Tuyển tập chọn bất đẳng thức năm 2016

Trang 1

BẤT ĐẲNG THỨC 2 BIẾN

Trang 2

A BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG

Bài 1: Cho 2 số thực ,x y thay đổi thỏa x2 y2 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  332 3P x y  xyBài giải  33 222323223P x y  xy xyx xyy  xy xy xy  xyĐặt t = x + y ĐK : t 2,222txy 332632P  tt  t , với t 2Xét 332( )632f t   tt  t trên [-2,2]   2   1' 3 3 6; ' 02tftttftt         Ta có   13     1 ; 2 1; 2 72f  f  f     2,213max2f t

 khi t = 1 nên max 132P 2 212xyxy   131322131322xxyy         2,2min f t 7

  khi t = -2 nên minP = - 7 2 2 2

2xyxy       xy 1

Bài 2: Cho x0 và y0 thỏa điều kiện x y2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

11xyxyP Bài giải Ta có 1202 

 xyxy Đặt t xy, điều kiện 0 t 1 khi đó

Trang 3

+321010P/PxVậy GTLN 23P Khi x1; y1

Bài 3: Cho a b,0 thỏa mãn  22 22

2 a b a b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2211 1 1abPbaab     Bài giải Ta có 2 2  2 222a b  a b  a b ab a b2 2 222221 2 1 2 1 11 1aba baba ba ba baba b                  222211 1 21 1 11 1 11 21 1 14 11 22 1abPbaaba bababa ba ba b                                 Đặt t a b, ta có 2  2 2  2 42 416a ba babab  a b       Xét   4 1 12;421tf tttt ta được   5inf23MinPMx  khi x y

Trang 4

Suy ra 3 2 2 3 22 2 12 51 2xyxyxyPxyttxyxyxyt             Xét hàm số   21252f tttt    với t2Ta có   22'210,2ftttt

     Suy ra hàm số f t  nghịch biến với t2

   3

22

Pf tf

 

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3

2 khi x y 1

Bài 5: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện (x y)34xy2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức

22 22

3( ) 2( ) (3 4) 2015

P x y  x y xy xy 

Bài giải

Với mọi số thực ,x y ta ln có (x y)2 4xy, nên từ điều kiện suy ra

32332

(x y)  (xy)  (xy) 4xy  2 (xy)  (xy)     2 0 xy 1Ta biến đổi P như sau

2015)43()2(2)(23)(2322222222 xyxyxyxyxyxyP2015)(2)(23)(232224422 xyxyxy (3) Do 2)(22244 xyyx   nên từ (3) suy ra ()2()20154922222 xyxyP Đặt x2 y2t thì 21t (do xy1) Xét hàm số 2201549)(t  t2  tf với 21t , có 2029)(' t  tf , với 21t nên hàm số f(t) đồng biến trên  ;21 Suy ra 163223321)(min;21  ftft Do đó GTNN của P bằng 1632233

, đạt được khi và chỉ khi

21

 yx

Bài 6: Cho các số dương x, y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trang 5

Thật vậy, 22222222222222281 1 1 123 3 3 33 3xyxyxyxyxyxyxy                    Xét 222222222222222 2 2 2 242222222224 2 3 38 43 3 3 34 1 1 203 3 3 3xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy                       

Dấu “=” xảy ra khi x = y

Như vậy, 32 23Pxyxy  Đặt, t 1 ,t 0xy  Xét hàm số 322( ) 2 '( ) 2 2 ; '( ) 0 13tf t  t  f t   tf t    tBảng biến thiên t – –1 1 +f’(t) – 0 + 0 –f(t) 4/3 Từ BBT ta thấy GTLN của f(t) là 43 khi t = 1 Vậy, GTLN của P là 43 khi 12x y

Bài 7: Vớ i mo ̣i số thực x,y thỏa mãn điều kiê ̣n  22

2 x  y xy1Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

Trang 6

Suy ra: 22222 22 7 2 12 1 4 2 1xyx yttPxyt      

Xét hàm số   72 2 14 2 1ttf tt   có    227 0' ; ' 012 2 1tttftfttlt          1 1 2 1; 05 3 15 4f  f  f       Vậy giá trị lớn nhất bằng 14 , giá trị nhỏ nhất bằng 215

Bài 8: Giả sử ,x y là các số thực dương thỏa mãn 2  2 2 

3 xy 4 x  y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 22 22 2xyxyPxyxy   Bài giải Ta có 22  22 2221333 222xyxyxyxxyxyxyyxyxyyxyxy xy

Tương tự, ta cũng có 22

213.22xyyxyxyxy xy  

Mă ̣t khác, ta cũng có 2

223

xy

xyxy 

 , vì bất đẳng thức này tương đương với

22224 22 2 5 3xyxyxyxy   , hay 20xy 

Từ đó ta có 2 3 2 3 2

2 2 3xyPxyxyxyxyxyxy              Suy ra 4Pxy (1) Từ giả thiết ta lại có 2  2 22

3 xy 4 x y  4 2 xy 4

Suy ra 2

4

xy  , hay x y 2 (2)

Từ (1) và (2) ta có P2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 1

Vâ ̣y giá tri ̣ lớn nhất của P bằng 2, đa ̣t được khi x y 1

Bài 9: Cho hai số dương x y, thoả mãn 22

1

x y  Tìm giá tri ̣ nhỏ nhất của biểu thức

Trang 7

La ̣i có 22

0x y,  1 xx ,y y   xy 1. vâ ̣y 1 t 2

Xét hàm số   221

f ttt

 

 trên nửa khoảng 1; 2Có f  2  4 3 2Kết luâ ̣n:   124 3 2;min Pmin f t  

Bài 10: Cho x và y là hai số thực dương thay đổi thuộc nửa khoảng (0;1] và x+y=4xy Tìm gía trị lớn

nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P= 22221 1 16x yxyxy       Bài giải Ta có: 42 1.4xy  xyxyxy1; y(0;1](1)(1)01 ()01 403x  x y    xy xy   xyxy xy P = 2222221 1 1 1 ( ) 2( )6 6 ( )xyxyx yxyxy xyxyxy               2184()33xyxy Đặt t = xy thì P = 218( )33tf tt  với 1 1;4 3t     3221 24 1 1 1'( ) 8 0, ;3 3 4 3tf ttttt  

       suy ra f t( )nghịch biến trên đoạn 1 1;4 3    Do đó 1 (t) 1 , 1 1;3 4 4 3f   f  f    t             maxP = 1312

