Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 132 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
132
Dung lượng
1,94 MB
Nội dung
TÀI LIỆU THAM KHẢO TỐN HỌC PHỔ THƠNG x CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ HỖN TẠP TRUNG ĐỒN HOÀNG SA – QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP CHỦ ĐẠO: KẾT HỢP SỬ DỤNG PHÉP THẾ, CỘNG ĐẠI SỐ VÀ ẨN PHỤ (TIẾP THEO) GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC PHỐI HỢP PHÉP THẾ, CỘNG ĐẠI SỐ VÀ ẨN PHỤ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ SỬ DỤNG KẾT HỢP ĐÁNH GIÁ – BẤT ĐẲNG THỨC TỔNG HỢP CÁC PHÉP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BÀI TOÁN NHIỀU CÁCH GIẢI CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK); GACMA1431988@GMAIL.COM (GMAIL) THỦ ĐÔ HÀ NỘI – MÙA XUÂN 2015 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ “Non sơng Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay không, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với cường quốc năm châu hay khơng, nhờ phần lớn công học tập em” (Trích thư Chủ tịch Hồ Chí Minh) “Mai này, anh lấy vợ, có quan tâm em gái suốt đời không…” (04.2014 – Việt An) [Tài liệu dành tặng riêng em, Việt An yêu thương anh, Mùa thi 2015] CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ HỖN TẠP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA – QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP Trong khn khổ Tốn học sơ cấp nói chung Đại số phổ thơng nói riêng, hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp dạng toán thú vị, có phạm vi trải rộng, phong phú, liên hệ chặt chẽ với nhiều phận khác toán học sơ cấp toán học đại Tại Việt Nam, hệ phương trình, nội dung hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp phận hữu cơ, quan trọng, phổ biến giảng dạy thức chương trình sách giáo khoa Tốn lớp 9, 10, 11, 12 song song với khối lượng kiến thức liên quan Đây kiến thức phổ biến xuất kỳ thi kiểm tra kiến thức thường niên, kỳ thi chọn học sinh giỏi tốn cấp tồn quốc, kỳ thi tuyển sinh lớp 10 hệ THPT kỳ thi tuyển sinh đại học – cao đẳng hàng năm, kỳ thi đầy cam go, kịch tính bất ngờ, lại câu quan tâm bạn học sinh, phụ huynh, thầy cô, giới chuyên môn đơng đảo bạn đọc u Tốn u cầu dạng tốn đa dạng, đa chiều, mục tiêu tìm ẩn thỏa mãn tính chất nên để thao tác dạng toán này, bạn học sinh cần liên kết, phối hợp, tổng hợp kiến thức học phương trình, hệ phương trình bất phương trình, địi hỏi lực tư thí sinh cao Tuy nhiên "Trăm hay không hay tay quen", phương pháp được hệ trước đúc kết tận tụy cho hệ tương lai, bạn hoàn toàn đủ khả kế thừa, phát huy sáng tạo không ngừng, chuẩn bị đủ hành trang nắm bắt khoa học kỹ thuật, đưa đất nước ngày vững bền, phồn vinh, hiển nhiên toán kỳ thi định rào cản, mà hội thử sức, hội khẳng định kiến thức, minh chứng sáng ngời cho tinh thần học tập, tinh thần quốc ! Các phương pháp giải biện luận hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp luyện tập cách đặn, hệ thống hữu ích, khơng mơn Tốn mà cịn phục vụ đắc lực cho môn khoa học tự nhiên khác hóa học, vật lý, sinh học, Tiếp theo Lý thuyết giải hệ phương trình chứa (Phần 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), tài liệu chủ yếu giới thiệu đến quý bạn đọc Lý thuyết giải hệ phương trình chứa cấp độ cao, trình bày chi tiết thí dụ điển hình hệ giải nhờ sử dụng tổng hợp phép thế, phép cộng đại số, đại lựợng liên hợp, sử dụng đồng tính chất đơn điệu hàm số có chặn miền giá trị, phép ước lượng – đánh giá – bất đẳng thức phần Đây nội dung có mức độ khó tương đối, địi hỏi bạn độc giả cần có kiến thức vững phép giải phương trình chứa căn, kỹ biến đổi đại số tư chiều sâu bất đẳng thức Các thao tác tính tốn kỹ trình bày phương trình, hệ phương trình xin khơng nhắc lại I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Kỹ thuật nhân, chia đơn thức, đa thức, đẳng thức Nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nắm vững phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao Sử dụng thành thạo ký hiệu toán học, logic (ký hiệu hội, tuyển, kéo theo, tương đương) Kỹ giải hệ phương trình hệ phương trình đối xứng, hệ phương trình đồng bậc, hệ phương trình chứa thơng thường Kỹ thuật đặt ẩn phụ, sử dụng đại lượng liên hợp, biến đổi tương đương Kiến thức tảng uớc lượng – đánh giá, hàm số - đồ thị, bất đẳng thức – cực trị CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ II MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC 2 x y 1, Bài tốn Giải hệ phương trình 3 1 x y 1 y x Lời giải Điều kiện y 1; x x 1 x 1 x Ta có x y y 1 y 1 y 2 x; y Với điều kiện 1 x y 0; 1 y x 1 x y 1 y x3 1 x y 1 Do hệ cho có nghiệm 1 y x3 2 x y Rõ ràng từ (1) thu x 1; y x 0; y 1 , không thỏa mãn (2) Kết luận hệ phương trình cho vơ nghiệm Nhận xét Mấu chốt tốn tìm điều kiện (*) Từ dễ dàng quan sát đặc tính khơng âm vế trái phương trình thứ hai hệ ban đầu x 1 x 1 x 2 Các bạn ý đánh giá quen thuộc x y y 1 y 1 y Tuy nhiên dấu đẳng thức không xảy ra, nên hệ đề vô nghiệm x y 12 1, Bài toán Giải hệ phương trình x; y x x y y 1 Lời giải Điều kiện x x 1 x 1 x Từ phương trình thứ hệ ta có y 1 1 y 2 y Để ý 1 x x x x 2 y y y 1 Do x x y y 1 x Hệ có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa y 1 Kết luận hệ ban đầu có nghiệm x 1; y 1 2 x y 1, Bài tốn Giải hệ phương trình x x y y Lời giải x; y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 1 x x x x 2 Điều kiện x 1; y Từ x y 4 y x 2 y 1 y 2 x 1 x 1 Do x x y y Dấu đẳng thức xảy 1 y y Cặp giá trị không thỏa mãn hệ ban đầu Kết luận vô nghiệm x 12 y 12 1, Bài tốn Giải hệ phương trình x x y y Lời giải Điều kiện x 4; y 1 x; y x 12 1 x 2 x x Từ phương trình thứ hệ ta có y 1 y x y y 1 x Do x x y y Dấu đẳng thức xảy y 1 Kết luận hệ có nghiệm x; y 0; 1 Nhận xét Mở đầu thí dụ giới thiệu tài liệu, tác giả đào sâu toán mức độ đơn giản với hệ hai phương trình, phương trình hệ có dạng hữu tỷ, khuynh hướng chủ yếu tìm điều kiện, tìm miền giá trị ẩn theo điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai hay phân tích đẳng thức Phương trình chứa cịn lại hệ đa dạng, hình thức phức tạp bao nhiêu, khó quan sát để đánh giá nhiêu, trước hết xin đề cập đến ước lượng túy, đánh giá đơn giản, chưa sử dụng tính chất hàm số, bất đẳng thức, cực trị 2 x x y y, Bài toán Giải hệ phương trình x; y 3 x 1 x y y Lời giải Điều kiện x3 Phương trình thứ hệ tương đương với x 1 1 x 2 x 2 x 1 y 1 y 1 1 y 0 y Phương trình thứ hai hệ trở thành x 1 x3 y 1 Rõ ràng với điều kiện x 1 x3 2; y 1 2 y 1 y x 1 x3 y 1 y 2 x Khi (1) có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa y 1 Thử lại, kết luận hệ phương trình cho có nghiệm x; y 0;1 x y y x Bài tốn Giải hệ phương trình y y 12 x y 1 x x Lời giải x; y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ Điều kiện 6 x 12 Phương trình thứ biến đổi x 12 2 x 1 x 2 x 1 y 1 1 y 2 y 4 y 1 y 1 1 12 x 1.3 3, x 1;3 y 1 1 12 x y 1 x x Khi y 1 x x 0, x 1;3 x Do phương trình thứ hai hệ có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa y 1 Thử lại vào hệ ban đầu, nghiệm đúng, kết luận nghiệm x; y 3; 1 Nhận xét Đối với toán 6, để chặn miền giá trị biến, phương cách sử dụng đẳng thức sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai theo ẩn x y Tìm miền giá trị biến y thơng qua phương trình bậc hai ẩn x : x x y y 1 Biệt thức y y 1 4 y y Điều kiện có nghiệm x 4 y y y y 2 y Tìm miền giá trị biến x thơng qua phương trình bậc hai ẩn y : y y x x 2 Biệt thức 16 x x 1 4 x x 12 4 x 1 x 3 2 Điều kiện có nghiệm y 4 x 1 x 3 x 1 x 3 1 x 2 4 x 1 y 36, Bài tốn Giải hệ phương trình x x x 17 y x y Lời giải Điều