Hệ phương trình sử dụng liên hợp

TÀI LIỆU THAM KHẢO TỐN HỌC PHỔ THƠNG 1988 Gac Ma  14.03 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TẠM THỜI (PHẦN 2) TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH CHỦ ĐẠO: SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TẠM THỜI ĐỐI VỚI BÀI TOÁN CĂN BẬC HAI  XÁC ĐỊNH NGHIỆM – LIÊN HỢP HẰNG SỐ  ĐÁNH GIÁ – XỬ LÝ HỆ QUẢ SAU LIÊN HỢP  BÀI TOÁN NHIỀU CÁCH GIẢI CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK); GACMA1431988@GMAIL.COM (GMAIL) THỦ ĐÔ HÀ NỘI – MÙA THU 2014 LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ “Non sơng Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay không, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với cường quốc năm châu hay khơng, nhờ phần lớn công học tập em” (Trích thư Chủ tịch Hồ Chí Minh) “Chân phải bước tới cha, Chân trái bước tới mẹ, Một bước chạm tiếng nói, Hai bước tới tiếng cười…” (Nói với – Y Phương) CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH Trong chương trình Tốn học phổ thơng nước ta, cụ thể chương trình Đại số sơ cấp, phương trình bất phương trình nội dung quan trọng, phổ biến nhiều dạng toán xuyên suốt cấp học, phận thường thấy kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức phong phú, đa dạng Mặc dù đề tài quen thuộc, thống khơng mà giảm phần thú vị, nhiều toán tăng dần đến mức khó chí khó, với biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT Ngồi phương trình đại số bậc cao, phương trình phân thức hữu tỷ phương trình chứa (cịn gọi phương trình vô tỷ) đông đảo bạn học sinh, thầy giáo chun gia Tốn phổ thơng quan tâm sâu sắc Chương trình Tốn Đại số lớp THCS bước đầu giới thiệu phép toán với thức, kể từ thức xuất hầu hết vấn đề đại số, hình học, lượng giác xun suốt chương trình Tốn THPT Sự đa dạng hình thức lớp tốn thức đặt yêu cầu cấp thiết làm để đơn giản hóa, thực tế phương pháp giải, kỹ năng, mẹo mực hình thành, vào hệ thống Về để làm việc với lớp phương trình, bất phương trình vơ tỷ ưu tiên khử giảm thức phức tạp toán Phương pháp sử dụng biến đổi tương đương – nâng cao lũy thừa phương pháp bản, đơn giản nhất, bạn bước đầu làm quen thông qua tiêu mục Hầu hết phương pháp khác nhiều quy dạng nâng lũy thừa, điều quan trọng trình thu gọn toán Tiếp tục dựa tảng ấy, mang tính kế thừa phát huy thêm bậc, phương pháp sử dụng Đại lượng liên hợp – Trục thức – Hệ tạm thời phương pháp mạnh có nhiều ưu việt, có hiệu lực với nhiều lớp phương trình, bất phương trình Tiếp theo phần 1, tài liệu trân trọng giới thiệu gửi tới toàn thể bạn đọc Lý thuyết sử dụng đại lượng liên hợp – trục thức – hệ tạm thời (phần 2) Nội dung chủ đạo ví dụ minh họa mở đầu cho toán liên quan đến xác định nghiệm (trường hợp nghiệm nguyên – nghiệm hữu tỷ), kỹ thuật liên hợp số xử lý, đánh giá phương trình hệ quả, tạm thời dừng chân với lớp toán chứa bậc hai Tài liệu nhỏ viết theo trình tự kiến thức tăng dần, phù hợp với bạn học sinh THCS (lớp 9) ôn thi vào lớp 10 THPT, bạn học sinh THPT thi học sinh giỏi Toán cấp luyện thi vào hệ đại học, cao đẳng, cao tài liệu tham khảo dành cho thầy giáo bạn u Tốn khác I KIẾN THỨC – KỸ NĂNG CHUẨN BỊ Kỹ nhân, chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi phân thức đại số thức Kỹ biến đổi tương đương, nâng lũy thừa, sử dụng lượng liên hợp, phân tích đẳng thức Nắm vững lý thuyết bất phương trình, dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai Thực hành giải phương trình, bất phương trình bậc hai, dạng đại số bậc cao, phân thức hữu tỷ Sử dụng thành thạo ký hiệu logic phạm vi tốn phổ thơng CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ II MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC Bài tốn Giải phương trình x  x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với  x   x  x   x  3x   x  3x   x    x   x  3x  x  x  Kết luận phương trình cho có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x  Nhận xét x   x  x     x   x  x     Hai trường hợp vô nghiệm Hơn x  nghiệm phương trình Kết luận phương trình cho có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x  x    x 1 x     x 1 x 1       x  1   0 x 1 x3 2 x3 2  x 1 1   0, x  nên 1  x    x  x 1 x3 2 Kết luận phương trình cho có nghiệm Nhận xét Bài toán mở đầu toán giải phương trình thức bản, quen thuộc với học sinh lớp THCS Các bạn trình bày toán theo ba định hướng, lời giải sử dụng biến đổi tương đương thong thường, lời giải sử dụng đánh giá – bất đẳng thức với ý phán đoán nghiệm x  Trọng tâm tài liệu xoay quay lời giải 3, sử dụng đại lượng liên hợp với thao tác tiền phương nhẩm nghiệm x  Chú ý đẳng thức a  b2 a  b2 a b   ab  ab ab Nhận xét Bài tốn Giải phương trình 3x   x    x   Lời giải 1 Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với 3x   x  12  3x  10 x   36  3x  10 x   23  x 23  23  x  x    x 1  2  10 x   49 x  322 x  529 16 x     x  482 x  481   Kết luận phương trình cho có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 3x    x     3x      x32   x  1 3x  3       x  1     1 x3 2 x3 2 3x    3x    0, x   nên 1  x    x  Ta có  3x   x3 2 Kết luận phương trình cho có nghiệm x  Nhận xét Bài tốn ngồi hai lời giải cịn lời giải sử dụng đánh giá nghiệm tương tự lời giải toán 1, tác giả xin khơng trình bày Phương án sử dụng biến đổi tương đương trường hợp hoàn toàn khả thi xem chừng cần làm việc với số “khủng bố”, khơng tỏ tối ưu Trong đó, phương án sử dụng đại lượng lên hợp phát huy tác dụng cho lời giải ngắn gọn, nhẹ nhàng   x   Bài toán Giải phương trình x    x  Lời giải Điều kiện  x  Phương trình cho tương đương với 4x      x   7  4x  4     4x  1    x   x  1 28      x  1     1 4x  1 1  x  4x  1 1  x  28 3  Để ý  0, x   ;  nên 1  x    x   4x   1  x 4  Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x    Bài toán Giải phương trình 17 x   17  16 x  11 Lời giải 17 Điều kiện  x  Phương trình cho tương đương với 6 17 x   17   17  16 x   17 17  x     x      x     17  16 x  16 x  16  6.16  17.6     x  1     1 x   1  17  16 x  x   1  17  16 x  6.16 17.6  17  Nhận xét   0, x   ;  nên 1  x    x  x   1  17  16 x 6  Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x  Nhận xét Rõ ràng tốn hình thức gọn gàng hệ số lớn, vơ hình chung tạo chướng ngại thao tác tính tốn chúng ta, chí dễ gây nản chí nhầm lẫn, đặc biệt sử dụng phương án biến đổi tương đương, nâng lũy thừa hồn tồn khơng phải phương cách tối ưu, dễ gây sức, cần bắp, guồng máy cấp độ phù hợp! Vì lý này, tiếp cận với phương trình vơ tỷ nói chung, bạn liên tưởng tới bước đốn biết nghiệm sử dụng đại lượng liên hợp hợp lý, giảm thiểu tính tốn cồng kềnh, nhọc nhằn Sau tiếp tục làm việc với toán chứa ba thức độc lập trở lên, thực tình mà nói, lớp tốn có muốn nâng lũy thừa “lực bất tòng tâm”   CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ Bài tốn Giải phương trình x  x   x   13 Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x 1     4x     x    x3 2   x  4  x  1 x 1   0 x 1 4x   x3 2     x  1      1 4x   x32  x 1   0, x  nên (1) có nghiệm x  Rõ ràng  x 1 4x   x3 2 Kết luận phương trình ban đầu có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x  Xét x  , phương trình cho nghiệm Xét x   x  x   x      13 , loại Xét x   x  x   x      13 , loại Kết luận phương trình cho có nghiệm x  Nhận xét Nhận thấy x  nghiệm phương trình ta chủ định sử dụng đại lượng liên hợp với số dương a, b, c sau  x a2    4x   b   x   c  a  2b  3c  13 2 x  a2  4x   b  3 x   c      a  2b  3c  13  x a x3 c 4x   b f  x g  x h  x     a  2b  3c  13  x a x3 c 4x   b  f 1  g 1  h 1  1  a   b   c  a     Để x  nghiệm phương trình a  2b  3c  13   a  2b  3c  13  b     c  a  0; b  0; c  a  0; b  0; c  Từ bạn có phương án liên hợp lời giải phía Bài tốn Giải phương trình x  x   x   x    Lời giải Điều kiện x  Dễ thấy x  thỏa mãn phương trình cho Nếu  x   x  x   x     , trường hợp vô nghiệm Nếu x   x  x   x     , trường hợp vơ nghiệm Do phương trình cho có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x 1 x 1   x 1  x    x 1     x     x  1    1  1 x 1 x3 2 x32   x 1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 1    0, x  nên (1) có nghiệm x  x 1 x3 2 Kết luận phương trình cho có nghiệm x  Nhận xét Lời giải toán sử dụng phương pháp đánh giá – bất đẳng thức ngắn gọn đẹp mắt Tuy nhiên để làm điều này, độc giả cần có nhìn lạc quan mắt bất đẳng thức, khả liên hệ tổng hợp kiến thức mức độ cao, rõ ràng khơng thể nhanh chóng tích lũy sớm chiều mà hình thành dần dần, bước, tiệm cận Lời giải nội dung trọng tâm tài liệu, sử dụng đại lượng liên hợp – trục thức nhẹ nhàng, Dễ thấy phép liên hợp không xảy trực tiếp với mà có xuất số vắng, để thao tác bạn bắt buộc phải đoán nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ phương trình Xin phân tích sơ lược sau Giả sử có nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ Với điều kiện x  ta phán đoán nghiệm từ trở lên, nghiệm phương trình “đẹp đẽ” biểu thức thức có giá trị số phương (bình phương số ngun), khai phương thức thu số nguyên Thử trực tiếp ta thấy x  nghiệm phương trình ban đầu Như ta định phương án liên hợp để tạo lập nhân tử dạng k  x  1 , chí f  x   x  1 Làm để xử lý vấn đề này, câu hỏi ý nghĩa băn khoăn bạn học sinh bước đầu làm quen với phương trình dạng a  b2 a  b2 Bài toán chứa thức bậc hai nên trước hết xin nhắc lại phép liên hợp a  b   ab  ab ab Như xảy hai phương án liên hợp, thực thông qua cách thêm bớt hạng tử sau Phương án x 1  x    x 1  x 1 x 3 x 1 x 1   x 1     x 1   x 1 x3 2 x 1 x3 2 Dễ thấy     x  1    1   x3 2   x 1 Đại lượng liên hợp thiết lập nhân tử chung, nhiên [*] phương trình tích “thù địch” vế phải khơng 1 0, gây cản trở khó khăn cho Mặt khác biểu thức f  x     cịn có x 1 x32 dạng hiệu mẫu thức, ý tưởng đánh giá [*] tắt trứng nước Đó chưa kể đến trường hợp x  nghiệm hiệu f  x  tồn phép biến đổi phía vơ nghĩa, phân thức khơng xác định! Rõ ràng phương án bị phá sản hoàn toàn Phương án x 1 x  3 x 1 x    x 1     x 1  x 1 x3 2 x 1 x 1     x     x  1    1    x 1 x3 2 x32   x 1 Phương trình [**] lúc trở thành phương trình tích với vế Các biểu thức mẫu thức xác định, yên tâm thực Hơn dễ dàng đánh giá biểu thức phía ngoặc vng, mà không cần tư nhiều, để chặt chẽ bạn nên lồng ghép điều kiện xác định ban đầu sau 1    0, x  x 1 x3 2 Với thủ pháp này, hy vọng bạn cảm thấy nhẹ nhàng với toán CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ Bài tốn Giải phương trình x   3x   x    x   Lời giải Điều kiện x   Phương trình cho tương đương với x    3x    x     3x   x2 2x    0 x  1 3x   2x   1     x  2      1 3x   2x     x  1   0, x   nên 1  x    x  2  Nhận xét x  1 3x   2x  1 Kết luận phương trình cho có nghiệm x  2  Bài tốn Giải phương trình 17 x    x  x   48  x    Lời giải Điều kiện   x  Phương trình cho tương đương với 17 x   17.3    x  x     17     x    1  x  2x 1   17  x    x  4 2x  0 x   1  x 2x 1  17     x  4      1 2x 1    x   1  x 17   Ta có   0, x    ;5 nên 1  x    x   x   1  x 2x     Kết luận phương trình cho có nghiệm x     Bài toán Giải bất phương trình x    x  x    x    Lời giải Điều kiện   x  Bất phương trình cho tương đương với 2x 1     4x  6x    3    2x 1     4x  6x     x  3  4x  6 6x  0 2x     4x 6x   10     x  3      1 6x     2x   1  4x 10 3  7   0, x    ;  nên 1  x    x   2x     4x 6x    4  Ta có    CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _  7 Kết luận bất phương trình có nghiệm S   ;   4 Bài tốn 10 Giải phương trình x   x   x   x   44  x   Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x    x    x    x   28   x  1     x 3 3 7  2x     x  6  x  12  x6   0 x  1 x3 3 2x   14     x  6    0 2x    x3 3  x  1 14 Ta có    0,   nên 1  x    x  x  1 x3 3 2x   So sánh với điều kiện ta kết luận nghiệm x   Bài toán 11 Giải phương trình 3x   x     3x   x 1  x   Lời giải Điều kiện   x  Phương trình cho tương đương với 3x    x   2.3  3.2   3x  4.2   x   3x          x      3x    x   5x  5  x  3  5x  5 3x     0 3x   x     3x   x 10 20     x  1       1 x     3x   x   3x   10 20  9 Chú ý    0, x    ;  nên 1  x    x   x     3x   x 3x    5 Kết luận phương trình có nghiệm x   Bài toán 12 Giải bất phương trình x   x    x   x  10  x   Lời giải Điều kiện   x  Bất phương trình cho tương đương với 4 x   4.2  x   5.3    x    x  4     x2 2 5  x  2 x22       4x 1     x    2x   x  8   x  2 4x 1  1  x   x  4 1  2x 0 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 10 20 14     x  2     0 4x     x   2x   x22 20 14   Ta ý    0, x    ;3  x2 2 4x     x   2x   Do 1  x    x  Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm S   2;3 1 Bài tốn 13 Giải bất phương trình x   x   3x   17  x  10  3x  Lời giải 10 Điều kiện  x  3 x   3.2  x   4.3  x    17  17  x   10  3x  3       x 1    x  3  2x  6 Bài toán 14 Giải phương trình 2x         3x    17   x   10  3x   3x    17  x  3   3x   0 x   1   x  10  3x 18 17 18     x  3        1 2x   3x   1   x  10  3x   x 1  18 17 18  10  Để ý     0, x   ;  nên 1  x    x   x 1  2x   3 x   1   x  10  3x 3  8  Kết luận bất phương trình đề có nghiệm S   ;3 3  x 1   2x     x    x   x   x   x  25 Lời giải Điều kiện x  2 Phương trình cho tương đương với x2 25   x    4x    x  2 x2    x  2  x2 2 x7 3     x  2      1 x7 3  x22      0, x  2 nên (1) có nghiệm x  x2 2 x7 3 Kết luận phương trình ban đầu có nghiệm x  Nhận xét Nhận xét x  nghiệm phương trình cho Do ta chủ định liên hợp với số dương a b x   a  x   5b  x  a  5b  25 Dễ thấy x   a2 x   b2    x  a  5b  25  x2a x7 b f  x g  x    h  x  x2a x7 b CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 105 Bài tốn 218 Giải phương trình 3x  x   x   x  x  15  x   Lời giải  x  1  x  Phương trình cho tương đương với x3  x2  3x  x    x     x  1  x  x    x  1 3x  x     2x   3x  x   x 1   3x  6 x2  x    1  x  x   2 2x   Xét hai trường hợp xảy 3x  6 x2  x   3x     2 , x   2x   3x  x   Điều kiện    3x  3x  3x  6x2  x   3x      2   3x  x   2 2 2x   3x  x   Do (1) ln vơ nghiệm Kết luận tốn có nghiệm x  3x  Bài tốn 219 Giải phương trình x  3x  x    x3  x  x  x   Lời giải Điều kiện 8  x  3  x  Phương trình cho tương đương với x3  x  x  x  3x   x     x  1  x  x    x  1 x  3x     x 8 3 x  x  3    x 1  x4 2x2  x      x  x  3  2 x    1 Xét hai trường hợp  x   , kết hợp điều kiện thu x  Khi x4 x4 x6 2x2  x    1   x2  3x  2 x8 3 x  x  3   x    x  4  8  x  4 Khi x4 2x2  x   1 , x   8;  x8 3 x  x  3  Vậy phương trình (1) ln vơ nghiệm Kết luận phương trình đề có nghiệm x  Bài tốn 220 Giải phương trình x  3x  x  x  x3  x  22 x  x   CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 106 Lời giải Điều kiện x  8  x  Phương trình cho tương đương với x  x  22 x  30 x  3x   x  x   2 x  3x  x  8x  x  x  22 x  30    x  3x  x2  8x  x  1 x    x  1 x    x  1  x  x  30      x2  3x  x2  8x  x 1   x4 x9 x  x  30   x2  8x   x  3x  Xét hai trường hợp theo điều kiện xác định  Nếu x   x   0; x   , (1) vô nghiệm 1 x  x  x  30 x  30  x  x x  x  30       6 x  3x  x2  8x   Nếu x  8  x   0; x   , x4 x9 x4 x 8 1      x  3x  x2  8x  x  3x  x2  8x  x2  8x  3 x4 x9 x  x  30  x    14 Hơn   , x   , suy (1) vô nghiệm 6 Vậy tốn ban đầu có nghiệm x  Nhận xét Bài toán 220, nguyên hai biểu thức dấu có dạng tam thức bậc hai, sau sử dụng đại lượng liên hợp thu phương trình hệ chứa đồng thời hai nhị thức bậc nhất, việc đánh giá theo điều kiện xác định bước đầu gặp chút khó khăn, để chúng se duyên với bắt buộc cần có ơng tơ bà nguyệt, điểm nhấn nằm thao tác tách phân thức 1 x4 x9 x4 x 8      2 2 x  3x  x  8x  x  3x  x  8x  x  8x  3 Rõ ràng bạn bo bo giữ thành trì Quy Nhơn kiểu Nguyễn Nhạc mau chóng thất bại, quân chúa Nguyễn Phúc Ánh theo gió Nam lầm lũi chiếm, kết cục bạn khơng có chỗ chơn x4 x9 x4 x9 x  x  30     x9 , x  8? x  3x  x2  8x  x  3x  x2  8x  x  Nếu không thực phương án se duyên, tất yếu phải chia vùng miền  9  x  8  x  9 Bài tốn 221 Giải phương trình x  x  x  15  x  77 x  12  x   Lời giải Điều kiện 15  x  8  x  Phương trình cho tương đương với x  77 x  82 x2  8x  x 1 x  77 x  82 x  x   x  15      12 12 x  15  x2  8x  CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 107 x  x  1 x  82   x 1   x9 x  82    12 x  15  x  8x  12  x  x  x  15  Xét hai trường hợp theo điều kiện xác định  Nếu x   x   , x9 x  x  39 x  39 x  43 x  82        12 12 12 12 x  15  x2  8x   x  1 x      1 Nếu x   15; 8  x   0; x  15  nên x9 x8 1 1 7 x  75 x  82          12 12 x  15  x  15  4 12 12 x2  8x  x2  8x  x2  8x  Tóm lại (1) vơ nghiệm, tốn có nghiệm x   Bài toán 222 Giải bất phương trình x  3x  2 x   x3  15 x  13x  40  x   Lời giải Điều kiện   x  3  x  Bất phương trình cho tương đương với x  15 x  13x  x  3x   2 x     x  1 x  3x  x  15 x  13x     2x   x  3x     x  1 x     x2  3x  2  x  1 2x     x  1  x  21x  8  x  21x   x4   x  1      1 2x    x  3x   Nhận xét với điều kiện xác định x   , suy x4 x  3x  x  x  21x       x  3x   6 2x   x  3x  2 x  21x       1  x    x  2x   x2  3x  Kết luận bất phương trình ban đầu có nghiệm x  x4 Bài tốn 223 Giải bất phương trình x  x   x  24  x  x  x    24  x   Lời giải Điều kiện 24  x  7  x  1 Bất phương trình cho tương đương với     x2  8x     x2  8x  9 x  8x     x  24   x3  x  x  17  x  1 x  24    x  1  x  x  17     x  9   x  1     x  x  17    x  24   x  8x    1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 108 Xét hai trường hợp kết hợp điều kiện xác định o Nếu x    x  9  x  9   x    x  10  x  10   x  x    x  x  17 x  24  x  8x   Lúc 1  x    x   9  x   x  9    x   x  24  x2  8x   Trong xét hàm số f  x   x  x  17; x   24; 9   f  x   Min f  x   f  9   17  o Nếu x    x  9  x   24; 9   x 24; 9   x  9  x  x  17 , (1) nghiệm x  24  x  8x   Kết luận bất phương trình cho có nghiệm S   24; 7    1;1 Nhận xét Bài toán 223 tốn kết hợp tổng hịa sử dụng đại lượng liên hợp – trục thức nghiệm, đánh giá túy kéo theo điều kiện xác định công cụ đạo hàm – khảo sát hàm số bậc THPT Để sáng tạo lớp toán theo ý đồ này, khơng q khó, tác giả xin chia sẻ số quy trình sau Trước tiên cần lựa chọn hai thức, theo thứ tự biểu thức dấu có dạng tam thức bậc hai nhị thức bậc f  x  ; g  x  , biểu thức vế phải có dạng đa thức bậc ba, đảm bảo sau tách biệt nghiệm quy Lúc  tam thức bậc hai h  x  , hàm ý đòi hỏi sử dụng đánh giá khó nhị thức bậc nhất, kể có kèm theo điều kiện Sau thực liên hợp ta có hệ phương trình dạng ax  b f  x  p  c g  x  q  h  x  Lưu ý điều kiện xác định thức, yếu tố định thành bại Để vượt qua đơn vị trọng điểm xông pha, cần bố trí x1  x0 với x1  ax  b  0; x0  g  x   Nếu bạn mềm lòng để xuất kẽ hở x1  x0 địch cơng phá ngay, nguy hiểm quan đầu não, cụ thể toán 221, miền xác định D : 24  x  7  x  1 nên  x  9  x  25 ax  b ax  b thay   2 f  x  p f  x  p x  8x   x  8x   Bước tiếp theo, để có điều kiện đánh bộc phá đồi A1 kiểu Trung đoàn 174, đánh quỵ các điểm trọng yếu địch, làm cho chúng khơng gượng gậy được, khơng tìm lối thoát, lưu ý cần chọn tam thức bậc hai khỏe mạnh, cường tráng, bao hàm toàn tình xảy ra, cụ thể phải trinh sát trận địa giai đoạn  x  9  x  9    x    x  10 x  24  x2  8x   4  x  9  x  9    1  x  24  x2  8x   Bây phải chọn tam thức đảm bảo h  x   x  10; h  x   với điều kiện xác định kéo theo ban đầu Có vơ vàn lựa chọn cho chúng ta, đem cháu x  10 cộng thêm đại lượng khơng âm đè chết số thành công tức khắc h  x   x  10   x  x  1   x  3x  12 h  x   x  10   x  x  1   x  x  12 h  x   x  10   x  x  3   x  14 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 109 Tuy nhiên việc kéo theo điều kiện chưa sử dụng triệt để, gây lãng phí, thất tài sản nhà nước, cần phải phát hiện, tổ chức phê bình, kiểm điểm, trỉ trích, cảnh cáo, đấu tố, lên án tra tấn, biệt giam, cao tử hình Cần phải có trách nhiệm cao với thứ vạch ra, thứ thừa hưởng Trong tốn 223 tác giả khéo léo sử dụng điều kiện thông qua quan sát x  9  x  10  x  10   x  x    x  x  17 x  9  x  x  17   x  x  16  x  x    16  Lời giải tốn 223 sử dụng cơng cụ đạo hàm – khảo sát hàm số tìm giá trị nhỏ hàm số bậc hai, chẳng qua ngụ ý đao to búa lớn mà thôi, để q vị có nhìn khách quan, dễ hình dung hơn, thực bản, sử dụng đồ thị parabol lớp 10 THPT tính cực trị kiểu lớp 12 THPT đến kết Lời khuyên dành cho bạn nhỏ tuổi nên dùng đánh giá túy x  x    0, x  9 , tất nhiên vận dụng điều dễ dàng tạo lập vế phải hệ so với việc quy xây dựng hàm số theo nguyên hàm Bài toán 224 Giải bất phương trình x3  x  x  40 x  x   x  14  12  x   Lời giải Điều kiện 14  x  7  x  Bất phương trình cho tương đương với x  x  x  44  x  1 x     x  14   12  x    x  10 x  22  x  x  16 x2    12  x  1 x    x  14   x 8 x  10 x  22    x  2    1 0 12 x  14   x  6x    Xét hai trường hợp kết hợp điều kiện xác định o Nếu x   x8 x  x  11 x  11   x  x    18 x  10 x  22       12 12 12 x  14  x2  6x   Khi 1  x    x  o Nếu x    x  8  x   14; 8  x8  1  x   x  14  4 x2  6x   x  10 x  22 x  10 Xét hàm số f  x   ; f  x   0, x   14; 8 ta có 12 12 1 f  x   Min f  x   f  8    x 14; 8 x  10 x  22   Do (1) vơ nghiệm 12 x  14  x2  6x   Kết luận tốn có nghiệm x  Ta có x8  Bài tốn 225 Giải phương trình x  x   x  x3  x  x Lời giải Điều kiện  x   x  Phương trình cho tương đương với  x   CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 110  x  1 3x     x2  x   x   x3  x2  x   x  1 3x     x  1 x  1   x  1 3x     x 1  x  x2  5x  6 x 1 x 1   x  x   x  1 x 1 x   6x 1    x2  x  x 1   x  1 x    1 6x 1 0  x2  x Xét x     x   x 1  x  1 3x    Xét x    x   6x 1  x  1 3x     6x   x   x2   1  x 1  x2  6x x 1 Suy phương trình (1) vơ nghiệm Vậy tốn có nghiệm x  Bài tốn 226 Giải phương trình x  3x   x  7 x  1  x    x  x   x  3  Lời giải Điều kiện 8  x  3  x  Phương trình cho tương đương với x2  3x    x    x3  x  x   x  3x  x   x3  x  x  2     x  3x   x  3x    x    x  x  x  12  x  1 x 8 3   x  1  x  x  12  x  3x  x 1     x  4   x  x  12  x  3x  x8 3 1 5  Nhận xét x  x    x    , x   nên 2   x  4 5  x  4    x4  x   x  x  12 23 x8 3 x  3x  2  x  4 5  8  x  4        x   x    x  x  12 x8 3 x  3x  Do phương trình (1) vơ nghiệm Kết luận tốn có nghiệm x  Bài toán 227 Giải phương trình x  x   x   3x  19 Lời giải Điều kiện x thực Phương trình cho tương đương với  x   CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 111     x    3x3  x  x2     x  1    x  1  3x3  x  x 3 2 x 8 3  x  1 x  1  x  1 x  1     x  1  x  x   2 x 32 x 8 3 x 1     x  1  x  1   3x  x  1 2  x   x 8 3 Nhận xét x  x    x  1  x   0, x   Xét trường hợp xảy  Nếu x  1  x     x  1 x2    x  1  x  1  x2    x  1  , dẫn đến (1) vô nghiệm  x  1  x  1   x   x   3x 1 23 x 3 2 x 8 3 Vậy phương trình (1) ln ln vơ nghiệm Bài tốn có nghiệm x   Nếu x  1  x      Bài toán 228 Giải phương trình x   x  3x  x3  x  3x  24 Lời giải Điều kiện x   x  Phương trình cho tương đương với     x  3x   x3  x  3x  20 x2     x  16  x    x  3x  x 9 5  x   x    x3  x  3x  20 x  3x   x   x  1  x  x  x       x 9 5 x  3x  x      x  4  x  1   x  x  1  x   x  3x  2 1  Nhận xét x  x    x  1   0, x  ; x  x    x    , x   2  Các trường hợp xảy  x  4  x  1 o x  4  x   0; x      x2   x2  3x   x  4  x  1 8 x  4 o 4  x  1  x   0; x      3 x2   x  3x   x   x    x  x  1  x  x  o x  1  x   0; x     x  4   x  1   x    x  1  35 x2   x  3x   x   x   2x   x2  2x  Như phương trình (1) luôn vô nghiệm Kết luận tốn có nghiệm x  CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 112 Nhận xét Bài tốn 228 có đột phá nho nhỏ, nâng cấp hai thức trở thành tam thức bậc hai, dừng chân thức luôn dương với giá trị thực x, khơng cần tìm điều kiện xác định ax  b cx  d   h  x Hệ sau thực liên hợp sau g  x  q f  x  p d b Việc kết hợp điều kiện xác định nghiệm x   ; x   không đạt mong muốn, chúng c a phức tạp, co cụm vào miền Chi Lăng – Xương Giang nhỏ hơn, chúng chạy lung tung, quấy phá nhân dân, buộc phải dàn trải quân, tung hết hỏa lực xét toàn trường hợp, dĩ nhiên, bám sát chúng tạo điều kiện thuận lợi d b Các bạn nên xét theo nghiệm x   ; x   so với nghiệm x  0; x  a c  x  4  x  1 o Đánh tan đơn vị yếu nhé: x  4  x   0; x      x 9 5 x2  3x  o Đánh giá chặt đơn vị thứ hai:  x  1  x  4 8 x  4 4  x  1  x   0; x       x4 35 x2   x  3x  o Đánh giá chặt đơn vị thứ ba:  x  4  x  1  x    x  1 x  1  x   0; x        x   x   2x  2 3 x 9 5 x  3x  Để chặn đứng đà tiến quân hai đơn vị mạnh này, cần chọn tam thức cho bao hàm đè chết đơn vị trưởng chúng, tức h  x   x  5; h  x   x  Có nhiều chiêu trị ác độc đây, tốn 226 cịn nhẹ nhàng lắm, cịn tha khơng giết tù binh, lựa chọn h  x   x  x    x    x  x    x  x  1 Các bạn cứng rắn kết hợp điều kiện xác định tồn phương trình, chẳng hạn h  x   x    x   x  3x   x  x      2 h  x   x  x   x    x  x  1  x  h  x   x    x   x  3x    3x  x      2 h  x   3x  x   x    3x  x    x  Và cịn ác độc kết hợp với điều kiện hai đơn vị mạnh thơi, tức x  4; x  3x  2 h  x   x    x  3x    x    x  Xông pha mạnh dạn  2 h  x   x   x   x  x   x  Thực làm “Chim sẻ bắt ve, không ngờ bọ ngựa đứng đằng sau” hay chí “Dã tràng xe cát Biển Đơng” hóa h  x   x    x  x   rồi, đâu cần điều kiện x  4; x  3x  không bạn h  x   x   3  x  3x   x  4  3x  x    Cách điệu chút  2 h  x   3x  x   x   3x  x  Vụ thành cơng khơng có kẽ hở 3x  x   0, x   lại có 3x  x   0, x   Tương tự bạn xây dựng mn vàn toán khác với cấp độ mạnh hơn, ý đồ thâm thúy bắt buộc nhọc lòng nhiều hơn, đừng có kiệt sức bắp Good luck CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 113 Bài tập tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực x   x2  4x   x     x   x   x  x  10  x    x   x  x   x    x   x  x  21  x    x   x3  x  x   x    3x   x3  3x  x  x     x   x3  x    x   x  x  49  x    10 17 x   289 x  17 x  21  x    11 x   x  x  x  15  x   12 x  12 x  x  24  x   x   13 x   x3  x  32 x  39  x   14 x   x  15 x  34 x  23  x   15 x   x3  13x  29 x  103  x   16 x   x3  x  x   x   17 x   x  10 x3  x  x   x   18 x   x  x  x  12 x  13  x   19 x   x  x3  x  x  13  x   20 2 x   3x   x    x   21 x  x   x    x  15  x   x    x  1  3x   x    x   22 x   x   x   x  16  x  100  23 x   3x   x   x  16   x   25 3x   x   x  x   x   26 x    x  x  3x   x   27 x    x  x  x   x   28 x  x   x   x   x   29 x   x   x   x   30 x  16  x   3x   x   31 x3  10  x3   x   x   32 x   x  x    x  x   24 x  x   x2  2x CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 114  x   33 x  x   3x  x  34 x    x  2x   2x2  9x   x    x   36 x   x   x  x   x   37 x   x  13x  36   x   x   38 x   12  x  x3  3x  x  x   39  x  x   x   x  x  10  x   40  x  x   x   x  x  20  x   41 2 x   3x    x  x  x  17  x   42 x    x  x   x  3x  x   x   43 x    x  3x  21x  x  26  x   44 x   x   x   x3  3x  14  x   45 x   x   3x   x  x  3x   x   46 3x  x   x  x   x   x   47  x  1  3x   x   x  12 x  22 x  13  x   48 x   x   2 x   x3  x  17 x   x   49 x   x   2 x   x  x  x  20  x   50 x   x   x  x  x   x   51 x   2 x   x   x3  3x  10  x   52 x   x   x  x  11x3  12 x  x   x   53 x   x   x5  x  x3  x  3x   x   54 x   x  x  x   x   55 x   2 x   x  x  x    x   35 x    x  x  x  10 56 1 2x   1 x2  x 1 57 x   2  x  1  x5  3x  x  x  58 3x   x  3x   x  3x  x  12 x  32 x  31 59 x   x    x  x  3x  x  35 x  25 60 x   x   x  x5  x  x  29 x  236  x   61 x   3x   x   62 3x   3x   x  16 63 x   x   x  12 64 x   x  x  x   x    x    x    x    x    x    x    x   CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 115 Giải phương trình bất phương trình sau tập số thực  x   x  x  1  x  x  x  x   x  3x    x   3x  x   x   x  x  3  x   x  x   x    x  1 x    x   x  x   x     10  x  2 x   x  3x  3  x   x3   3x  3x  x    x    17  x  x  x  x   x  3x    x3  12 x  x   x   10 x  x    x  3x  x   x    11 x  x  8  x3  x  x   x   16  10  x  x3  x 12 x   x   x3  3x  3x  13  x  1 3x    x3  x  x  x     x   15 3x  x  10 x    x  x   16 x  x  12 x  18   x  x   17 x  3x  x   x  x  x   x   18 x   x   3x3  x  x    15  x   14 x3  x  12 x  46  10  x x2   x2  3x 1  x   x3  x  x  20 20  x  1 3x    x  x  x  x  19 21 x  x   x  24  x  x  x  23 22 23 24 25 26  x    x   2 x  5x   x   x3  x  x 3x  x   x     x   x  3x  x   11   x  1 3x    x7 3x  x  x  x  3x  x  1 x  x  1  x  x  3x    x  3x3  x  x  1 1  x    x    x   CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 116 III MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Nâng cao phát triển toán 8, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Nâng cao phát triển toán 9, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Toán nâng cao Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999 Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006 Tài liệu chuyên toán: Đại số 10 – Bài tập Đại số 10 Đoàn Quỳnh – Doãn Minh Cường – Trần Nam Dũng – Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010 Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến số tác giả; NXB Giáo dục Việt Nam; 2009 Tuyển tập tốn hay khó Đại số Nguyễn Đức Tấn – Đặng Đức Trọng – Nguyễn Cao Huynh – Vũ Minh Nghĩa – Bùi Ruy Tân – Lương Anh Văn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 10 Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập – tập Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phạm Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 1997 11 Bài giảng chuyên sâu Toán THPT: Giải toán Đại số 10 Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Mơn; NXB Hà Nội; 2011 12 Phương pháp giải phương trình bất phương trình Nguyễn Văn Mậu; NXB Giáo dục Việt Nam; 1994 13 Toán bồi dưỡng học sinh phổ thông trung học – 1; Đại số Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Nguyễn Đạo Phương – Lê Tất Tôn – Đặng Quan Viễn; NXB Hà Nội; 1991 14 Phương trình hệ phương trình khơng mẫu mực Nguyễn Đức Tấn – Phan Ngọc Thảo; NXB Giáo dục Việt Nam; 1996 15 Chuyên đề bồi dưỡng Toán cấp ba; Đại số Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997 16 Giải toán Đại số sơ cấp (Dùng cho học sinh 12 chuyên, luyện thi đại học) Trần Thành Minh – Vũ Thiện Căn – Võ Anh Dũng; NXB Giáo dục Việt Nam; 1995 17 Những dạng tốn điển hình kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng; Tập 1;2;3;4 Bùi Quang Trường; NXB Hà Nội; 2002 18 Ơn luyện thi mơn Toán THPT theo chủ đề; Tập một: Đại số lượng giác Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011 19 Phương pháp giải toán trọng tâm Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011 20 Các giảng luyện thi mơn Tốn; Tập Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất; NXB Giáo dục Việt Nam; 1993 21 500 Bài toán chọn lọc Đại số - Hình học 10 Lê Hồnh Phò; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 2012 22 Tam thức bậc hai ứng dụng CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 117 Lê Sĩ Đồng – Lê Minh Tâm; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003 23 Chuyên đề Bất đẳng thức ứng dụng đại số Nguyễn Đức Tấn; NXB Giáo dục Việt nam; 2003 24 23 Chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp ; Quyển Nguyễn Văn Vĩnh – Nguyễn Đức Đồng số đồng nghiệp (NKTH); NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 25 Phương pháp giải toán bất đẳng thức cực trị Nguyễn Văn Dũng – Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quốc Anh; NXB ĐHQG Hà Nội; 2011 26 Các giảng bất đẳng thức Cauchy Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2008 27 Cẩm nang luyện thi Đại học Ứng dụng hàm số Giải tốn Đại số Giải tích Huỳnh Nguyễn Ln Lưu – Nguyễn Thị Duy An; NXB ĐHQG Hà Nội ;2014 28 Tư logic tìm tịi lời giải Hệ phương trình Mai Xuân Vinh – Phạm Kim Chung – Phạm Chí Tuân – Đào Văn Chung – Dương Văn Sơn ; NXB ĐHQG Hà Nội; 2015 29 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trung học sở, Đại số Nguyễn Thị Thanh Thủy – Phạm Minh Phương – Trần Văn Tấn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014 30 Chuyên đề Đại số Trung học sở Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014 31 Hệ phương trình phương trình chứa thức Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2006 32 Tam thức bậc hai ứng dụng Lê Sĩ Đồng – Lê Minh Tâm; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003 33 Chuyên đề Bất đẳng thức ứng dụng Đại số Nguyễn Đức Tấn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003 34 Ôn thi vào lớp 10 THPT Chun; Mơn Tốn Dỗn Minh Cường – Trịnh Hồi Dương – Trần Văn Khải – Đỗ Thanh Sơn ; NXB Giáo dục Việt Nam ; 2013 35 Tài liệu chuyên toán THCS; Toán 9; Tập 1: Đại số Vũ Hữu Bình – Phạm Thị Bạch Ngọc – Đàm Văn Nhỉ ; NXB Giáo dục Việt Nam ; 2012 36 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT Chuyên trực thuộc đại học THPT Chuyên tỉnh thành 37 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT hệ đại trà địa phương toàn quốc 38 Đề thi học sinh giỏi mơn tốn khối đến khối 12 cấp 39 Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng mơn Tốn (chính thức – dự bị) qua thời kỳ 40 Đề thi Olympic 30 tháng Toán học khối 10, khối 11 tỉnh miền Trung Nam (1995 – 2013) 41 Các tạp chí tốn học: Tạp chí Tốn học tuổi trẻ; Tạp chí Tốn tuổi thơ THCS; Tạp chí Kvant 42 Các diễn đàn toán học: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net; Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro; 43 Một số trang mạng học tập thông qua facebook; twitter; CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 118 THÂN THỂ TẠI NGỤC TRUNG TINH THẦN TẠI NGỤC NGOẠI DỤC THÀNH ĐẠI SỰ NGHIỆP TINH THẦN CÁNH YẾU ĐẠI CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ĐẠI LƯỢNG LIÊN HỢP – TRỤC CĂN THỨC – HỆ TẠM THỜI (PHẦN 2) _ 119 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM TRUNG ĐOÀN TRẦN NHẬT DUẬT; QUÂN ĐOÀN BỘ BINH