tài liệu mot so hệ phương trình su dung tinh chat đơn điệu của hàm số

MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ _ Hệ phương trình nội dung trọng tâm, phổ biến chương trình đại số phổ thông Đặc biệt, phận hữu cấu trúc đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng mơn Tốn, thường bố trí vào câu đề thi thức năm gần (sau câu giải phương trình lượng giác) Để giải hệ phương trình có nhiều phương pháp, từ phương pháp đơn giản phép thay thế, cộng đại số, đến phép đặt ẩn phụ, hình học, đồ thị, hàm số, song hành kỹ phân tích nhân tử, kỹ giải phương trình bậc cao phương trình vơ tỷ tạo hệ thống tập vô đa dạng Trong phương pháp hương pháp sử dụng tính chất đơn điệu hàm số phương pháp mới, tích hợp nhiều kiến thức, kỹ năng, thực tế xuất đề thi tuyển sinh năm gần (2012 2013, mơn Tốn khối A) Có thể nói kỹ thuật đột phá, nhạy bén, kiến thức sử dụng bản, túy – tính chất đơn điệu hàm số, cho thu lời giải gọn gàng, đẹp mắt, bất ngờ Bài viết nhỏ nhằm chia sẻ với bạn số ý tưởng kinh nghiệm xử lý lớp toán thú vị Để mở đầu viết, xin trích lược câu 3, Đề thi tuyển sinh Đại học mơn Tốn khối A, Đề thức, năm 2012  x3  x  x  x  22  y  y  y,  Bà i tốn Giải hệ p hương trình   x; y    x  y  x  y   Lời giải Điều kiện x; y   Hệ phương trình cho tương đương với  x3  x  x   12 x  12  y  y  y   12 y  12   1 x  x   y  y   4   x  1  12  x  1   y  13  12  y  1 1  2   1  1  2  x     y    2  2   1      x     x   1  x      x    x 1   2      2 2     Chú ý     1 1   y    1  y      y    y     y      2  2 2    3  3 Xét hàm số f  t   t  12t ; t    ;  f   t   3t   0, t    ;  , hàm số liên tục, đồng biến  2  2 Khi 1  f  x  1  f  y  1  x   y   x  y  Phương trình thứ hai hệ trở thành 1  3 1 1 3 x  x    x   ;    x; y    ;   ,  ;   2 2 2 2 2 2 Kết luận hệ phương trình cho có hai cặp nghiệm Nhận xét Để giải toán trên, bạn học sinh cần nhận đồng điệu hai ẩn x y phương trình thứ nhất, cố gắng thêm bớt tạo tương đồng hàm số kiểu f  u   f  v   u  v Tuy nhiên để có điều hàm số cần đơn điệu (cùng đồng biến nghịch biến miền xác định) Kết thu hàm số khơng cho phép điều f  t   t  12t ! Tuy nhiên để ý chút, từ phương trình thứ hai hệ suy miền giá trị x y, ngồi cách phân tích bình phương lời giải đây, bạn hồn tồn sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai sau CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ MOON.VN     4 y  y  Điều kiện có nghiệm 4 y  y    y  y      y  2 Viết lại phương trình bậc hai dạng ẩn y, tham số x: y  y  x  x      4 x  x  Điều kiện có nghiệm 4 x  x    x  x      x  2 Mời bạn đến với tốn 2, trích lược Đề thi chọn Đội tuyển dự thi HSG Quốc gia Mơn Tốn, Trường THPT Chun, trực thuộc Đại học sư phạm Hà Nội, năm học 2010 – 2011  x  x   y  y    18, Bà i tốn Giải hệ p hương trình   x; y    2 14 x  y  xy  x  y    Lời giải Điều kiện x; y   Coi phương trình thứ hai hệ phương trình bậc hai ẩn x ẩn y, ta có  x   y   x  y  y  14  1  2  y   x   y  x  x  14     1 y         y 10 y    Điều kiện có nghiệm hai phương trình     3 x  16 x  20    x  10  3 Xét hàm số f  t   2t  3t  4; t    f   t   4t  3; f   t    t   10   7 Do hàm số f  x   x  x  4; x   2;  f  y   y  y  4; y  1;  liên tục, đồng biến  3  3 Suy f  x  f  y   f   f 1  Dấu đẳng thức xảy x  2; y  Hệ phương trình đề có nghiệm Nhận xét Đối với tốn này, việc phân tích bình phương phương trình hai trở nên khó khăn (khơng phải thực được), có tương tự việc tìm giá trị nhỏ tam thức bậc hai hai ẩn x y Rõ ràng chọn phương án chơng gai hơn, sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ẩn x ẩn y Sau xử lý triệt để miền giá trị x y, để ý tương đồng hai biểu thức phương trình thứ Trường hợp hai biểu thức khác nhau, bạn hồn tồn sử dụng kiến thức hàm số kỹ khác bất đẳng thức để tìm x  2; y  Viết lại phương trình bậc hai dạng ẩn x, tham số y: x  x  y  y  Giả dụ phương trình thứ có dạng  x  x   y    54 hay chí có dạng khủng bố x  x  x  1 y  y    105;  x  x  1 y  y   38 Chúng ta sử dụng tích hai hàm đồng biến f  x  g  y  để thu x  2; y  3  x3  y   20 x  xy  y  39 x  100, Bà i toán Giải hệ p hương trình   x; y    2  x  y  xy   y  x Lời giải Điều kiện x; y   Coi phương trình thứ hai hệ phương trình bậc hai ẩn x ẩn y, ta có x  x  y  3  y  y   y  y  x    x  3x   Các điều kiện có nghiệm CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ MOON.VN  1 y    y 10 y      1  0;       3 x  x  0  x   Phương trình thứ hệ trở thành x3  y  20 x   y  x   x  y   y  39 x  100   x3  18 x  45 x   y  y  y  108  f  x   g  y   108  4  4 Xét hàm số f  x   3x3  18 x  45; x   0;  f   x   x  36 x  45  0, x  0;   3  3   892 Hàm số liên tục, đồng biến miền nên Max f  x   f       4 x 0;  3    7  4 Xét hàm số g  y   3 y  y  y; y  1;  g   y   9 y  y  8; g   y    y    ;   3  3  7   80 Trên miền y  1;   Max g  y   g    , suy Max  f  x   g  y    108  3  3  7 y 1;  3   Dấu đẳng thức xảy x  y  4 Thử lại, kết luận hệ cho có nghiệm x  y  3 Nhận xét Bài toán 3, điều kiện phương trình bậc hai hai ẩn x, y có lẽ trở nên quen thuộc Tuy nhiên phương trình thứ hệ có hình thức mù mịt, nhằng nhịt, khó chịu, ngun tích xy dính vào nhau, muốn sử dụng hàm số thơng thường thường cô lập hai biến, xét theo tương đồng hàm hai hàm khác nhau, đòi hỏi phải đồng để đạt dấu đẳng thức Chú ý chút phương trình thứ hai sử dụng phép xy  y  3x   x  y , từ suy x3  y  20 x   y  x   x  y   y  39 x  100   x3  18 x  45 x   y  y  y  108  f  x   g  y   108 Một vấn đề đặt khơng thay đổi giả thiết miền giá trị hai biến, lại phân tích bình bình phương hay tam thức bậc hai thế, có tầm thường q khơng ? Thành thử, nâng lên cấp thành xem nào, điều kiện thức Mời bạn học sinh theo dõi toán sau  x  1   y  3 y  1, Bà i tốn Giải hệ p hương trình   x; y    3 2  x  y  x  y  x  35 y  Lời giải Điều kiện y  Từ phương trình thứ ta có  x  1    y   y   x    2  x  Phương trình thứ hai hệ trở thành x  x  x  y  y  35 y   f  x   g  y    5 Xét hàm số f  x   x3  x  x miền  2;0  ta có f   x   3x  x  5; f   x    x  1;   3 Trên miền  2;0  hàm số f  x  nghịch biến, liên tục, Max f  x   f  2   34 x 2;0  Xét hàm số g  y   y  y  35 y; y  , dễ thấy hàm số đồng biến nên Max g  y   g 1  39 y 0 Như Max  f  x   g  x    Dấu đẳng thức xảy x  2; y  Cặp giá trị không thỏa mãn hệ ban đầu, kết luận tốn vơ nghiệm CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ MOON.VN  x3  y  y  x  2, Bà i toán Giải hệ p hương trình  2  x   x   y  y Lời giải Điều kiện 1  x  1;0  y   x; y    Từ điều kiện ta có x    0;  , y   0; 2 Phương trình thứ hệ biến đổi thành x  3x  3x   3x  x   y  y   x  1   x  1  y  y   Xét hàm số f  t   t  3t  f   t   t  t    0, t   0;  Hàm số nghịch biến, liên tục  0;  Do    f  x  1  f  y   x   y Thay vào phương trình thứ hai hệ x2    x2  x4  4x2    x2  x2  x2  8   x   y  Cặp giá trị nghiệm hệ ban đầu, kết luận S   0;1 Nhận xét Các bạn học sinh dễ dàng nhận thấy phức tạp phương trình thứ hai, tâm lý e ngại tất yếu, phương án khai thác phương trình thứ lóe sáng Sau cố gắng hội quân quy dạng hàm số x  x  x   x  x   y  y   x  1   x  1  y  y   Hàm số f  t   t  3t  f   t   t  t   , dấu đạo hàm chưa xác định Tuy nhiên để ý tý, với điều kiện x    0;  , y   0; 2 dễ thấy hàm nghịch biến Thao tác giải phương trình trùng phương cuối có lẽ bạn xử lý OK  x   x    y  1 y   8, Bà i toán Giải hệ p hương trình   x; y    3  x  1  y  y   x  y Lời giải Điều kiện y  1; x  2 Phương trình thứ hệ tương đương với  x  2 x2 x    x     y  1 y      y  1 y  x2 2 x7 3 1     x  2      y  1 y    x    x  2 x   x       Phương trình thứ hai hệ trở thành x  x  x  y  y  y    f  x   g  y   Xét hàm số f  x   x3  x  x; x  ta có f   x   x  x   0, x  Dễ thấy hàm số đồng biến liên tục nên Min f  x   f    x Xét hàm số g  y   y  y  y  4; y  ta có g   y   y   y  0, y  Hàm số liên tục, đồng biến suy Min g  x   g 1  y 1 Tóm lại ta thu Min  f  x   g  y    , dấu đẳng thức xảy x  2; y  Cặp giá trị thỏa mãn hệ đề nên nghiệm hệ Nhận xét Đối với tốn số này, hai hình thức phương trình hai phức tạp, tỏ bất lợi cho Tuy nhiên nhiều bạn học sinh quen thuộc với kỹ thuật liên hợp phương trình vơ tỷ dễ dàng nhận cách phá đề, cần ý  y  1 y   0, y  tìm miền giá trị biến x chặt so với x  2 Có thể nhiều bạn học sinh vội vàng xét hàm số f  x  , g  y  gặp phải trở ngại dấu đạo hàm f   x   x  x  2; x  2? Ngồi bạn giải bất phương trình sau để tìm x  : CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ x2 2 x7 8 MOON.VN  x3  x  13  x  y  y y  1, Bà i tốn Giải hệ p hương trình   x; y    17  x   x   x  y  y   y  1 Lời giải Điều kiện y  1; x  Phương trình thứ hệ biến đổi thành x3  x  x  13  y  y y   y  y y   x3  x  x   14   x  1  x  1  14  14  y   y y 1     y  2  y  y  4  3 y3  y  4 y y 1  0  3 y2  y  2   0 y20 y    y  2  y  y   y y     Phương trình thứ hai hệ tương đương với 17  x   x   x  y  y   y  1  17  x   x   x  y  y  y   f  x   g  y   Xét hàm số f  x   17  x  3 x   x  f 1  Xét hàm số g  y   y  y  y; y  ta có g   y   y  y   0, y  nên hàm số đồng biến, liên tục Suy g  y   g    4  f  x   g  y     Dấu đẳng thức xảy y  2; x  Thử lại ta thu nghiệm hệ Nhận xét Bài toán có mức độ khó nhỉnh chút so với toán 6, tác giả mạo muội sử dụng đặc tính khơng  f  x  g  x g  x   với điều kiện thức tốn Để tìm điều kiện biến y, ngồi lời giải sử dụng tính đơn điệu hàm số sau x3  x  x  13  y  y y  âm biểu thức  g  y   y  y y   x3  5x  x   f  x  Dễ thấy hàm f  x  , g  y  đồng biến với điều kiện y  1; x  1nên f  x   f 1  14  g  y   y  y y   14  g    y   x  3   y  1 y   y  x  8,  Bà i toán Giải hệ p hương trình   x; y    2  x  y   y    y  x  y    x  x   Lời giải Điều kiện y  Phương trình thứ hai hệ cho tương đương với  x  y   y    y  x  y    x  y   y   x3  3x  2   x  y   y     x  y  y    y   x3  x  2   x  y  1  y    x3  x  Dễ thấy  x  y  1 2 x   x  2  y    0, y   x3  3x     x  1  x      Xét x   y  1 y   53 (Vô nghiệm) Xét x  2 phương trình thứ hệ trở thành x  x  24 x  19  y   y  1 y     x    x     y  1 y   y   1 CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ MOON.VN Để ý  x    x     y  1 y   y   0, x  2; y  nên (1) có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa x  2; y  Cặp số x  2; y  1thỏa mãn hệ nên nghiệm toán Nhận xét Mấu chốt toán biến đổi phương trình thứ nhất, điều manh nha từ việc phán đoán cặp nghiệm x  2; y  1của hệ từ phương trình thứ hai Kết hợp kiến thức bất đẳng thức AM – GM, từ đưa hướng thiết lập hạng tử x  3x    x  1  x    để thu lời giải  y 4 x2  2x  2x   y   y ,  Bà i toán Giải hệ p hương trình   x; y     x y  y   xy Lời giải Điều kiện x  Nhận xét trường hợp y   x  không thỏa mãn hệ cho Ngoài khả đó, phương trình thứ hệ biến đổi   x  x  1  x     1     y  y  t 1  ; t   f  t     0, t  t  t   2x 1 Xét hàm số f  t   t  1 1 y4  y2 y2 y4   2x 1    Hàm số liên tục, đồng biến với t  nên    f    2x 1  f    2x   y  y2   Khi phương trình thứ hai hệ trở thành y  x  x  1    x  3x     x   x  3x   2x 1  x   x  12 x    x  x    x  1  x   x  2x 1 1   x  1  2 x     1  x  x    Xét hai trường hợp sau  x  x   1     x 1  x  1   x  2x 1  1   x 1   2    x    y2    y   1;  x  2x   x 1      Đối chiếu điều kiện ban đầu ta có bốn cặp nghiệm  x; y   1;1 , 1; 1 ,  2;  1   ,  2;   1 Nhận xét Bài toán yếu tố hàm số gần lộ liễu, bạn học sinh cố gắng cô lập hai ẩn “Hai bên vĩ tuyến”, nhiên lưu ý đạo hàm hàm số phân thức, liên tục khoảng, cần xét trường hợp đặc biệt trước chia, trước sử dụng công cụ đạo hàm Để giải phương trình ẩn x, có nhiều phương án, ngồi lời giải phân tích bình phương trên, sử dụng đại lượng liên hợp (kèm theo nhẩm nghiệm), nâng lũy thừa – biến đổi tương đương hay chí đưa hệ đối xứng loại 2, e chừng tình hình phức tạp hơn! CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ MOON.VN Sau mời quý độc giả theo dõi tốn 10, trích lược câu 3, Đề thi tuyển sinh Đại học mơn Tốn, khối A, Đề thức, năm 2013  x   x   y   y, Bà i tốn 10 Giải hệ phương trình   x; y    2 x x y y y          Lời giải Điều kiện x  Phương trình thứ hai hệ tương đương với x  x  y  1  y  y   y   x  y  1  y  y   y  Khi phương trình thứ trở thành y4   y4  x   x 1  x   x 1  Xét hàm số f  t   t   t  1, t  f   t   y4 1  y4 11  1   0, t  Hàm số đồng biến với t  t  4  t  13 Dễ thấy   f  x   f  y  1  x  y  Thay vào phương trình thứ hai thu y   y   y  y  y7  y  y  4    g  y  y  2y  y   Để ý g   y   y  y   0, y   g  y  đồng biến, liên tục với y  Hơn g 1   y  y Từ ta thu hai nghiệm  x; y   1;0  ,  2;1 Nhận xét Đây năm thứ hai dạng tốn hệ phương trình sử dụng tính chất đơn điệu hàm số xuất câu 3, kỳ thi tuyển sinh Đại học môn Tốn thức (khơng kể câu Phân loại thí sinh Đề thi tuyển sinh mơn Tốn Đại học khối A năm 2010) Mức độ miền giá trị biến tương tự toán 1, Đề thi tuyển sinh khối A năm 2012, nhiên hình thức vơ tỷ phương trình thứ khiến nhiều bạn thí sinh tỏ lúng túng, e ngại, khó nhìn nhận, chống phá Khả tư linh hoạt, kết nối kiến thức trọng tâm, song hành với kỹ tính tốn cẩn thận, xác xây dựng từ toán nhỏ Trong sống, thành bại điều thường thấy, không mà nản chí, chùn bước, trái lại cần lạc quan, tin tưởng, cố gắng giữ lấy lề, mạnh dạn, táo bạo, thẳng thắn bảo vệ chân lý, làm chủ phần bầu trời khoa học! Ngoài cách phân tích bình phương trên, bạn coi phương trình thứ hai có dạng ẩn x, tham số y thu kết tương tự  y  x    x  y  y  1 ,  Bà i toán 11 Giải hệ phương trình   x; y     x  16 y   y  20 x   Lời giải Điều kiện  x  3; y   Nhận xét  x   3 x   1   x    x    x    x  Với  x  3; y  , phương trình thứ hệ biến đổi thành y  y  1  y  x    x    y  1  y  1   y  Phương trình thứ hai hệ tương đương x3  20 x  16 y  20 y  20 y    f  x   g  y   Xét hàm số f  x   x3  20 x; x   2;3 f   x   12 x  20  0, x   2;3  f  x  đồng biến  2;3 Xét hàm số g  y   16 y  20 y  20 y  8; y  g   y   32 y  20  10 y  0, y   g  y  liên tục đồng biến 1;   Do f  x   f    8 g  y   g 1  , suy f  x   g  y   Dấu đẳng thức xảy x  2; y  Thử lại thỏa mãn hệ, ta có cặp nghiệm  x; y    2;1 CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ MOON.VN Nhận xét Mấu chốt tốn lại tìm miền giá trị y  Sau cô lập hai biến hai bên chiến tuyến, dễ dàng nhận thấy cần tìm miền giá trị hàm số f  x   x    x Thao tác định hướng theo nhiều phương án sau Sử dụng đẳng thức túy (lời giải trên) Khảo sát trực tiếp hàm số f  x   x    x miền  2;3 Sử dụng bất đẳng thức thức thông thường: a  b  a  b , biến không âm Lưu ý dấu đẳng thức xảy ab  Sau có miền giá trị biến, dễ thấy hàm chứa x y không tương đồng f  u   f  v  nên bạn liên tưởng tới trường hợp Max  f  x   g  y    m; Min  f  x   g  y    n  x2  x   x  y   y  1,  Bà i tốn 12 Giải hệ phương trình   x; y    x  3y2    x    x  y     Lời giải Điều kiện x  y   Phương trình thứ hệ tương đương với x2  2x   x   y 1  y2   x  1   x  1 1  x 1  y4   y2 1  x 1  t 2  y    y2 t2 1  t 1 t 1 t  0, t   t 1 t 1 t2 1 Như hàm số xét đồng biến, 1  f  x  1  f   y   x   y  Xét hàm số f  t   t   t ; t   f   t    Phương trình thứ hai hệ trở thành  2  x  3x    x  (2) x2  x Điều kiện x    x   x  2 Ta thu  x  x    x  x  x  x  1  x  x   x  x  1   3  13     x         x  1  x  1 Kết luận hệ phương trình cho có hai nghiệm  x   x  y  y   x  12 , Bà i toán 13 Giải hệ phương trình   x; y     x  24 x  36 x  y  y  15 Lời giải Điều kiện x   0;  Nhận xét  x  2 x  2   x   x      x  1     x   x  Từ phương trình thứ hệ ta có 2 y  y  x   x   x  1    x  1    y  1  y  y     y  Phương trình thứ hai biến đổi thành x3  24 x  36 x  y  y  15  f  x   g  y   15 Xét hàm số f  x   x3  24 x  36 x; x   0; 2 f   x   12 x  48 x  36; f   x    x  x    x  1;3 CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ MOON.VN Rõ ràng miền x   0; 2  Max f  x   f 1  16 x 0;2 Xét hàm số g  y   y  y ; y  g   y   12 y  12 y  12 y 1  y   0, y   g  y  đồng biến Cho nên Max g  y   g 1  1 Suy f  x   g  y   15 Dấu đẳng thức xảy x  y  y 1 Thử lại ta thu nghiệm hệ  x; y   1;1 3x3  y  10 y  15 x    3x  y  ,  Bà i toán 14 Giải hệ phương trình   x; y    6 y  17 y   19 x3  97 x  72 Lời giải Điều kiện y  Phương trình thứ hệ tương đương với x3  12 x  15 x   y  10 y  16 y    x3  x  5x     y  y  y     x  1  x     y   Chú ý  y    2  y  1 x  x  2  y  1  0, y    x  1  x      Xét trường hợp x  phương trình thứ hai trở thành y  17 y   Dễ thấy y  17 y   6, y   y  nghiệm nhất,  x; y   1;1  Xét trường hợp x  phương trình thứ hai viết lại y  17 y   19 x3  97 x  72   f  x   g  y   Xét hàm số f  x   19 x  97 x  72; x  ta có f   x   57 x  97  0, x  nên hàm số đồng biến Suy f  x   f    30 , g  y   y  17 y   nên f  x   g  y   36  Trường hợp vô nghiệm Kết luận hệ ban đầu có nghiệm  x; y   1;1  2x 1  y   x   y  y,  Bà i tốn 14 Giải hệ phương trình  x x  x; y     x3  y   x  y  Lời giải Điều kiện x  ; y  Phương trình thứ hệ tương đương với   2x 1  y4  y  y   3 x     x 2x     x  x  1 x  x  1   x  x  1   x Để ý  x  1 x      CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ   2x 1   y4  y  y   2x  2x 1  2x  1  y   y  3 2x 1 1 2x x  2x 1 1 y4  y2  y   2x  0, x   1  y   y  3   y  MOON.VN Phương trình thứ hai hệ trở thành x3  3x  y  y    f  x   g  y   Xét hàm số f  x   x3  x ; x  x  f   x   x  x; f   x     x 1 1  Lập bảng biến thiên hàm f  x  , rõ ràng miền x   ;    Min f  x   f 1  1 2  1  x ; 2  Xét hàm số g  y   y  y  4; y   0;1 f   y        0, y   0;1 y 1 y Hàm số nghịch biến nên Min g  y   g 1  Như f  x   g  y   y 0;1 Dấu đẳng thức xảy x  y  Thử lại vào hệ ban đầu ta có cặp nghiệm  x; y   1;1 Nhận xét Thao tác biến đổi phương trình thứ hệ thú vị, việc tạo đẳng thức thực tế khơng phải điều dễ thấy, dựa nhìn từ bất đẳng thức AM – GM (BĐT Cauchy, liên hệ trung bình cộng trung bình nhân) Vì bạn trình bày theo cách sau Xét phương trình thứ hệ 2x   y   3x   y  y  x   3x  x   x  y  y  y  x x  x    x  1  x  y  y  y   2x 1   2x 1   x   x  1  x  y  y  y    x 2 x  y4  y2  y   1    y  1  y  3   y   x  1 3 x y  x  y  1, Bà i tốn 15 Giải hệ phương trình   x; y    3  x  y   y   x  y  Lời giải Điều kiện x; y   Hệ phương trình cho tương đương với 3 x y   x  xy  y    x  xy  y   y   x  y    x  y   x y  y    3 3  x  y    x  y    x  y    x  y   x  y    x  y    x  y    x  y   x  y    x  y   1  x  y    Từ phương trình thứ suy   x  y    x  y   1  x  y  Xét hàm số f  t   t  3t ; t   1;1  f   t   3t   0, t   1;1 , hàm số liên tục, nghịch biến x  Phương trình thứ hai có dạng f  x  y   f  x  y   x  y  x  y  y        Từ suy x   x   ; ;  ,   ;  Hệ ban đầu có hai cặp nghiệm    x; y    2       x   x  y   y   11x  11 y  14, Bà i toán 16 Giải hệ phương trình   x; y    2  x  y  x   xy  x  y   x  y  y Lời giải 1 Điều kiện x   ; y  Xét phương trình thứ hệ, để ý CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ 10 MOON.VN 2  a  b    b  c    c  a    ab  bc  ca  a  b  c 2   ab  bc  ca    a  b  c    a  b  c    a  b  c  Áp dụng bất đẳng thức ta có  3x   x  y   y    3 4x  y  4  11x  11y  14   x  y    x  y  Phương trình thứ hai hệ trở thành x  y  x   xy  x  y   x  y  y  x3  y  x  24  xy  x  y   24 x  y  12 y  x  y  xy  x  y   x3  x  24 x  y  y  12 y  24    x  y   12  x  y   x3  x  12 x  y  y  24   f  x  y   g  x  h  y   Xét hàm số f  x  y    x  y   12  x  y  ; x  y   f   t    x  y   12  , x  y  Hàm số đồng biến với x  y  , suy f  x  y   f    16 x 1 Xét hàm số g  x   x3  x  12 x; x    g   x   x  x  12; g   x      x  2   Với miền x    ;    Min g  x   g 1  7     x  ;      Xét hàm số h  y   y  y  24; y  y   h   y   y  y; h   y      y 1 1  Với miền y   ;    Min h  y   h 1  23 5  1  y ; 5    Tóm lại ta có f  x  y   g  x   h  y   3 x   x  y   y   x  Hệ có nghiệm dấu đẳng thức xảy đồng thời, nghĩa    x  y  2; x  y  y 1 Kết luận hệ phương trình ban đầu có nghiệm  x; y   1;1 Nhận xét Vẫn motip cũ, tốn khơng nằm ngồi phạm vi sử dụng tính chất đơn điệu hàm số giải hệ phương trình Điểm đáng lưu ý lời giải sử dụng tổng ba hàm số, có hai hàm số cần khảo sát biến thiên, tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ nhất, may mắn dấu đẳng thức xảy đẹp mắt Thao tác tìm miền giá trị tổng t  x  y có lẽ khó khăn với nhiều bạn học sinh, lẽ dễ dàng nhận vẻ đẹp bất đẳng thức ẩn chứa phương trình thứ Lời giải sử dụng đánh giá đẳng thức thông thường, cách chứng minh cho bất đẳng thức Bunyakovsky ba cặp số, mong bạn lưu ý  x   x  2  x   y  y  44,    Bà i toán 17 Giải hệ phương trình   x; y     y  x3  30 x  21x  y  Lời giải Điều kiện x  Phương trình thứ hệ tương đương với x  x    x  1 x   x   x  14 x  49  y  y  44     x  1 x   x  11x  y  y    x  1 CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ   x  1  2x2  9x   y4  y  11 MOON.VN   x  1 x  3 x  1   x   x     y  1 y  y  3   x  1  2   x  3   x  3   y  1  y  1      x  1  1  x  1  x   0, x  nên từ (1) suy x    x  x  1 Xét phương trình thứ hai hệ y  y   x3  21x  30 x  Rõ ràng   y  1 y  y  y  y    x3  21x  30 x    2 Ta có y  y  y  y   y  y  y  y  y    y  y    y  1   0, y   Hơn xét hàm số f  x   x3  21x  30 x  9; x  Đạo hàm f   x   12 x  42 x  30  0, x   f  x  đồng biến, liên tục nên f  x   f  3   y  1  x  Phương trình (3) có nghiệm   y 1  x  Thử lại cặp giá trị thấy thỏa mãn hệ đề Kết luận nghiệm x  3; y  - Bà i tậ p tương tự Giải hệ phương trình sau tập hợp số thực 7 x3  y3  xy  x  y   x   12 x ,   x  y   x  y   x  x  y  y   2,   6 y   y   x3  x  y   x  x  10 y    x  y ,  3  x  x  13 x  y  y  10      x  x   y  1  y  1,  1  x   y   x  1 y  1  11xy,  2  x  y  xy  14  x  y  x   x    y  3  y  0,   x      y   y Lời kết Trên 17 toán nhỏ, trọng tâm phương pháp sử dụng phương pháp hàm số giải hệ phương trình hữu tỷ, hệ phương trình chứa nói chung, chút chia sẻ phần tác giả Kiến thức hàm số, đồ thị hàm số kỹ thuật giải phương trình bậc cao, vơ tỷ khác hẳn bạn học sinh thục, đáng lưu ý hết cách tìm miền giá trị biến, mấu chốt điểm nhấn tốn, địn định tính đơn điệu hàm số xét miền, tất nhiên điều không đơn giản, bạn thấy Nó địi hỏi quan sát tinh tế, chút tư duy, liên hệ, biến đổi đại số kiến thức bất đẳng thức – cực trị vừa đủ! Mong em đọc kỹ rút kinh nghiệm quý báu cho thân CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ 12 MOON.VN Tính đến thời điểm này, thời điểm nước rút mà bạn thí sinh khắp miền đất nước chuẩn bị bước vào kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng đợt năm 2014, kỳ thi cam go, liệt với nhiều kỷ niệm khó phai quãng đường thư sinh Tác giả chúc bạn học sinh, bạn độc giả sức khỏe, vui vẻ, bình tĩnh, tự tin, bứt phá, đánh bật đề thi, đạt kết cao kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng tới, vững bước làm chủ tri thức, làm chủ tương lai, mang sức trẻ ý chí xây dựng tổ quốc Việt Nam cơng chính, dân chủ, vững bền, giàu mạnh, sánh vai nước khu vực, CHND Trung Hoa chẳng hạn! HẾT Facebook Lương Tuấn Đức – Bình Phương Thủ Hà Nội, ngày 30 tháng 06 năm 2014 Kỷ niệm Giải phóng thị xã Thái Bình thân u Thân ái! CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ 13 MOON.VN ... trọng tâm phương pháp sử dụng phương pháp hàm số giải hệ phương trình hữu tỷ, hệ phương trình chứa nói chung, chút chia sẻ phần tác giả Kiến thức hàm số, đồ thị hàm số kỹ thuật giải phương trình... f  x   g  y   Xét hàm số f  x   x3  x  x; x  ta có f   x   x  x   0, x  Dễ thấy hàm số đồng biến liên tục nên Min f  x   f    x Xét hàm số g  y   y  y  y ...  Từ phương trình thứ suy   x  y    x  y   1  x  y  Xét hàm số f  t   t  3t ; t   1;1  f   t   3t   0, t   1;1 , hàm số liên tục, nghịch biến x  Phương