx yyx y xy3( ) 2ì- + =ïïí -ï =ïỵ e) xx yyx y xy9( ) 20ì+ + =ïïí +ï =ïỵf) x y xyxyx y116 6 11ì + + =ïí + + =ïỵĐS: a)(3; 3),( 3;3),(2;3),(3,2),( 4; 3),( 3; 4),(2; 4),( 4;2)- - - - - - - - b) c) d) e) f) (2;3),(3;2)

Trang 7

a) x yxyxyx y222 21( ) 1 51( ) 1 49ì ỉ + + =ù ỗ ữù ố ứớ ù + ỗ + ữ=ù ố ứ b) ()y xx yxyx y22222 2( 1) 2 ( 1)11 24ì + = +ù ớ + ỗ + ữ=ù ỗ ÷è øỵc) x yx yxyxy22221 1 41 1 4ì+ + + =ïïíï + + + =ïỵd) xyxyx yxy22231 11( )(1 ) 6ì+ =ïï + +íï + + =ïỵe) x y y xy xxyy xxyxy x y222 2 61 4ì + + + =ïí + + + =ïỵ f) xyxyx yxy1 41( ) 1 5ì+ =ïïí ù + ỗ + ữ=ù ố ứS: a) 7 3 5; 1 ,1;7 3 522ỉ ± ư ỉ ỗữ ỗữốứ ốứ b) c) (1;1) d) e) f)

Bài 7 Giải các hệ phương trình sau: a) xyxyx yxy222 2443 ( ) 57 ( ) 155ìï - + =í- + =ïỵ b) x y y xx x y y3035ìï + =í+ =ïỵ c) xyx yxy44ìï + =í+ - =ïỵ d) x yx yxyxy22221 1( ) 51 1( ) 49ỡ + + =ù ỗ ữù ố ứớ ù + ỗ + ữ=ù ố ứ e) xyyxxyx xy y xy7 178ì+ = +ïíï + =ỵ f) xyx yy xxy1 1 31 1 1 1 6ìï + + + =í+ + + + + + + =ïỵĐS: a) b) (4;9),(9;4) c) d) e) f)

Trang 8

VẤN ĐỀ 3: Hệ đối xứng loại 2

a) xxyyyx22 3 23 2ìï = +í= +ïỵ b) xyx yyxy x222 2 2 22 2ìï - = +í- = +ïỵ c) xyyyxx222 2 2 5 42 5 4ìï - = +í- = +ïỵd) xy xyxy yx22 8( 1)8( 1)ìï + = -í+ = -ïỵ e) xxyyyx33 3 83 8ìï = +í= +ïỵ f) xx yyy x33 22ìï = +í= +ïỵĐS: a) b) c) d) e) f)

a) xx yyy x22222 3 22 3 2ìï - = -í- = -ïỵ b) xxyyyx22 2 42 4ìï = + +í= + +ïỵ c) x yyy xx222 4 52 4 5ìï = - +í= - +ïỵd) xy xyxy yx22 11ìï + = -í+ = -ïỵ e) xx yyy x33 22ìï + =í+ =ïỵ f) xx yyy x33342342ì+ = +ïíï + = +ỵĐS: a) b) c) d) e) (0;0) f)

a) yxyxxyxy3 43 4ì- =ïïíï - =ïỵ b) x yxy xy223232ì+ =ïïíï + =ïỵc) xxyyyx22222323ì +=ïïí+ï =ïỵd) xyyyxx221212ì= +ïïíï = +ïỵ e) xy xyx y1 321 32ì + =ïïíï + =ïỵf) ĐS: a) b) c) (1;1) d) e)

a) xyyx2 3 4 42 3 4 4ìï + + - =í+ + - =ïỵ b) xyyx1 7 41 7 4ìï + + - =í+ + - =ïỵ c) xyxy2 22 2ìï + - =í- + =ïỵd) xyyx6 2 36 2 3ìï + - =í+ - =ïỵ e) xyxy5 2 72 5 7ìï + + - =í- + + =ïỵ f) 2222912912ì + = - +ïí+=- +ïỵxyyyxxĐS: a) (3;3), 11 11;9 9 ỗ ữố ứ b) (8;8) c) d) e) f) (3;3)

a) xx myyy mx22 33ìï = +í= +ïỵ b) xymmyxmm2222(3 4 ) (3 4 )(3 4 ) (3 4 )ìï - = -í- = -ïỵ c) xy xm yxy ym x22 ( 1)( 1)ìï + = -í+ = -ïỵ

Trang 9

a) x y m yxym x2222ìï + =í+ =ïỵ b) xy xm yxy ym x22 ( 1)( 1)ìï + = -í+ = -ïỵ c) mxyymyxx222222ì= +ïïíï = +ïỵVẤN ĐỀ 4: Hệ đẳng cấp bậc hai

a) xxy yxxyy222 3 2 13 3 13ìï - + = -í- + =ïỵ b) xxy yxxyy22222 4 13 2 2 7ìï - + = -í+ + =ïỵ c) yxyxxy y22 3 424 1ìï - =í- + =ïỵd) xxyyxxyy22223 5 4 385 9 3 15ìï + - =í- - =ïỵ e) xxyyxxyy222 2 3 2 94 5 5ìï - + =í- + =ïỵ f) xxyyxxyy22223 8 4 05 7 6 0ìï - + =í- - =ïỵĐS: a) b) c) d) e) f)

Bài 2 Giải các hệ phương trình sau: a) xxy yxxyy22223 2 112 3 17ìï + + =í+ + =ïỵ b) xxyyxxyy22223 5 5 375 9 3 15ìï + - =í- - =ïỵ c) xxyyxxy y222 4 22 12 4ìï - + =í- + =ïỵd) xxy yxxyy222 3 2 12 2 8ìï - + = -í+ + =ïỵ e) xxy yxxyy22222 3 22 4ìï + - = -í- + =ïỵ f) xxyyyxyx22223 5 4 39 11 8 13ìï - - = -í+ - =ïỵĐS: a) b) c) d) e) f)

a) xyxy x y33 7( ) 2ì - =í - =ỵ b) yxx yxy332 722 3 16ìï - =í+ =ïỵ c) xyx yxyy332 1232 2ìï + =í+ + =ïỵd) xxyyxx y y323323 12 2ìï - + =í- + =ïỵ e) xx y xyyyx yxy32233 3 22 63 2 2ìï + + + =í+ - =ïỵ f) x y xyx y xy2222( )( ) 13( )( ) 25ìï - + =í+ - =ïỵ ĐS: a) b) c) d) e) f)

Trang 10

Vấn đề 1: Phương pháp thế

Từ phương trình đơn giản nhất của hệ hoặc từ phương trình tích tìm cách rút một ẩn theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình cịn lại Giải phương trình này Số nghiệm của hệ tuỳ thuộc số nghiệm của phương trình này

Một số dạng thường gặp:

· Dạng 1: Trong hệ cĩ một phương trình bậc nhất với ẩn x (hoặc y)

· Dạng 2: Trong hệ cĩ một phương trình cĩ thể đưa về dạng tích của các biểu thức bậc

nhất hai ẩn

· Dạng 3: Trong hệ cĩ một phương trình cĩ thể đưa về dạng phương trình bậc hai của

một ẩn với ẩn cịn lại là tham số

Chú ý: Đơi khi cĩ thể ta phải kết hợp biến đổi cả 2 phương trình của hệ để đưa về một

trong các dạng trên

Bài 1 Giải hệ phương trình sau: ìï + + =í+ + + =ïỵxx yxx yxyx23 5 2 9 23 2 6 18· HPT Û yxxxxxx+24 9 3 524 5 18 18 0ìï = -í+ - - =ïỵ Û yxxxxx29 5131 7ì = -ïïé =íê = -ïêïë = - ±ỵ Û xyxyxyxy1; 33; 151 7; 6 3 71 7; 6 3 7é = =ê = - =ê= - - = +êê = - + = -ëBài tương tự: a) x yxyxyyxx2222 3 4 97 6 2 9ìï + = +í+ = +ïỵ Nghiệm 16 1 1 9 3 332; , ; , ;37 2 7 4ỉ ưỉ- - - - ỗ ữỗ ữ ỗ ữ è øè ø è ø

Bài 2 Giải hệ phương trình sau: xyxyxx y223 12ìï + - =í= +ïỵ· HPT Û xxxyxx64234 6 3 1 02ìï - + - =í= -ïỵ Û xy11ì =í =ỵ Nghiệm: (1;1),( 1; 1)- -

Bài 3 Giải hệ phương trình sau: xx y x yxxxyx432 22 2 2 9 (1)2 6 6 (2)ìï + + = +í+ = +ïỵ· Từ (2), rút xy 6x 6 x22+

-= Thay vào (1) ta được: x x( +4)3= 0 Û xxé =ê = -ë 04

Trang 11

Bài 4 Giải hệ phương trình sau: xxy yyxy222 3 11 (1)2 5 (2)ìï - + =í- =ïỵ· Dễ thấy y¹ Từ (2), rút 0 xyy2 52-=