kiện x ; y x; y 4 x 12 36 x 1 3 x 4 x Từ phương trình thứ hệ ta có 2 2 y 0 y 9 y 36 y Vậy ta có x 4; 2 , y 2; 4 Phương trình thứ hai hệ tương đương với 3 x x 2 17 y x y x x 1.1 1, x 4; 2 Rõ ràng 3 x 17 y x y 0, y 2; 4 , x 4; 2 x Do (1) có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, tức y x 2 1 17 y x y Thử lại trực tiếp, thỏa mãn hệ đề Kết luận tập nghiệm S 2; x x y 3, Bài tốn Giải hệ phương trình x x 17 x y y Lời giải Điều kiện x 17 Phương trình thứ hệ biến đổi trở thành x; y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 3 x 2 x x 12 x 1 y 2 2 y y 9 x 2 2 Dễ thấy x x x x x x x 1 x 1 1, x x x 17 x 4, x 3;1 Do x x 17 x y y 2 6 y y 5 0, y ; 3 Phương trình thứ hai hệ có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, hay x 1; y Cặp giá trị thỏa mãn hệ ban đầu nên nghiệm hệ x y x 5, Bài tốn Giải hệ phương trình 2 6 y x 17 y x y 24 Lời giải Điều kiện x 4; y x; y 3 x x x Phương trình thứ hệ biến đổi x y y y 4 y 3 Vậy ta thu điều kiện x 4;5 , y ; Để ý 2 3 y 4, y ; ; x 1, x 4;5 y x 24 2 3 17 y x y 0, x 4;5 , y ; 17 y x y 24 24 2 y Do phương trình thứ hai hệ có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, tức x Thử lại, kết luận hệ phương trình cho có nghiệm x; y 5; 2 Bài tốn 10 Trích lược câu 3, Đề thi tuyển sinh Đại học; Mơn Tốn; Khối A khối A1; Đề thức; Kỳ thi tuyển sinh năm 2012 x3 3x x x 22 y y y, Giải hệ phương trình x; y x y x y Lời giải Điều kiện x; y Hệ phương trình cho tương đương với x3 3x x 12 x 12 y y y 12 y 12 1 x x y y 4 x 1 12 x 1 y 13 12 y 1 1 2 1 1 2 x y 2 2 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 1 1 x x 1 x x x 2 2 2 Chú ý 1 1 y 1 y y y y 2 2 2 3 3 Xét hàm số f t t 12t ; t ; f t 3t 0, t ; , hàm số liên tục, nghịch biến 2 2 Khi 1 f x 1 f y 1 x y x y Phương trình thứ hai hệ trở thành 1 3 1 1 3 x x x ; x; y ; , ; 2 2 2 2 2 2 Kết luận hệ phương trình cho có hai cặp nghiệm Nhận xét Để giải toán trên, bạn học sinh cần nhận đồng điệu hai ẩn x y phương trình thứ nhất, cố gắng thêm bớt tạo tương đồng hàm số kiểu f u f v u v Tuy nhiên để có điều hàm số cần đơn điệu (cùng đồng biến nghịch biến miền xác định) Kết thu hàm số không cho phép điều f t t 12t ! Tuy nhiên để ý chút, từ phương trình thứ hai hệ suy miền giá trị x y, cách phân tích bình phương lời giải đây, bạn hồn tồn sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai sau Viết lại phương trình bậc hai dạng ẩn x, tham số y: x x y y 4 y y Điều kiện có nghiệm 4 y y y y y 2 Viết lại phương trình bậc hai dạng ẩn y, tham số x: y y x x 4 x x Điều kiện có nghiệm 4 x x x x x 2 x3 y 3x y 48 x y 100, Bài toán 11 Giải hệ phương trình x x y y Lời giải Điều kiện x; y Phương trình thứ hai hệ biến đổi x; y x 12 x 2 x 0 x x 1; y 1 4; 4 x 1 y 1 2 y 4 y y y 1 Phương trình thứ hệ trở thành x3 x 3x 51x 51 y y y 51y 51 2 3 x 1 51 x 1 y 1 51 y 1 1 Xét hàm số f t t 51t ; t f t 3t 51 t 17 0, t 4; 4 Hàm số liên tục nghịch biến miền 4; 4 nên 1 f x 1 f y 1 x y x y 2 Phương trình thứ hai trở thành y 3 y 1 y y y 1 2 (Vơ nghiệm) Kết luận hệ phương trình cho vô nghiệm CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ x x 14 y 3 y 13 , x2 4 y 3 4 Bài tốn 12 Giải hệ phương trình x2 y x y x; y Lời giải Điều kiện x 2; y 3 Phương trình thứ hai hệ biến đổi 2 x y x y x x y y x 1 y 1 x 12 x 2 x 1 x 2 y 1 y y 1 y 1 x x 0 x y y 0 y Phương trình thứ hệ tương đương với x 2 x y 3 y 3 4 x x x y 3 y y 3 x x 2 y y 3 1 Xét hàm số f t t 4t ; t 0; f t 3t 8t t 3t 0, t 0; Suy hàm số liên tục nghịch biến miền 0; Khi 1 f x2 f y x y x y x 1 y Thay vào phương trình thứ hai lại có y y 12 10 y y 39 39 y ; 10 10 y y 13 39 39 13 39 39 Từ đến nghiệm hệ x; y ; ; , 10 10 10 10 Nhận xét Bài toán số 12, dạng thức hàm số phương trình cịn lại tăng cấp so với motip phương trình đa thức bậc ba hai ẩn hệ phương trình câu 3, Đề thi tuyển sinh đại học Khối A khối A1 ; Kỳ thi tuyển sinh năm 2012 Các thức huy động chất ẩn giấu thông qua phép biến đổi đại lượng liên hợp, hàm số cần xét đơn điệu nghịch biến miền hạn hẹp, khơng điều kiện từ phương trình thứ hai, mà cịn lồng ghép điều kiện khơng âm ẩn hàm thức, bắt buộc cần xét điều kiện biến dựa vào phương trình thứ hai hệ (có thể dựa vào phân tích đẳng thức điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai đề cập), tác giả mong muốn bạn độc giả lưu ý 4 x 3 x y 1 y 15 x y 30, Bài tốn 13 Giải hệ phương trình 2 x y x y 4 Lời giải Điều kiện x 3; y 1 Phương trình thứ hai hệ tương đương x; y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 10 2 x x y y x y 3 x x 3 x 5 x 0 x y 3 y 3 y 6 y 0 y Phương trình thứ hai hệ trở thành x 3 x 15 x 3 y 1 y 15 y 1 x 15 x 3 1 Xét hàm số f t 4t 15t ; t 0; 2 f t 12t 30t 6t 2t 0, t 0; 2 Suy hàm số liên tục nghịch biến miền 0; 2 Khi 1 f x f y x y x y x y 4 y 15 y 1 Thế vào phương trình thứ hai ta có y y 3 y y y y 3 y 3;0 Đối chiếu điều kiện thu nghiệm y 0; x 2 x y 1 x y , Bài tốn 14 Giải hệ phương trình 10 y x 30 y x y x y y Lời giải Điều kiện y x; y 2 Phương trình thứ hệ biến đổi x; y x2 y2 x y x2 x y2 y x 1 x 2 x x 1 y 1 y 1 y 2 y 0 y x 3 x 1 x 4 y x 3 y 9 y 3 y 0 y Phương trình thứ hai hệ tương đương với y x y x y x 3 y 2 y 3 y 6 yx 5 x y 3 y 3 y 6 1 Xét hàm số f t t 5t ; t 0;3 f t 3t 10t t 3t 10 0, t 0;3 Suy hàm số liên tục nghịch biến miền 0;3 Do f yx f 3y y x 3y y x 3y x y Phương trình thứ hệ lại trở thành 2 2 2 y 1 y 1 y 5 y 1 y 2 y 2 5 y 22 y 22 11 11 11 y x 5 y 2 Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm Nhận xét Bài tốn số 14, xoay quanh motip tìm điều kiện nghiệm biến x y tương tự tốn mở đầu tài liệu Khơng q khó bạn biến đổi quy dạng tương đồng hàm số CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 118 Ngồi cịn triệt tiêu đại lượng M đưa phương trình đẹp mắt x 1 x 3y x 3x x 3x y x 1 x y x x y x 1 x y x Tuy nhiên x 3x x 1 x x 4 Miền giá trị biến x thuộc hai tập hợp rời nên gây bất lợi cho trình đánh giá Để co cụm miền giá trị bắt buộc cần có thêm yếu tố phương trình thứ hai Thí dụ xuất căn, phương trình đánh giá tạo miền đối lập x ; x 1; x 3; 3x 4; N k x x 2; N k x x ; N k x x Vấn đề tác giả xin đề cập sau Thay đổi theo hướng đa thức bậc ba có nghiệm hữu tỷ x 1 x 1 x 3y x 3y x3 x 11x 6; x x y x3 x2 5 x3 x x ; x x y x3 x; Khai thác miền giá trị x x3 x 11x x 1 x x 3 1 x x3 x x 1 x x x3 x x x 1 x x Các miền rời tỏ phức tạp, khơng có hỗ trợ điều kiện sau Dựa thử nghiệm bước đầu sử dụng đa thức bậc ba với nghiệm có hệ số thích hợp mục tiêu triệt tiêu đại lượng M x 1 x 3y x 3x y x 1 x y t x ax3 x x d Do nghiệm ấn định nên a d xác định đơn giản t x ax3 x 3x d a 1; f 1 d 5 a 2; f 1 d 6 a 3; f 1 d 7 Lưu ý trình chọn a d cần xác, khéo léo, tránh tạo đa thức hai nghiệm y y x x x y y , Bài tốn 158 Giải hệ phương trình x x x y y Lời giải y y x 0; x x y Điều kiện 2 x y 0; y Phương trình thứ hai hệ tương đương với x2 x x y x y x3 x2 x x x y x; y x3 x2 x CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 119 Rõ ràng x3 x x x 1 x x x 1 x 1 3 x Khi x x x x x 1 x x y y x x y y y Lại có x y y x y y y 1 dẫn đến y y 2x x2 x y y Phương trình thứ có nghiệm dấu đẳng thức xảy tức x y x3 x 3x y x y 1, Bài toán 159 Giải hệ phương trình y x y 3x y y Lời giải Điều kiện x y Phương trình thứ hệ tương đương với x; y Phương trình thứ hai trở thành y y x y 3x y x y 3x y x x 3x y 3x y x3 3x 3x x 3x y Dễ thấy x 3x y x 1 x 1 x x 4x y 3x y Lại có y 3x y x 4, x nên phương trình thứ hai có nghiệm x 3x y x y x Kết luận hệ có nghiệm x y y y x y y y x 1, Bài tốn 160 Giải hệ phương trình 2 2 y y y x x x x y Lời giải Điều kiện x y Phương trình thứ hệ tương đương với x; y y2 y x y 2x y y3 y y 1 y 2x y Rõ ràng y x y y 1 3 y 1 y Biến đổi phương trình thứ hai x x x y x y y y y 1 x 2x y Dễ thấy x x y y 1 y 1 0, y x 2x y x Phương trình thứ hai có nghiệm y y 1 x y y Thử lại, kết luận hệ ban đầu có nghiệm kể CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 120 xy x y xy x x y 1, Bài tốn 161 Giải hệ phương trình x 3 x y 1 y y Lời giải Điều kiện x ; y Phương trình thứ hệ tương đương với x y y x x x xy y y x; y 2 x y 2x 1 x y y 1 y 1 y Khi áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có x y 1 y y x 3y x y 1 y x y 1 y y 2 Phương trình thứ hai hệ có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa x y 1; y 3x x y 1; x y y 1 y 2x 1 Thử lại, kết luận hệ phương trình đề có nghiệm x y 2 Rõ ràng x y x x y 0, x 5 x3 x x y y, Bài toán 162 Giải hệ phương trình x; y 3 y 1 y x x Lời giải Điều kiện x y; x3 Phương trình thứ hệ tương đương với x2 x x y x y 5x3 x2 x x x y x3 x2 x Rõ ràng x3 x x x 1 x x 8 x Khi phương trình thứ hai tương đương với y y x3 x x3 x3 y x 1 Lại thấy x x3 x3 y x x x Phương trình thứ hai có nghiệm dấu đẳng thức xảy tức y x y 1 x y x Thử lại, kết luận hệ phương trình đề có nghiệm x y x y x y 3, Bài toán 163 Giải hệ phương trình 2 x y x y Lời giải x; y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 121 Điều kiện y Phương trình thứ hệ tương đương với x2 x y y y4 y x y y4 y y 1 y y y y4 y y 1 y Như 1 y y Phương trình thứ hai hệ tương đương với x x y y y x y 1 y y 1 x Rõ ràng y y Các dấu đẳng thức xảy x y y 1 y x Kết luận hệ phương trình có nghiệm x y x3 x x 1 3x y x y 2, Bài toán 164 Giải hệ phương trình x; y y 1 y y x 2 x Lời giải Điều kiện y x 0;3 x y Phương trình thứ hệ tương đương với x x x 1 3x y 3x y x x 3x x 3x y Ta có x 3x y x 1 3 x 1 x Phương trình thứ hai tương đương với y y y 1 y x 2 x y y y 1 y x y x y y x y 1 3y x Rõ ràng y y x 2 y 1 x y 1 x x y 1 3y x x Hệ có nghiệm tồn dấu đẳng thức xảy ra, tức x 3x y y 1 x Kết luận hệ phương trình ban đầu có nghiệm x y y xy x3 y x y x y , Bài toán 165 Giải hệ phương trình x3 xy y x Lời giải 5 x y 0;3 xy Điều kiện 2 y x Phương trình thứ hệ tương đương với x; y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 122 x xy y x y x y x y x3 x x x y 5x y x3 x2 x Rõ ràng có x3 x x x 1 x x x 1 x 1 x Sử dụng điều áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có xy xy x3 x3 xy y x xy x y x 2 3 xy 1; xy x3 Phương trình thứ hai có nghiệm dấu đẳng thức xảy tức x y 1 x y x y ; x Kết luận hệ ban đầu có nghiệm x y y2 y x y y x x2 , Bài tốn 166 Giải hệ phương trình x y x y y 3x y Lời giải Điều kiện y 0; x Phương trình thứ hệ tương đương với x; y x y x y x y y x x3 x2 x x2 x y y y y x x x3 x2 x x y y x x3 x2 x Ta có x3 x x x 1 x x 3 x Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân với phương trình thứ hai x3 3xy 4 x2 y 4x x2 y 2 3x y y 4 3x y y Thu x 3xy 3x y y x y 2 x y 3x y y 4 2 x y y 3x y 2 2 x y 2 y x ; x y Phương trình thứ hai hệ có nghiệm dấu đẳng thức xảy tức x y 1 2 x y 3x y y Kết luận hệ phương trình có nghiệm kể 3x x x y y y xy 7, Bài toán 167 Giải hệ phương trình 17 x y 10 x y x x Lời giải x; y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 123 2 x y;3 y x Điều kiện 17 x y 10 Phương trình thứ hệ tương đương với x xy y x x x y x y 3x3 x x x y x 2x y 3x3 x x Rõ ràng có x x x x 1 x x x Khi áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân cho phương trình thứ hai x 17 x y 10 17 x y 10 x 17 x y 10 9x y 2x y 5x x2 y 5x Dẫn đến 17 x y 10 x y x x x x 17 x y 10 1; x x Phương trình thứ hai có nghiệm x 3x y y 1 x y x x y Kết luận hệ phương trình ban đầu có nghiệm x y 2 x y x y, Bài toán 168 Giải hệ phương trình x; y 2 x y 1 x3 y x Lời giải Điều kiện x 0; y Phương trình thứ hệ tương đương với 2 x y y x x y y x y x xy x x x x y y x3 x x x y x3 x Rõ ràng ta có x3 x x 1 x x x Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có x y x3 y x x x3 x y 1 2 2 x y Phương trình thứ hai hệ có nghiệm dấu đẳng thức xảy nghĩa x y x y x Đối chiếu thử lại ta nghiệm hệ x y x y xy 4, Bài tốn 169 Giải hệ phương trình y 1 3x xy x Lời giải x; y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 124 Điều kiện x ; y Phương trình thứ hệ tương đương với x y xy x 3x x y x 3x x Rõ ràng x 3x x 1 x x 4 Kết hợp điều kiện ta x x x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy thu y 1 y 1 3x x y x xy 2x 2x4 2 2 3x x y Hệ có nghiệm dấu đẳng thức xảy hay x y x Đối chiếu thử lại ta nghiệm hệ x y 5 x3 x xy y 11, Bài tốn 170 Giải hệ phương trình x; y 2 x y y x y x y x Lời giải Điều kiện x y 0; x Phương trình thứ hệ tương đương với 3x y x x y x x 11 x x x y x y x3 x 11 2 x 2x y x3 x 11 Rõ ràng x3 x 11 x 1 x x 11 x Phương trình thứ hai hệ tương đương với x3 xy xy 3x x xy x y x x x y y x y y x3 3x 3x Vì x x 2x y y x y y x 1 x 1 2x y y x Phương trình có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa x y 1 x x y Đối chiếu thử lại ta nghiệm hệ x y 3 y 3x y , Bài toán 171 Giải hệ phương trình x x3 y y 3x Lời giải x; y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 125 Điều kiện x ;3 x y Phương trình thứ hệ tương đương với 3 3x y 3x y 3x x y 3x x x x x 1 x 1 Ta thấy 3x 0 x x 1 x Kết hợp điều kiện x x Phương trình thứ hai trở thành 3x y 3x y x x Rõ ràng 3x y 3x y x 1 x 0, x x 1 x 3x y x y Phương trình thứ hai có nghiệm đồng dấu đẳng thức xảy nghĩa x 3x y Đối chiếu thử lại ta nghiệm hệ x y 3 y 2x 2x y , Bài tốn 172 Giải hệ phương trình x x; y 2 2 x y x y x xy Lời giải Điều kiện x y; x Phương trình thứ hệ tương đương với x y x x y x 3x x 2 2 2x y x 3 x 1 3x x x 3 x3 1 x x Kết hợp với x x x Phương trình thứ hai tương đương với x y x y x xy Rõ ràng x y x y x xy y Vì x 2 x y x y x2 x y x y x Hệ có nghiệm tất dấu đẳng thức xảy x y x y 0 x Nghĩa x y x y 1 x Đối chiếu điều kiện ta nghiệm x y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 126 x 5x y y x , Bài toán 173 Giải hệ phương trình 2 x x y y 1 x y x; y Lời giải 5 x y; x y 5 x y; x Điều kiện 2 2 2 x y ; x y 2 x y 0; x Phương trình thứ hệ tương đương với 5x y x x x 1 x x x3 5x Rõ ràng x x 0 0 x x x x2 x Chú ý điều kiện x nên thu x x x Phương trình thứ hai hệ tương đương với x2 x 5x y 5x y x2 5x x 5x x 2x y y 2x y y 2x2 y x y Lại có 2x y2 y x x 1 0; 2x y2 2x y2 2x y2 2 y 2x y2 y 2x2 y 2x y x x 1 2x2 y 2x y2 0 0, x 2x y2 y x Phương trình thứ hai có nghiệm dấu đẳng thức xảy tức x y 1 y x x Đối chiếu điều kiện thử lại ta nghiệm x y 2 y x 2y 2y x y , Bài toán 174 Giải hệ phương trình y x y x2 x2 x; y Lời giải 2 y x y Điều kiện 2 x 2 y x y 2 x Phương trình thứ tương đương với y x2 y y x2 y y3 y y y x2 y y3 y y y y Nhận thấy CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 127 y 1 y y y y y3 y 0 0 y y 2y y y y y3 y y y 1 y Chú ý điều kiện y y Phương trình thứ hai tương đương với y x y x2 y x2 x2 y x2 x y x2 x2 2 y x2 2 x2 Rõ ràng y x2 x 0; x y x2 x 2 y x2 2 x2 y x2 y 1 y 1 y x2 x2 y x2 x2 0 1 0, y nên (1) có nghiệm dấu đẳng thức xảy y x2 x 2 y x x x Nghĩa y x 0; y y 1 2 y x y y x y Đối chiếu điều kiện thử lại ta nghiệm x y 17 x y x y x 3x , Bài tốn 175 Giải hệ phương trình x y y y x3 y x Lời giải 3 2 x y ; x 2 x y ; x Điều kiện 3 2 y y x 2 y y x Phương trình thứ hệ tương đương với x y y x y y x3 x x Vì x3 y y x3 y y x3 x x x; y 17 x 17 x nên x 1 x3 11x 17 x 17 17 x x3 x 17 2x 9x 6x 0 0 x x x x3 11x 17 x 17 Lại có điều kiện x , dẫn đến x x , x x Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân AM – GM cho phương trình thứ hai x3 y y y x x3 y y y x3 y4 y4 x4 2 Hệ có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa ta có hệ điều kiện sau CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 128 2 x y x3 y 3 2 y y x y y x x y 1 x x 1; y 2 x3 y y 2 x y y Đối chiếu điều kiện thử lại ta nghiệm x y y xy x x x y y, Bài toán 176 Giải hệ phương trình x; y x y 3x y x 3x y Lời giải 2 x y Điều kiện 3x y Phương trình thứ hệ tương đương với x y x xy y x x y x3 x x x y x x y x x xy y x3 x x 2 x y x x y x3 x2 x Khi rõ ràng x3 x x x 1 x 3x 5 x Sử dụng điều này, kết hợp bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân cho phương trình sau x x y 3x y 2x y x 2x y 3x y 3x y x 2 Phương trình thứ hai hệ có nghiệm tồn dấu đẳng thức xảy ra, tức 2 x y x y x 2x y x x y y 1 x Đối chiếu điều kiện thử lại ta nghiệm x y 17.6 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 129 Lời kết Bài toán số 176 toán cuối tài liệu Lý thuyết giải hệ phương trình chứa phần thứ 7, chủ đạo kết hợp phép thế, ẩn phụ, tính chất đơn điệu hàm số với kỹ thuật liên hợp – phân tích chặn miền giá trị, đánh giá túy tổng hịa tồn kỹ giải phương trình vơ tỷ, nhiên chút chia sẻ phần tác giả Kiến thức hàm số, đồ thị hàm số kỹ thuật giải phương trình bậc cao, vơ tỷ khác hẳn bạn học sinh thục, đáng lưu ý hết cách tìm miền giá trị biến, mấu chốt điểm nhấn tốn, địn định tính đơn điệu hàm số xét miền, tất nhiên điều không đơn giản, bạn thấy, địi hỏi quan sát tinh tế, chút tư duy, liên hệ, biến đổi đại số chút bất đẳng thức – cực trị vừa đủ! Mong muốn bạn độc giả ý kỹ lưỡng rút nhiều kinh nghiệm quý báu cho thân Tác giả chúc bạn học sinh, thầy cô giáo toàn thể bạn độc giả sức khỏe, vui vẻ, bình tĩnh, tự tin, bứt phá, đánh bật đề thi, đạt kết cao kỳ thi tương lai tới, chúc cho cô bé yêu thương đạt điểm 10 tối đa mơn Tốn kỳ thi THPT Quốc gia năm 2015 “Học, học nữa, học mãi” (Vladimir Ilyich Ulyanov) Người ta thường nói “Học để biết, học để làm việc, học để chung sống” Tuy nhiên với người học chưa đủ, quan trọng sống, điều vơ khó Sinh lớn lên đất nước nhiều đau thương, sục sơi dịng máu chảy khơng thay đổi được, thừa hưởng chế độ y tế giáo dục để phát triển, ân huệ cha mẹ, hệ trước, non sông ban tặng cho công dân Tư tưởng cá nhân ln tồn người, phân công xã hội tất yếu nảy sinh năng, thường vượt qua ngưỡng cửa tập thể, dễ lầm đường lạc lối Thiết nghĩ sống tốt, hữu ích, đạo lý, khoan dung, khơng dẫm đạp đồng bào, diệt trừ ác độc, để an toàn thoải mái cần chiếm lĩnh khoa học, vững bước làm chủ tri thức, làm chủ tương lai, mang sức trẻ ý chí kiên cường xây dựng tường thành bảo vệ mẹ già, vợ dại, thơ trước dịm ngó ngoại bang Quyết tâm xây dựng tổ quốc Việt Nam hịa bình, cơng chính, dân chủ, vững bền, giàu mạnh, sánh vai nước khu vực, Liên Bang Nga, Cộng hòa Hồi giáo Iran, CHDCND Triều Tiên, hay CHND Trung Hoa láng giềng chẳng hạn Facebook Mâu Thuẫn – Yêu Thương Thủ đô Hà Nội, ngày 09 tháng 05 năm 2015 HẾT CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 130 III MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Nâng cao phát triển toán 8, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Nâng cao phát triển toán 9, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Tốn nâng cao Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999 Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006 Tài liệu chuyên toán: Đại số 10 – Bài tập Đại số 10 Đồn Quỳnh – Dỗn Minh Cường – Trần Nam Dũng – Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010 Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến số tác giả; NXB Giáo dục Việt Nam; 2009 Tuyển tập toán hay khó Đại số Nguyễn Đức Tấn – Đặng Đức Trọng – Nguyễn Cao Huynh – Vũ Minh Nghĩa – Bùi Ruy Tân – Lương Anh Văn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 10 Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập – tập Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phạm Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 1997 11 Bài giảng chuyên sâu Toán THPT: Giải toán Đại số 10 Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Mơn; NXB Hà Nội; 2011 12 Phương pháp giải phương trình bất phương trình Nguyễn Văn Mậu; NXB Giáo dục Việt Nam; 1994 13 Toán bồi dưỡng học sinh phổ thông trung học – 1; Đại số Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Nguyễn Đạo Phương – Lê Tất Tôn – Đặng Quan Viễn; NXB Hà Nội; 1991 14 Phương trình hệ phương trình khơng mẫu mực Nguyễn Đức Tấn – Phan Ngọc Thảo; NXB Giáo dục Việt Nam; 1996 15 Chuyên đề bồi dưỡng Toán cấp ba; Đại số Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997 16 Giải toán Đại số sơ cấp (Dùng cho học sinh 12 chuyên, luyện thi đại học) Trần Thành Minh – Vũ Thiện Căn – Võ Anh Dũng; NXB Giáo dục Việt Nam; 1995 17 Những dạng tốn điển hình kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng; Tập Bùi Quang Trường; NXB Hà Nội; 2002 18 Ơn luyện thi mơn Tốn THPT theo chủ đề; Tập một: Đại số lượng giác Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011 19 Phương pháp giải toán trọng tâm Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011 20 Các giảng luyện thi mơn Tốn; Tập Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất; NXB Giáo dục Việt Nam; 1993 21 500 Bài tốn chọn lọc Đại số - Hình học 10 Lê Hồnh Phị; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 2012 22 Tam thức bậc hai ứng dụng CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐỒN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 131 Lê Sĩ Đồng – Lê Minh Tâm; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003 23 Chuyên đề Bất đẳng thức ứng dụng đại số Nguyễn Đức Tấn; NXB Giáo dục Việt nam; 2003 24 23 Chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp ; Quyển Nguyễn Văn Vĩnh – Nguyễn Đức Đồng số đồng nghiệp (NKTH); NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 25 Phương pháp giải toán bất đẳng thức cực trị Nguyễn Văn Dũng – Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quốc Anh; NXB ĐHQG Hà Nội; 2011 26 Các giảng bất đẳng thức Cauchy Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2008 27 Cẩm nang luyện thi Đại học Ứng dụng hàm số Giải toán Đại số Giải tích Huỳnh Nguyễn Luân Lưu – Nguyễn Thị Duy An; NXB ĐHQG Hà Nội ;2014 28 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Mai Xn Vinh – Phạm Kim Chung – Phạm Chí Tuân – Đào Văn Chung – Dương Văn Sơn ; NXB ĐHQG Hà Nội; 2015 29 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trung học sở, Đại số Nguyễn Thị Thanh Thủy – Phạm Minh Phương – Trần Văn Tấn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014 30 Chuyên đề Đại số Trung học sở Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014 31 Hệ phương trình phương trình chứa thức Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2006 32 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT Chuyên trực thuộc đại học THPT Chuyên tỉnh thành 33 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT hệ đại trà địa phương toàn quốc 34 Đề thi học sinh giỏi mơn tốn khối đến khối 12 cấp 35 Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng mơn Tốn (chính thức – dự bị) qua thời kỳ 36 Đề thi Olympic 30 tháng Toán học khối 10, khối 11 tỉnh miền Trung Nam (1995 – 2013) 37 Các tạp chí tốn học: Tạp chí Tốn học tuổi trẻ; Tạp chí Tốn tuổi thơ THCS; Tạp chí Kvant 38 Các diễn đàn toán học: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net; Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro; 39 Một số trang mạng học tập thông qua facebook; twiter; CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 8) _ 132 THÂN THỂ TẠI NGỤC TRUNG TINH THẦN TẠI NGỤC NGOẠI DỤC THÀNH ĐẠI SỰ NGHIỆP TINH THẦN CÁNH YẾU ĐẠI CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN HOÀNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP