Hệ phương trình bất phương trình năm 2016

Trang 1

HỆ - BẤT - PHƢƠNG TRÌNH

TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2016Bài 1: Giải hệ phƣơng trình:

3233223 1 2 9 512 3 3 6 7xyxyxxyxyyx             Lần 2 – THPT ANH SƠN 2

Lời giải tham khảo

Điều Kiện : 31xy  

Phương trình thứ 2 tương đương với 33

(x2) (y1)   yx 1 (3)Thay (3) v|o phương trình thứ nhất ta được:

323 xx 2 x 2x 5x3 điều kiện 2  x 3 32323 xx 2 x 2x 5x 3 3 xx  2 3 x 2x 5x6322( (3 )( 2) 2)2 5 63 2 3x xxxxxx         22( 2)( 1)( 2)( 3)( 3 2 3)( (3 )( 2) 2)xxxxxxxx x            222( 2)( 2)( 3)( 3 2 3)( (3 )( 2) 2)xxxxxxxx x            2 2( 2)( ( 3)) 0( 3 2 3)( (3 )( 2) 2)xxxxxx x           

Do điều kiện 2  x 3 nên 2 ( 3) 0

( 3 xx 2 3)( (3 x x)( 2) 2)  x

      

Suy ra 2

2 0

x   x   x 1;x2 thoả mãn điều kiện Khi x   1 y 0 TMĐK

Khi x  2 y 3TMĐK

Vậy hệ đã cho cĩ hai nghiệm (-1;0), (2;3)

Bài 2: Giải phƣơng trình 3  2 

2 1 6

x  xx  x 

Lần 1 – THPT BẮC YÊN THÀNH

ĐK: x0 Nhận thấy (0; y) khơng l| nghiệm của hệ phương trình Xét x0

Từ phương trình thứ 2 ta cĩ 221 1 12y 2y 4y 1 1xxx     (1) Xét hàm số   21f t  tt t cĩ   2 22' 1 1 01tfttt    

 nên h|m số đồng biến Vậy    1 1

1 f 2yf 2yxx       Xét h|m số   21f t  tt t  cĩ   2 22' 1 1 01tfttt    

 nên h|m số đồng biến Vậy

Trang 2

Thay v|o phương trình (1): 3  2 

2 1 6

x  xx  x 

Vế tr{i của phương trình l| h|m đồng biến trên 0; nên cĩ nghiệm duy nhất

1x v| hệ phương trình cĩ nghiệm 1;12   

Bài 3: Giải hệ phƣơng trình:  

222x3(1)2,229293234 5yxxyyx yxyxyx            Lần 1– THPT BẢO THẮNG SỐ 3

ĐK : 2 045xyx  

Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ ta cĩ :



22

2x y  x 3(xy 1) 2y x y 1 2x y 3    0 yx 1

Với y x 1 thay v|o phương trình thứ hai ta được phương trình sau :

2 2 9103 x 13 4 5x  x    2 x 10 6 x 1 4 5x 9 9 3 x 1 3 4 5x x 1 4 5x              x 1 4 5x 3 9 x 1 9 4 5x 4x410 ( Do 1;45x     nên 9 x 1 9 4 5x 4x410 ) 1 4 5x 3 0x     1 4 5x 3 2 1 4 5x 4 4xxx          1 0 11 4 5x 2 1 004 5x 2 1xxxxxx                Với x   0 y 1;x    1 y 2

Đối chiếu với điều kiện v| thay lại hệ phương trình ban đầu ta thấy hệ đã cho cĩ nghiệm : ( ; )x y (0; 1);( ; ) x y   ( 1; 2)

Bài 4: Giải phƣơng trình:

2332 2 112 1 3xxxxx Lần 1 – THPT BÌNH MINH

Điều kiện: x 1,x 13Pt 2336 ( 2)( 1 2)1 2 12 1 3 2 1 3xxxxxxx             ( x=3 khơng l| nghiệm) 3(2x 1) 2x 1 (x 1) x 1 x 1        H|m số 3( )

f t  tt đồng biến trên do đĩ phương trình 3

2x 1 x 1

Trang 3

23321/ 2 1/ 2(2 1) ( 1) 0xxxxxxx           1/ 21 50,1 520,2xxxxx      

Vậy phương trình cĩ nghiệm 1 5

{0, }

2

S

Bài 5: Giải hệ phƣơng trình: 5 

332 5 2 ( 4) 2 2,( 2 1) 2 1 8 13( 2) 82 29xyy yyxx yyxxyx               Lần 2 – THPT Bố Hạ

Đặt đk 1, 22x  y +) 5525(1)(2 )x 2x(y 4 )yy 2 5 y 2 (2 )x 2x y2  y2(3)

Thay 2x y2(x0) v|o (2) được

32222(2 1) 2 1 8 52 82 29(2 1) 2 1 (2 1)(4 24 29) (2 1) 2 1 4 24 29 0122 1 4 24 29 0(4)xxxxxxxxxxxxxxxxxx                        Với 12x Ta cĩ y=3 2 2 3(4) ( 2 1 2) (4 24 27) 0 (2 3)(2 9) 02 1 2xxxxxxx            3 / 21(2 9) 0(5)2 1 2xxx     Với 32x Ta cĩ y=11 Xét (5) Đặt 22 1 0 2 1

t x   x t Thay vao (5) được

322 10 21 0 ( 3)( 7) 0t  t    tt  t  Tìm được 1 292t  Xét (5) Đặt 22 1 0 2 1

t x   x t Thay vao (5) được

322 10 21 0 ( 3)( 7) 0t  t    tt  t  Tìm được 1 292t  Từ đĩ tìm được 13 29, 103 13 294 2x  y  Xét h|m số 54( ) , '( ) 5 1 0,

f t  tt f t  t    xR, suy ra h|m số f(t) liên tục trên R Từ (3) ta cĩ

(2 ) ( 2) 2 2

Trang 4

Bài 6: Giải hệ phƣơng trình:

3322223 3 24 24 52 014xyxyxyxy         Lần 1 – THPT CAM RANH

Đk 2 21 1xy    

Đặt t y 2 Biến đổi phương trình đầu về dạng 3232

3 24 3 24

x  x  x tt  t

Xét h|m số   32

3 24

f x x  x  x liên tục trên 2; 2

Chứng minh được x=t=y+2

Hệ pt được viết lại: 2

2214xyxy  22006 / 54 / 54 / 5xxyyyxyy            KẾT LUẬN:

Bài 7: Giải hệ phƣơng trình: 32332x - 6x + 13x = y + y + 102x + y + 5 - 3 - x - y = x - 3x - 10y + 6 Lần 2 – THPT CAM RANH

XÉT PT(1): 323x 6x 13xy  y 10 3 32 ( 2)xxyy      (*) Xét h|m số   3f t  tt Ta cĩ '  2  3 1 0ft  t     tf t đồng biến trên

Do đĩ (*)  yx 2 Thay y x 2 v|o (2) ta được: 32

3x 3 5 2 x x 3x 10x26323x 3 3 1 5 2xx 3x 10x 24          (ĐK : 5 12 x   )  3 2 2 2   2 2 123 3 3 1 5 2xxxxxxx         223 212 (3)3 3 3 1 5 2xxxxx         

PT (3) vơ nghiệm vì với 5 1

2 x   thì 212 0x   x Hệ cĩ nghiệm duy nhất 20xy 

Bài 8: Giải bất phƣơng trình: 3 2 9

Trang 5

Điều kiện:   1 x 9;x02 3 2 9 3 3 1(1) 03 3 1xxx xxx xx        2( 3) 9( 1) 2 9 3 3 103 3 1xxx xxx xx           3 3 1 3 3 1 2 903 3 1xxxxxx xx           1 1 3 2 1 93 3 1 2 90 xxx 0xxxxx            8 1 2 80 0 0 81 3 1 9xxxxxxxx               

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình l| 0 x 8

Bài 9: Giải bất phƣơng trình: x2 + x – 1  (x + 2) 2

2 2

x  x

Lần 1 – THPT chuyên LÊ QÚY ĐƠN - KH

TA CĨ : x2  2x – 7 + (x + 2)(3  22 2x  x )  0  (x2  2x – 7) 2 2(1)1 (1)322xxxx    0 Vì: (x1)2    1 x 1 x 1 nên : 22(1)1 (1)322xxxx    > 0 , x  x2 – 2x – 7  0  x  1  2 2  1 + 2 2 x Vậy bất pt cĩ tập nghiệm: S = (;1  2 2 ] [1 + 2 2 ;+)

Bài 10: Giải bất phƣơng trình: x3  x 2 2 33 x2

Lần 1 – THPT chuyên NGUYỄN HUỆ

Trang 6

12xx   

Vậy tập nghiệm của bất phương trình l|   1

Bài 11: Giải hệ phƣơng trình:  

33233 3 6 4 02 3 7 13 3 1           x y x x yy x y x

Lần 2 – THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ

Từ phương trình (1) ta cĩ: 3 3 3 1 3 1x  x y  y Xét h|m số   33f t  tt ,   23 3f t  t   0

f t  với mọi t suy ra h|m số f t  đồng biến trên

  1 1

f x  f y   xy Thế x y 1 v|o phương trình (2) ta được:

Thế x y 1 v|o phương trình (2) ta được:

 3   

1 2 3 7 6 3 1 3

x x  x  x

Ta cĩ x1 khơng l| nghiệm phương trình Từ đĩ:

 3  32 3 7 61xxxx   Xét h|m số   3  32 3 7 61xg xxxx     TXĐ: 3  \ 12D       2 231 7 62 3 3 7 6 1g xxxx        3 30 ; 1,2 2g x     x g    khơng x{c định

H|m số đồng biến trên từng khoảng 3;1

2 

 

  và 1;

Ta cĩ g  1 0;g 3 0 Từ đĩ phương trình g x 0 cĩ đúng hai nghiệm x 1 và

3

x

Vậy hệ phương trình cĩ hai nghiệm  1; 2 và  3; 2

3222( 1)3 2 9 3 4 2 1 1 0xy xxyxyyxyxx              Lần 1 – THPT CHUYÊN SƠN LA

Trang 7

x = y thế v|o PT (2) ta được:  222 23 2 9 3 4 2 1 1 02 1 2 1 3 2 ( 3 ) 2 ( 3 ) 32 1 3xxxxxxxxxfxfx                   Xét  2 ( )32f ttt  cĩ f t'( )0,t. f l| h|m số đồng biến nên: 1121355x x     xy 21yx 21yx Thế vào (2) 2  2  2  2 3(x 1) 2 9x 3  4x  1 2 1 xx  1 0

Vế tr{i luơn dương, PT vơ nghiệm

Vậy hệ cĩ nghiệm duy nhất: 11

;.

55

 





Bài 13: Giải hệ phƣơng trình:  

222 1 1 1 ,3 8 3 4 1 1 xxyxyxx yxxxy             Lần 1 – THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

Điều kiện: 11xy    1 3 2  2  1 13  1 2 11 1 1xx xxxxyxyyyxxx            331 11 1xxyyxx          Xét h|m số   3f t  tt trên cĩ   23 1 0

f t  t    t suy ra f(t) đờng biến trên Nên

 1 11 1xxffyyxx         

  Thay vào (2) ta được

23x 8x 3 4x x1 2 22x 1 x 2 x 1    2216 3 0 3 2 32 1 11 5 2 132 1 1 33 99 10 3 0xxxxxxxxxxxx                         Ta có 211xyx Với 3 2 3 4 3 32x   y  Với 5 2 13 41 7 139 72x    y  C{c nghiệm n|y đều thỏa mãn điều kiện

Hệ phương trình có hai nghiệm  4 3 3

Trang 8

33222328 8 3 35 5 10 7 2 6 2 13 6 32xyxyxyxyyyxxyx                Lần 2 – THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

Điều kiện : 2 0 27 0 7xxyy           Từ phương trình  1 ta cĩ 3  3   1 5 1 1 5 1 3x  x  y  y

Thay 4 vào 2 ta được pt:  2  32  

5x 5x10 x 7 2x6 x 2 x 13x 6x32 5 Đ/K 2x  2  32  5x 5x10 x  7 3 2x6 x 2 2 x 2x 5x10 5 2 25 5 10 2 62 2 57 3 2 2xxxxxxxx               4    2 2 ; 2; 2x   yx y  ( thỏa mãn đ/k)  5 2 5 10 2 6 5 2 5 10 2 6 05 27 3 2 2xxxxxxxx              20,20,20,20,21 1 1 15 5 10 2 6 05 27 3 x 2 2xxxxxxx    x                           

  (pt n|y vơ nghiệm)

Vậy hệ phương trình cĩ một nghiệm duy nhất : x y;    2; 2

Bài 15: Giải bất phƣơng trình:

 2 2 2 126 2 4 2 2xxxx     Lần 3 – THPT chuyên VĨNH PHÚC

Trang 9

Nhận xét x 2 khơng là nghiệm của bất phương trình

222212 2 02 2 12 6 24 8 4 12 6 2 2 0ttttttttt                202 2 2 2 34 8 02xxtxxxx         

Bất phương trình cĩ nghiệm duy nhất x 2 2 3

Bài 16: Giải hệ phƣơng trình: xyyxxy

x yxy22221 971 9797()( ,).27897 Lần 2 – THPT CHUYÊN HẠ LONG

Điều kiện: 0 , 197x y  Thay ( ; )x y bằng một trong c{c cặp số (0; 0), 0; 1 , 1 '0 , 1 ; 197 97 97 97                vào (1), (2) ta

thấy c{c cặp n|y đều khơng l| nghiệm Do đĩ 0 , 1

97x y Đặt 97x a , 97y b Do 0 , 197x y  nên 0a b, 1 Khi đĩ (1) trở th|nh  22221 1 1 1 0a  b b  aa b a a b b b a  222222( 1) 0 11 1ababababba              Suy ra 22 1.97x y 

Với c{c số dương a a b b1, , ,2 1 2, ta cĩ a b1 1a b2 2  a12 a22 b12b22 Đẳng thức xảy ra khi v| chỉ khi a b1 2a b2 1 Thật vậy, 2  2222222221 12 212 121 12 212 121 22 1 0a b a b  a ab b  a b a b  a ab b  a b a b Do đĩ 27 x8 y  97 9x4y  97 97 x2y2  97 (do 2 2 197x y  ) Đẳng thức xảy ra khi 4x = 9y v| 2 2 197

x y  Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của hệ

pt đã cho l|   9 4; ;97 97x y     

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của hệ pt đã cho l|   9 4

; ;

97 97

x y  

  

 

Khi x 2 chia hai vế bất phương trinh  1 cho x 2 0 ta được

Trang 10

Bài 17: Giải hệ phƣơng trình:  22

222x x 3y 7x 6xy y 5x 3y      Lần 1 – THPT CHUYÊN LONG AN

Đặt           22u vxx y ux y vyu v Ta cĩ hệ phương trình:    33227(1)2 4 (2)uvuu vv

Lấy (2) nh}n với −3 rồi cộng với (1) ta được:

3 2 3 2   33

6 12 8 3 3 1 0 2 1 0

u  u  u  vv  v   u  v 1

uv

   Thay vào phương trình (2), ta được: v2   v 2 0

Thay v|o phương trình (2), ta được: v2  v 2 0

12vv     + v 1 suy ra u = 2 Suy ra  , 1 3,2 2x y    + v 1 suy ra u = 2 Suy ra  , 1 3,2 2x y    + v2 suy ra u = −1 Suy ra  , 1, 32 2x y    

Bài 18: Giải hệ phƣơng trình: 

33233 3 6 4 02 3 7 13 3( 1)xyyxyyxyx           

Lần 1 – THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ

Điều kiện: 3

2

x 

Từ pt(1) ta cĩ x33x(y1)33(y1)

Xét h|m số f t( ) t3 3 ; ( ) 3t f t  t2   3 0, tf t ( ) 0 với mọi t suy ra h|m số đồng

biến trên

( ) 0

f t  với mọi t suy ra h|m số đồng biến trên

Mà ( )f x  f y( 1) nên x y 1

Thế x y 1v|o pt(2) ta được:  3 

(x1) 2x 3 7x6 3(x1) (3)

Ta cĩ x1 khơng l| nghiệm của pt(3) Từ đĩ 3 3( 1)

Trang 11

3 3( ) 0, ; 1,2 2g x    xx g    khơng x{c định

H|m số đồng biến trên từng khoảng 3;1

2    và 1; Ta cĩ g( 1) 0; (3) 0  g  Từ đĩ pt ( ) 0g x  cĩ đúng hai nghiệm x 1 và x3 Ta cĩ g( 1) 0; (3) 0  g  Từ đĩ pt g x( ) 0 cĩ đúng hai nghiệm x 1 và x3

Vậy hệ phương trình cĩ hai nghiệm ( 1; 2)  và (3; 2)

2221 1 21 3 5 2 1xxx     Lần 1 – THPT ĐA PHÚC

+) Đặt t = x2 – 2, bpt trở th|nh: 1 1 2

3 3 1 1

t  t  t

   ĐK: t  0 với đk trên, bpt tương đương

1 1( 1)( ) 23 3 1ttt    Theo Cơ-si ta cĩ: 1 1 1.1 3 2 1 331 1 2 1 1 2.2 3 2 2 33ttttttttttttt                    1 2 1 1 2.2 3 1 2 2 3 13 11 1 1 1 1 1.1 3 1 2 1 3 13 12 0.tttttttttttttVTt                       1 2 1 1 2.2 3 1 2 2 3 13 11 1 1 1 1 1.1 3 1 2 1 3 13 12 0.tttttttttttttVTt                       +) Thay ẩn x được x2  2    x ( ; 2][ 2;    ) T ( ; 2][ 2;).

Bài 20: Giải phƣơng trình: 32x4 16x2 9x9 2x  120

Lần 2 – THPT ĐA PHÚC

Điều kiện 1

2

x , phương trình đã cho tương đương

Trang 12

Ta cĩ 3232323232 481 3232 8 32 32 16 7 272 41616 82181 2 1 1 181 2 11832 32 16 7 9 0.1 2 1xxxxxxxxxxxxx                          Vậy (*) x 1

Kết luận: Phương trình cĩ nghiệm x =1.

223 5 44 2 1 1xxyxyyyyxyx            Lần 1 – THPT PHƢỚC BÌNH

Đk: 2204 2 01 0xyxyyyxy         Ta cĩ (1)  xy 3 xyy 1 4(y 1) 0 Đặt u xy v,  y1 (u0,v0) Khi đĩ (1) trở th|nh : 223 4 0u  uv v 4 ( )uvuv vn   

 Với uv ta cĩ x2y1, thay vào (2)

ta được : 2

4y 2y 3 y 1 2y

Với uv ta cĩ x2y1, thay v|o (2) ta được : 4y22y 3 y 1 2y

24y 2y 3 2y 1 y 1 1 0         22 2 201 14 2 3 2 1yyyyyy       2 2 12 01 14 2 3 2 1yyyyy             2y ( vì 22 10 11 14 2 3 2 1yyyyy         )

Với y2 thì x5 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của hệ PT l|  5; 2

2332 2 112 1 3xxxxx     Lần 2 – THPT PHƢỚC BÌNH

Trang 13

- ĐK: x 1,x13- Khi đĩ: 232332 2 1 61 1 22 1 3 2 1 3xxxxxxxxx              32 1 21 , *2 1 3xxx    - Nếu 32x    1 3 0 x 13 (1) thì (*) 2x 1 32x 1 x1 x 1 x1 Do hàm 3( )f t  tt l| h|m đồng biến trên , mà (*): 3   3322 1 1 2 1 1 0fx  fx  x  x x x  x Suy ra: ;1 5 0;1 52 2x             DK(1)VN - Nếu 32x      1 3 0 1 x 13 (2) thì (2*) 2x 1 32x 1 x1 x 1 x1 Do hàm 3( )f t  tt l| h|m đồng biến trên , mà (2*):   332311212 1 1 2 1 1 1322 1 1xfxfxxxxxx                  Suy ra:  1 51; 0 ;2x        DK(2)  1 51; 0 ;132x       -KL:  1 51; 0 ;132x       

232x xy 2y 1 2y 2y x6 x 1 y 7 4x y 1          Lần 3 – THPT PHƢỚC BÌNH

ĐK: x1

  2 

1  2y x 1 x y    0 y x 1 vì 2

2y    x 0, x 1

Thay v|o (2) ta được 2  2

26 x 1 x 8   4x  x 1 3   2x 2x x 1 3 24x 13x 10 02x 3 x 1 3 x 2x2          y3

Vậy nghiệm của phương trình l| (x;y)(2;3)

Trang 14

Lần 4 – THPT PHƢỚC BÌNH

Ta thấy x0 khơng phải l| nghiệm của hệ, chia cả hai vế của (1) cho 3

x ta được   4 32 13 1 2 2 2 y 3 2yxxx        31 11 1 3 2y 3 2y 3 2y *xx                Xét hàm   3

f t  tt luơn đồng biến trên

  1  * 1 3 2y 3x   Thế (3) v|o (2) ta được 332 15 1 2 3 2 15 0x    xx     x 23301 17 02 3 4 2 15 15xxxx               

Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm   111

; 7;

98

x y    

22 6 19 1 9 0xyyxxyy        Lần 5 – THPT PHƢỚC BÌNH

Đk: 6 01xyx    +) Nếu y0, để hệ cĩ nghiệm thì 1 y 0 (1) 2 6 2 5(1) (1)(1) 1 1VTxyVTVPVPy          hệ vơ nghiệm

+) Nếu y<0, từ (2) suy ra x>0

  222 3 39 1 xxy 9 y 0 9 y 9 y (3)xx                 Xét h|m số 2229 2( ) 9 , 0; '( ) 0 09tf ttt tf ttt      23 3 9(3) ff( y) yxyxx           Thế v|o pt(1) ta cĩ phương trình 2 92 y 6 1 yy     (4) H|m số g y( ) 2 92 y 6y  

đồng biến trên ;0; h|m số h(y)=1-y nghịch biến trên ;0 v| phương trình cĩ ngiệm

Trang 15

32222 4 33 2 1xxyxxyxxxyxxy Lần 1 – THPT HÙNG VƢƠNG – BÌNH PHƢỚC

Điều kiện 4 04 0xyxy      2   yx 1 thế (1) ta được:  322 2 3 2x x x x  x21 2 3 1 4 2 3 2 8 0xxxxx         12xx  Hệ cĩ nghiệm   x y;   1; 2 , 2; 2 1 

Bài 27: Giải bất phƣơng trình: x2  x 6 x  1 x 2 x  1 3x2 9x 2

Lần 2 – THPT HÙNG VƢƠNG – BÌNH PHƢỚC

22226 1 2 1 3 9 26 1 1 2 1 2 2 10 12xxxxxxxxxxxxxx                     222222226 2 2 32 10 121 1 1 25 6 2 5 62 5 61 1 1 22 15 6 2 01 1 1 21 1 15 6 01 1 1 21;2 3;xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx                                                       

22221 2 1 33 3 7yyxxxyyxyyx            Lần 1 – THPT ĐỒNG XỒI

Đk: 21, 0, 3y x y  xTừ pt (2) ta cĩ :  11 2 1 01yxyxyx         Suy ra, y = x + 1

Thay vào pt (1) ta được 22

1 1 7 3

Trang 16

Xét h|m số: 22( ) 1 1f x  x   xx  xChứng minh h|m số đồng biến Ta cĩ nghiệm duy nhất x = 2 Vậy nghiệm của hệ l| (2;3)

22221xyxyxyxyxy Lần 2 – THPT ĐỒNG XỒI

Điều kiện: x y 0  (1)  x yxyx y21() 1 2 1 0  (x y 1)(x2 y2 x y) 0  x y 1 0   (vì x y 0  nên x2y2  x y 0)

Thay x 1 y vào (2) ta được: 1x2 (1 x)  x2  x 2 0       xx 12  yy 30

Vậy hệ cĩ 2 nghiệm: (x;y) = (1; 0), (x;y) = (–2; 3)

2322 1 5 2 8 2 6 02 1 5 10 4 ( 1)xyxxxyxxy yxyy y Lần 3 – THPT ĐỒNG XỒI

+ Điều kiện: 2 1 05 0xyx +Ta cĩ hệ 2222 1 5 2 8 2 6 02 2 2 2 5 0xyxxxyxy xxyyy2222 1 5 2 8 2 6 02 02 2 2 5 0xyxxxyxyxxyyyDễ thấy x2 2xy 2y2 2y 5 0 x2 2xyy2 y2 2y 1 4 0221 4 0

xyy : vơ nghiệm với x y, R .

Trang 17

+) Phương trình  2x 1 3 1 5 x 2x2 7x 4 0  2 8 4 ( 4)(2 1) 02 1 3 1 5xxxxxx 4 02 1(2 1) 02 1 3 1 5xxxx Dễ thấy 2 1(2 1) 02x 1 3 1 5 xx nên x 4 y 2Vậy hệ cĩ nghiệm ;x y 4;2

322223222322,2 212 1x xyxxyx yxxyxyyxxx             

Lần 2 – THPT CHUYÊN QUANG TRUNG

ĐK: 20x y Từ PT(1) tìm được 222x xy x  xyThế v|o (2) đưa về pt chỉ cĩ ẩn x Đưa được về h|m 331 1 2 21 1 1 1xxxx          Xét hàm   3

f t  tt đồng biến trên » từ đĩ được pt 1 3 2

1 1xx   giải được   5 1 5 1,2 2x   Lx  NNghiệm 5-12 ;± 5-2ốỗ ứữ

Bi 32: Gii h phng trỡnh:

222221 3xyxyxyxy         Lần 1 – THPT NGUYỄN HỮU CẢNH

Điều kiện: x+y0, x-y0

Trang 18

28 9 3 8 9 (3 ) 0uv uv  uv  uv uv   uv uv Kết hợp (1) ta cĩ: 0 4, 04uvuvuv     (vì u>v) Từ đĩ ta cĩ: x =2; y =2.(Thỏa đ/k) KL: Vậy nghiệm của hệ l|: (x; y)=(2; 2)

22222( )( 3) 3( ) 24 2 16 3 8xy xxyyxyxyx            Lần 2 – THPT NGUYỄN HỮU CẢNH

ĐK: 2, 16

3

x  y

33

(1)(x1) (y1)   yx 2 Thay y=x-2 vao (2) được

2 4( 2) 3( 2)4 2 22 3 8 ( 2)( 2)2 2 22 3 4xxxxxxxxx             24 3( 2) 0(*)2 2 22 3 4xxxx        

Xét f(x)=VT(*) trên [-2;21/3],cĩ f’(x)>0 nên h|m số đồng biến suy ra x=-1 l| nghiệm duy nhất

của (*)

KL: HPT cĩ 2 nghiệm (2;0),(-1;-3)

222 4 1 3 544xxxyyyxyxy              Lần 3– THPT NGUYỄN HỮU CẢNH

Xéth|m số f t  t t 2 t4 trên 0; , cĩ   1 1 1 0, 0;2 2 2 2 4fttttt         Nên (1) x x 2 x 4 y  5 4 y  5 2 y5   xy 5 (*) Thay (*) vào (2): y 3 y 2 1 (3)

Nh}n (3) với lượng liên hợp: 5 y 3 y2 (4)

(3), (4) y   3 3 y 6

ĐS:  1; 6

24391 ( 1)2x xy yxxxxyxy y           Lần 1– THPT HÀ HUY TẬP

Trang 19

2222(1)pt x x   y y x x   x xx x  yx x  x yy x 2 x 2 1 0xyxx          L}̣p lu}̣n 2 x 2 1 0x  yx x   với x1; y0

Với x y thay vào pt(2): 1 ( 1) 9

2x x  x  x x  2 1 2 1 8 0xxxx        (2’) Giải pt(2’) được: 25 256 6x  yGiải pt(2’) được: 25 256 6x   y

V}̣y hpt có nghiệm 25 25;

6 6

 

 

 

Bài 36: Giải hệ phƣơng trình:  

222 1 1 1 ,3 8 3 4 1 1 xxyxyxx yRxxxy             Lần 2 – THPT HÀ HUY TẬP

Điều kiện: 11xy    1 3 2  2  1 13  1 2 11 1 1xx xxxxyxyyyxxx            331 11 1xxyyxx         

Xét hàm sớ   3

f t  tt trên R cĩ   2

3 1 0

f t  t    tR suy ra f(t) đờng biến trên R Nên

 1 11 1xxffyyxx         

2

3x 8x 3 4x x1

Xét h|m số   3

f t  tt trên R cĩ   2

3 1 0

f t  t    tR suy ra f(t) đờng biến trên R Nên

 1 11 1xxffyyxx         

Trang 20

Với 3 2 3 4 3 32x   y  Với 5 2 13 41 7 139 72x    y  C{c nghiệm n|y đều thỏa mãn điều kiện

KL: Hệ phương trình có hai nghiệm  4 3 3

; 3 2 3;2x y       5 2 13 41 7 13& ; ;9 72x y       

Bài 37: Giải bất phƣơng trình: 1x x2 1 x2 x 1(1 x2 x 2)

Lần 2 – THPT ANH SƠN 2

Bất phương trình đã cho tương đương

2222(x x  1 x  x 1 x    x 2) (1 x   x 1) 022222( 1)(2 2) (1 )01 1 2 1 1xxxxxx xxxxxxx              222222 2( 1)( ) 01 1 2 1 1xxxxx xxxxxxx           (x 1).A 0   (1) với 222222 21 1 2 1 1xxxAx xxxxxxx          Nếu x0thì 2222221 11 2 12xxxxxxxx xxxx               2221 2 1 0xxxxx x         A 0Nếu x>0 , {p dụng bất đẳng thức AM-GM ta cĩ: 2222222221 2 31 22 21 112 2xxxxxxxxxxxxx xx                  22221 2 1 2 2xxxxx xxx         21 01 1xAxx      vì 2 11 1xxx  

Tĩm lại , với mọi x ta cĩ A>0 Do đĩ (1) tương đương x   1 0 x 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho l| (1;)

Chú ý : Cách 2 Phƣơng pháp hàm số Đặt u  x2 x1u2  x2 x1 thế v|o bpt đã cho ta cĩ 11)11(122222222xxxxuuuuuuxxxxuXét f(t)t2ttt21) ttttt

f'( )(  21)2 2 10 nên h|m nghịch biến trên R

Trang 21

22222 2 1 2 3 4 2 1,2 1 2xyxxxxyx yxyyxx              Lần 1 – THPT THỰC HÀNH CAO NGUYÊN

Từ phương trình thứ hai của hệ ta cĩ: 2

1 2

y  x  x

Thay v|o phương trình thứ nhất ta được: 2  2

1 1 1 2 1 2x   x   x  x          2   2 221 2 ' 1 2 0,2tf tttftttt           Cho ta 1 1 02x       xxy Nghiệm của hệ :   1; ; 02x y     

Bài 39: Giải bất phƣơng trình:  2  32

5x 5x10 x 7 2x6 x 2 x 13x 6x32

Lần 1 – THPT ĐỒN THỊ ĐIỂM

Điều kiện x 2 Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình

2232(5 5 10) 7 3 (2 6) 2 2 3(5 5 10) 2(2 6)13 6 32               xxxxxxxxxxx232(5x 5x 10) x 7 3 (2x 6) x 2 2 x 2x 5x 10 0              5 2 5 10 2 6 22 5 07 3 2 2xxxxxxx              Do 2 2 2 2 1 122 2xxx         và vì 2x 6 0 2 6 2 6 322 2xxxx      (1) Do x  2 7 3 5 3 5 1 157 3xx        và vì 25x 5x100  x222225 5 10 5 5 10 5 5 102 5 357 3 7 3xxxxxxxxxxxx                   (2) Từ (1) và (2) 225 5 10 2 65 07 3 2 2xxxxxx          Do đĩ (*)     x 2 0 x 2Kết hợp điều kiện x     2 2 x 2.

Bài 40: Giải hệ phƣơng trình:  3221 1 3 22 4 2 4 2x yxxyxyxyxxy               Lần 1 – THPT ĐỒN THƢỢNG

ĐKXĐ x 2,y 4 2232

(1) y (x  x 3)yx x 2x 2 0

Giải pt bậc 2 ta được y x 1 hoặc 2

2

yx  Với y x 1 thay v|o PT (2) ta được

2

2 5 2 4 1

x  x  x  x  x

Với y x 1 thay v|o PT (2) ta được 2

2 5 2 4 1

Trang 22

222 2 3 1 ( 1) 3xxxx          Xét hàm số 2( ) 3f t  tt  cĩ 2'( ) 1 0, ( )3tf ttf tt      đồng biến trên Xét h|m số 2( ) 3f t  tt  cĩ 2'( ) 1 0, ( )3tf ttf tt      đồng biến trên Vậy  2 1 2 1 1 0 2 13 132 ( 1)2xxfxf xxxxxx               3 13 5 132 2x  y     Với 22

yx  thay v|o PT (2) ta được

Với 2

2

yx  thay v|o PT (2) ta được

2222222 6 2 4 2 1 6 2 4 1x  x   x  x  x  x   x   x  x x 221 2 2( 1)( 1)2 1 6 2 4xxxxxxxx          221 0 1 31 2 7 8112 1 6 2 4 4 16xxyxxyxxxx                     Vậy hệ cĩ 3 nghiệm l| 3 13 5 13  7 81; , 1;3 , ;2 2 4 16            

Bài 41: Giải hệ phƣơng trình:  23

22224 2 7 2 85 50 7 132 3 4 4 3 2 3( )yxyxyyxxxyyxxyyxy                 Lần 2 – THPT ĐỒN THƢỢNG

- Ta cĩ 2 2 3 4 2 ( x7 11y)2 23(x y)2 ( x7 11y)26 6 36 6 6x  xy y       - Nên 2 2 3 4 2 ( x7 11y)2 7x 11y 7x 11y6 6 6 6 6 6x  xy y       - Tương tự 4 2 3 2 2 (11x 7y)2 11x 7y 11x 7y6 6 6 6 6 6x  xy y      

- Cộng lại ta được : 2x23xy4y2  4x23xy2y2 3(x y) dấu bằng xảy ra khi

0

x y

Chú ý : Cách tìm các hệ số 7 11 23; ;

6 6 36 trên như sau :

Do tính đối xứng nên giả sử :

Trang 23

Khai triển và đồng nhất hệ số ta cĩ hệ số của x là

22243 3(x y)acbcabdo VP       

Trừ từng vế (1) cho (2) và kết hợp với (3), ta được

7 11 23; ;6 6 36a b c .  23(1) 4 2 7 2 85 57 13PT  xx   x   x x x-  23(1) 4 2 7 2 85 57 13PT  xx   x   x x x 24 xx 2 7 2x 5 x  x 4 1           Áp dụng bất đẳng thức bunhia copki ta cĩ : - Áp dụng bất đẳng thức bunhia copki ta cĩ : 22222(4 x) 1 (x 2) (7 2 x) (4 x) 1 (5 x)VT              24 xx 2 7 2x 5 x  x 4 1        

  Dấu bằng xảy ra khi

4 132 7 2xxxx     , nghiệm (x; y)(3;3)

- Dấu bằng xảy ra khi 4 1 3

2 7 2xxxx     , nghiệm (x; y)(3;3) -

Bài 42: Giải phƣơng trình: 3(2 x2) 2 x x6

Lần 1 – THPT ĐƠNG DU

Vậy pt cĩ tập nghiệm S 3

Bài 43: Giải bất phƣơng trình: 2x 7 5 x 3x2

Lần 2 – THPT ĐƠNG DU

+ ĐK: 2 5

3 x Biến đổi PT về dạng

2x 7 3x 2 5x

+ Bình phương hai vế, đưa về được 2

Trang 24

+ Giải ra được x1 hoặc 14

3

x

+ Kết hợp với điều kiện, nhận được 2 1

3 x hoặc 14 5

3  x

33233 4 2 0( , )3 2 2xyyxyx yxxxy            Lần 3 – THPT ĐƠNG DU

Điều kiện: x 2  3 3323(1)x   x 2 y 3y 4yx   x 2 y1  y 1 2 Xét hàm số   32f t   tt trên  2;  Xét h|m số   32f t   tt trên  2;  Ta cĩ:   2 ' 3 1 0, 2;ft  t      t

Mà f t  liên tục trên  2; , suy ra h|m số f t  đồng biến trên  2; 

Do đĩ: x y 1 Thay y x 1 và phương trình (2) ta được: 3

3 2 2 1

x   x 

Thay y x 1 v| phương trình (2) ta được: 3

3 2 2 1x   x 32 2 2 2 2 28 2 2 2 2 2 42 2xxxxxxxx              2 2 2 4 2 2 2 2 2 4  2  02 2 2 2xxxxxxxxx                    x     2 0 x 2 y 3 2 2 2 22 4 0 2 42 2 2 2xxxxxx           (*) Ta cĩ 2 2 2 2 4 1 3 3; 1, 2;2 2VTxxxVPxx             Do đĩ phương trình (*) vơ nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho cĩ nghiệm duy nhất    x y;  2;3

Bài 45: Giải bất phƣơng trình: 32

( 1) 5 8 6

x x x  x  x ( x R )

Lần 1 – THPT ĐỒNG GIA

Điều kiện: x 0. (1) 322( 6 12 8) ( 4 4) 2x xxxxxxx          332( x) xx (x 2) (x 2) (x 2)         (2) Xét hàm số f(t) = t3 + t2 + t, cĩ f’(t) = 3t2 + 2t + 1 > 0, t Xét h|m số f(t) = t3 + t2 + t, cĩ f’(t) = 3t2 + 2t + 1 > 0, t.Do đĩ h|m số y = f(t) đồng biến trên R, mặt kh{c (2) cĩ dạng   2 2

Trang 25

+) Với 0 x 2 l| nghiệm của (3)

+) Với x > 2, bình phương hai vế (3) ta được 2

5 4 0 1 4

x  x    x

Kết hợp nghiệm ta được 2 < x 4 l| nghiệm của (3)

Vậy nghiệm của (3) l| 0 x 4, cũng l| nghiệm của bất phương trình (1)

222 2 2 (1)1 2 (2)xxyyyxy xyx        Lần 2 – THPT ĐỒNG XỒI

ĐK: x  y 1 0.222 (3)(1) 2 2 0 ( )( 2 2) 02 2 (4)xyxyxyyyxxy xyxy                Từ (3) & (2) ta cĩ x=y=1  Từ (4) & (2) ta cĩ 0; 22 21 8; 3 3 23 3yxxyyxyyy          

Vậy hệ phương trình đã cho cĩ 3 nghiệm           8 1

; 1;1 ; ; 2;0 ; ; ;

3 3

x y  x y  x y   

 

 

222 3 1 13 6 2 3 7 2 7xxyyyyxyxyx             Lần 1 – THPT ĐỒNG ĐẬU

Điều kiện 01 62 3 7 0xyxy      Với điều kiện trên ta cĩ :

1(1) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) 011( 1 ) 1 01yxyx yxy yxyxyxyxyyx                      111 0 (*)1yxyxyyx         + Với 01 6xy  

 , suy ra phương trình (*) vơ nghiệm

+ Với y x 1 thay v|o (2) ta được 3 5 x 3 5x 4 2x7 (3)

Điều kiện 4 5 ĩ :

Trang 26

222(3) 7 3 5 3( 5 4) 03 5 47 9 507 3 5 5 41 35 4 07 3 5 5 4xxxxxxxxxxxxxxxxxx                            2 15 4 041 30( )7 3 5 5 4xxxxVNxxxx            

Vậy hệ phương trình đã cho cĩ nghiệm là ( ; ) (1;2) à ( ; ) (4;5)x y  vx y 

Bài 48: Giải hệ phƣơng trình:  

 323222 2 4 2 14 6 5 1 2 1 4 2xxyxyx yyxxyy           Lần 1 – THPT ĐỨC THỌ

(1) 22

(x 2 )(2yxy 1) 0 x 2y

       Thay v|o (2) ta cĩ phương trình

24x   x 6 2x 1 5 x1 (3)2214 6 (1 2 ) 5 1 14 6 1 2xxxxxxxxx           24 6 1 2 11 0 1(4)xxxxxx         Kết hợp (3) v| (4) ta được 212 72 1 2 1 224 8 3 0xxxxxx          

Kết luận: Phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm: 1; 2 7

2

x  x 

Bài 49: Giải hệ phƣơng trình:   32 1 0 1(3 ) 2 2 2 1 0 2xyxxyy        Lần 1 – THPT CAM LÂM

Điều kiện 2 1

2

x va y

(2)   1 2 x 2  x 1 2y1 2y1

Xét h|m số f(t) = (1 + t2)t = t3 + t

f’(t)= 3t2 + 1 > 0 t  R Vậy hàm số tăng trên R

(2)  f  2x  f 2y 1 2 x 2y1  2 – x = 2y – 1  2y = 3 – x

Trang 27

Bài 50: Giải hệ phƣơng trình:  , 

541062 4 5 8 6 x yxxyyyxy      Lần 2 – THPT CAM LÂM

ĐK: 5

4

x 

Nếu y 0thì từ phương trình (1) ta suy ra x0,

          2222 (1)2 32 5 3 4 5 3 (2)xyxxyyxyxxyxxyx Lần 1 – THPT GDTX NHA TRANG

Ta cĩ 22x y2 = 14(x+y)2 + 14(x - y)2 14(x+y)2222x y 1x y212(x+y) (3)

thế v|o phương trình (2) ta thấy khơng thỏa mãn, vậy y khác 0

vậy 2(3) f k( ) f y( )   kyxy . Thế vào (2) ta được 24 5 8 6 5 13 2 4 37 40 3622 4 37 40 23 5xxxxxxxx             23 5 02 216 148 160 25 230 529235 23 512 19 378 369 041xxxxxxxxxxxx               

Trang 28

và 2  23xxyy= 14(x+y)2 + 112(x - y)2 14(x+y)2223x xyy 1x y212(x+y) (4) Từ (3) và (4) suy ra 22222 3xyxxyyxy     

Đẳng thức xảy ra khi v| chỉ khi x = y v| x + y 0

(1) x = y và x 0

Thay y = x v|o phương trình (2) ta được : x 2x25x3= 4x2 -5x – 3 (2’)

+ Với x = 0 thì x = 0 khơng phải l| nghiệm của phương trình (2’)

+ Với x > 0 thì (2’) 2 5 32xx  = 4 – (5x + 32x ) Đặt t = 2 5 32xx  , (t 0),

ta cĩ phương trình: t2 + t – 6 = 0 t = 2 hoặc t = – 3 (loại)

- Với t = 2 2 5 32xx  = 2 2 + 5x + 32x = 4 2x2 – 5x – 3 = 0 x = 3 hoặc x = 12 (loại)

Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm    x y;  3;3

222( ) 4 1( ) 2 7 2x xyyxx xyyx        Lần 2 – THPT GDTX NHA TRANG

+ nhận thấy x=0 khơng thỏa

+ Khi x0ta cĩ hệ tương đương

222141( ) 2 7yxyxyxyx      + Đặt 21xyaybx    ta cĩ hệ phương trình 242 7a bab   giải ra ta cĩ 3 51 9aabb       + Từ đĩ tìm được 2 51 2xxyy       

Trang 29

Lần 2 – THPT HẬU LỘC

Ta thấy x0 khơng phải l| nghiệm của hệ, chia cả hai vế của (1) cho 3

x ta được   4 32 13 1 2 2 2 y 3 2yxxx        31 11 1 3 2y 3 2y 3 2y *xx                Xét hàm   3

f t  tt luơn đồng biến trên

  1  * 1 3 2y 3x    Thế (3) v|o (2) ta được 332 15 1 2 3 2 15 0x    xx     x 23301 17 02 3 4 2 15 15xxxx               

Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm   111

; 7;

98

x y    

Bài 54: Giải phƣơng trình: 6

24515x x  xx2  x x Lần 1 – THPT HỒNG HOA THÁM

ĐK : 5 x1, đặt y 5x  1x 0, PT  6 6 321321 2 2 yyxx (*) Xét h|m số   3, 021 2 tttt

f , f/ t t10,t0 nên h|m số luơn đồng biến trên

0; (*) f y  f x6584126  yxx (thỏa đk)

33222232(4 x ) 12 2 ( 3) 1 02 5 6yxyx yyxxx            Lần 2 – THPT HỒNG HOA THÁM

Trang 30

Từ phương trình : 3223(8x 12x 6x 1) y (2x 1) 2y 0       3 3 2 32222222 1 (2 1) 02 1 (2 1) (2 1) 2 07(2 1 ) (2 1 ) 02 42 17(2 1 ) 02 4xyxyyxyxyxyyyxyxyxyyx                               Với 2 272 1 02 4yyx        22 1 0 1227004yxxyy           

Thay v|o phương trình 32

2 5 6y x x  x 3 9 1 12 62 4 2    vơ lý Với y2x1Suy ra : 322x1 x 5 x  x 6 Điều kiện : 22 3 0 26 0xxxx     233323322332232 236 2 3 5 02 3 5 1 5 2 6 0( 2 3) 5 ( 3 2 6)2 6 02 3 ( 1) ( 1) 5 ( 5)( 1) 5 ( 2)3 2 02 3 1 3( 1)52 43xxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx                                                          Vì  22 231 2 3 ( 2)2 4 02 3 1 3( 1)52 4xxx xxxxxxx                 KẾT LUẬN:

Bài 56: Giải bất phƣơng trình: x 1 1 1 x 1

xxx



   

Lần 1 – THPT HỒNG LĨNH

).+ ĐK: x [-1; 0)[1; +)

Lúc đĩ:VP của (1) khơng }m nên (1) chỉ cĩ nghiệm khi:

1 1 1 1

1 1 1

xxx

xxxx

         Vậy (1) chỉ cĩ nghiệm trên (1; +)

Trên (1; +): (1) <=> x 1 1 x 1 x 1 x 1 1

xx

 

Trang 31

Do 21 11 xx 0xxx     khi x > 1 nên: (1) <=> 221 1 1 11 x 2 x 1 2 x 1 0xxxxxx          <=> 22221 1 12 1 0 ( 1) 0xxxxxx         <=> 1 52x  Vậy nghiệm BPT l|: 11 52xx 

Bài 57: Giải hệ phƣơng trình: 322 

26 3 3 24 2 1 1xxyyxyxxyxy           Lần 1 – THPT HỒNG QUANG

HD: Coi phương trình (1) l| phương trình bậc hai ẩn y, g{n x1000rồi bấm nghiệm ta được

ph}n tích nh}n dạng nh}n tử:   2 3 21 3 2 1 02 1yxyxyxyx          

Từ phương trình (2) ta cĩ: y1 nên y 3x2 khơng thỏa mãn

Thay y2x1 v|o phương trình (2) ta được 4x22x 3 x 1 2x

Khảo s{t casio thấy x2 l| nghiệm đơn nên cĩ thể truy ngược dấu để liên hợp, hoặc bình

phương liên tiếp khử căn ĐS: x  2 y 5

Bài 58: Giải hệ phƣơng trình:  2  2 

2016 504 10086 4 1 8 6 1xxyyxxxyxyx           Lần 2 – THPT HỒNG QUANG

HD: Phương trình (1) tương đương:

 2 22016 2016 2 22xxyyxy         (Chú ý: 22 0 0

Trang 32

22222222 6 1 4 6 1 0252 6 1 04 212 6 1 33 112 6 1 22xxxxxxxxxxxxxxxxx                           ĐS:   1 3 11 3 11; 1; ; ;2 2 4x y               

Bài 59: Giải phƣơng trình: x2  x 6 x  1 x 2 x  1 3x2 9x 2

Lần 3 – THPT HÙNG VƢƠNG – BÌNH PHƢỚC

 2  6  1 1  2  1 2 2 2 10 12ptxxxxxxx  222222226 2 2 32 10 121 1 1 25 6 2 5 62 5 61 1 1 22 15 6 2 01 1 1 21 1 15 6 01 1 1 21;2 3;xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx                                                      

223 5 44 2 1 1xxyxyyyyxyx            Lần1 – THPT KHÁNH SƠN

Đk: 2204 2 01 0xyxyyyxy        Ta cĩ (1)  xy 3 xyy 1 4(y 1) 0 Đặt u xy v,  y1 (u0,v0) Khi đĩ (1) trở th|nh : 223 4 0u  uv v 4 ( )uvuv vn   

 Với uv ta cĩ x2y1, thay vào (2)

ta được : 2

Trang 33

Với uv ta cĩ x2y1, thay v|o (2) ta được : 2

4y 2y 3 y 1 2y24y 2y 3 2y 1 y 1 1 0         22 2 201 14 2 3 2 1yyyyyy       2 2 12 01 14 2 3 2 1yyyyy             22 2 201 14 2 3 2 1yyyyyy        2 2 12 01 14 2 3 2 1yyyyy             2y  ( vì 22 10 11 14 2 3 2 1yyyyy         )

Với y2 thì x5 Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT l|  5; 2

Bài 61: Giải hệ phƣơng trình: 

             28 2 1 2 2 1 2 4 ;4 2 2 2 5 12 6 xxxy yyx yxyyyxyx Lần 1 – THPT KHỐI CHÂU

ĐK: 122 2 0xyyx    Từ pt (1)  dể pt cĩ nghiệm thì y0PT   3  2 321  2 2x1 2 2 2x1 4 2 2x 1 y 2y 4y (*) Xét h|m số f t  t3 2t2 4 t t 0 cĩ   2 2  23 4 4 2 2 0 0f t  t   tt  t   t nên f(t) luơn đồng biến Từ pt (*)  f 2 2x 1 f y 2 2x 1 yTừ pt (*)  f 2 2x 1 f y 2 2x 1 y

Thay v|o pt ( 2 ) ta được pt y32y2 y 2 3y y 2 Đặt z y2 ta được pt

 2   332 2 2 3 2 0 /yz loạiyzyzy zyzy zt m       Đặt z y2 ta được pt 3 3 2  2  2   2 3 2 0 /yz loạiyzyzy zyzy zt m       Với y = z ta được y y    2 y 2 x 1 ( / )t m

24 (1)9 3 3 3 2 (2)xyxyxyxyx           Lần 1 – THPT KINH MƠN

Trang 34

Đk: 23; 00; ; 43; 4 ;9; 3 33xyyxyxyyxyxyxyx             

Từ (1) suy ra VT(1) 0 nên bình phương hai vế ta cĩ :

222222 2 4 2 2220( )4 4 4( )4 4xxyxyyxxyyxyxylyxyxxyyx                  Thay y = 4x-4 vào (2) ta cĩ: 29 3 1 2x   x  (3) Giải (3): 222225 3( 5)(3) 9 4 3( 1 2)( 1 2)9 45 165 3(4)( 1 2)9 4xxxxxxxyxxx                   Do 225 53 9 149 4xxxxxxx         và 31 1 1 2( x 1 2)   x  x  luơn

đúng khi x3 nên (4) vơ nghiệm

Vậy x= 5 ; y =16 l| nghiệm duy nhất của hệ phương trình.

223 5 44 2 1 1xxyxyyyyxyx            Lần 1 – THPT LAM KINH

Đk: 2204 2 01 0xyxyyyxy         Ta cĩ (1)  xy 3 xyy 1 4(y 1) 0 Đặt u xy v,  y1 (u0,v0) Khi đĩ (1) trở th|nh : 223 4 0u  uv v 4 ( )uvuv vn   

Với uv ta cĩ x2y1, thay v|o (2) ta được : 4y22y 3 y 1 2y

Trang 35

( vì 22 10 11 14 2 3 2 1yyyyy         )

Với y2 thì x5 Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của hệ PT l|  5; 2

2222 5 2 2 1 3 31 4 5 2 2xyxyxyyxxxyxyxy                  Lần 2 – THPT LÊ LỢI

* ĐK: y2x 1 0,4x  y5 0,x2y 20,x1* Xét trường hợp: 2 1 0 1 0 03 3 0 1 1 10 1yxxxy                (Khơng TM hệ)

* Xét trường hợp: x1,y1 Đưa PT(1) về dạng tích ta được

2( 2)(2 1)2 1 3 3xyxyxyyxx        1( 2) 2 1 02 1 3 3xyyxyxx             Do y2x 1 0 nên 1 2 1 0 2 02 1 3 3 yxxyyxx           

* Thay y 2x v|o PT(2) ta được x2  x 3 3x 7 2x

22 3 7 1 2 2xxxx         ( 2)( 1) 3 6 23 7 1 2 2xxxxxx        3 1( 2) 1 03 7 1 2 2xxxx              x 2 0 (vì x1 nên 3 1 1 03x 7 12 2 x   x    ) * x      2 0 x 2 y 4 (TMĐK) Nghiệm của hệ l| ( ; ) ( 2; 4)x y   

Bài 65: Giải hệ phƣơng trình: 7x225x 19x22x357x2

Lần 1 – THPT LÊ LỢI

Điều kiện x7

Phương trình tương đương 22

7x 25x19 7 x 2 x 2x35

Bình phương 2 vế suy ra: 2

Trang 36

Với 3a = 4b suy ra 61 11137( / ); 61 11137( )18 18x  t mx  l Đs: 3 2 7 ; 61 1113718x  x .

Bài 66: Giải hệ phƣơng trình:  2  2

23 x 2x 3 7x 19x 1216x 11x 27x 4 1 12 7x        

Lần1 – THPT LÊ QUÝ ĐƠN

Điều kiện : 124 x7x 3     (*)    1 x 1 3 x 4 12 7x 16x 24 0x 13 x 4 12 7x 16x 24 0 2                22222 3 x 4 12 7x 9 x 4 12 7x3 x 4 12 7x 3 x 4 12 7x 3 x 4 12 7x3 x 4 12 7x 1 3 x 4 12 7x 19 x 4 12 7x 1 2 12 7x23 12x2 12 7x 16x 23 16 748 28x 256x 736x 52923 12x23 12x 16 716 7256x 764x 481 0                                                   382 6 633x256382 6 633x256      

Kết luận nghiệm của phương trình l| : x1 , x 382 6 633

256

 



  2 3 3 3 1 2 1,3 1 1 2 3 1 2xxyxyxyyx yxyyxxx                   Lần 3 – THPT LƢƠNG TÀI 2

Trang 37

  2  33 3 1 2x 3 1 2xxxxxx         2  3 5( )3 1 2 1 2x 3 *xytmxxxx         (*) 2 21 2 1 2 1 2 1 2xxxx                 Xét hàm số    2 2 2f t  tt  , t0 cĩ f ' t   0 t Suy ra f t  đồng biến mà f  x 1 f x  1 x  1 x 1 213 53x 0xxyx      Vậy hpt cĩ nghiệm:  3;5 Bài 68: Giải hệ phƣơng trình:

22 1 13 6 3 2 3 7 2 7xy y y x y xy x y x             Lần 1 – THPT LÝ THÁI TỔ

Điều kiện: x0 1,  y 6 2, x3y 7 0 (*) Nhận thấy 10yx

khơng l| nghiệm của hệ phương trình y 1 x 0 Khi đĩ,

PT 2 11 1 11y x( ) x(y ) (y )y x       Khi đĩ, PT 2 11 1 11y x( ) x(y ) (y )y x       1 1 11y x(y )(x y )y x       1 1 1 01(x y ) yy x                 x y 1 0 y x 1 (do (*))

Thay v|o PT (2) ta được: 3 5 x 3 5x 4 2x7 ĐK: 4 5/  x 5 (**)

Trang 38

Vậy nghiệm của hệ phương trình l|: 1 2( ; ), ( ; ) 4 5

Bài 69: Giải bất phƣơng trình: x320x24x4x2x x4 x

Lần1 – THPT LÝ THƢỜNG KIỆT

:  x , (*)ptxxxxxxxxx22020 4 2 4 020 4 2 4 0               (*) xxxx4 220 1 2  0         ; Đặt tx ;tx22 2   Ta được bất phương trình ttt2 t1323 4 15 0      Đ{p số: S[ ; ] [ ;0 1  4)

Bài 70: Giải phƣơng trình: 543 

4322 3 14 214 3 2 12 2x x x 4x x x .x x            Lần 2 – THPT BLÝ THÁI TỔ

Điền kiện: x 2(*) PT 32432 2 3 14 4 14 3 2 2 2x ( x x ) ( x x x ) x         3432343234322 2 7 2 2 4 14 3 2 2 42 2 7 2 2 4 14 3 2 22 0 22 7 2 2 4 14 3 2 1x (x )( x ) x ( x x x )(x )x (x )( x ) x ( x x x )(x )x x (thỏa mãn(*))x ( x ) x x x x ( )                             3434321 2 7 2 4 14 4 14 3 2( )x ( x ) x  x  x  x  x  x  322 7 2 3 2x ( x ) x x    

Nhận thấy x0 khơng l| nghiệm của phương trình  x 0

Trang 39

Vậy nghiệm của phương trình đã cho l|: 1 5 2

2

x  ,x

Bài 71: Giải hệ phƣơng trình:  3 2 2 

5 1 1x x 4x 25x18

Lần 1 – THPT MARIE – CURIE

Điều kiện: x 1  3 2 2 5 1 1x x 4x 25x1834325 5 1 x 4x 25x 18x     334225x 25 5 1 x 4x 18x 20       3  3  42  225 x 1 5 1 x 4x 16x 16 2x 4        2 233225 1 x 5 1 x 2x 4 2x 4        (1) Hàm số   2

f t  tt đồng biến trên 0; nên

 3 2 (1) f 5 1x  f 2x 4 3  2 5 1 x 2 x 2     2  2 5 x 1 xx 1 2 x 1 xx 1            (2) Đặt: u x 1 0 và 21 0v x   x (2) thành:  22 225 2 2 5 2 012uuuvuvuvuvvv                   Với u 2v  : 2211 2 14 5 3 0xxxxxx         vơ nghiệm Với 12uv  : 221 5 372 1 125 3 0xxxxxxx          

Phương trình cĩ hai nghiệm: 5 37

2

x .

2232

(x 2)(x 2 2x 5) 9 (x 2)(3 x 5 x 12) 5x 7

Lần 3 – THPT MINH CHÂU

Trang 40

ta suy ra bất phương trình đã cho cĩ nghiệm l| 5

2

2 x

  

3232222 2 4 2( , )2 2 16 11 38 7 2xxyxyx yyx yyxyyxxy                    Lần 2 – THPT MINH CHÂU

+) ĐKXĐ: x 1 (*) +) 322322(1) ( 2 ) (2 4 ) ( 2 ) 0 ( 2 )(1 2 ) 0 2pt  xy  x  x y  xy  y   xy  x y   xyVì 221 2 x y 0,x y, Thế v|o (2) được: 2  2 222( ) 161 4 322 1 3 1 1 34 7 2 2 4 7xxxxxxxxxxxxx                     28 4 1 84 7 1 3xxxxxxx        2  84 134 7 1 3xxxxxx       +) x  8 y 4 (tm) +)    2 3 1 3 4 1 4 7pt  x  x  x x  x+)    2 3 1 3 4 1 4 7pt  x  x  x x  x  2 21 3 1 3 2 3 2 3x  x  x  x                (4) +) Xét h|m số    2 3 3f t  tt  với t cĩ   2' 3 1 0,ft  t   t

nên f t  đồng biến trên

+) M| pt(4) cĩ dạng: f  x 1 f x 22222 3 3224( 2) 3( 2) 5( 2)( 2) 5 9 0(*)2 5 3 5 3 9 3 5 7 5 7xxxxxxxxxx                        Ta cĩ với 222232324( 2) 4 3( 2) 3( 2); ( 2)3 52 5 3 5 355( 2) 5( 2)299 3 5 7 5 7xxxxxxxxxxx                  2222 3 3224( 2) 3( 2) 5( 2)5 92 5 3 5 3 9 3 5 7 5 7xxxxxxxxx               218 57 127 50,45 2xxx    

Do đĩ (*)    x 2 0 x 2, kết hợp với điều kiện 5

2

Định dạng
Số trang	92
Dung lượng	2,44 MB