Thay vào (1) ta được: yyy y

yy22225 3 5 112 2ỉ - + =ỗ ữố ứ y4+24y2-25 0= Û y= ± 1Nghiệm: (2; 1),( 2;1)- -

Bài 5 Giải hệ phương trình sau: xy y xy

xy xy22 1 ( ) 4 (1)( 1)( 2) (2)ìï + + + =í+ + - =ùÃ D thy y ạ 0 HPT ị [4y y y x y x- ( + ) (] + - =2) yÛ [y- -(3 x)]2= 0 Û y= - 3 xNghiệm: (1;2), ( 2;5)-

Bài 6 Giải hệ phương trình sau: xxyxyxy222 22 1 0 (1)3 2 0 (2)ìï + + - =í+ - + - =ïỵ· (1) Û x( +1)2 =y2 Û y xé = +ê = - -ëyx11Nghiệm:

Bài 7 Giải hệ phương trình sau: xxyyxxyxy222 4 3 0 (1)2 1 3 (2)ìï + + =í+ + = -ïỵ· (1) Û x y x( + )( +3 ) 0y= Û xé = -ê = -ëx 3yyNghiệm: (3; 1)-

Bài 8 Giải hệ phương trình sau: xxyyxy

xy22222 4 2 3 3 2 0 (1)3 32 5 0 (2)ìï + + + + - =í- + =ïỵ· (1)Û2(x y+ )2+3(x y+ - = ) 2 0 Û x yx y 122é + = -ê+ =êëNghiệm:

Bài 9 Giải hệ phương trình sau: xxyxxxy y3232 3 3 1 (1)5 (2)ìï + = - -í+ + =ïỵ· (1) Û x3+3x2+3x+ =1 y3 Û x( +1)3=y3 Û y x 1= + Nghiệm: (1;2),( 2; 1)- -

Bài 10 Giải hệ phương trình sau:

xxyxyxxy22 4 1 5 (1)23 (2)2ì + += -ïï +íï = -ï +ỵ· (1) Û xxy12 52+ =

-+ Thay vào (2) ta được: 2x2+5x- = 3 0 Û xx 13 ((yy 2)1)

Trang 12

Nghiệm: ( 3;2), 1 1;2 3

- ỗ - ữ

ố ứ

Bi 11 Gii hệ phương trình sau: xyxxy22322( ) 1 (1)2 6 1 (2)ìï + =í+ =ïỵ· HPT Þ x x2 ( 2+y2) 4+ xy2 =1Û +x 4xy2= 1 Û xy2 1 (1 )x4= - (*) Thay vào (2) ta được: 4x3-3x+ = 1 0 Û xx 11

2é = -ê=êë Nghiệm:

Bài 12 Giải hệ phương trình sau: xxyx yxxy xy222 4 2 2 0 (1)3 6 3 0 (2)ìï + - - + =í+ - + =ïỵ· Lấy (2) (1)- ta được: x2+(2y+1)x+4y- = 2 0 Û xxé = -ê = -ë 12yNghiệm:

Bài 13 Giải hệ phương trình sau: xyx yxyx222 2(1 ) 2 23 1ìï + =í+ = -ïỵ· HPT Û xx yx yxyx22 22 2 2 2 (1)3 1 (2)ìï + =í+ = -ïỵ Lấy (1) (2)- ta được: x2-xy= -3 3x2 Û xy=4x2- 3

Thay vào (1) ta được: 16x4-23x2+ = 7 0 Û xx221716é =êê =ë Nghiệm:

xyxyyxxy22221 1 2( ) (1)21 1 (2)2ì+ = +ïïíï - = -ïỵ· Lấy (1) (2)± ta được: xyxxyy22222 31 3ì= +ïïíï = +ïỵ Û xxyyx y323 3 2 2 (3)3 1 (4)ìï + =í+ =ïỵ Lấy (3) 4± ta được: x yx y33( ) 3( ) 1ìï + =í- =ïỵ Û x yx y331ì + =í - =ỵNghiệm: 33 1 3 1;32 2 + - ỗ ữố ứ

Bi 15 Gii h phương trình sau: xyxy

Trang 13

Nghiệm:

Bài 16 Giải hệ phương trình sau: xxy y

xxyxy222 3 (1)2 7 5 9 0 (2)ìï + + =í+ - - + =ïỵ· Lấy (1) (2)+ ta được: (2x y+ -3)(x y+ -2) 0= Û yé = -ê = -ëy 3 22 xx Nghiệm: (1;1),(2; 1)-

Bài 17 Giải hệ phương trình sau: xyxyxy434312 3 3 (1)412 3 3 (2)4ì + - = - +ïíï + = -ỵ· Lấy (1) (2)+ ta được: x4 2x3 x y4 2y3 y 12+ - + + - = - Û x( 2 x)2 (x2 x) 1 (y2 y)2 (y2 y) 1 04 4+ - + + + + - + + = Û xxyy222 1 2 1 02 2ỉ ư ỉ ư+ - + + - =ỗ ữ ỗ ữố ứ ố ứ xy1 321 32ì -=ïïí- +ï =ïỵNghiệm: 1 3 1; 32 2- - - + ỗ ữố ứ

Bi 18 Gii hệ phương trình sau:

xxyzyyz xzxzy2222224 4 12 0 (1)4 12 0 (2)16 8 4 0 (3)ì - + + =ïí - + - =ï - + =ỵ· Lấy (1) (2) (3)+ + ta được: (x-2 )y 2+(4z x- )2+ -(y 2 )z 2= 0 Û xxyzyz242ì =ï =íï =ỵ

Thay vào HPT ta được: z2 = 1 Þ z= ± 1

Nghiệm: (4;2;1),( 4; 2; 1)- - -

Bài 19 Giải hệ phương trình sau: xy

xyxy332235 (1)2 3 4 9 (2)ìï - =í+ = -ïỵ· Lấy (1) 3 (2)- ´ , ta được (x-2)3= +(3 y)3 Þ x y 5= + Nghiệm: (3; 2),(2; 3)- -

xyxy3322 9 (1)2 4 (2)ìï + =í+ = +ïỵ· Lấy (1) 3 (2)- ´ , ta được (x-1)3 =(2-y)3 Þ x= - 3 yNghiệm: (2;1),(1;2)

Trang 14

Bài 22 Giải hệ phương trình sau: xyxyx2 y2 xy3 2 16 (1)2 4 33 (2)ì - - =í + - - =ỵ· Lấy 2 (1) (2)´ + , ta được (x y+ )2-8(x y+ -) 65 0= Û x y( + +5)(x y+ -13) 0= Û x yé + + =ê + - =ëx y 13 05 0Nghiệm:

Bài 23 Giải hệ phương trình sau: xyxyx2 y2 xy2 3 4 6 (1)4 4 12 3 (2)ì + + = -í + + + =ỵ· Lấy 2 (1) (2)´ + , ta được (x+2 )y 2+10(x+2 ) 9 0y+ = Û xé +ê + = -ëx 22yy= -19Nghiệm:

Bài 24 Giải hệ phương trình sau: xxy yy

xxyyxy22223 4 0 (1)2 2 11 6 2 0 (2)ìï + - + + =í+ - + + - =ïỵ· Lấy 2 (1) (2)´ - , ta được x2-11x+10 0= Û xxé =ê =ë 110 Nghiệm:

xxy x2221 (1)5574 3 (3 1) (2)25ì+ =ïíï + - = - +ỵ· Lấy (1) 25 (2) 50´ + ´ , ta được 25(3x y+ )2+50(3x y+ -) 119 0= Û x yx y7351735é+ =êêê + = -ëNghiệm: 2 1; , 11 2;5 5 25 25 ỗ ữ ỗ ữố ứ ố ø

Bài 26 Giải hệ phương trình sau: xxy

xxy yyx322 3 249 (1)8 8 17 (2)ìï + = -í- + = -ïỵ· Lấy (1) 3 (2)+ ´ ta được: (x+1) (éë x+1)2+3(y-4)2ùû=0 Û xxé = -ê = -ë 11,y=4 Nghiệm: ( 1;4),( 1; 4)- - -

Bài 27 Giải hệ phương trình sau: x yy

xyxyxy23226 2 35 0 (1)5 5 2 5 13 0 (2)ìï + + =í+ + + + =ïỵ· Lấy (1) 3 (2)+ ´ ta được: yxy221 5(2 5) 3 02 2é ỉ ư ỉ ư ựờ ỳ+ ỗ + ữ +ỗ + ữ =ờ ố ø è ø úë û Û yxy521, 52 2é= -êêê = - = -ë Nghiệm: 1; 5 , 1; 52 2 2 2 - - - ỗ ữ ç ÷è ø è ø

Trang 15

· Lấy (1) 2 (2)+ ´ ta được: (x+2 )y 2+3(x+2 ) 2 0y+ = Û xé +ê + + =ëx 22yy+ =1 02 0Nghiệm: ( 3 2 2;1- - + 2),( 3 2 2;1- + - 2), 3 5;1 5 , 3 5;1 52 2ỉ - + - + -ỗ ữ ỗ ÷è ø è ø

xyxyxy4433 24022 (1)2 3( 4 ) 4( 8 ) (2)ìï - =í- = - - -ïỵ· Lấy (1) 8 (2)- ´ ta được: (x-2)2=(y-4)4 Û x yé = -ê = -ëx 6 y2 Nghiệm: (4;2),( 4; 2)- -

yxyyx24 3 9 2 (1)4(2 3) 48 48 155 0 (2)ìï + =í+ - - - + =ïỵ· Lấy 16 (1) (2)´ + ta được: éëy2+2(2x-3)ùû2 =25Nghiệm:

Bài 31 Giải hệ phương trình sau: xx yyxy32322 3 5 (1)6 7 (2)ìï + =í+ =ïỵ· Lấy 4 (1) (2)´ + ta được: 8x3+12x y2 +6xy2+y3=27 Û x y(2 + )3 =27Û x y2 + = 3Nghiệm: (1;1), 5 105 7; 105 , 5 105 7; 1058 4 8 4ỉ - + + - ỗ ữ ỗ ữố ứ ố ø

xyxy3322 9 (1)2 4 0 (2)ìï - =í+ - + =ïỵ· Lấy (1) 3 (2)- ´ ta được: (x-1)3=(y+2)3 Û x y 3= + Nghiệm: (2; 1),(1; 2)- -

Bài 33 Giải hệ phương trình sau: xyxyx y332 23( ) 4 (1)9 (2)ìï - =í=ïỵ· Từ (2): x y2 2= Û9 xy= ± 3· Khi: xy= , ta cĩ: x3 3-y3= và 4 x3.( )-y3 = - 27

Suy ra: x3;(-y3) là các nghiệm của phương trình: X2-4X-27 0= Û X= ±2 31

Vậy nghiệm của Hệ PT là x=32+ 31,y= -32- 31 hoặc x=32- 31,y= -32+ 31 · Khi: xy= - , ta cĩ: x3 3-y3= - và 4 x3.( )-y3 =27

Suy ra: x3;(-y3) là nghiệm của phương trình: X2+4X+27 0= (PTVN)

Trang 16

Trường hợp 1: x yx yx yx yx xxxxx y3211 522 1 ( 1)( 1) 01 52é = =êì = Ûì = Ûê = = - +í = + í - + - = êỵ ỵê -= -=êëTrường hợp 2: xyyyxxy xxxxVNx3 341 1122 1 1 2 0 ( )ì ì= -ïì = - Ûï Ûï = -í = + í íỵ ï- = + ïỵ + + =ïỵ Nghiệm (1;1), 1 5 1; 5 , 1 5 1; 5;2 2 2 2ỉ- - - - ư ỉ- + - + ỗ ữ ỗ ữố ứ ố ứ

Bài 35 Giải hệ phương trình sau: x yx yxxxy xx222( 1)( 1) 3 4 1 (1)1 (2)ìï + + + = - +í+ + =ïỵ

· Dễ thấy x 0= khơng thoả mãn (2) nên (2) Û yxx

2 1

1

-+ = , thay vào (1) ta được:

xxxxxxxx222. -1 + -1=3 2-4 +1ỗ ữố ứ x( -1)(2x3+2x2-4 ) 0x= Û x=1;x= - 2Þ H c nghim: (1; 1), 2; 52 - ỗ- - ÷è ø

Bài 36 Giải hệ phương trình sau: yxxyxxyxy22 (52 4)(4 ) (1)5 4 16 8 16 0 (2)ìï = + -í- - + - + =ïỵ· Từ (1) Þ y2= -5x2+16x+16

Thay vào (2) ta được: 2y2-4xy-8y= 0 Û yé =ê = +ëy 20x 4

· Với y = 0 Þ -5x2+16x+16 0= Û xx454é= -êê =ë· Với y=2x+ 4 Þ x(2 +4)2 = -5x2+16x+16Û x = 0 Þ y = 4 Kết luận: Nghiệm (x; y): (0;4), (4;0), 4;0

5

-ỗ ữ

ố ứ

Bi 37 Gii h phng trình sau: xy xyx y2 2 xyy27 1 (1)13 1 (2)ì + - = -í + - = -ỵ

· Từ (1) Þ xy+ =1 7y x- Thay vào (2) ta được: x2-15xy+36y2= 0 Û xộ =ờ =ởx 123yy

Nghim: (3;1), 1;13

ỗ ữ

ố ứ

Bi 38 Giải hệ phương trình sau: xy xyx y2 2 y27 1 (1)10 1 (2)ì = + +í = -ỵ· Từ (1) Þ xyy7 11+=

- Thay vào (2) ta được:

Trang 17

Û y39 4+34y3-8y2-2y+ = 1 0 Û yy 1 (1 ( 1)xx 3)3é = - =ê= - =êëNghiệm: (3; 1), 1; 13 - ỗ - ữố ứ

Bi 39 Gii hệ phương trình sau: yxy

xyxy222 1 0 (1)2 2 1 0 (2)ìï - + =í+ + + + =ïỵ

· Từ (1) Û y2+ =1 xy Thay vào (2) ta được: (x+2)(x y+ ) 0= Û xx yé = -ê = -ë 2

Nghiệm: ( 2; 1)- -

Bài 40 Giải hệ phương trình sau: xxyyx y xy4222 4 2 6 9 0 (1)2 22 0 (2)ìï - + - + =í+ + - =ïỵ· Từ (2) Þ yxx22222-=

+ Thay vào (1) ta được:

xxxx22422224 3 02 - - +ỗỗ - ữữ =+ố ứ Û xx xx22222216( 4)( 4) 0( 2) + =+Û x( 2-4)(x6+4x4+20x2-64) 0= Û xyxyxyxy2 ( 3)2 ( 3)2 ( 5)2 ( 5)é = - =ê = =ê= - =êê = =ë

Bài 41 Giải hệ phương trình sau: xyxyyxxyyx y223 2 2 222 (1)2 3 2 3 (2)ìï + = +í+ = +ïỵ

· Với y= 0 Þ x 0= là nghiệm của hệ

Với y 0¹ , nhân (1) với y- rồi cộng với (2), ta được: 2x3-4x y2 +4xy2-2y3= 0 Û x y= Nghiệm: (1;1),(0;0)

Bài 42 Giải hệ phương trình sau: xxyyxy2222( 1) 6( 1) 4 20 (1)(2 1) 2 (2)ìï - + - + =í+ + =ïỵ· HPT Û yxxx2 y2 y93 54 1 4ì +=ï-íï + = -ỵ Nghiệm: ( 1; 1)- -

xyxxyyxyxy22223 3 (1)3 0 (2)ì + + =ïï +í -ï - =ï +ỵ

· + Với x 0= Þ y 1= Þ (0;1) là 1 nghiệm của HPT + Với y 0= khơng thoả HPT

Trang 18

(2) Û xyxyxxy2223 0 =+ (4) Lấy (3) (4)+ ta c: 2xy+ =3 3y xyy3 12 - = ỗ ữố øNghiệm:

Bài 44 Giải hệ phương trình sau: xxy yxxx y y643218 3 (1)24 (2)ì- = -ïíï - =ỵ· (1) Û yxxx628 32+=+ ; (2) Û yxx324 1=+Từ đĩ: xxxxx62328 32 4 1+=+ + Þ x3(64x6+16x4+23x2-2x+6) 0= Þ x=0(y= 0)Nghiệm: (0;0)

x x yx yx22( 1) 3 05( ) 1 0ì + + - =ïí + - + =ïỵ (D – 2009) · Vì x ¹ 0 nên HPT Û x yxx yx223 15( ) 1 0ì+ = -ïïíï + - + =ïỵ Û x yxxx23 14 6 2 0ì+ = -ïïíï - + =ïỵ Û xxx yx y1 11 1 2122ìì ï =ï = Ú ïí íï + = ï + =ỵ ïỵ Nghiệm: (1;1), 2; 32 -ỗ ữố ứ

Bi 46 Giải hệ phương trình sau: xx yy

xy33228 23 3( 1)ì - = +ïí- = +ïỵ (DB A – 2006) · Hệ PT Û xyx yxy33223( ) 6(4 ) (1)3 6 (2)ìï - = +í- =ïỵ Thế (2) vào (1) ta được: 3(x3-y3) (= x2-3 )(4y2 x y+ ) Û x3+x y2 -12xy2 = 0 Û xxyxy034é =ê =ê = -ë Nghiệm (x; y): (3;1), ( 3; 1), 4. 6 ; 6 , 4. 6 ; 613 13 13 13 - - ỗ- ữ ỗ - ữố ø è ø

Trang 19

Thay (2) vào (1) ta được: (x y- )(2x2-5xy+2 ) 0y2 = Û x yxyy 22xé =ê =ê =ë Nghiệm: (2;1),( 1; 2)- -

Bài 48 Giải hệ phương trình sau: xyx yxyxxy y33222 9 ( )(2 3) (1)3 (2)ìï - = - +í- + =ïỵ

· Thay (2) vào (1) ta được: x2 3-9y3=x3-y3 Û x=2y Nghiệm: (2;1),( 2; 1)- -

Bài 49 Giải hệ phương trình sau: xy yx

yx3324 162 (1)1 5(1 ) (2)ìï + = +í+ = +ïỵ

· Từ (2) suy ra y2–5x2 =4 (3) Thế vào (1) được:

(y )x3+ 2–5x y y2 = 3+16xÛ x3–5x y2 –16 x=0 xx2 xy05 16 0é =ê - - =ë· Với x 0= Þ y2 =4 Û y= ±2 · Với x2–5 –16 0xy = Û yxx2 165-= (4) Thế vào (3) được: xxx22216 5 45 - - =ỗ ữố ứ Û x4–32x2+256 –125x4=100x2Û 124 x4+132 –256 0x2 = Û x2 =1 Û xyx 1 (1 (y 3)3)éêë == - = -= Vậy hệ cĩ 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3)

Bài 50 Giải hệ phương trình sau: xy x yx xy

x xy2(2 )( ) (2 1) 7 2 (1)(4 1) 7 3 (2)ì + + + + = -í + = -ỵ· Thế 7 4= x2+ +x 3y ở (2) vào (1) ta được: (2x2+y x y)( + ) 2= x2+ yÛ yxyx221é = ê = -ëNghiệm: 1 17 3; 17 , 1 17 3; 174 4 4 4ỉ - + ư ỉ + - ỗ ữ ỗ ữố ứ ố ứ

Bi 51 Giải hệ phương trình sau: xyx yx yx

xyyx3222 7 2 ( ) 7 4 (1)3 8 4 8 (2)ìï + = + + + +í+ + + =ïỵ· Ta cĩ: (2) Û 4 8= x-3x2-y2-8y

Thay vào (1) ta được: (x y x- )( 2+2x-15) 0= Û x yxx 35é =ê =ê = -ë Nghiệm: (3; 1),(3; 7)- -

Bài 52 Giải hệ phương trình sau: xyxyxyx y33244 1 (1)4 4 0 (2)ìï + - =í+ - - =ïỵ

Trang 20

Û xy y(3 2-4xy x+ 2) 0= Û xyx yxy003é =ờ =ờ =ờ=ờở Nghim: (0;1),(1;0),(1;1), 33 ;3125 25 ỗ ữố ø

Bài 53 Giải hệ phương trình sau: yx

2xyy x22332 1 (1)2 (2)ìï - =í- = -ïỵ

· Thay (1) vào (2) ta được: x3 y3 y xy2 x22 - =(2 - )(2 - ) Û x3+2x y2 +2xy2-5y3= 0 (3) Dễ thấy y 0¹ Đặt txy= , ta cĩ (3) Û t3+2t2+ - = 2 5 0tÛ t 1= Þ x y= Nghiệm: (1;1),( 1; 1)- -

x yxyy332 123 (1)2 2 (2)ìï + =í+ + =ïỵ

· Thay (1) vào (2) ta được:

x y2 +2xy2+y3=2(x3+y3) Û x2 3-x y2 -2xy2+y3= 0 (3) Dễ thấy y 0¹ Đặt txy= , ta cĩ (3) Û t2 3- - + = t2 2 1 0tÛ ttt1112é =ê = -êê =ë Þ x yxyx y2é =ê = -ê =ë Nghiệm: 31 ;31 , 31 ;329 92 2 ỗ ữ ỗ ÷è ø è ø

Bài 55 Giải hệ phương trình sau: xyxy x yxyxy3355 2 ( ) 630 32ìï + + + =í+ + =ïỵ· HPT Û xyxy x yxyxy3355 2 ( ) 6 (1)6.5 32 (2)ìï + + + =í+ + =

ïỵ Thay (1) vào (2) ta được:

x5+y5+5éëx3+y3+2 (xy x y xy+ )ùû =32 Û(x y+ )5 =32 Û x y 2+ = Nghiệm:

Bài 56 Giải hệ phương trình sau: x x yx3 y3 y( ) 618 27ì + =í + + =ỵ

· HPT Û ìí + +ỵx x yx3( +y3) 6=6.3y=27 (1)(2) Thay (1) vào (2) ta được:

x3+y3+3 (xy x y+ ) 27= Û(x y+ )3=27 Û x y 3+ = Nghiệm:

xyxyxy2233 2 2 (1)2 (2)ìï + =í+ + = +ïỵ

Trang 21

Bài 58 Giải hệ phương trình sau: xxyyyx322 2 2 12 0 (1)8 12 (2)ìï + + =í+ =ïỵ

· Thay (2) vào (1) ta được: x3+2xy2+(8y2+x y2) = 0 Û x3+x y2 +2xy2+8y3 = (3) 0

Dễ thấy y 0= khơng thoả HPT Với y 0¹ , đặt tx

y

= ta được: (3) Û t3+ + + = t2 2 8 0tÛ t= -2 Þ x= - 2yNghiệm: (2; 1),( 2;1)- -

Bài 59 Giải hệ phương trình sau: xyxy x2222 1 (1)2 (2)ìï - =í+ =ïỵ

· Thay (1) vào (2) ta được: xy x+ 2 =2(2x2-y2) Û x3 2-2y2-xy= 0 (3) Dễ thấy x 0= khơng thoả HPT

Với x 0¹ , đặt tyx= ta được: (3) Û t2 2+ - = t 3 0 Û tt 1 32é =ê= -êë Þ y xy 3x2é =ê= -êëNghiệm: ( 1; 1),(1;1)- -

x yxyxyxy2221( ) 1 6 (1)1( ) 1 18 (2)ỡ + + =ù ỗ ữù ố ứớ + + =ỗ ữù ố ứ

Ã Bỡnh phng (1) rồi chia vế theo vế, được x yxy222( + ) =2+ Û x2+y2-2xy= 0 Û x y= Nghiệm:

xy x yx yxyxy222(2 6) 2 01( ) 1 8ì + - + + =ù ớ + + =ỗ ữù è øỵ· Điều kiện: xy¹ HPT 0 Û x y xyxyx2 y2 xy 2 x y2 2(2 )( 1) 6 (1)( )(1 ) 8 (2)ì + + =í + + =ỵ

Bình phương (1) rồi chia vế theo vế, được x yxy222(2 ) 92+ =+ Û xé =ê =ëx y7y Nghiệm:

xyxyxy4222698 (1)813 4 4 0 (2)ì+ =ïíï + + - - + =ỵ· Ta cĩ: (2) Û x2+ -(y 3)x+ -(y 2)2= 0

Để PT này cĩ nghiệm đối với x thì ta phải cĩ: D =(y-3)2-4(y-2)2³ 0 Û 1 y 7

3

£ £ (3) Mặt khác (2) Û y2+(x-4)y x+ 2-3x+ = 4 0

Trang 22

D =(x-4)2-4(x2-3x+4) 0³ Û 0 x 43£ £ (4) Từ (3) và (4) ta cĩ: x4 y2 256 49 697 69881 9 81 81+ £ + = < Þ khơng thoả (1) Vậy: HPT đã cho vơ nghiệm

Bài 63 Giải hệ phương trình sau: xyyxyx224 82ìï = -í= +ïỵ· Nếu xy ³ 4 thì HPT Û xyyxyx224 8 (1)2 (2)ỡù = -ớ= +ùT (2) ị x ạ 0, x2 ³ và 2 yxx22 +=

Thay vào (1) ta được: xxx222 22+ - = - ỗ4 8 + ữố ứ Û x( 2-2)(x2- = 1) 0 Û x= ± 2Þ Hệ cĩ nghiệm (x; y) là: ( 2; 8 ,) (- 2;- 8)· Nếu xy < 4 thì x2< 2HPT Û xyyxyx224 82ìï = -í= +ïỵ Þ xxx222 24 2- - = - ç8 ỉ + ư÷è ø Û 2(2-x2) 0= Û x2 = (loại) 2

Kết luận: Nghiệm (x; y) của hệ: ( 2; 8 ,) (- 2;- 8)

Bài 64 Giải hệ phương trình sau: x xx y yy

x y 5 8 (1)(2)

ì - = +

í - =ỵ

· Điều kiện xì >í >ỵy 00 (1) Û x x( - =1) y y( + 8) Û x x( -1)2 =y y( +8)2 (3) Thay (2) vào (3) ta được: 3y2+8y-80 0= Û y=4 (x= (vì y > 0) 9)

Nghiệm: (9;4)

Bài 65 Giải hệ phương trình sau: x x y yxyx 3y 6 8 2ì - = +í- =ỵ· Điều kiện: xy 00ì >í >ỵ HPT Û (x x y y) ( xy)xy3 6 4 (1)3 6 (2)ìï - = +í- =ïỵ

Thay (2) vào (1) ta được: 3(x x y y- )=(x-3 ) 4y ( x + y)

Û x( x -3 y)( x+4 y)= 0 Û x =3 y Nghiệm: (9;1)

Trang 23

Bài 67 Giải hệ phương trình sau: xyxyxy22 2 8 2 (1)4 (2)ìï + + =í+ =ïỵ· (1) Û 2x2+2y2 =16 2- xyÛ 2x2+2y2 =( x+ y)2-2 xyÛ 2x2+2y2 = + x yÛ x2 2+2y2=(x y+ )2 Û x y( - )2= 0 Û x y= Nghiệm: (4;4)

22221118(1)112(2)ì + + + + + + + + + =ïí+ + + - ++ + + - =ïỵxx yxyx yyxx yxyx yy· Lấy (1) (2)- ta được: x y 8+ = Nghiệm: (4;4)

22223(1)11 4(2)ì +-=ïí+ ++ =ïỵxyxyxy· (2) Û x2+y2+2 (x2+1).(y2+ =1) 14Ûxy+2 ( )xy 2+xy+ =4 11 (3) Đặt xy = p pppppppp22311(3) 2 4 11 353 26 105 03é =ì £ êÛ + + = - Ûí Û = -ê+ - =ỵ ë(1) Û (x y+ )2 =3xy+ 3 · p = xy = 353- (loại) · p = xy = 3 Þ x y+ = ±2 3 1/ Với xyx yx y3 32 3ì = Þ = =í + =ỵ 2/ Với xyx yx y3 32 3ì = Þ = = -í + = -ỵ

Vậy hệ cĩ hai nghiệm là: ( 3; 3 ,) (- 3;- 3)

Bài 70 Giải hệ phương trình sau: x yx y

xy32 2 3 2 (1)6 1 4 (2)ìï + = - -í+ + - =ïỵ· Đặt t= 2x y t+ , ( ³0) (1) Û t2+ - = 2 3 0tÛ t 1= Û x y2 + = 1

Thay vào (2) ta được: 3 x+ +6 2x= (4) Đặt u4 xvvx36 ( 0)2ìï = + ³í=ïỵ Khi đĩ: u vu3 v24(4)2 12ì + =Û í - =ỵ Û uvì =í =ỵ 22 Þ xyì =í = -ỵ 23 Nghiệm: (2; 3)-

Trang 24

+ Với 3 - = - Þ y 0x yy£ Thay vào (2) ta được: x y yyxy232 6 3 4ì - =í = + -ỵ Û xyì =í =ỵ 44+ Với 3x y 3y2

- = Þ y 0³ Thay vào (2) ta được: x yy

xyxy29342 6 3 6 3 4ì - =ïíï + = + -ỵ Û x y 89= = Nghiệm: (4;4), 8 8;9 9 ỗ ữố ứ

Bi 72 Gii hệ phương trình sau: xyxyxyxyxy22228 18 36 5(2 3 ) 6 0 (1)2 3 30 (2)ìï + + - + =í+ =ïỵ

· Điều kiện: xy³ Dễ thấy x0 ¹0,y¹ (1) 0 Û xyxy

xyxy22 3 2 32 5 2 06 6ỉ + ư - + + =ỗ ữỗ ữố ứ (3) t txyxy2 36+= (3) Û t2 2- + = 5 2 0tÛ tt 212é =ê=êë+ Với t 2= Þ xyxy2 3 26+

= Þ x2 =3y Thay vào (2) ta được: x 3= Þ y 2= + Với t 12= Þ xyxy2 3 126+ = Þ vơ nghiệm Nghiệm: (3;2)

Bài 73 Giải hệ phương trình sau: xx yxyyx yx y3 6 2 9 2 4 3 0 (1)2 (2)ìï - + - =í- + + =ïỵ· Ta cĩ: (1) Û x y( - ) (2 x-4 ) 0y= Û x yx 4yé =ê =ë+ Với x = y: (2) Þ x = y = 2 + Với x = 4y: (2) Þ x=32 8 15;- y= -8 2 15

Bài 74 Giải hệ phương trình sau: xy x y xyxy y xxy2 2 2 (1)2 1 2 2 (2)ìï + + = -í- - = -ïỵ· Điều kiện: xì ³í ³ỵy 10 Ta cĩ: (1) Û x y y( + )( + =1) x2- y2 Û x y y x( + )(2 - + = 1) 0 Û y x2 - + = 1 0

Thay vào (2) ta được: (y+1) 2y =2y+ 2 Û y 2= (vì y³ ) 0 Þ x 5= Nghiệm: (2;5)

Bài 75 Giải hệ phương trình sau: xyxy

Trang 25

Thay vào (2) ta được: 4y- = 1 1Û y 12= Þ x 2= Nghiệm: 2;12ỉ ỗ ữố ứ Bi tng t: a) xyxyxy2 01 2 1 1ìï - - =í- - - =ïỵ Nghiệm: 1 52; , 10;2 2 ỗ ữ ỗ ÷è ø è ø

xyxyx yx y xy2222 1 (1)(2)ì+ + =ï +íï + = -ỵ· Điều kiện: x y+ > 0(1) Û x yxyx y2 1( + ) 1 2- - ỗ1- ữ=0+ố ứ x y( + -1)(x2+y2+ +x y) 0= Û x y+ - = 1 0 (vì x y 0+ > nên x2+y2+ + > ) x y 0

Thay x= - vào (2) ta được: 1 y 1=x2- - (1 x) Û x2+ - = x 2 0 Û xyx 1 (2 (y 0)3)

é = =

ê = - =

ë

Vậy hệ cĩ 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3)

Bài 77 Giải hệ phương trình sau: ()

23 2 (1)2 8 (2)ì - =ïí- =ïỵx yxyx y· Điều kiện : x y ³0 ;x y³ Ta cĩ: (1) Û 3(x y- )2=4xy Û (3x y x- )( -3 ) 0y = x 3y hay xy3Û = =

· Với x=3y, thế vào (2) ta được : y2-6y+ = Û =8 0 y 2 ;y= 4

Þ Hệ cĩ nghiệm xxy 62; y 124ì = ì =í = í =ỵ ỵ· Với xy3

= , thế vào (2) ta được : y3 2-2y+24 0= Vơ nghiệm Kết luận: hệ phương trình cĩ 2 nghiệm là: xx

y 26; y 124

ì = ì =

í = í =

ỵ ỵ

Bài 78 Giải hệ phương trình sau: xy x y xyxy y xxy2 2 2 (1)2 1 2 2 (2)ìï + + = -í- - = -ïỵ· Điều kiện x ³ 1, y ³ 0 Þ x + y > 0 (1) Û x y x( + )( -2y- = 1) 0 Û x=2y+ 1 (3)

Thay (3) vào (2) ta được: (2y+1) 2y y- 2y =2(2y+ -1) 2y Û (y+1) 2( y-2)= 0 Û y = 2 Þ x = 5

Nghiệm: (5;2)

Trang 26

Từ (1) Û x yxyx y2 4( + ) 16 2- - ỗ1- ữ=0+ố ứ x y( + -4)éëx2+y2+4(x y+ )ùû=0 Û x y+ - = 4 0 Û x y+ = 4

Thay vào (2) ta được: 32x+ = -7 3 2x Û x2 3-9x2+14x- = 5 0 Û x 1 y 7

2 2 = ỗ = ữố ứNghim: 1 7;2 2 ỗ ữố ứ

Bi 80 Gii h phng trình sau: x yx yx yx y3 (1)2 (2)ì - = -ïí+ = + +ïỵ (B - 2002) · Điều kiện: x yì - ³x y 0 (3)0í + ³ỵ (1) Û x y( x y) x yx y3 - 1-6 - = Û ê = +0 é =ë 1 Thay vào (2) ta được: x y

xy13, 12 2é = =ê= =êë Nghim: (1;1), 3 1;2 2 ỗ ữố ứ

Bi 81 Giải hệ phương trình sau: xy x y xyxy y xxy2 2 2 (1)2 1 2 2 (2)ìï + + = -í- - = -ïỵ· Điều kiện: x³1,y³ (1) 0 Û x y x( + )( -2y- = 1) 0 Û x-2y- = 1 0 Û x=2y+ 1

Thay vào (2) ta được: (y+1)( 2y-2) 0= Û 2y- = 2 0 Û y 2= Þ x 5= Nghiệm: (5;2)

yxx y xy2 2 33ìï + =íï - + =ỵ· Điều kiện: xì >í >ỵy 00 HPT Û yxxyx y xy2 2 53ì + =ïíï - + =ỵÛ xì -í - + =ỵ(x y xy2 )(2yx y-3 ) 0=Nghiệm: (2;1),( 1; 2), 3; 3 , 3;32 2ỉ - - ỗ- - ữ ỗ ữố ứ è ø

Bài 83 Giải hệ phương trình sau: x yxyx2 y22( ) (1)3 (2)ìï - =í- =ïỵ

· Điều kiện: x y³ Khi đĩ (1) Û x2 2-5xy+2y2 = 0 Û xé =ê =ëy 22yx

Nghiệm: (2;1)

Bài 84 Giải hệ phương trình sau: xyyx

yxx22 3 2 3 2 (1)1 4 8 0 (2)ì + + - = +ïí- - - + - =ïỵ· (1) Û 2 x+3y+ =2 x+ +2 3 yÛ x4( +3y+2)= + +x 2 9y+6 (y x+2)

Trang 27

x+ -1 4- + -x 8 x2= 0 Û xxxx1 1( 3) 3 01 2 4 1 - ỗ + - - ữ=+ + - +è øÛ x 3= Þ y 5= Ta cần chứng minh PT: xxx1 1 31 2+ 4 1= +

+ + - + (*) vơ nghiệm trên đoạn [-1;4] Thật vậy: xx1 1; 1 121 2£ 4 1£+ + - + Þ xx1 1 321 2+ 4 1£+ + - +

Mà: x 3 2+ ³ nên (*) vơ nghiệm Kết luận: Nghiệm (3;5)

xxyyyyx222( 1)( 1) 1 (1)35 0 (2)121ì + + + + =ïí + + =ï-ỵ· Chú ý: x( 2+ +1 x)( x2+ -1 x) 1= , y( 2+ +1 y)( y2+ -1 y) 1= Từ (1) Þ xxyyxxyy22221 1 (3)1 1 (4)ìï + + = + -í+ - = + +ïỵ Lấy (3) (4)- ta được: x= - yNghiệm: 5 5; , 5; 53 3 4 4 - ỗ - ữỗ ữ ố ứố ø

yx7 11 6 (1)7 11 6 (2)ìï + + - =í+ + - =ïỵ· Lấy (1) (2)- ta được: 7+ -x 7- +y 11- -y 11- = x 0Û x yx yxyxy 07 7 11 11- + - =+ + + - + - Û x y 0- = Nghiệm: (2;2) Bài tương tự: a) xyyx2 22 2ìï + - =í+ - =ïỵ Nghiệm: (0;0),(2;2) b) xyyx1 7 41 7 4ìï + + - =í+ + - =ïỵ Nghiệm: (3;3).

Bài 87 Giải hệ phương trình sau: ( xyx )x yxyx x2223 3 (1)3 (2)ìï + + + = -íï + + = +ỵ· Để ý rằng: ( x2+ +yx2+3)( x2+ -yx2+3)= - y 3Do đĩ: (1) Û ( x2+ +yx2+3)( x2+ -yx2+ -3 x)= 0 Û x2+ -yx2+ = 3 xKết hợp với (2) ta được: x + x2+ = 3 3 Û x 1= Þ y 8= Nghiệm: (1;8)

Bài 88 Giải hệ phương trình sau: y( xx )

xy x3 3 (1)1 (2)ìï + + =í+ = +ïỵ

Trang 28

Nghiệm: (1;1)

Bài 89 Giải hệ phương trình sau: x yx yx2 y2 x2 y21 (1)1 (2)ì + - - =ïí+ + - =ïỵ· Điều kiện: x yx y 00ì + ³í - ³ỵ Ta cĩ (1) Þ x yx yx yx yy12ìï + - - =í+ + - =ïỵ Þ 2 x y+ =2y+ 1 Þ yx2 14= - (3) (2) Þ xyxyxyxyy22222222212ìï + + - =í+ - - =ïỵ Þ xyy2222 + =2 +1 Þ 4x2 =4y4+1 (4) Từ (3), (4) Þ x 58= Þ y 38= ± .Nghiệm: 5; 38 8ỉ ỗ ữố ứ Bi tng t: a) x yx yx2 y2 x2 y224ì + - - =ïí+ + - =ïỵ Nghiệm: b) xyxy23 3 4ìï + =í+ + + =ïỵ Nghiệm:

xxyyxyyx11 (1)1 1 1 (2)ì+ + =ïíï + + + - =ỵ· Điều kiện: xy0 11 0ì £ £í- £ ¹ỵ Ta cĩ (1) Û xy+ y+ =1 x Thay vào (2) ta được: x + 1- = x 1 Û xxé =ê =ë 10

Nghiệm: (0; 1),(1;0)-

Bài 91 Giải hệ phương trình sau: xxy yxyxxy yxy22222222( ) 185 (1)( ) 65 (2)ìï + + + =í- + + =ïỵ· Lấy (1) (2)+ ta được: 2(x2+y2) x2+y2 =250 Û x2+y2 = 5 Û x2+y2 =25Khi đĩ: HPT Û xìíxy2+=12y2 =25ỵNghiệm: (4;3),( 4; 3),(3;4),( 3; 4)- - - -

xx yyx y13 1 217 1 4 2ỡ + =ù ỗ ữù ố + ứớ ù ỗ - ữ=ù ố + ứ

Trang 29

Do đĩ: HPT Û x yxx yy1 2131 4 217ì+ =ï +ïíï - =+ïỵÛ x yxyxy1 1 2 2 (1)3 71 2 21 (2)3 7ì= -ï+ïíï = +ïỵ

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta được:

x yxy1 1 83 7= -+ Û xy21 =(x y+ )(7y-3 )xÛ y( -6 )(7xy+4 ) 0x= Û y=6x (vì x>0,y> ) 0Nghiệm: 11 4 7 22 8 7;21 7 + + ỗ ữố ứ

Bi 93 Giải hệ phương trình sau:

xyxyyx121 23121 63ìỉ - ư =ùỗ + ữùố ứớ +ỗ ữ =ùố + ứÃ HPT Û yxxyxy12 21312 613ì- =ï +ïíï + =+ïỵxyyxyx1 31 (1)12 3 1 (2)3ì= +ïïÛ íï = -+ïỵ

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta được:

x y y x

12 3 1

3 + = - Û x(3 -2 )y 2=5y2 Nghiệm:

Trang 30

Vấn đề 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

Biến đổi các phương trình của hệ để cĩ thể đặt ẩn phụ, rồi chuyển về hệ cơ bản Thơng thường đưa về dạng: f u v

g u v( , ) 0( , ) 0

ì =

í =

ỵ

Bài 1 Giải hệ phương trình sau: xxyyx y xy4222 4 2 6 9 02 22 0ìï - + - + =í+ + - =ïỵ· HPT Û xyxyx22222( 2) ( 3) 4( 2 4)( 3 3) 2 20 0ìï - + - =í- + - + + - - =ïỵ Đặt u xv y2 23ì = -í = -ỵ HPT Û uuuvvvuvu v22 4 2 00 24( ) 8ì + = ì = ì =Û Úí + + = í = í =ỵ ỵỵ Nghiệm: (2;3),( 2;3),( 2;5),( 2;5)- -

Bài 2 Giải hệ phương trình sau: ìï + + =í+ + + =ïỵxx yxx yxyx23 5 2 9 23 2 6 18· HPT Û xxx yxx x y22 2 3 9( 2 )(3 ) 18ìï + + + =í+ + =ïỵ Đặt u xxvx y2 23ì = +í = +ỵ HPT Û u vì + =í =ỵuv 189 Nghiệm: (1;3),( 3;15),( 1- - - 7;6 3 7),( 1+ - + 7;6 3 7)-

Bài 3 Giải hệ phương trình sau: xyxyxyxy22223 4 13 2 9 8 3ìï + - + =í- - - =ïỵ· HPT Û xx yyxxyy2223 42 13( 3 ) 2( 4 ) 3ìï - + + =í- - + =ïỵ Đặt u xxv yy22 34ìï = -í= +ïỵ HPT Û u vuv13 2 3ì + =í - =ỵ Nghiệm: 3 13;0 , 3 13; 42 2 -ỗ ữ ỗ ÷è ø è ø

x yyxy x yx221 1 232 23ìïí + = ×ï + +ỵ+ + =· HPT Û xyx 2 y 2( 1)( 1) 41 1 23( 1) 1 ( 1) 1ì + + =ïí + =ï + - + -ỵ Đặt u xì = +í = +ỵv y 11 (u¹ ±1,v¹ ±1) HPT Û uvu2 v241 1 231 1ì =ïí + =ï - -ỵuvu2 v2 u v2 2 u2 v243( 2) 2( 1)ì =Û í + - = - - +ỵuvu2 v248ì =Û í + =ỵu vu v 22é = =Û ê = = -ë Nghiệm: xxy 11; y 33ì = ì = -í = í = -ỵ ỵ

Trang 31

· HPT Û x yx yxyxy1 1 41 1 4ỡ+ + + = -ùùớ ỗố + ữỗứ + ữ=ù ố ứ t u xxv yy11ỡ= +ùùớù = +ïỵ HPT Û u vì + = -í =ỵuv 4 4 Û uvì = -í = -ỵ 22Nghiệm: ( 1; 1)- -

y xx yxyx y22222 2( 1) 2 ( 1)1( ) 1 24ì + = +ï ỉ ớ + + =ỗ ữùố ứÃ HPT xyxyxyxy2222221 2 11 1 24ì + +=ïïíï + + + =ïỵÛ xyxyxyxy221 2 11 1 28ỡ + = +ù ỗ ữù ố ứớ ỗ + ữ + + =ỗ ÷ïè ø è øỵ Đặt u xxv yy11ì= +ïïíï = +ïỵ HPT Û ì =í + =ỵuu2 2vv2 28Nghiệm:

xyxyx yxy22231 11( ) 1 6ì+ =ïï + +í ỉ ưï + ỗ + ữ=ù ố ứÃ HPT xxyyxyxy1 1 21 1 31 1 6ì+ =ïï + +íï+ + + =ïỵ Đặt u xxv yy11ì = +ïïíï = +ïỵ HPT Û u vu v1 1 236ìï + =íï + =ỵ Û u v 3= =Nghiệm:

xyxyxyxy2223331( ) 1 91( ) 1 27ỡ ù + ỗ + ữ =ù ố ứớ + + =ỗ ữùố ứÃ HPT xyyxxyyx22331 1 91 1 27ỡ ỗ + ữ +ỗ + ữ =ùố ứ ố ứớ + + + =ỗ ữỗ ữù ố ứố ứ t u xyv yx11ì= +ïïíï = +ïỵ HPT Û uvuv2233 927ìï + =í+ =ïỵ Nghiệm:

Trang 32

Đặt x y uì + =íỵxy v= HPT Û uv u vìí + + =ỵuv u v( + =) 3011 Û uvìí + + =ỵuv u v(11-uv) 30 (1)=11 (2) Từ (1) Þ uvé =ê =ëuv 56· Với uv = 5 Þ u v 6+ = Nghiệm (x; y) là: 5 21 5; 212 2 - + ỗ ữố ứ v 5 21 5; 212 2 + - ỗ ÷è ø· Với uv = 6 Þ u v 5+ = Nghiệm (x; y) là: (1;2) và (2;1) Kết luận: Hệ PT cĩ 4 nghiệm: (1;2) , (2;1) , 5 21 5; 212 2ỉ - + ỗ ữố ứ, 5 21 5; 212 2 + - ỗ ữố ứ

Bi 10 Gii h phng trỡnh sau: xyxyx2 y2 xy3 2 162 4 33ì - - =í + - - =ỵ· HPT Û xyxyx 2 y 2( 1)( 2) ( 1) ( 2) 21( 1) ( 2) 38ì - - - - - - =í - + - =ỵ Đặt u xì = -í = -ỵv y 12 HPTÛ uv u vu2 (v2 ) 2138ì - + =í + =ỵNghiệm: (- +3 3; 2- - 3 , 3) (- - 3; 2- + 3)

xxyxyxxy22 4 1 5232ì + += -ïï +íï = -ï +ỵ· HPT Û xxyxxy12 5212 62ì+ = -ïï +íï = -+ïỵ Đặt uxvxy212ì =ïí =ï +ỵ HPT Û u vuv 6 5ì + = -í =ỵ Û uvu 2,3,v 32é = - = -ê = - = -ë .Nghiệm: 1;1 , 3 1;3 2 2 - ỗ- ữỗ ữ è øè ø

y xxyxy xy1( 1) 1 212( 1) 1ì ỉ + + + =ù ỗ ữù ố ứớ ù + = ỗ + + ữù ố ứÃ t u xv y xy111ỡ = +ù ớ = ỗ + + ÷ï è øỵ HPT Û uvu vì =íỵ2 =2 Û ué =ê = - = -ëu 1,1,vv=2 2 Nghiệm: (0;1),( 2;3)-

Trang 33

HPT Û uvu v223 133ì + =í+ =ỵ Û uì =í =ỵv 12 (vì u ³2) Þ x yx yxyx y1 2 101ì+ + =ï Ûì =í + í =ỵï - =ỵ

xyxyx yxx y22213( ) 2(10 )( )12 5ì+ + = -ïï -íï + =ï -ỵ· HPT Û x yx yx yx y x yx y22212( ) ( ) 20( )1 5ì+ + - + =ïï -íï + + - + =ï -ỵ Đặt u x yv x yx y1ì = +ïí = - +ï -ỵ (với v 2³ ) HPT Û uvu v222 2 205ì + - =í + =ỵ Û uvuv13 32 143ì=ïì = Úí = íỵ ï =ỵ Nghiệm: (2;1), 4 10 3; 10 , 4 10 3; 103 3 3 3ỉ + - - - - + ỗ ữ ỗ ÷è ø è ø

Bài 15 Giải hệ phương trình sau: ïỵïíì=+=+3581523322yxxyyx· Hệ PT Û xy x yx 3 y32 (2 ) 30(2 ) 35ì + =í + =ỵ Đặt uxv y2ì =í =ỵ Hệ PT Û uv u vu3 v3( ) 3035ì + =í + =ỵ Û uvu 3;2;v 32é = =ê = =ởNghim (x; y): (1;3), 3;22 ỗ ữố ứ

Bi 16 Giải hệ phương trình sau: ỵíì=++=++649)2)(2(2 xyxyxxx· Hệ PT Û xxx yxxx y22( 2 )(2 ) 9( 2 ) (2 ) 6ìï + + =í+ + + =ïỵ Đặt u xxvx y2 22ì = +í= +ỵ HPT Û uvì =í + =ỵu v9 6Nghiệm: (1;1),( 3;9)-

Bài 17 Giải hệ phương trình sau: xyxy x yxy2222 (1)3 (2)ìï + = + +í- =ïỵ· Chú ý: x2 xy y2 1 3(x y)2 (x y)24é ù- + = ë - + + û Đặt u x yv x yì = +í = -ỵ , ta được: uvvuv223 43ì + =í =ỵNghiệm: (2;1)

Trang 34

Bài 19 Giải hệ phương trình sau: yxxyxxyy22223 2 114 22ì+ =ïï + -íï + + =ïỵ· Điều kiện: x¹0,y¹0,x2+y2- ¹ 1 0 Đặt u xyvxy22 1;= + - = Hệ PT trở thành: u vu vuvuv3 2 1 3 2 1 (1)1 4 22 21 4 (2)ì ìï + = Ûï + =í íï + + = ï = -ỵ ỵ

Thay (2) vào (1) ta được: vvvvv v2 33 2 1 2 13 21 0 721 42é =ê+ = Û - + = Û=ê-ë· Nếu v = 3 thì u = 9, ta cĩ Hệ PT: xyxxxyxxyyyy22221 9 3 3101 13 3ì + - =ìï Û + = Ûì = Ú ì = -í = í = í = í = -ỵ ỵỵïỵ · Nếu v 72= thì u = 7, ta cĩ Hệ PT: yyxyxyxxyyxx22 2 2 4 2 4 21 7 853 537 72 22 2 14 1453 53ì ìì + - = ì + = ï = ï = -ï Ûï Ûï Ú ïí = í = í íï ïỵ ï = ï = -ỵ ï ïỵ ỵ

So sánh điều kiện ta được 4 nghiệm của Hệ PT

Bài 20 Giải hệ phương trình sau: xx

y yx y3 3 x y2 2 xyy31 1(1 ) 1 4 (1)1 4 (2)ì ỉ ư+ + + =ù ỗ ữớ ố ứù + + + =Ã D thấy y¹ HPT 0 Û xxyyxxyy22221 1 41 1 4ỡ + + + =ùỗ ữ ç ÷ïè ø è øíỉ ưỉ ựç + ÷ç + ÷=ïè øè øỵ Đặt u xyv xy2211ì = +ïïíï = +ïỵ HPT Û u vì + =í =ỵuv 4 4 Û u v 2= = Nghiệm: (1;1)

Trang 35

Nghiệm 1;1 , (3;1)3

ỗ ữ

ố ứ

Bi 22 Gii h phng trình sau: x yyx yx y3 33228 27 184 6ìï + =í+ =ïỵ· Dễ thấy y¹ HPT 0 xyxxyy333(2 )18332 23ỡ ù +ỗ ữ =ù ố ứớ + =ỗữù ố ứ t a = 2x; b = y3 HPT Û a bab 1 3ì + =í =ỵ Nghiệm: 35; 6 , 35; 64 3 5 4 3 5ỉ - ư ỉ + ỗữ ỗữỗ + ữ ỗ - ữốứ ốứCỏch 2: Dễ thấy y 0¹ HPT Û x yyx yxy y3 332 238 27 184 6ìï + =í+ =ïỵ Þ x yx yxy3 32 28 +27 18(4= +6 ) (*) Đặt t xy= (*) Û t(2 3)(4+ t2-42 9) 0t+ = Û tt3221 9 54é= -êê±ê =êëBài tương tự: a) x yyx yxy3 332227 125 945 75 6ìï + =í+ =ïỵ Nghiệm 2;5 , ;1 53 3 2 ỗ ữ ỗ ữố ứ è ø

x yyxxyy3 33221 22ì + =ïí + =ïỵ· Dễ thấy y¹ HPT 0 Û xyx xyy331 21 2ì + =ùùớ ỗ + ữ=ù ố ứ tty1= HPT Û xì + =íxt x t3( t3 ) 22+ =ỵ Û x tì + =í =ỵxt 1 2 Nghiệm: (1;1)

Trang 36

a) y xyxx yx223 3 6 31 19ìï + = -í+ =ïỵ Nghiệm 1; 2 , 1;33 2 - ỗ- ữỗ ữ ố ứố ứ

Bài 25 Giải hệ phương trình sau: xy y xy

xy xy22 1 ( ) 4( 1)( 2)ìï + + + =í+ + - =ïỵ· Dễ thấy y ¹ 0 HPT Û xy xyxy xy221 2 21( 2) 1ì ++ + - =ïïí+ï + - =ïỵ Đặt uxyv y x2 12ì +ï =íï = + -ỵ HPT Û u vì + =í =ỵuv 1 2 Nghiệm: (1;2),( 2;5)-

Bài 26 Giải hệ phương trình sau: x yyxyxyyxy2 222 22 4 7 22 6 3ìï + + =í+ + =ïỵ· Dễ thấy y ¹ 0 HPT xxyyxxyy22242 762 3ỡ+ + =ùùớ + + =ỗ ữùố ứ xxyyxxyy222 3 223 2ỡ ỗ - ữ - = -ùố ứớ - - = -ỗ ữ ỗ ữùố ứ ố ứt u xyxvy2ỡ= -ùùớù =ù HPT Û uvvu22 3 23 2ìï = -í- = -ïỵ Û u vu v12é = =ê = =ë + Với u v 1= = thì xyxy2 11ì- =ïïíï =ïỵ Û x yé = = -ê = =ëx y 21+ Với u v 2= = thì xyxy2 22ì- =ïïíï =ïỵ Û xyxy1 51 5;21 51 5;2é -= - =êê+ê = + =êëNghiệm: ( 1; 1),(2;2), 1 5;1 5 , 1 5;1 52 2 - + - - ỗ - ữ ç + ÷è ø è ø

Bài 27 Giải hệ phương trình sau: x yy

Trang 37

+ Với uvì = -í =ỵ 125 Þ xyxy2211 51 12ì+ + = -ïïí +ï =ïỵ (vơ nghiệm) + Với uvì =í =ỵ 34 Þ xyxy2211 41 3ì+ + =ïïí +ï =ïỵÞ xyxy10,32, 1é= =êê= ± =ë Nghiệm: 0;1 ,( 2;1)3 ỗ ữố ứ

Bi 28 Giải hệ phương trình sau: x y y xyxxy

x yyx yxx y224 222 4 1822 2208ìï + + + =í+ + + =ïỵ· Với x 0= Þ y 0= + Với xyì ¹í ¹ỵ 00 ta cĩ: HPT Û xyxyxyxy22221 1 181 1 208ì+ + + =ïïíï + + + =ïỵÛ xyxyxyxy221 1 181 1 212ỡ+ + + =ùùớ ỗ + ữ +ỗ + ữ =ùố ứ ố ứt u xxv yy11ỡ= +ïïíï = +ïỵ Ta được HPT Û ì + =í + =ỵu vu2 v218212 Û uìíỵv==144 Úìíỵuv==144Nghiệm: (0;0),(2+ 3;7 4 3),(2± - 3;7 4 3)± ,(7 4 3;2+ ± 3),(7 4 3;2- ± 3)

Bài 29 Giải hệ phương trình sau: xxy x yxx yxy24 2 22 024 3 0ìï - + + =í- + + =ïỵ · Với x 0= Þ y 0= + Với xyì ¹í ¹ỵ 00 ta cĩ: HPT Û yxyxyxyx222 1 04 3 0ì- + + =ïïíỉ - + +ỗ ữ =ù ố ứ yy xxyyxxxx22 1 (1)3 0 (2)ỡ= + +ùùớ ỗ + ữ - ỗ + ữ=ùố ứ ố ứt t xyx= + (2) Û t2- = 3t 0 Û tté =ê =ë 03 Þ x+ = Úyx 0 x+ = yx 3Nghiệm: (0;0),(1;2),(2;2)

Trang 38

Nghiệm: (1;1),( 1; 1), 3 1; 3 1 , 3 1;1 3

2 2

ỉ + ư ỉ -

- - ỗ- + ữ ỗ - ữ

ố ứ è ø

22332 12 2yxxyy xì - =ïí- = -ïỵ· HPT Þ x2 3-y3=(2y2-x2)(2y x- )Ûx3+2x y2 +2xy2-5y3= 0Khi y 0= thì hệ VN

Khi y 0¹ , chia 2 vế cho y3¹ ta được: 0 xxx

yyy322 2 5 0ỉ ư + + - =ỗ ữ ỗ ữ ç ÷è ø è ø è øĐặt txy= , ta cĩ : t3+2t2+ - = Û =2 5 0tt 1 y xx yx yy2111ì = é = =Ûíỵ = Ûê = = -ëNghiệm: (1;1),( 1; 1)- -

22221 4( ) 2 7 2xyxyyy x yxyì + + + =í+ = + +Ã T h PT ị yạ Khi đĩ ta cĩ: 0xx yxyxyyyy x yxyx yxy22222221 41 4 .( ) 2 7 2 ( ) 2 1 7ì ++ + =ïì + + + =ï Ûïí í+ = + + +ï ïỵ + - =ïỵĐặt uxv x yy21,+= = + ta cĩ hệ: u vuvvuvuv2 uv2 v4 4 3, 15, 92 7 2 15 0ì + = ì = - é = =ï Ûï Ûí - = í + - = ê = - =ï ï ëỵ ỵ· Với v=3,u= ta cĩ hệ:1 xyxyxxxyyxxyx yyx2 1 2 1 2 2 0 1, 23 2, 53 3ì ì ì é = =ï + = Ûï + = Û + - = Ûí í í = - ê = - =+ = = - ỵï ï ëỵ ỵ · Với v= -5,u= ta cĩ hệ: x9 yxyxxx yyxyx2 1 9 2 1 9 2 9 46 05 5 5ì ì ìï + = Ûï + = Ûï + + =í í í+ = - = - - = -ï ï ïỵ ỵ ỵ , hệ VN Nghiệm: (1; 2), ( 2; 5)-

Bài 33 Giải hệ phương trình sau: x yxyx yx yx y222(2 ) 5(4 ) 6(2 ) 0 (1)12 0 (2)2ì + - - + + =ïí + + =ï -ỵ· Dễ thấy x y2 + ¹ HPT 0 Û x yx yx yx y(2 ) 5(2 ) 6 012 02ì + - - + =ïí + + =ï -ỵ Đặt uv 2x y u vx y ( 0)2ì = + ¹í = -ỵ HPT Û uvuv5 61 0ì - = -ïí + =ïỵ Û uvuv1, 115,5é = - =ê= - =êë. Nghiệm:

Trang 39

Đặt u x yì = +í = -ỵv x y, ta được: v uu2 v2( 2) 53 28ì + = -í + =ỵ Nghiệm: ( 3;2),(1;2)-

Bài 35 Giải hệ phương trình sau: x yx yx2 y 1 13 2 4ì + + - + =í + =ỵ· Hệ PT Û x yx yx yx y2 1 1(2 1) ( ) 5ì + + - + =í+ + + + =ỵ Đặt u= 2x y+ + ³1 0,v= x y+ ³ 0Hệ PT Û u vuvuvloạiu2 v21 2, 11, 2 ( )5ì - = Ûé = =í + = ê = -ë = -ỵNghiệm: (2; 1)- Bài tương tự: a) x yx yx2 y 1 203 2 4ì + + - + =í + =ỵ

Bài 36 Giải hệ phương trình sau: xy yx yx y2 6 3ìï + = +í+ + -ïỵ· Điều kiện x yx y 03ì + ³í ³ ³ -ỵ Hệ PT Û xy yyx yx y2 6 2 6 94ìï + = + +í+ + - =ïỵ Û x y x yx yx y( )( ) 94ì + - =í + + - =ỵĐặt ux y u vvx y ( , 0)ìï = + ³í= -ïỵ HPT Û u vu v2 2 94ì =í + =ỵ Û ué =ê =ëu 1,3,vv==31Nghiệm: (5;4)

Trang 40

Bài 38 Giải hệ phương trình sau: x yxyx x( 4y 92) y y(42 2) 41ì + = - +í+ - + + =ỵ· HPT Û x y xyxy 2 x y2 9( 2 ) 2( ) 41ìï - + + =í+ - - =ïỵ Đặt ux y u vv x 2y ( , 0)ìï = - ³í= +ïỵ HPT Û u vv2 u292 41ì + =í - =ỵ Û uvì =í =ỵ 27 Þ ìíxx y+- =2y=72 Ú ỡớxx y+- =2y= -27 Nghim: (5;1), ;1 113 3 -ỗ ÷è ø

Bài 39 Giải hệ phương trình sau: x yx yxy

x xyxyyx221 1 4( ) 3 2 3 (1)12 (2 3 7 ) 1 12 (3 5 ) (2)ìï + + + = + + +í+ + = - - +ïỵ· Đặt x yuxy v1 03 3 0ìï + + = ³í+ = ³ïỵ (1) Û uvuvv2243 39 9 4 9ìï - =í+ = +ïỵ Û uvuuvvv2222 243 39 (3 ) 4 9ìï - =í+ - = +ïỵÛ uvu v uu vuvv2232233 3( )(9 9 3 3 ) 0ìï - =í- + + + =ïỵ Û u v62= = Þ x2 +2y= 1Nghiệm: 5 4; , 7 ; 16 3 10 6- - ỗ ữ ỗ ữố ø è ø

Bài 40 Giải hệ phương trình sau: x yx yx y x y7 2 5 (1)2 2 (2)ìï + + + =í+ + - =ïỵ· Đặt ux y u vvx y7 ( , 0)2ìï = + ³í= +ïỵ (1) Û uvxu v22 55ì - =í + =ỵ Þ v 5x2-=

Thay vào (2) ta được: x=2y- 1

Nghiệm: 10 77;11 772 - -ỗ ữố ứ

Bi 41 Gii h phương trình sau: y xyx yxy222212 (1)12 (2)ìï - =í+ + - =ïỵ· Đặt uxyv x y22ìï = -í= +ïỵ Þ ux yvx y v2ìï - =íï + =ỵÞ uvxvvuv uyvv2222 26( )2ì +=ïïí- -ï = =ïỵ HPT Þ v u uvu v6( ) 1212ì -ï =íï + =ỵÛ ué =ê =ëu 3,4,vv==98 Þ xé =ê =ëx 5,5,yy==43 Nghiệm: (5;4),(5;3)

Bài 42 Giải hệ phương trình sau: x y ( x yxy )

Định dạng
Số trang	69
Dung lượng	847,53 KB