 đạt được khi và chỉ khi 1

2

x y minP = 11

9

 đạt được khi và chỉ khi 1; 13

x y hoặc 1;1.3

x y

Bài 11: Cho hai số thực thỏa mãn x1;y1 và 3 (x + y) = 4xy Tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = x3 y3 3 13 13

Trang 8

Xét hàm số g(x) 3 243xx trên [1;3]9( )34 g x  Vậy [ ;3]94tKhi đó 3 3 33333 3( ) 1 3 ( )( )Pxyxyxy xyx yxy                3 32334436433.14133()27xyxytxytxyt                  326412644279tttXét hàm số 64 3 21264( )4279tP ttt với [ ;3]94tTa có 2226412'( )89tP ttt 8 8 1 122 0,9ttt       9[ ;3]4tVậy (3) 2809MaxPP  tại 3 3 3; 1413xyxxtxyyy         9 3044 36MinPP          tại 94t 93423xyxyxy      

Bài 12: Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x y 1 Tìm giá tri ̣ nhỏ nhất của biểu thức

2211AxyxyBài giải Ta có 22112PxyxyxyxyĐă ̣t txy ta có 21024xytxy      Khi đó: 2 32 2 312 32.2 31 16 31 33444Pttttt   

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

2

x  yz

Vâ ̣y min 334

A

Bài 13: Cho các số thực x y, thỏa mãn  2 2

44232

x y xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 9

Ta có '  2'  1 53 3 3, 02ftttftt       hoặc 1 52t  (loại) Ta có   1517 5 5  06,,839824ff     f   Suy ra 17 5 54A Khi 1 54xy 

  thì dấu bằng xảy ra Vậy giá trị nhỏ nhất của Alà 17 5 5

4



Bài 14: Cho các số thực dương a b, thỏa mãn 5 5 2

2 1a bab   ab Tìm giá trị lớn nhất của 2211812411abPababBài giải Ta có 25544331(1)22()2212aba bb a  ab a b   a b  abKhi đó ta có BĐT quen thuộc : 1 2 1 2 2

11 a 1 b  ab 2 8 11 2 4abPabab    Xét hàm số 2 8 1( )1 4 2tf ttt   với 1; ;12t ab t     1 31 1( ) ( )2 12 2maxmaxf tfPab      

Bài 15: Cho x, y là các số thực thuộc (0;1) thỏa mãn

Trang 10

Bài 15b: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện 5 5 221a b ab  ab Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 1 2 8 11124abPababBài giải Ta có 25544331(1)22()2212aba bb a  ab a b   a b  abKhi đó ta có BĐT quen thuộc : 1 2 1 2 2

11 a 1 b  ab 2 8 11 2 4abPabab    Xét hàm số 2 8 1( )1 4 2tf ttt   với 1; ;12t ab t     1 31 1( ) ( )2 12 2maxmaxf tfPab      B BẤT ĐẲNG THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG

Bài 16: cho x, y là số không âm thỏa mãn 22

2x  y  Tìm GTLN và nhỏ nhất của:55225( ) (5 2 2 4 12)P x  y x yxy  xyBài giải Ta có 233222( 2) 00 , 2 2( ) 2 2( 2) 0x xx yxyxyyy          222224(11 )(x y )(x y)  2 xy3333332332(xy )(xy x)( y )( x. xy. y )4 xy 2 Đặt 33t x y Ta có :t 2; 2 2Ta có 22 36622222(x  y )x  y 3x y (x y )662233 223226()26xyx yxyx yx y332222x y 6x yt 833332255233255222(x y )(x  y )(x  y )x y x y x y x y x y (x y)5522()2xyx yxyt55225( ) (5 2 2 4 12)P x  y x yxy  xy332255224x y 12x y 5(xy ) 5x y 2 2xy      33225522222(2x y 6x y )5(xy )5x yxy 2xy 2222222(t 8)5 xy 2xyx y (xy)2t 10t 16 f t( )      //5( )410;( )02; 2 22ft   tft     t Ta có: (2)28, ( )5 5722f  f  và f(2 2)20 2

Vậy MinP min2;2 2 f t( ) f(2) 28



   và ax( )5 57

22

Trang 11

Bài 17: Cho 2  x 3 y Tìm giá trị nhỏ nhất của 222xy 2xyBxy  Bài giải Xét hàm số g(y):222xy 2xy 2(x 1) y 1xyyx       với 2  x 3 y (0.25đ) //22( 1)( ) x , ( ) 0 2 ( 1)g yg yyx xy      (0.25đ) Thấy min  1 1( ) 2 ( 1) 2 2 1g ygx xxx    Xét hàm số f x( ) 2 2 1 1 1, 2 x 3xx     có /222 1( ) 011fxxxx  

nên f(x) nghịch biến trên [2;3]

do đó min f(x) = f(3) 4 6 13 (0.25đ) Do đó 4 6 13B 

, dấu “=” xảy ra khi x = 3 và y2 6

Vậy min 4 6 1

3

B 



Bài 18: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2x3y7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

22 3 2225()24 8()(3)P xy yx  y  xy  x y Bài giải Ta có: 222336(1)(1)(22)(33)3652xyx y  x y      xyxyTa có 222225(x y )(2x y)5(x y )2xy và’ 222(x y 3)x  y  92xy6x6y0222(xyxy 3)8(xy)(xy 3) Suy ra P2(xy xy)24 2(3 x yxy3)Đặt  3,0;5 ,( )224 26t   xyxy t P f t  t tTa có / 3 2 2233(2 6) 824.2( ) 2 2 0, 0;53 (2 6) (2 6)tftttt       

Vậy hàm số f(t) nghich biến trên nửa khoảng (0;5]

Trang 12

Bài 19:Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện 224x  y 8 Tìm GTLN, GTNN của : 22(2 6) ( 6) 4 322 6xyxyPxy     Bài giải Ta có 222(2)284(2)16424226102xyxy  xyxyxy       Ta có : 26 426Pxyxy    Đặt t 2x y 6,t[2;10]Xét hàm số: /244( );[2;10]( )1f tttfttt   ; / 2( ) 02( )tfttloai    Ta có : (2)4, (10) 525f  f Vậy GTLN của P bằng 52 125xy  Vậy GTNN của P bằng 4 12xy    

Bài 20: Cho x y, thỏa mãn

22223yxyxx 

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4 2

2Pxyxy Bài giải Từ giả thiết ta có y0 và 22623025xxxx    và 2 2 2  2 2 2 2 2 3 2 2 6 5x y x   x  x  xx  x Xét hàm số 2 2  6( ) 2 2 6 5 ; 0;5f x  xx  x x      ta được 60;5Maxf(x) = 2 222xy 2 22 2 2  2 2 2 2 222222 222xyPxyx yxyxyxy       Đặt 22tx y 2 2 , 022tPtt  Xét hàm số 2  3 322222( ),0; 2'( ); '( )022ttg ttg ttg ttttt   

Lập bảng biến thiên ta có Min

36

3 4 16

2 2

P khi x y

Bài 21: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn 2

212

a  b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2444458Paba bBài giải

Trang 13

222124 21642162 4 21608a  ba   b a b a b abDo đó 222224422445151 648 8 16642a bababPababa bbaba          Đặt tab (t 2)ba  , ta có 12511.166428PttXét hàm số 12511( ).ê (2;)166428f tttr ntTa có 21515'( ).;'( )0864 2 2f ttf ttt  Bảng biến thiên t2 52 'ft  0  f t 2764Từ bảng biến thiên ta có 2;5 27min ( )2 64f tf    Suy ra 2764

P , dấu bằng xảy ra khi a2,b4.

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 27

64 khi a2,b4.

Bài 22: Cho ,x y là các số thực thỏa: x y 26 x 3 3 y20132016Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức  2 22016 21111xy xyMxyxy   Bài giải 2 22201620162222141511Mxyxyxyxyxyxyxy        Đặt t  x y 1 thì ta được 4 2 20164 5Mttt   

Điều kiện của t Đặt a x3;b y2013 ta được 22

Trang 14

Xét hàm số   42 20164 5 ;f ttttDt      3 5 4 42224 2 20162016 4 8 2016' 4 8 tttt 0 2017; 2072fttttttt             

Suy ra f t  đồng biến trên D

 36max 2072 428490137M  f   khi t 2072ta được 2268526326 3abaabb         hay 679; 2022x y 2016min 2017 40602262017M  f   khi t  2017hay x3;y2013

Bài 23: Cho các số thực x, y thỏa mãn x  y 1 2x 4 y1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của biểu thức: 2 1( ) 9Sxyxyxy      Bài giải Điều kiện: x2;y 1; 0  xy 9;Ta có 20 1 2 2 1 1 3( 1) ( 1) 3( 1)0 1 3 1 4.xyxyxyxyxyxyxy                       Đặt t xy t,[1; 4], ta có 219Sttt  11'( )20,[1; 4]2 92S ttttt t   

 Vậy S(t) đồng biến trên [1;4]

2maxmin1 33 2 5(4) 4 9 4 4; 0;24(1) 2 2 2 2; 1.SSxySSxy              

Trang 15

Bài 25: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4(x3 8y6)1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2322( 2 2)5( ) 5( ) 3xyPxyxy    Bài giải ,0a b ta có: 4(a3b3)(ab) (1)3Thật vậy 333333224(a b )a b 3ab a(b)3(a b )3ab a(b)(a b a)(abb )ab a(b)222(ab a)(2abb )0(ab a)( b)0 (2) 

Vì a,b>0 nên (2) luôn đúng Dấu “=” xảy ra khi a=b

Suy ra (1) được chứng minh

Áp dụng BĐT (1) với ax b; 2y2, ta có:3632 32 3214(x 8y )4x (2y )(x2y ) x 2y 1Lại có: 5(x2 y2) 5( x y) 3 5x2 5x5y2 5y32221211011115534442222xxyyxy                Do đó: 2 ( 22 2 2)3 (1 2)3 5415()5()32xyPxyxy Ta có: P=54 khi 3624( 8 ) 112212xyxyxyxy       

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là PMax 54, đạt được khi 1

2

x y

Bài 26: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 22

1

x y  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểuthức : 42212 2 1xxyP.yxy Bài giải Từ giả thiết 22 1

x y  , P được viết lại như sau:

 2 22 22 2 2222224222 2 22 21 312 2 2yxyxyxyyyxyxPyxyxxyyxyyyxyx           Với y0, y1 thì 23

y ; với x0, đă ̣t ytx Khí đó :

22221321ttPtt  Xét hàm số   22

Trang 16

t  1 0  'ft  0  0  f t 23 11223

Từ bảng biến thiên ta suy ra:

12

min

P  đa ̣t đươc khi t= -1 hay  22

2 22 21 2 22 2xxyxxyyy                1max

P  đa ̣t đươ ̣c khi t=0 hay  2 

0 101yxyx   

Bài 27: Cho x và y là các số thực dương thay đổi sao cho log (2 xy) 3 log2 xlog2 y Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức: P=2213 33 3xyxy Bài giải

Từ giả thiết log (2 xy) 3 log2xlog2 y suy ra 21

Trang 17

Vậy 1

10

P Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2 21482 2, 04xyxxyxyx yy             hoặc 224224xy  Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1

10

Bài 28: Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn x + y = 1

Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 22

3 1 2 x 2 40 9 y Bài giải Ta dễ dàng CM được BĐT sau 22212121212121212, , ,( );0a a b bRaaaabbbbbb      ( tuyệt phẩm Svac-xơ ) Ta có 2222 3 4 (3 2 ) 33 1 2 3 3 (3 2 )9 2 11 11xxx  x      (1) 2222 40 36 (40 6 y) 112 40 9 2 2 (40 6 y)40 4 44 11yy       (2) Từ (1), (2) 3 11(3 2 ) 11(40 6 ) 11(49 6 6 ) 5 1111 11 11Pxyxy        

Dấu đẳng thức xảy ra khi 1; 1

33

x y

Bài 29 : Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 22

1

x y   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2222 2xyPxyyx  Bài giải Ta có: 2222222222122 22 222xyxyxyPxyxyxyxyyxyxxyx y       Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2222112xy 2 xyxy 23 55x y   x y    Đẳng thức xãy ra khi 2211515;221xyxyxy       

Bài 30: Cho các số thực x, y với 22

1

x y  Tìm giá tri ̣ nhỏ nhất của biểu thức

66

4

Px  y

Trang 18

Ta có: 222211x y  y  x 6 6 6  234 4 1Px  y x  xĐă ̣t 2

tx với 0 t 1 Xét hàm số   3 3

4 1f t  t t   2 2'312 1ft  t tBảng biến thiên t0 23 1 'ft  0  f t 4149Vậy GTNN 49P khi 23x 

Bài 31: Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn 22 

3 2 1 0x y  x y  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 228 4Px y   xy  xyBài giải Ta có giả thiết 2 2 2 321032x y  x y   xy  xy    xyy

Vì x, y không âm nên   xyy 0 Suy ra 2 

32012

xy  xy      xy

Đă ̣t t xy, khi đó t 1; 2

Ta có 2 2  2 8 4 8 4Px y   xy   xyxy  xy   xy 28 4ttt  Xét hàm số   28 4f t   tt t với t 1; 2Ta có   4'214fttt  

 , với mo ̣i t 1; 2 Chú ý rằng   4

'30

2

ft   với mo ̣i t 1; 2

Suy ra f(t) đồng biến trên  1; 2 Do đó     

1;2

max f t  f 2  6 8 2 Suy ra P 6 8 2, dấu đẳng thức

xảy ra khi 0 2, 02xyxyt   

 Vậy giá trị lớn nhất của P là 6 8 2 , đa ̣t khi x2;y0

Bài 32: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 22

6250

x y  x y  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trang 19

  2  2 2   

3 2 1 5 3 1 25 4 5 3 2 1 5

x  y   x  y     x  y 

 

      0 t 10 1 

Do (1) nên theo bđt Cauchy ta có: 1 4 431tPt   Đẳng thức chỉ xảy ra khi 4 211411tttt    Khi đó:  2 2  2 2 22 1 2 1 2 15 6 03 1 5 2 2 1 5xyxyxyyyxyyy                       1;0176;55xyxy  

Vâ ̣y Pmin3 đạt được khi x1;y0hoă ̣c 6, 17

55

x  y

Bài 33: Cho các số thực x, y, z dương và thỏa mãn  2  2

4 x   x 1 16 x z 2

3x yz Tìm giá tri ̣ nhỏ nhất của biểu thức 

Trang 20

t 0 1 'ft  0  f t 5 1Suy ra T   1mint0T        1 t 1 xyz 1Cách 2: Ta có 3 3 1 .1 1 . 13221 133yyyyyxxxxx  ; 22212221yyyyxxx   x Suy ra: 112 1 3 5 10 3 123yyyxTTxx       11MinTxyz     

Cách 3 Chỉ thông qua BĐT bunhiacopxki đánh giá xử lí 2 đại lượng căn đầu tiên

Ta có  2222 222 22  222.1 1.1 1.1111113223xyxy    x y      x y   x y   Tương tự 24 223zz  

Bài 34: Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn x y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3227103498xyPyxBài giải

Dự đoán dấu bằng xảy ra khi   2 4

; ;

3 3

x y  

  

  Áp du ̣ng bất đẳng thức AM-CM ta có:

323 2 3 3 9 1 5 10 21 9 22 3 8 2 8 2 8 9 8 8 3xyyxxyPxyyxxy                         323 3 2 3 3 9 1 5 10 21 9 23 2 2 2 2 3 8 2 8 2 8 9 8 8 3xyyxxyxyyxxy      35219235351332388382424xyxyxy     

Vâ ̣y min 134

Trang 21

Bài 1: Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + x = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

222( ) ( ) ( )xyzy zxz xyPyzzxxy    Bài giải Ta có:222222(*)xxyxzzPyzzxxy     Nhận thấy: 22,x y xy xy x yR Do đó: 33(),0x y xy x yx y hay 22, 0xyxy x yy  x    Tương tự, ta có: y2 z2 yz y z, 0z  y     , 22,0zxzx x zx  z   

Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhân được ở trên, kết hợp với (*), ta được:

2()2, ,0

P x yz  x y z và x + y +z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi 1

3x  yz Vì vậy minP = 2 Bài 2: Chứng minh 1 2 1 2 1 2 34(1 x) (1 y) (1 z)   Bài giải

Ta có x y z, , và xyz 1 nên luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hoặc bằng 1 hoặc hai số cùng nhỏ hơn hoặc bằng 1 Khơng mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là x, y

(x 1)(y 1)0 xyxy 1    221 1 2 2 2 1(1 )(1 ) 1 2 2 1 1(1 ) (1 )zxyxyxyxyxyzx  y             22221 1 1 11(1 ) (1 ) (1 ) (1 )zzxyzz       Ta có:22221 3 ( 1) 1 301 (1 ) 4 ( 1) 1 (1 ) 4zzzzzzzz          2221 1 1 34(1 x) (1 y) (1 z)     

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z =1

Bài 3: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a(a – 1) + b(b – 1) + c(c – 1) 3

Trang 22

Bài giải Ta có 21 1 19 1 1 1 ( 3)1 1 1abcP abcabc              93Pabc   Giả thiết 2224()(1)3abcabc Mặt khác 22212()3a b c  a bc nên nếu đặt t = a + b + c thì 124043t     t 3 tXét hàm số ( ) 93f tt trên (0;4] ta có: /29( ) 0( 3)ftt 

 Hàm số f(t) nghịch biến trên (0;4] => min(0;4] ( )(4) 97f t  f GTNN của P là 97 khi 4 41 1 1 3abcabcabc          Bài 4: Cho , , 01a b cabc  CMR: 2221( 2)(2 1) ( 2)(2 1) ( 2)(2 1) 3abcPababbcbcacac        Lời giải Ta viết lại 224(2)(21)91AM GMaaPababab     Đặt 224 4; ;9 1 9 ( )xyzaxzabcPyzxaby yz               Lại có 221( ) 3 ( )Cauchy Schwarzxzxzy yzy yz           Tiếp 2()3()2()2Cauchy Schwarzxzxyyzxzy yzxyz xyz 

Truy hồi ta được 1

3

P

Trang 23

Ta có : 22()()()3366xyzxyyzxzxyzxyyzxz   Vậy ta cần chứng minh : 5 2()336x yzx yz Xét hàm số 25 3( )( )36ttf tvới t    xyz 3 f t( ) f(3)0

Vậy BĐT ban đầu được chứng minh

Bài 6: Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn 32

x  yz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2222221 1 11 1 1z xyx yzy xzPyyzzxzxxy      Bài giải Ta có : 3 2 2 2 3222( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1)( 1)3 3( 1) ( 1) ( 1)z xyx yzy xzxyyzzxPyyzz xzx xyxyz        3 1 63 1 1 1 3 1 1 13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )64 64 4 4 4 4Pxyzxyzxyzxyzxyzxyz            331 27.63 3 93 1 1 1 ( )4 64(xyz) 4 xyz        min31 27.63 3 18 15 15 13 3 274 4 3 2 2 264.8Pxyz          

Bài 7: Cho các số thực dương a b c thỏa mãn , , 222

4

a b c  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 24

Bài 8: Cho , ,a b c là độ dài 3 cạnh của tam giác Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  3a b2 32b c 32caPa b cabbbccca            Bài giải Ta có 2 1 3( ) 0( )a ba bba a b   23 3 (3 )( ) 3( )a ba bc a baca b caabaa a bba          9 (abc) (abc) 9Pbcabca        

Bài 9: Cho các số thực dương , ,x y z thay đổi thỏa mãn x  y 1 z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 333141 1xyzPxyzyzxzxyzxyxy         Bài giải Ta có 1 ( 1)( 1) 2 12 2xyzxyxyxy          2( 1)1 ( 1)( 1)4zzxyxyxyxy         Lại có 334422222222222222( ) ( )2 ( )xyxyxyxy

xyzyxzxxyzyxyzxyxyzxyxy z

             3322( ) ( 1)2(1 ) 2( 1)xyxyzxyzyxzzz       2322( 1) 4 28( )2( 1) ( 1) ( 1)zzPf zzzz      Đạo hàm và lập BBT ( ) ( )5 53 min 53 1; 53 8 8 3 3f zfPxyz        

Bài 10: Cho các số thực dương a b c thỏa mãn , , a b c  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 25

Tương tự ta có 222225 252 32 7 16babcbcbc Lại có : 2222222(3 ) 3 9 4 252 2 ( ) 2 23 2 2 3caccccccccccaaacca           222 ( ) 225 ( ) 2 25 ( 1) 1 142 3 5( )aa b cPcccaba b c           Vậy Pmin 14   abc 1

Bài 11: Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn 222

3

x y z  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

224212 22xyxyzPx yzxyzxyz      Bài giải Ta có 2 2 2 2 1 12 13xyx y   x y      ; 244 1 12 1 13zzz      22222 3xyzxyzxyzxyzxyz         21 1 1 1 1 .33 3xy xyzxyzPxyz         2 1 1 1 18( )3 33 3 3 3( )xyzxyzxyzxyzxyzxyz               Khi đó 9 3 1 ( 9 3)12 12 2( ) 23 3( ) 3xyzxyzxyzPxyzxyzxyz               3 1 9 32 3 ( ) 1 3 32 3 3 2     Vậy Pmin  1 3 3    xyz 1

Bài 12: Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn : 444222

Trang 26

Câu 13: Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn a  bc 1Tìm GTNN của biểu thức : 2222216 27( )(1 ) 5 36( )aba bcPabcac    Bài giải Ta có 2 22222222216 27 ( )16 27( )(1 ) 5 36( ) (1 ) 5 36( )ba a b cbcaba bcaPabca cabca c            2222222222216 27( ) ( ) 4 3( )( ) 5 36( ) ( ) 5 9( ) 4aba bacaba bb cbcacb cbcac            Mặt khác 222222245( ) 5 9( )( ) ( )4aaab cbcb cb cb c      22 2222 3 2 ( ) 3( ) ( )9 4 9 4aba bPa ba bb cacabac ba bc                     22222222 ( ) 3 2 ( ) 3( ) ( )( )9 2 ( ) 4 9 4( )2ababababababab cab c                     2222222 (1 ) 3 8 2 3(1 ) 1 (1 )(1 )9 4 9 1 4(1 )2cccccc c                       Xét hàm số 228 2 3( ) 1 (1 )9 1 4f ccc        với c(0;1)1 1( ) ( )3 9f cf   Vậy min 1193P   abc

Câu 14: Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn abc1

Trang 27

2222( ) ( )3( ) 93 ( ) ( )xyzxyzxyzxyzxyyzxz             (Do xy yzxz3) Đặt 222 3 15 3 3 3.9 15 3 9 3( ) 23( 3) 12 12 3 12 12 2 2tttxyztPPtt               

Bài 15: Cho ba số thực dương x y z, , sao cho 222

1

x y z  Chứng minh rằng

4 24 24 281 3(1 ) (1 ) (1 ) 64xyzx  y  z   

(Trích đề thi thử trường chuyên Hà Nội Amsterdam) Lời giải

Để cho tiê ̣n tính “nhẩm” ta chuyển ( , , )(,,)

333

abc

x y z  thế thì 222

3

a b c 

Ta cần chứng minh

 4 2 4 2 42364999abcabc 2 22 2 2 2 2  2 22 2 2 2 2  2 22 2 2 2 2364(2)(2)(2)abcbcabccabcaabcab Áp du ̣ng BĐT am-gm: 32222222222222222 2( ) ( ) 2 a (2 ) 5128 128 256 64(2 )aa bca bcabcabcabc        

Đánh giá tương tự rồi cô ̣ng la ̣i chú ý

2222222222 2, ,( ) 2 a (2 ) ( ) 9128 256 64 64a b ca bcabcabc          Ta được  3223223222224443 ( ) b ( ) ( )32 1289 9 9abca bccac ababc         Chú ý 322322222, ,, ,, ,, ,()(3)(1) (2) 226a b ca b ca b ca b ca b c  a a a a a  a  a 

Từ đó Ta có ĐPCM dấu bằng xẩy ra 1 13

abcxyz

       

Bài 16: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn :a b c  3 tìm giá tri ̣ nhỏ nhất của :

Trang 28

Tương tự: 22

2b 7c 16bc2b3c từ đó suy ra :

2222525(3)2323abc aPabbca

 Bây giờ dùng phương pháp ‘tiếp tuyến’ ta sẽ thiết lâ ̣p được:

2258323aabab  và 25 2 8323bbcbc  nên 2225258532323ababcab bc do đó 22222(3)33()853 c a 15 83 c (1) ca 14 14Pabccaccaaa 

Vậy minP14 khi a  bc 1

Bài 17: Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn điều kiện xyyzzxxyz Chứng minh rằng

xyz  yxz  zxy  xyz x y  z

Lời giải

Đặt a 1,b 1,c 1

xyz

a b c, ,0 và a b c  1

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương a bc  b ac  c ab  ab bc ac1

Thật vậy  2  2

2

abc  a a  bcbc  a a b cbc  a  a bcbc

a bcabc

    Tương tự b ac  bac và c ab  cab

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

a bc  b ac  cab  ab bc ac  a b c

1

a bcbaccababbcac

           đpcm

Dấu đẳng thức xảy ra khi 1

33

a      bcxyz

Bài 18: Cho a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn 2c b abc Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức 3 4 5Sb caac ba b c        Bài giải Áp dụng bất đẳng thức 1 1 4 ,x 0,y 0.x yxy 1 1 1 1 1 1 2 4 62 3SSbcaacbbcaabcacbabccba                             Từ giả thiết ta có 1 2 a,c  b nên 2 4 6 2 1 2 3 2 a 3 4 3.cbacbaa               

Vậy giá trị nhỏ nhất của Sbằng 4 3 Dấu bằng xảy ra khia  bc 3.

Trang 29

Ta có xyyzzx  x yzxyyzzx8Mặt khác 2 3 24 2 6xyyzzx  xyz x yz  x  yzxyyzzx x yzDo đó   482 6 83Pxyzxyzxyz        Đặt   3333 6 3 24483 6 2 6 8 ' 03 3t ttxyztxyzPf tttfttt                f t đồng biến f t  f  6 80

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 80, dấu "" xảy ra khi x  yz 2

Bài 20: Cho các số thực dương a b c thỏa mãn , , ab1;c a  bc3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức 2 2 6ln 21 1bcacPa bcab      Bài giải Ta có  1 1 2 2 1 6 ln 21 1Pabcabcab            Mặt khác  221 1 2 2 4 4 4 1611 1 1 3 212aba  b  ab   ab  abbccac  ac bc  abc           Đặt tab 2cPf t  16t2 1 6 lntt       với t 0 f '  tt 4 63 t 8t    4 5 6 ln 4Pf tf    

Vậy, GTNN của P là 3 + 6ln4 khi a = b = c = 1

Bài 31: Cho a b c, ,0.Chứng minh rằng 3 13 3 31 3 13 1

ababcbcabccaabc abc

Bài giải Ta có: 33  33 331 1xyxy xyababcab ababcab abcab abcababc               Tương tự ta có 3 31 1 ; 3 31 1()()bc abcca abcbcabc  caabc   3333331111()abcabc abcabcababcbcabccaabc

 



 



Bài 32: Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thỏa mãn: a b c  1

Chứng minh rằng: a b2 b c2 ca2 2

b ccaa b

     



Trang 30

Ta có: 222abcbcaVTA Bb ccaa bb ccaa b                    3 31 1 1 1 1 1 1 1 93 3 32 2 2Aabbccaab bc caabbccaab bc ca                       2 2 2 2 21 a b cabca b b c caa bb cca               

Từ đó ta có 3 1 2

22

VT   VP

Dấu đẳng thức xảy ra khi 1

3

a  bc

Bài 33: Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: x  yz 3 3 Tìm giá tri ̣ nhỏ nhất của biểu thức:

2221111PxyzxyyzzxBài giải Ta có:  3 22222231 1 1 33 9Cauchyxyyzzxx y zxyyzzxx y z         1119xyyzzxxyyzzx

 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x yz

Do đó: 22219Pxyzxyyzzx2221117xyzxyyzzxxyyzzxxyyzzx 22233 7xyyzzxxyzxyyzzx     Mă ̣t khác: 3 222 2 2 2 2 2 2 293 3Cauchyxyzxyyzzxxyzxyzxyyzzx             222222222333x y z xyyzzxx y z  xy yz zx xy yz zx23339xyzxyyzzxxyyzzx Suy ra: 3 7 10999

P   Vâ ̣y min 109

P Dấu “=” xảy ra khi x  yz 3

Bài 34: Cho 3 số thực dương x y z, , thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trang 31

Đẳng thức xảy ra khi x yz3333332 2 223 3 3 3xyzxyyzzxxyzPPxyzxyz                         Xét hàm số 32( )3tf tt với t>0 2 4 42222'( ) t ; '( )02f ttf tttt   Vậy 44 8P đẳng thức xảy ra khi 42x  yz Hay 4min 4 8P 

Bài 35: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

4441 1 1 31 1 1 1 1 1 4abc bca cab      Bài giải Đặt x 1;y 1;z 1abc khi đó vế phải trở thành  3331 1 1 1 1 1xyzyz  zx  xy     Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy ta có 31 1 31 1 8 8 4xyzxyz     ; 31 1 31 1 8 8 4yxzyzx     ; 31 1 31 1 8 8 4zxyzxy      3333 31 1 1 1 1 1 2 4 4xyzxyzyzzxxy           

Bài 36: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

S x yy zzx

Bài giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương

Ta có 43 4 3 3 3 4 ( ) .2 3 2 2 4 3xyxyxyxy            Tương tự: 3.4y z 43yz     ; 3.4z x 43zx     Suy ra: 34S  2x2y2z42 3.Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 2

3 Vậy MaxS = 2 3 khi x = y = z = 2

3

Bài 37: Cho các số thực x y z, ,0 thỏa mãn điều kiê ̣n xyz1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trang 32

Không mất tổng quát, giả sử x là số lớn nhất trong 3 số x, y, z, suy ra yz 1 x

Ta chứng minh 22

112

222

y z  yz

 với mo ̣i y,z dương thỏa mãn yz2 Thâ ̣t vâ ̣y

2222112111102222222y z  yz  y  yz  z  yz  2  2  02 2 2 2y zyz yzyyzzyz      22 02 2 2zyyzyzyz         222202 2 2zyyzyzyz    

BĐT này đúng, do y, z dương và yz 12 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y = z

Suy ra 21 2 21 22221 2xPxyzxx

Mă ̣t khác, theo BĐT Cauchy, ta có 2  2 

211 21

x   x    x , dấu bằng xảy ra khi x = 1

Suy ra 21 2 1 2 121 221 1 2xxPxxxx

Vâ ̣y, GTLN của P bằng 1, đa ̣t được khi và chỉ khi x  yz 1

Bài 38: Cho các số thực dương x,y thỏa mãn 3

2

x  yz Tìm giá tri ̣ nhỏ nhất của biểu thức

2221 1 1xyzPyzxxyz     Bài giải Ta có 2 2 2 3311133xyzAxyzyzxxyzxyz   

Đă ̣t t 3 xyz ta có 31032xyztxyz   Khi đó: 3 3 12 3 92 36 9 1522Pttttt     

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

2

x  yz

Vâ ̣y min 152

A

Bài 40: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 33

Đặt 222ta b c Vì a b c, ,0 và a b c  1nên 0 a 1, 0 b 1, 0 c 1Suy ra 2221ta b c    abcMặt khác  . 2 2 2 2 2 2 21 2 3B C Sa b cabcab bc caabc           Suy ra 22213ta b c  Vậy 1;13t  Xét hàm số   7 121  1; ;17 1 3f tttt        227121'7 1fttt     7'018ft   tSuy ra   324 1; t ;17 3f t    

  Vậy A3247 với mọi a,b,c thỏa điều kiện đề bài Hơn nữa, với 1; 1; 1

236a b c thì 2227181abca b c       và 3247AVậy min 3247A

Bài 41: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn

242016a b cabc  

 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

abcPabcbcacab    Bài giải Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có: 4441 1 1 122 2 2abcPabbccaa bcb cac ab         Với các số thực x,y,z ta có  2  2 2 2 2 20xy  yz  zx  xyyzzxx y zDo đó 444111111112222abbccaa b cabbccaabcabcabc          Suy ra 2a b cPabc 

Từ giả thiết, ta có a b c  4032 abc Do đó P2016

Với 1 2

1344

a  bc , ta có P2016 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2016

Bài 42: Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  yzxyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 1 1 1

P x y z

Bài giải

Từ giả thiết ta có xxyz yz1 tương tự cũng có: zx1,xy1 Do đó có tối đa 1 trong 3 số x,y,z bé hơn 1

TH1: Có đúng 1 số bé hơn 1, chẳng hạn: x1;y1;z1 khi đó P0

TH2: x1;y1,z1

Trang 34

Giả thiết bái toán trở thànha b c   3 a1b1c1ab bc ca abc   2  *Đặt 3t abc, ta có: 3 2 2  3 3 **ab bc ca abc  tTừ (*), (**) suy ra: 3232t  t   t 1t 1 3t 1 3  0 t 3 1Do đó 333 1 3 1

abc  abc  hay:3

1 1 1 3 1

x y z  

Dấu bằng xảy ra khi: x  yz 3Vậy 3

maxP 3 1

Bài 43: Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn: 352832

log alog b log c 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2221 1 11 1 1Pabc    Bài giải

Từ giả thiết suy ra a b c, ,0 và a b c 1, không mất tính tổng quát ta giả sử amaxa b c, ,  0 bc1

Ta chứng minh 221 1 2(1)11 b  1 c  bc  và 2123 2(2)211 a  bc với (1) ta có: 2222222221 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 (1 )(1 )bcbcbcbc              222221 ( ) 1 ( ) 21 1(1 )(1 ) (1 ) 1bcbcbcbcbc         hay 222221 1 4 1 1 21 11 b 1 cbc 1 b 1 cbc           với (2) ta có: 221212223 2111121 aa 1 abcabc   1233121 321 32 2 101122 112(1)12(1)aaaaaabcabcaaa       2( 2 1 )02(1 )aaa   đúngSuy ra 2123 2211 a  bc Cộng (1) và (2) theo từng vế ta có : 2221113 221 a 1 b 1 c dấu bằng khi a  bc 1

Vậy giá trị lớn nhất của P là 3 2

2

Bài 44: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c  3 Tìm GTNN của biểu thức

Trang 35

Vậy ta sẽ có: 2 25 22 25 2  12 32 7 16aaababab  Tương tự ta cũng có: 222225 252 32 7 16bbbcbcbc 

Mặt khác theo Cauchy – shwarz Ta có: 3 2 2 3 2 25 2  

2 33 2ccccaacac      Từ (1),(2),(3) ta sẽ có: 22222225225.22323235a b cabcPccccabbccaa b c         25 a b cc 2c    

+ Mà a b c  3 theo giả thiết nên ta sẽ có: 2 2

215114 14

Pc  c c Vậy GTNN của P14 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a  bc 1

Bài 45: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức 3 1 1 11 1 1             PabbccaBài giải Đặt AP3Ta có  21 1 11 1 11 1 1               abbccaAabbccaabc

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân có :

 2    1 1 12 21 14 4 4          ab  a b  a ba b  abc 1  1 1 2 cabTương tự có: 1  1 1 12bc acb ; 1  1 1 12ca bcaDo đó 21 1 1 11 1 18              Aabc Mà 3331 1 1 11 1 1 1  4              a b c  abc

Do đó min P = 8 đạt được khi 1

3

  

abc

Bài 46: Cho 222

, y, z0;3

x  x y z  Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 36

22162()()3xyzPxyzxyz   2299(2336 333, (1)32 33.1 2 3xyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzttPttt                  Dấu “=” khi : x = y = z = 1 Cách 2: Ta có 2222 1 12 1 13xyx y   x y      ; 244 1 12 1 13zz   z     22222 3xyzxyzxyzxyzxyz         21 1 1 1 1 .33 3xy xyzxyzpxyz         2111()33318333()xyzxyzxyzxyzxyzxyz      Khi đó : 93193()12122()233()3xyzxyzxyzPxyzxyzxyz      31932 3() 1 3 32332  Vậy Pmin  1 3 3   xyz 1

Bài 47: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn 222

3

x  y z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trang 37

24'( )2((3; 3))2(3)xf xxxx   f '( )x 0 trên ( 3; 3)01xx    ; f   3 3, (0)f 2 6, ( 1)f  52[3; 3 )max f x( )5 F 18.590 F 3 10

   Dấu bằng khi x=y=z=1

maxF3 10   xyz 1

Bài 48: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãna b c  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2227 12114Aabbccaabc   Bài giải Ta có  2222 2 2 2 11 22abcabcabcabbccaabbcca               Do đó 222 2 2 27 1217 1Aabcabc       Đặt 222 1   7 121 ;13 7 1tabctPf ttt            2271217';'0187 1ftftttt   Suy ra   324 1; ;17 3f t   t  

  Vậy A 3247 với mọi a b c; ; thỏa điều kiện đề bài Hơn nữa, với

111;;233abc thì 2227181abcabc      và 3247AVậy 324min7A

Bài 49: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

323 1 1 1abcPab bc caabc       Bài giải Áp dụng Bất đẳng thức 2 3 , , ,x yz  xyyzzx x y z ta có: 2 3 9abc 0abbcca  abc a bc   abbcca3 abcTa có: 331a 1b 1c  1 abc ,a b c, , 0 Thật vậy:1a1b1c 1 a bc  abbccaabc  2 33 3 3

1 3 abc3 abc abc 1 abc

Trang 38

Xét hàm số 2232, t0;113 1tQtt   522322 1 1' 0, t 0;11 1t ttQ ttt      

Do hàm số đồng biến trên0;1 nên    5  

126QQ t Q  Từ (1) và (2) suy ra 56PVậy max 56

P , đạt được khi và chỉ khi: a  bc 1

Bài 50: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x yz và x  yz 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Pxz 3yzy   Bài giải Ta có xxz 2 ;xzyz 2zPxz 3y 2xxz 2zyz 3yz  y   zy 22(xz) y x( yz) xzyz 2(xz) yx y( z)    

Do x0 và yz nên x y(z)0 Từ đây kết hợp với trên ta được

2223 2( ) 2(3 ) ( 1) 5 5xzPyxzyyyyzy            

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 đạt khi x = y = z = 1

Bài 51: Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn điều kiện a b c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức 3 1 1 11 1 1Pabbcca              Bài giải Đặt AP3Ta có  21 1 11 1 11 1 1               abbccaAabbccaabc

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân có :

 2    1 1 12 21 14 4 4          ab  a b  a ba b  abc 1  1 1 2 cabTương tự có: 1  1 1 12bc acb ; 1  1 1 12ca bcaDo đó 21 1 1 11 1 18              Aabc Mà 3331 1 1 11 1 1 1  4              a b c  abc

Do đó min P = 8 đạt được khi 1

3

  

abc

Bài 52: Cho x,y,z là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Trang 39

Bài giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có 22222221114()(2)(2)224112() (2 )(2 )()(4 )(33 )(4 )()263xyzxyzxyzxyxz yzxy xyzxy xyzxyz      Suy ra 8 27 22 2( )Pxyzxyz      Đặt t   xyz, t>0 Khi đó 2827P22ttXét hàm số ( ) 8 27222f ttt với t>0 Ta có '( ) 8 2 273 0 8 2 273 0 6, f(6)=58( 2) ( 2)f tttttt        

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ( ) 58

P f t  Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=2 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 5

8 Khi x=y=z=2

Bài 53: Với a b c, , là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca1 Chứng minh rằng



2

a b cb c ac a ba bc

Bài giải

Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

 2 2

a b cb c ac ab  a abca b bcab c cabc

abc 2 abbcca 2 abc

         bất đẳng thức cần chứng minh

Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra 1

3

abc

   

Bài 54: Cho các số dương x y z, , thỏa mãn x  yz 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 40

Mặt khác 1 ; 1 ; 1222222xxyyyyzzzxzxy x  y    z y z    x z x   319144444xyzxyyzxzPxyz    Pxyzxyyzzxxyyzzx       2 2 2 2   913233.3442x yz  x y z  xy yzzx  xy yzzx xy yzzx   P Dấu = xảy ra khi x  yz 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3

2 xảy ra khi x  yz 1

Bài 55: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3

Chứng minh rằng: 222222222(1) (1)(1) (1)(1) (1)24111abbccacabBài giải

Ta sử dụng bất đẳng thức cơ bản với 2 số bất kỳ x,y ta có 2

(xy)4xydấu bằng khi x=y

Ta có: 2222(1a) (1b)[(1a)(1b)][(1ab)(ab)]4(1ab a)(b)Suy ra:22222222222(1) (1)4(1)()4 (1)4 (1)114411111abab ababbabaabccccc        Chứng minh tương tự ta có 22222222222222(1) (1)11(1) (1)1144;44111111bccbcaacbccaaaabbbCộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có: Vế trái: 2222222222221 1 1 1 1 14 4 41 1 1 1 1 1bcacbaabccbcaab                              Ta có 2222222222221111112;2;2111111bcacbacbcaab            a,b,c dương

Suy ra: vế trái 8(a bc)24 điều phải chứng minh Dấu bằng khi a  bc 1

Bài 56: cho các số thực dương a,b sao cho 22

2(a b )  a b 6

Tìm giá tri ̣ nhỏ nhất của : 22 22 2

116()5aba bPaabba b     Lời giải:

Chú ý là : 222

62(a b )  a b (a b)  (a b)(a b 2)(a b     3)0 a b 2 quay la ̣i bài toán : áp du ̣ng bđt am-gm: