Chứng tỏ hàm số ft đồng biến trên khoảng 0;+∞ phương trình ft = 0 nếu có nghiệm trên Khoảng 0;+∞ thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất.. Từ đó suy ra hệ phương trình đă cho nếu có nghiệm x0, [r]
(1)BÀI TẬP : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH( SỬ DỤNG ĐẠO HÀM) Bài 1: Giải phương trình 2 + 32 = x + x +1 + x + x x Giải: Ta có f ( x) = x + x + x tăng trên R, nên phương trình tương đương f (2 x ) = f ( x + 1) ⇔ x = x + Hàm số g ( x) = x − ( x + 1) xác định trên R g / ( x) = x ln − ⇒ g / ( x) ≥ ⇔ x ≥ log (log e ) Vậy phương trình có nhiều nghiệm trên (− ∞ ; log (log e) ) v (log (log e) ; + ∞ ) Thử trực tiếp tìm hai nghiệm là x = ; x = Bài 2: Giải phương trình log ⎛⎜ x − x − + x + − x − ⎞⎟ = x−2 x−1 + x+3−4 x−1 −1 − ⎝ ⎠ Giải : Điều kiện x ≥ Đặt t = x − x − + x + − x − − ≥ (chứng minh) phương trình tương đương log (t + 1) = t − ⎧5 t = y + ⎧⎪ ⎧5 t = t + 5t = y + ⇔t=0 ⇔⎨ y ⇔⎨ t ⇔ ⎨ ⎪⎩5 − y = y − t (*) ⎩5 = t + ⎩ y=t ⇔ x − x −1 + x + − x −1 −1 = ⇔2≤ x≤5 Bài 3: Giải phương trình x= 13 x − x + 24 x − Giải : ⇔ x − x − x + 12 x − = Xét hàm số y = x − x − x + 12 x − ⇒ y / = x − 12 x − x + 12 Lập bảng biến thiên, suy hàm số có trục đối xứng x =1 Do đó đặt x = X + , ta có phương trình ⎡ x = ± − 11 X − 8X + = ⇔ ⎢ ⎣⎢ x = ± + 11 Bài 4: Giải phương trình ( ) (1 + cos x) + cos x = 3.4 cos x Giải : Đặt cos x = y ( ⇔ (1 + y ) + Đặt f ( y ) = −1 ≤ y ≤ y ) = 3.4 y 3.4 y ln 4.4 y / − y − ⇒ f ( y ) = −1 2 + 4y + 4y ( ) Lop12.net (2) ( f / ( y ) = ⇔ 16 ln 4.4 y = + y ) Đây là phương trình bậc hai theo y , nên có không quá nghiệm Vậy theo định lý Roolle phương trình f ( y ) = có không quá nghiệm , y = là nghiệm phương trình f ( y ) = π 2π Suy phương trình có nghiệm x = k 2π , x = + kπ , x = ± + k 2π Ta có y = , y = Bài 5: Giải phương trình log 2008 4x + = x − 3x − x + x +1 Giải : 4x + 2008 x + x +1 = ⇔ x + x + = x + vì hàm số f ( x) = x.2008 x tăng trên R 2 +2 x x + x +1 2008 Giải phương trình x − x − = ⇔ u − 3u − u ≥ phương trình có nghiệm (0,2) π Đặt u = cos t < t < ⇒ cos 3t = 2 Suy phương trình có nghiệm x = ± cos π Bài 6: Giải phương trình ⎛5⎞ cos x.⎜ ⎟ ⎝2⎠ sin x ⎛5⎞ = sin x.⎜ ⎟ ⎝2⎠ cos x Giải : Cosx = và sinx = không là nghiệm Xét x ≠ sin x ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⇔⎝ ⎠ sin x kπ cos x ⎛5⎞ ⎜ ⎟ =⎝ ⎠ cos x ⎛5⎞ ⎜ ⎟ Xét hàm số f (t ) = ⎝ ⎠ t t Suy sin x = cos x ⇔ x = t < , t ≠ Hàm số f (t ) nghịch biến π + kπ Bài 7: Giải phương trình ( x + 2) + log Giải : Đk x + > [ x + 4x + 2x + = 2x + ] ⇔ ( x + 2) + + log ( x + 2) + = 2 x + + log 2 x + Đặt f (t ) = t + log t (t > 0) Tương tự Lop12.net (3) Phương trình có nghiệm x = −1 Bài 8: Giải phương trình sin 1975 x − cos1975 x = sin 2007 x − cos 2007 x Giải : sin 1975 x − = cos1975 x − 2007 2007 sin x cos x sin x = ; cos x = không là nghiệm phương trình Đặt hàm số f (t ) = t 1975 − t ∈ (−1 ; 0) ∪ (0 ; 1) t 2007 Ta có f / (t ) = 1975t 1974 + 2008 > nên hàm số tăng trên khoảng t t ∈ (−1 ; 0) : f (t ) nhận giá trị dương t ∈ (0 ; 1) : f (t ) nhận giá trị âm 2007 Nên f (sin x) = f (cos x) ⇔ sin x = cos x ⇔ x = π + kπ Bài 9: Giải phương trình ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ sin ⎜ sin x ⎟ − cos⎜ cos 2 x ⎟ = sin x sin 3x + cos x − cos x ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ Giải : ⎛π ⇔ cos⎜ cos ⎝2 ⎞ ⎛π ⎞ x ⎟ − cos⎜ cos 2 x ⎟ = cos x − cos 2 x + cos x − cos x ⎠ ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⇔ cos x − cos 2 x + cos⎜ cos 2 x ⎟ = cos x − cos x + cos⎜ cos x ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ Xét hàm số f (t ) = t − 2t + cos⎜ t ⎟ ≤ t ≤ f (t ) giảm ⎝2 ⎠ kπ f (cos 2 x) = f (cos x) ⇔ cos 2 x = cos x ⇔ x = ( Bài 10: Giải phương trình 2x − 34 x + 93 ) [ ] ( x − 34 x + 376) x − 34 x + 376 + log + ( x − 34 x + 376) = 35 Giải : Đặt t = x − 34 x + 376 (t ≥ 87) ⇔ t t log (2 t t ) = 35.2 283 = 256.256 log (256 t 256 ) Hàm số f (t ) = t t log (2 t t ) đồng biến trên [1; + ∞ ) ⇔ t = 256 ⇔ x − 34 x + 376 = 256 ⇔ x = 30 ; x = Bài 11: Giải phương trình ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ sin x + = cos x + log (4 cos x − cos x − 1) Giải : Lop12.net (4) Đặt y = cos x ( < y ≤ 1) = y + log (3 y − 1) Đặt t = log (3 y − 1) ⇔ t = y − ⇔ y −1 + (t ≤ 1) ⎧2 y = y + t − ⇔ y + y = 2t + t t = y − ⎩ Ta có hệ ⎨ Xét hàm số g (u ) = u + u , hàm số đồng biến trên R ⇔ t = 3t − ⇔ f (t ) = t − 3t + = Xét hàm số f (t ) = t − 3t + , sử dụng định lý Roll cm phương trình có không quá nghiệm Phương trình có nghiệm t = t = 3( L) , suy phương trình có nghiệm x = kπ Bài 12: Giải phương trình 64 x − 8.343 x −1 = + 12.4 x x −1 Giải : Đặt a = ; b = −4 x ; c = 2.7 x −1 ⎡ (a − b) + (b − c) + (c − a) ⎤ ⇔ a + b + c − 3abc = ⇔ (a + b + c) ⎢ ⎥ = ⇔ a+b+c = ⎣ ⎦ x x −1 ⇔ − + 2.7 = Xét hàm số f ( x) = − x + 2.7 x −1 ⇒ f / ( x) = −4 x ln + x ln 7 / Phương trình f ( x) = có nghiệm nên theo định lí Lagrange phương trình f ( x) = không có quá nghiệm phân biệt Phương trình có nghiệm x = ; x = Bài 13: Giải phương trình log 2+ ( x − x − 2) = log 2+ ( x − x − 3) Giải : Điều kiện x < −1 v < x ⇔ log 8+ ( x − x − 2) = log + ( x − x − 3) Đặt a = + và t = x − x − ⇔ log a +1 (t + 1) = log a t Đặt y = log a t y y ⎛ a ⎞ ⎛ ⎞ ⇔⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = ⇔ y = là nghiệm ⎝ a + 1⎠ ⎝ a + 1⎠ Phương trình có nghiệm x = ± 11 + Bài 14: Giải hệ phương trình Lop12.net (5) ⎧log x = log ⎪ ⎨log y = log ⎪ log z = log ⎩ ( ( ( ) z + 4) x + 4) y +4 Giải : Hệ phương trình không đổi qua phép hoán vị vòng quanh ⇒ x = y = z Từ đó ta có log x = log x + , đặt t = log x ( ) t t ⎛ 5⎞ ⎟ + 4⎛⎜ ⎞⎟ = ⇔ ⎜⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ t t ⎛ 5⎞ 1⎞ ⎛ Phương trình có đúng ngiệm t = hàm số f (t ) = ⎜⎜ ⎟⎟ + 4⎜ ⎟ = nghịch biến ⎝3⎠ ⎝ ⎠ Hệ phương trình có nghiệm x = y = z = 25 Bài 15: Giải hệ phương trình 1− x ⎧ ⎪ x − y = − xy − ⎨ 2 ⎪ 2 ( ) x y x x y x=0 + − + − ⎩ Giải : Từ phương trình (2) ⇔ x( xy + 2) = ⇔ y = 1− x x2 − 2x x2 1− x 1− x2 − 2x (1) ⇔ =2 x + + 2x 2x t xét hàm số f (t ) = t + ⇒ f / (t ) = t ln + > 2 1− x − 2x ⇔ = 2x 2x Hệ phương trình có nghiệm x = , y = − Bài 16: Giải hệ phương trình 2 ⎧ x2 +1 e y −x = ⎪ ⎨ y +1 ⎪⎩3 log ( x + y + 6) = log ( x + y + 2) + Giải : Đk x + y + > và x + y + > (1) ⇔ ln( x + 1) + x + = ln( y + 1) + y + Hàm số f (t ) = ln t + t t > đồng biến trên (0 ; + ∞) ⇔ x2 +1 = y2 +1 ⇔ x = ± y Nếu x = − y (2) ⇔ log (6 − x) = ⇔ x = ; y = −3 Lop12.net (6) Nếu x = y (2) ⇔ log ( x + 2) = log ( x + 1) = 6u u u ⎧⎪ x + = 2u ⎛1⎞ ⎛8⎞ ⇔ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1 ⇔⎨ 3u ⎪⎩ x + = ⎝9⎠ ⎝9⎠ u u ⎛1⎞ ⎛8⎞ Hàm số g (u ) = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ nghịch biến trên R, suy u = là nghiệm ⎝9⎠ ⎝9⎠ Hệ phương trình có nghiệm x = , y = − và x = ; y = Bài 17: Giải hệ phương trình ⎧ y2 + ⎪⎪2 x +1 − = 3( y − x ) ⎨ ⎪ ( x+ y ) + x+ y = ⎪⎩ 2 Giải : Đk x ; y ≥ ⎧⎪2 x +1 + x = ( y )2 +1 + y ⇔⎨ 2 ( x + y ) +1 + x + y = ⎪⎩ Hàm số f ( x) = x +1 + x đồng biến trên [0 ; ∞ ) ⎧ ⎧ ⎧ ⎪⎪ f ( x) = f (4 y ) ⎪x = ⎪⎪ x = y ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪x + y = ⎪y = ⎪ f ( x + y ) = f (1) ⎪⎩ ⎪⎩ ⎩ Bài 18: Giải hệ phương trình ⎧ cos x = log (8 cos z − cos x − 5) ⎪ ⎨cos y = log (8 cos x − cos y − 5) ⎪ cos z = log (8 cos y − cos z − 5) ⎩ Giải : ⎧8Z = X + X + ⎪ ⇔ ⎨ X = Y + 2Y + ⎪ 8Y = Z + Z + ⎩ ( ) t ⎛1 + 2t + đồng biến trên ⎜ ⎝2 ⇔ X = Y = Z = X + 2X + ⎡ X =Y = Z =1 Giải đồ thị ⇔ ⎢ ⎣ X = Y = Z = (l ) Hệ phương trình có nghiệm x = k 2π , y = l 2π Hàm số f (t ) = ( ) ⎤ ;1⎥ ⎦ ; z = m2π Lop12.net (7) Bài 19: Giải hệ phương trình ⎧log (1 + cos x) = log (sin y ) + ⎨ ⎩log (1 + sin y ) = log (cos x) + Giải : Đk cos x ; sin y ≥ ⇒ log (1 + cos x) + log (cos x) = log (1 + sin y ) = log (sin y ) Hàm số f (t ) = log (1 + 3t ) + log t ⇒ f / (t ) = + > đồng biến trên ∀t > (1 + 3t ) ln t ln ⇒ sin y = cos x Thay vào phương trình (1) ⇒ log (1 + cos x) = log (cos x) + Lập BBT hàm số g (v) = log (1 + 3v) − log v với v = cos x ∈ (0 , 1] phương trình có nghiệm cos x = , cos x = Bài 20: Giải hệ phương trình ⎪⎧ x y − y = 28 ⎨ 2 ⎪⎩ x y + xy + y = 18 Giải: Hệ tương đương ( ) ⎧⎪ y x3 − y = 28 (1) ⎨ ⎪⎩ y ( x + y ) = 18 (2) ⇒x> y>0 ⎡⎛ ⎤ ⎞ 34 (2) ⇒ x = − y ⎟ − y ⎥ = 28 (3) − y , thay vào (1) được: y ⎢⎜ ⎟ ⎢⎜⎝ y ⎥ y ⎠ ⎣ ⎦ ⎡⎛ ⎤ ⎞ Đặt t = y > , (3) trở thành: t ⎢⎜⎜ − t ⎟⎟ − t ⎥ = 28 ⇔ t − − t ⎢⎝ t ⎥ ⎠ ⎣ ⎦ ( ( ) ) + 28t = Xét hàm f (t ) = t − − t + 28t ta có: ( ) f '(t ) = 9t + 9t − t + 28 > 0, ∀t > Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (0;+∞) phương trình f(t) = có nghiệm trên Khoảng (0;+∞) thì nghiệm đó là nghiệm Từ đó suy hệ phương trình đă cho có nghiệm (x0, y0) thì nghiệm đó là nghiệm hệ Nếu chọn x = 2y thì từ (1) ta có: y = ⇔ y = ⇒ x = 2 Rỏ ràng cặp số (2 2; 2) thỏa (2) Vậy hệ có nghiệm (2 2; 2) Bài 21: Tìm số nghiệm nằm khoảng (0 ; 2π ) phương trình e cos x (8 sin x − 12 sin x + 10 sin x) = e + Giải : Lop12.net (8) Đặt t = sin x = y ≤ t ≤1 2 (1− t ) (8t − 12t + 10t ) Xét hàm số f ( x) = e ⇒ f / ( x) = e (1−t ) (24t − 24t + 10) − 2(8t − 12t + 10t ) = −2.e (1−t ) g (t ) Với g (t ) = 8t − 24t + 22t − ⇒ g / (t ) = 2(12t − 24t + 11) ⇔ e (1−t ) (8t x − 12t x + 10t ) = e + [ ] Lập bảng biến thiên, suy phương trình g (t ) = có nghiệm t = u , < u < − t 1- + g' g -5 _ t + f' f u 0 _ Lập bảng biến thiên hàm số f (t ) , suy phương trình f (t ) = có nghiệm t =v ,0<v<u Suy phương trình sin x = ± v có nghiệm phân biệt x ∈ (0, 2π ) Lop12.net (9)