TUYỂN TẬP 500 BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN HAY NGUYỄN ĐÌNH THI ⋆⋆⋆⋆⋆ PHÚ YÊN – XUÂN CANH DẦN 2010 Lời nói đầu Bất đẳng thức (BĐT) vấn đề nóng hầu khắp diễn đàn Tốn nước như: mathlinks.ro, math.vn, mathscope.org, mathvn.org, ddbdt.tk,… Và dĩ nhiên có BĐT khơng khó, chí bình thường, khơng BĐT khó, thâm chí khó chưa có lời giải (trong có số giải số chưa) Chính mà xuất nhiều bậc “cao nhân” với phương pháp mới, xem đai “tối tân” để trị vấn đề khó Tuy nhiên mục đích tác giả ebook khơng phải lơi bạn vào vấn đề khó đó, mà mục đích tuyển tập BĐT đẹp, hay (đặc biệt bất đẳng thức biến tính hốn vị nó), tuyển chọn từ thi toán quốc gia, thi chọn đội tuyển thi toán quốc tế, thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh,…, tạp chí tốn như: Kvant, Crux,MathVn…; thi toán BĐT diễn đàn toán như: MIC, VIC, VICFJ,… với toán phát triển từ tốn (làm chặt thêm hay sang tạo từ có), sách tham khảo như: Sáng tạo bất đẳng thức, Bất đẳng thức lời giải hay,… Để từ rèn luyện kĩ giải toán BĐT cách nhanh nhạy, nói đơn giản gặp tốn cần nhìn vào biết hướng giải Tuyển tập tài liệu cuối mà tơi viết năm Nếu có sai xót lỗi người biên tập, mong bạn thông cảm bỏ cho Hi vọng tài liệu hành trang bổ ích bạn tham dự thi học sinh giỏi cấp trường, tỉnh, quốc gia, quốc tế,… Tác giả, Nguyễn Đình Thi Page Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection 500 BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN HAY Bài Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 + + ≥ 𝑏 𝑐 𝑎 𝑎+𝑏+𝑐 Bài Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎4 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh a/ 𝑎2 𝑏 𝑐 + + ≥3 𝑏 𝑐 𝑎 b/ 𝑎2 𝑏2 𝑐2 + + ≥ 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 Bài (Phạm Kim Hùng) Cho số thực không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 + + + ≥ 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 𝑐 + 𝑑 + 𝑎2 𝑑 + 𝑎2 + 𝑏 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 Bài (Phạm Kim Hùng, Vasile) Cho số thực không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh a/ 𝑎 𝑏+𝑐 𝑏 𝑐+𝑎 𝑐 𝑎+𝑏 + + ≥2 𝑎2 + 𝑏𝑐 𝑏 + 𝑐𝑎 𝑐 + 𝑎𝑏 b/ 𝑎 𝑏+𝑐 𝑏 𝑐+𝑎 𝑐 𝑎+𝑏 + + ≥2 2 𝑎 + 𝑏𝑐 𝑏 + 𝑐𝑎 𝑐 + 𝑎𝑏 Bài (Nguyễn Đình Thi) Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 độ dài cạnh tam giác Chứng minh 𝑎2 𝑎 𝑏+𝑐 + 𝑏+𝑐 + 𝑏2 𝑏 𝑐+𝑎 + 𝑐+𝑎 + 𝑐2 𝑐 𝑎+𝑏 + 𝑎+𝑏 > Bài (Võ Quốc Bá Cẩn) cho số không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh −4 ≤ 𝑎2 𝑏 + 𝑏 𝑐 + 4𝑐𝑎2 − 5𝑎𝑏𝑐 ≤ 128 Bài (IMO 2001) Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 + + ≥1 𝑎2 + 8𝑏𝑐 𝑏 + 8𝑐𝑎 𝑐 + 8𝑎𝑏 Bài (THTT) Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 độ dài cạnh tam giác Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 + + ≥ 𝑎2 + 3𝑏𝑐 𝑏 + 3𝑐𝑎 𝑐 + 3𝑎𝑏 Bài Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh a/ 𝑎2 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎2 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 + + ≤ 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏+𝑐 b/ 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏+𝑐 + + ≥ 2 2 𝑎 +𝑏 𝑏 +𝑐 𝑐 +𝑎 𝑎 + 𝑏2 + 𝑐 Bài 10 (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh Page Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 ≥4 + 𝑏2 𝑐 + 𝑐 𝑎 𝑎2 𝑏 Bài 11 (Cezar Lupu – Nguyễn Đình Thi) Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎2 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎2 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑐𝑎 3(𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 ) ≤ + + ≤ + + 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 Bài 12 (China TST 2006) Cho số thực dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 cho số thực 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = Chứng minh 𝑥𝑦 𝑦𝑧 𝑧𝑥 + + ≤ 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 𝑧𝑥 + 𝑥𝑦 Bài 13 (China 2005) Cho số thực số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 + + ≤ 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 Bài 14 (Iran 2008) Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho số thực 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = Chứng minh 𝑎3 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑐 ≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Bài 15 Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎+𝑏+𝑐 + + ≤ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 𝑎2 + 2𝑏𝑐 𝑏 + 2𝑐𝑎 𝑐 + 2𝑎𝑏 Bài 16 (Jack Garfunkel) Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 + + ≤ 𝑎+𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 Bài 17 (Phạm Kim Hùng) Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 1 + + ≤ − 𝑏𝑐 − 𝑐𝑎 − 𝑎𝑏 Bài 18 (APMO 2004) Cho số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh rằng 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 + ≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Bài 19 (THTT) Cho số thực dương 𝑎, 𝑏 Chứng minh rằng 1 2 𝑎+𝑏 + 𝑎+𝑏+ + ≥8 1+ 𝑎 𝑏 Bài 20 (Vasile) Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh a/ 𝑎+𝑏+𝑐 1 + + ≥1+ 1+ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 1 + 2+ 2 𝑎 𝑏 𝑐 b/ 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 1 + + −2≥ 𝑎+𝑏+𝑐 𝑎2 𝑏 𝑐 1 + + −5 𝑎 𝑏 𝑐 Bài 21 (Nguyễn Đình Thi) Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 1 1 1 1 a b c 1 a3 b3 c3 a b c a b c 1 Bài 22 (Vasile) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Biết 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Chứng minh Page Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection 𝑏≥ 𝑎+𝑐−1 Bài 23 Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2𝑏 + 𝑐 + 𝑎 2𝑐 + 𝑎 + 𝑏 + + ≤8 2𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 2𝑏 + 𝑐 + 𝑎 2𝑐 + 𝑎 + 𝑏 Bài 24 Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎3 𝑎3 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑏3 𝑏3 + 𝑐 + 𝑎 𝑐3 𝑐3 + 𝑎 + 𝑏 + 3 ≤1 Bài 25 Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎2 𝑏2 𝑐2 + + ≥ 2 𝑏 +1 𝑐 +1 𝑎 +1 Bài 26 Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎5 − 𝑎2 + 𝑏 − 𝑏 + 𝑐 − 𝑐 + ≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Bài 27 Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Tìm giá trị nhỏ 𝑃= 1−𝑎 1−𝑏 + 1−𝑐 1−𝑏 1−𝑐 + 1−𝑎 1−𝑐 1−𝑎 1−𝑏 Bài 28 Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Tìm giá trị lớn biểu thức 𝑏𝑐 𝑐𝑎 𝑎𝑏 𝑃= + + 𝑎 + 3𝑏𝑐 𝑏 + 3𝑐𝑎 𝑐 + 3𝑎𝑏 Bài 29 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 có tích 𝑎𝑏𝑐 = Chứng minh 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 ≥ 4(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 1) Bài 30 (Dự tuyển IMO 2001) Cho số dương 𝑥1 , 𝑥2 , , 𝑥𝑛 Chứng minh 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 < 𝑛 2+ 2 +⋯+ + 𝑥1 + 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥1 + 𝑥22 + ⋯ + 𝑥𝑛2 Bài 31 Cho số dương 𝑥1 , 𝑥2 , , 𝑥𝑛 cho 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 = Chứng minh 1 + + ⋯+ ≤1 𝑛 − + 𝑥1 𝑛 − + 𝑥2 𝑛 − + 𝑥𝑛 Bài 32 (IMO 2000) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏𝑐 = Chứng minh 1 𝑎−1+ 𝑏−1+ 𝑐−1+ ≤1 𝑏 𝑐 𝑎 Bài 33 (China 2005) Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = Chứng minh 1 + + ≤3 𝑎2 − 𝑏𝑐 + 𝑏 − 𝑐𝑎 + 𝑐 − 𝑎𝑏 + Bài 34 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎3 − 𝑏 𝑏 − 𝑐 𝑐 − 𝑎3 𝑎−𝑏 + + ≤ 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐−𝑎 + 𝑏+𝑐 + 𝑐−𝑎 Bài 35 (APMO 2007) Cho số thực dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 cho 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = Chứng minh 𝑥 + 𝑦𝑧 𝑦 + 𝑧𝑥 𝑧 + 𝑥𝑦 + + ≥1 2𝑥 (𝑦 + 𝑧) 2𝑦 𝑧 + 𝑥 2𝑧 𝑥 + 𝑦 Page Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection Bài 36 Cho số 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ (−1; 1) Chứng minh 1 + ≥2 1−𝑥 1−𝑦 1−𝑧 1+𝑥 1+𝑦 1+𝑧 Bài 37 (Nga 2002) Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 Bài 38 Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 2𝑎2 2𝑏 + 2𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 2𝑏 + 𝑐 + 𝑎 + 2𝑐 2𝑐 + 𝑎 + 𝑏 ≤1 Bài 39 Chứng minh với số thực dương 𝑥, 𝑦 ta có 𝑥𝑦 + 𝑦𝑥 > Bài 40 (Võ Quốc Bá Cẩn) cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎𝑏+𝑐 + 𝑏 𝑐+𝑎 + 𝑐 𝑎+𝑏 ≥ Bài 41 Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎2 𝑏 + 𝑏 𝑐 + 𝑐 𝑎 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎2 ≥ 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎3 + 𝑎𝑏𝑐 𝑏 + 𝑎𝑏𝑐 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 Bài 42 Cho số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 𝑐 + 𝑎 − 𝑏 ≥ 𝑎2 + 𝑏 − 𝑐 𝑏 + 𝑐 − 𝑎2 𝑐 + 𝑎2 − 𝑏 Bài 43 Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 + + ≤ + 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 Bài 43 (Mĩ 1994) Cho số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 Chứng minh 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 𝑧 ≥ 𝑥𝑦𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 Bài 44 Cho số 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ Chứng minh 2 𝑥 𝑥 +2𝑦𝑧 𝑦 𝑦 +2𝑧𝑥 𝑧 𝑧 +2𝑥𝑦 ≥ 𝑥𝑦𝑧 𝑥𝑦 +𝑦𝑧 +𝑧𝑥 Bài 45 Cho số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 thỏa 𝑥𝑦𝑧 = Chứng minh 𝑥3 𝑦3 𝑧3 + + ≥ 1+𝑦 1+𝑧 1+𝑧 1+𝑥 1+𝑥 1+𝑦 Bài 46 Cho số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 Chứng minh 𝑥 𝑦 + + 𝑥+ 𝑥+𝑦 𝑥+𝑧 𝑦+ 𝑦+𝑧 𝑦+𝑥 𝑧+ 𝑧 𝑧+𝑥 𝑧+𝑦 Bài 47 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎2 + 𝑏𝑐 (𝑏2 + 𝑐𝑎) 𝑐 + 𝑎𝑏 ≤ 𝑎3 + 𝑏 + 𝑐 ≤1 Bài 48 Cho số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 cho 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = Chứng minh ≤ − 𝑥 2 + − 𝑦 2 + − 𝑧 2 ≤ + 𝑥 + 𝑦 (1 + 𝑧) Bài 49 Cho số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 cho 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 = Chứng minh 𝑥 − 𝑦2 − 𝑧2 + 𝑦 − 𝑧2 − 𝑥2 + 𝑧 − 𝑥2 − 𝑦2 ≤ Bài 50 Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 2𝑎𝑏 2𝑏𝑐 2𝑐𝑎 + + ≥ + + 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 + 𝑐𝑎 𝑐 + 𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏𝑐 Page Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection Bài 51 Cho số thwucj dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎2 + 𝑏𝑐 𝑏 + 𝑐𝑎 𝑐 + 𝑎𝑏 + + ≥𝑎+𝑏+𝑐 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 Bài 52 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 1 27 + + ≥ 𝑏 𝑎+𝑏 𝑐 𝑏+𝑐 𝑎 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏+𝑐 Bài 53 Cho số dường 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏𝑐 = Chứng minh 1 + + ≤ 1+𝑎 1+𝑏 1+𝑏 1+𝑐 1+𝑐 1+𝑎 Bài 54 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 Chứng minh 1 + ≤ 1 1 1 𝑎+𝑏 𝑐 +𝑑 𝑎+𝑐+𝑏+𝑑 Bài 55 Cho số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 𝑏2 + 𝑏𝑐 + 𝑐 𝑐 + 𝑐𝑎 + 𝑎2 ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 Bài 56 Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 2≥ + + ≥1 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 + 𝑎𝑏 Bài 57 (Phạm Kim Hùng) Cho số thực không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho khơng có số Chứng minh 1 1 2 (a 2b) (b 2c) (c 2a) ab bc ca Bài 58 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑐𝑎 𝑎 𝑏 𝑐 + + ≥ + + 𝑐 𝑐+𝑎 𝑎 𝑎+𝑏 𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 Bài 59 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Đặt 1 𝑥 = 𝑎 + ,𝑦 = 𝑏 + ,𝑧 = 𝑐 + 𝑏 𝑐 𝑎 Chứng minh 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 ≥ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 Bài 60 Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 độ dài cạnh tam giác Chứng minh 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 𝑎 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 𝑏 𝑐 + 𝑎 − 𝑏 𝑐 ≤ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐 𝑐 Bài 61 Cho số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 thỏa mãn 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = Chứng minh 𝑥 𝑦4 + 𝑦4 𝑧 + 𝑧 𝑥4 ≤ Bài 62 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑥, 𝑦, 𝑧 Chứng minh 𝑥 𝑦 𝑧 + + ≥ 𝑎𝑦 + 𝑏𝑧 𝑎𝑧 + 𝑏𝑥 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑎 + 𝑏 Bài 63 Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎+𝑏 𝑐 𝑏+𝑐 3𝑎+𝑏+𝑐 ≥ + 1+ 𝑐 𝑎 𝑎 1+ 𝑐+𝑎 𝑏 𝑏 Bài 64 (IMO) Cho số thực dấu 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 Chứng minh 𝑎−𝑏 𝑎−𝑐 𝑎−𝑑 𝑎−𝑒 + 𝑏−𝑐 𝑏−𝑑 𝑏−𝑒 𝑏−𝑎 + 𝑐−𝑑 𝑐−𝑒 𝑐−𝑎 𝑐−𝑏 + 𝑑−𝑒 𝑑−𝑎 𝑑−𝑏 𝑑−𝑐 + 𝑒−𝑎 𝑒−𝑏 𝑒−𝑐 𝑒−𝑑 ≥ Page Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection Bài 65 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦, 𝑧 Chứng minh 𝑎 𝑦+𝑧 𝑏 𝑧+𝑥 𝑐 𝑥+𝑦 + + 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 ≥ 𝑥 + 𝑦 (𝑥 + 𝑧) + 𝑦 + 𝑧 (𝑦 + 𝑥) + 𝑧 + 𝑥 (𝑧 + 𝑦) − 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 Bài 66 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑏+𝑐−𝑎 𝑐+𝑎−𝑏 𝑎+𝑏−𝑐 + + ≥ 𝑏 + 𝑐 + 𝑎2 𝑐 + 𝑎 + 𝑏2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐2 Bài 67 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh a/ 𝑎2 − 𝑏 𝑏 − 𝑐 𝑐 − 𝑎2 + + ≥0 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 b/ a b2 b c c a (a b)2 (b c)2 (c a)2 bc ca ab 2(a b c) Bài 68 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 1 27 + + ≤ + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 Bài 69 Chứng minh < 𝑦 ≤ 𝑥 < 𝑥 + 𝑥 − − 𝑥2 ≤ 𝑦 + 𝑦 − − 𝑦2 Bài 70 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 + + ≥2 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 + + 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 Bài 71 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎4 + 𝑎2 𝑏 + 𝑏 + 𝑏 + 𝑏 𝑐 + 𝑐 + 𝑐 + 𝑐 𝑎2 + 𝑎4 ≥ 𝑎 2𝑎2 + 𝑏𝑐 + 𝑏 2𝑏 + 𝑐𝑎 + 𝑐 2𝑐 + 𝑎𝑏 Bài 72 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 ≥ 𝑎𝑏𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Bài 73 Cho số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 𝑎+𝑏 3+𝑏 𝑏+𝑐 3+𝑐 𝑐+𝑎 ≥0 Bài 74 (Phan Thành Nam) Cho số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎 𝑎−𝑏 3+𝑏 𝑏−𝑐 3+𝑐 𝑐−𝑎 ≥0 Bài 75 (Phan Thành Nam) Cho số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑎2 + 𝑏 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑏 + 𝑐 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 𝑐 + 𝑎2 ≥ Bài 76 (Nguyễn Đình Thi) Cho số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑎2 + 𝑐 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑏 + 𝑎2 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 𝑐 + 𝑏 ≥ Bài 77 (Phan Thành Nam) Cho số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 (𝑐 + 𝑎) ≠ Chứng minh 𝑎 𝑎−𝑏 𝑏 𝑏−𝑐 𝑐 𝑐−𝑎 + + ≥ − 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 Bài 78 Cho số thực không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh Page Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection 1+ 4𝑎 𝑏+𝑐 1+ 4𝑏 𝑐+𝑎 1+ 4𝑐 ≥ 25 𝑎+𝑏 Bài 79 Cho số 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ≥ Chứng minh 1 𝑛 + + ⋯+ ≥ 𝑛 + 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥𝑛 + 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 Bài 80 (VMO 1991) Cho số thực 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 𝑧 > Chứng minh 𝑥2 𝑦 𝑦2 𝑧 𝑧2 𝑥 + + ≥ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − (𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥) 𝑧 𝑥 𝑦 Bài 81 (Nguyễn Đức Toàn) Cho số thực 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 𝑧 > Chứng minh 𝑥2 𝑦 𝑦2 𝑧 𝑧2 𝑥 𝑥−𝑦 𝑦−𝑧 𝑧−𝑥 + + ≥ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝑧 𝑥 𝑦 𝑥𝑦𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 Bài 82 Cho số thực không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎+ 𝑏−𝑐 12 + 𝑏+ 𝑐−𝑎 12 Bài 83 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎4 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑎2 𝑏 + 𝑏 𝑐 + 𝑐 𝑎2 ≥ + 𝑐+ 𝑎−𝑏 12 ≤ 𝑎3 𝑏 + 𝑏 𝑐 + 𝑐 𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎3 Bài 84 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ [1; 2] Chứng minh 1 𝑎+𝑏+𝑐 + + ≤ 10 𝑎 𝑏 𝑐 Bài 85 (Thái Nhật Phượng) Cho số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 thỏa 𝑥𝑦𝑧 = Chứng minh 𝑥2 𝑦2 𝑦2 𝑧2 𝑧2𝑥2 + + ≤1 𝑥2 𝑦2 + 𝑥7 + 𝑦7 𝑦2 𝑧2 + 𝑦7 + 𝑧7 𝑧2 𝑥2 + 𝑧7 + 𝑥7 Bài 86 (Cezar Lupu) Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎2 + 𝑏𝑐 𝑏 + 𝑐𝑎 𝑐 + 𝑎𝑏 + + ≥ + + 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏 𝑎+𝑐 𝑏+𝑐 𝑏+𝑎 𝑐+𝑎 𝑐+𝑏 Bài 87 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = = 4𝑎𝑏𝑐 Chứng minh 1 1 1 + + ≥3≥ + + 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐𝑎 𝑎𝑏 𝑏𝑐 Bài 88 Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎𝑏𝑐 ≤ Chứng minh 1 + + ≥1 𝑎 −𝑎+1 𝑏 −𝑏+1 𝑐 −𝑐+1 Bài 89 (China 2006) Cho số dương 𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑛 cho 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 = Chứng minh 1 𝑛2 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 + + ⋯+ ≤ 𝑛+1 + 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥𝑛 Bài 90 (Romania 2006) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 1 + + ≥ 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 2 𝑎 𝑏 𝑐 Bài 91 Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎2 + 2𝑎𝑏 𝑎 𝑏2 + 2𝑐𝑎 𝑏 𝑐 + 2𝑐𝑎 𝑐 ≥ 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 𝑎+𝑏+𝑐 Bài 92 (Phạm Kim Hùng) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏𝑐 ≥ Chứng minh Page Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection 𝑎+𝑏+𝑐 ≥ 1+𝑎 1+𝑏 1+𝑐 + + 1+𝑏 1+𝑐 1+𝑎 Bài 93 Cho số không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 + + ≥ 2 2 𝑏 +𝑐 𝑐 +𝑎 𝑎 +𝑏 𝑎+𝑏+𝑐 Bài 94 (Nguyễn Đình Thi) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 + + ≥ 𝑏 + 𝑐 + 5𝑐 𝑐 + 𝑎 + 5𝑎2 𝑎 + 𝑏 + 5𝑏 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Bài 95 Cho số 𝑥, 𝑦 dương cho 𝑥 + 𝑦 = Chứng minh 𝑥 + 𝑦 ≥ 2𝑥𝑦 Bài 96 (Trần Quốc Anh) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 3 𝑎 𝑏 𝑐 + + ≥ 2𝑎 + 𝑏 2𝑏 + 𝑐 2𝑐 + 𝑎 Bài 97 Cho số thực khác đôi 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 + + ≥2 𝑎−𝑏 𝑏−𝑐 𝑐−𝑎 Bài 98 (Trần Quốc Luật, Nguyễn Đình Thi) Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦, 𝑧 số nguyên dương 𝑘 Chứng minh a/ 2𝑥 2𝑦 2𝑧 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 ≤ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑥+𝑦 𝑦+𝑧 𝑧+𝑦 b/ 𝑘 +1 𝑘+1 𝑘+1 2𝑥 𝑘 2𝑦 𝑘 2𝑧 𝑘 𝑎 𝑏+ 𝑏 𝑐+ 𝑐 𝑎≤𝑎+𝑏+𝑐 𝑥+𝑦 𝑦+𝑧 𝑧+𝑦 Bài 99 (Turkey National Olympiad 2008) Cho a, b, c cho a b c Chứng minh a 2b2 b2 c c2 a2 2 2 2 c a ab b a b bc c b c ca a ab bc ca Bài 100 (Nguyễn Đình Thi) Cho 𝑥, 𝑦, 𝑧 số thực dương 𝑘 số thực tùy ý Chứng minh ak 1bk 1 (a b) bk 1c k 1 (b c) c k 1a k 1 (c a) k k k k a) với k k k k k k k ab bc ca c a b a b c b c a k 1 k 1 b) k 1 k 1 k 1 k 1 a b (a b) b c (b c) c a (c a) k k k k với k k k k k k 3abc c a b a b c b c a Bài 101 (Nguyễn Đình Thi) Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 số thực dương, chứng minh bất đẳng thức sau: a b b c c a a) a b c 3 abc ab bc ca 1 a b bc c a 33 b) a b c ab bc ca abc Bài 102 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh bất đẳng thức sau với k Page Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection Bài 319 Cho số không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎3 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑏 𝑏3 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑐 + + 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎3 𝑏 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑐 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎2 𝑎3 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑏 ≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 3 Bài 320 Cho số không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 + + ≥6 𝑎2 + 𝑏𝑐 𝑏 + 𝑐𝑎 𝑐 + 𝑎𝑏 Bài 321 Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎𝑏𝑐 = Chứng minh 1 + + ≥1 3 1+𝑎 1+𝑏 + 𝑐3 Bài 322 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑐𝑎 𝑎+𝑏+𝑐 + + ≤ 2𝑐 + 𝑎 + 𝑏 2𝑏 + 𝑐 + 𝑎 2𝑏 + 𝑎 + 𝑐 Bài 323 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Tìm giá trị nhỏ 𝑎 + 3𝑐 4𝑏 8𝑐 + − 𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 Bài 324 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 𝑏 + 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 + 𝑐 𝑐+𝑎 ≥ Bài 325 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 ≤ Chứng minh + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 + + ≥3 𝑐 + 𝑎𝑏 𝑎2 + 𝑏𝑐 𝑏 + 𝑐𝑎 Bài 325 Chứng minh 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦, 𝑧 > 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 ≥ 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 − 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 Bài 326 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎2 𝑏2 𝑐2 + + ≥1 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐 𝑐 + 𝑐𝑎 + 𝑎2 Bài 327 (Olympic 30/4) Chứng minh ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 + 𝑥 + 13 − 𝑥 ≤ 16 Bài 328 Cho số không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 1+ 16𝑎 16𝑏 16𝑐 + 1+ + 1+ ≥9 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 Bài 329 Cho số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 thỏa 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = Chứng minh 1 + + ≥ 24 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑥 𝑦 𝑧 Bài 330 Cho số không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh Page 28 Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection 𝑎2 1 10 + + ≥ 2 +𝑏 𝑏 +𝑐 𝑐 +𝑎 1+𝑏+𝑐 Bài 331 Chứng minh với tam giác nhọn 𝐴𝐵𝐶 ta có 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐴 + + 𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 2 ≥ Bài 332 Cho số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 cho 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = Chứng minh 𝑥 𝑦 𝑧 + + ≥ 𝑦 +𝑧 𝑧 +𝑥 𝑥 +𝑦 Bài 333 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎2 + 𝑏𝑐 𝑏 + 𝑐𝑎 𝑐 + 𝑎𝑏 + + ≥ 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 Bài 334 Chứng minh 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ 𝑎2 + 𝑏𝑐 𝑏2 + 𝑐𝑎 𝑐 + 𝑎𝑏 + + ≥ 𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐 𝑐 + 𝑐𝑎 + 𝑎2 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 Bài 335 Chứng minh 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ 𝑎3 + 𝑎𝑏𝑐 𝑏3 + 𝑎𝑏𝑐 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 + + ≥2 𝑏 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑐 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎3 𝑎3 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑏 Bài 336 (Tạp chí Komal) Cho số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎2 + − 𝑏 + 𝑏2 + − 𝑐 + 𝑐2 + − 𝑎 ≥ Bài 337 (Romania TST 2002) Chứng minh 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ (0; 1) ta có 𝑎𝑏𝑐 + 1−𝑎 1−𝑏 1−𝑐 Chứng minh Page 29 Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection 𝑥𝑦𝑧 < + 3𝑥 𝑥 + 8𝑦 𝑦 + 9𝑧 (𝑧 + 6) Bài 344 Cho số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 ≤ 𝑎3 + 𝑏 + 𝑐 + Bài 345 Cho số 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ (1; 2) Chứng minh 𝑏 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 𝑐 + + ≥1 4𝑏 𝑐 − 𝑐 𝑎 4𝑐 𝑎 − 𝑎 𝑏 4𝑎 𝑏 − 𝑏 𝑐 Bài 346 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏𝑐 ≤ Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 + + ≥𝑎+𝑏+𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 Bài 347 (Romania 2003) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏𝑐 = Chứng minh 1+ ≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 Bài 348 (JBMO 2002) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎3 𝑏 𝑐 𝑎2 𝑏 𝑐 + + ≥ + + 𝑏 𝑐 𝑎2 𝑏 𝑐 𝑎 Bài 349 Cho số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 cho 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 Chứng minh 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 ≥ + 𝑥 + + 𝑦 + + 𝑧 + Bài 350 (JBMO 2002) Cho số 𝑥, 𝑦, 𝑧 > −1 Chứng minh + 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + + ≥2 + 𝑦 + 𝑧2 + 𝑧 + 𝑥2 + 𝑥 + 𝑦2 Bài 351 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎2 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 + + ≥2 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 Bài 352 (Tạp chí Kvan 1998) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎4 + 𝑏 + 𝑐 ≤ 𝑎2 𝑏 + 𝑏 𝑐 + 𝑐 𝑎2 Chứng minh 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 ≤ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 Bài 353 (Gazeta Matematica) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎+𝑏 𝑎 𝑏+𝑐 𝑏 𝑐+𝑎 𝑐 + + ≥ 𝑏 + 𝑐 2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 2𝑏 + 𝑐 + 𝑎 𝑎 + 𝑏 2𝑐 + 𝑎 + 𝑏 Bài 354 (India 2002) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 + + ≥ + + 𝑏 𝑐 𝑎 𝑐+𝑏 𝑎+𝑐 𝑏+𝑎 Bài 355 (Russia 2002) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦, 𝑧 cho 𝑎 + 𝑥 = 𝑏 + 𝑦 = 𝑐 + 𝑧 = Chứng minh 1 𝑎𝑏𝑐 + 𝑥𝑦𝑧 + + ≥3 𝑎𝑦 𝑏𝑧 𝑐𝑥 Page 30 Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection Bài 356 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎2 𝑏 + 𝑏 𝑐 + 𝑐 𝑎 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎2 ≥ 𝑎𝑏𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Bài 357 Cho số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho max 𝑎, 𝑏, 𝑐 − 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≤ Chứng minh + 𝑎3 + 𝑏 + 𝑐 + 6𝑎𝑏𝑐 ≥ 𝑎2 𝑏 + 𝑏 𝑐 + 𝑐 𝑎 Bài 358 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎2 𝑏2 𝑐2 27 + + 2+ 2+ ≥6 𝑎+𝑏+𝑐 𝑏𝑐 𝑐𝑎 𝑎𝑏 1 + + 𝑎 𝑏 𝑐 Bài 359 Cho số 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ (0; 1) cho 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 − 𝑎2 − 𝑏 − 𝑐 + + ≥ + + − 𝑎2 − 𝑏 − 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 Bài 360 Cho số 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 1 27 + + ≤ + 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 10 Bài 361 Chứng minh 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = ta có 1−𝑥 1−𝑦 1−𝑧 ≥ 215 𝑥𝑦𝑧 𝑥 + 𝑦 𝑦 + 𝑧 𝑧 + 𝑥 Bài 362 (IMO Shorlish 1987) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≤ 𝑎𝑏𝑐 + Bài 363 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 Chứng minh 𝑎−𝑏 𝑏−𝑐 𝑐−𝑑 𝑑−𝑎 + + + ≥0 𝑏+𝑐 𝑐+𝑑 𝑑+𝑎 𝑎+𝑏 Bài 364 (MOSP 2001) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏𝑐 = Chứng minh 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 ≥ 𝑎+𝑏+𝑐−1 Bài 365 (Tạp chí Kvan 1988) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎+1 𝑏+1 𝑐+1 3+𝑎+𝑏+𝑐+ + + + + + ≥ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 + 𝑎𝑏𝑐 Bài 366 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑏 𝑐 𝑐 𝑎 𝑎 𝑏 3 + + ≥ 𝑎 3𝑐 + 𝑎𝑏 𝑏 3𝑎 + 𝑏𝑐 𝑐 3𝑏 + 𝑐𝑎 Bài 367 Cho số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 Sao cho 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 Chứng minh 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 − ≤ − 10 Bài 368 (Tạp chí Kvan 1989) Cho số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦, 𝑧 Chứng minh 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 Bài 369 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh Page 31 Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection 𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏𝑐 ≤ 3 𝑎 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏+𝑐 Bài 370 (USA TST 2000) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎+𝑏+𝑐 2 − 𝑎𝑏𝑐 ≤ max 𝑎− 𝑏 , 𝑏− 𝑐 , Bài 371 (Việt Nam 2004) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 giá trị nhỏ 𝑥4 + 𝑦4 + 𝑧4 𝑥+𝑦+𝑧 𝑐− 𝑎 = 32𝑎𝑏𝑐 Tìm giá trị lớn Bài 372 (Nhật 1997) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑏+𝑐−𝑎 𝑐+𝑎−𝑏 𝑎+𝑏−𝑐 + + ≥ 2 2 2 𝑏+𝑐 +𝑎 𝑐+𝑎 +𝑏 𝑎+𝑏 +𝑐 Bài 373 (Vasile) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑎 𝑏 𝑐 + + ≥ + + 2 2 2 𝑏 +𝑐 𝑐 +𝑎 𝑎 +𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 Bài 374 (BMO 2005) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎2 𝑏 𝑐 𝑎−𝑏 + + ≥𝑎+𝑏+𝑐+ 𝑏 𝑐 𝑎 𝑎+𝑏+𝑐 Bài 375 (Romania 2005) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 = Chứng minh 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 ≤ Bài 376 (Romania 2005) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏𝑐 = Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 + + ≥ 𝑏 𝑐+1 𝑐 𝑎+1 𝑎 𝑏+1 𝑎 𝑏 𝑐 Bài 377 (Romania 2005) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 𝑏 + 𝑐 + 𝑎 Chứng minh 𝑎3 𝑐 𝑏3 𝑎 𝑐3𝑏 + + ≥ 𝑏 𝑐+𝑎 𝑎 𝑎+𝑏 𝑎 𝑏+𝑐 Bài 378 (Nhật 2005) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 3 𝑎 1+𝑏−𝑐+𝑏 1+𝑐−𝑎+𝑐 1+𝑎−𝑏 ≤1 Bài 379 (Đức 2005) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑏 𝑐 𝑎 1+𝑎 1+𝑏 1+𝑐 + + ≥ + + 𝑎 𝑏 𝑏 1−𝑎 1−𝑏 1−𝑐 Bài 380 (Việt Nam 2005) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 3 + + ≥ 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 Bài 381 (China 2005) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh Page 32 Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection 10 𝑎3 + 𝑏 + 𝑐 − 𝑎5 + 𝑏 + 𝑐 ≥ Bài 382 (Poland 2005) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = Chứng minh 𝑎3 + 𝑏 + 𝑐 + 6𝑎𝑏𝑐 ≥ Bài 383 (Baltic Way 2005) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏𝑐 = Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 + + ≤1 𝑎 +2 𝑏 +2 𝑐 +2 Bài 384 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎 𝑏+𝑏 𝑐+𝑐 𝑎 ≤ Bài 385 (Ian 2005) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 1 + + ≥ 𝑎+𝑏+𝑐 + + 𝑏 𝑐 𝑎 𝑎 𝑏 𝑐 Bài 386 (Austraylia 2005) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 Chứng minh 1 1 𝑎+𝑏+𝑐+𝑑 + 3+ 3+ 3≥ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎𝑏𝑐𝑑 Bài 387 (Modoval 2005) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎4 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 1 + + ≤1 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 − 𝑐𝑎 Bài 388 (APMO 2005) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏𝑐 = Chứng minh 𝑎2 𝑏2 𝑐2 + + ≥ + 𝑎3 + 𝑏 + 𝑏3 + 𝑐 + 𝑐 + 𝑎3 Bài 389 (IMO 2005) Cho số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 cho 𝑥𝑦𝑧 ≥ Chứng minh 𝑥5 − 𝑥2 𝑦5 − 𝑦2 𝑧5 − 𝑧2 + + ≥0 𝑥5 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑦5 + 𝑧2 + 𝑥2 𝑧5 + 𝑥2 + 𝑦2 Bài 390 (IMO Shortlish 2004) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = Chứng minh 3 1 + 6𝑏 + + 6𝑐 + + 6𝑎 ≤ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐 1 1 Bài 391 (Latvia 2002) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 1+𝑎 + 1+𝑏 + 1+𝑐 + 1+𝑑 = Chứng minh 𝑎𝑏𝑐𝑑 ≥ Bài 392 (Anbania 2002) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 1+ 3 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 1 + + ≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 Bài 393 (Canada 2002) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎3 𝑏 𝑐 + + ≥𝑎+𝑏+𝑐 𝑏𝑐 𝑐𝑎 𝑎𝑏 Bài 394 (BMO 2002) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh Page 33 Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection 1 27 + + ≥ 𝑏 𝑎+𝑏 𝑐 𝑏+𝑐 𝑎 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏+𝑐 Bài 395 (Greece 2002) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 + + ≥ 𝑎 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐 𝑏 + 𝑐 + 𝑎2 + Bài 396 (Ireland 2002) Cho số không âm 𝑎, 𝑏 cho 𝑎 + 𝑏 = Chứng minh 𝑎2 𝑏 𝑎2 + 𝑏 ≤ Bài 397 (BMO 2001) Cho số 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 𝑎𝑏𝑐 Chứng minh 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 3𝑎𝑏𝑐 Bài 398 Cho số dương 𝑎, 𝑏 Chứng minh 𝑎+𝑏 1 + ≥ 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 + 𝑏 𝑎 Bài 399 (Macedonia 2000) Cho số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 Chứng minh 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 2(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧) Bài 400 (Tukey 1999) Cho số 𝑐 ≥ 𝑏 ≥ 𝑎 ≥ Chứng minh (𝑎 + 3𝑏0 𝑏 + 4𝑐 𝑐 + 2𝑎 ≥ 60𝑎𝑏𝑐 Bài 401 (Macedonia 1999) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎+𝑏+𝑐+ ≥4 𝑎𝑏𝑐 Bài 402 (Poland 1999) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 + 3𝑎𝑏𝑐 ≤ 1 1 Bài 403 (Iran 1998) Cho số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 cho 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = Chứng minh 𝑥+𝑦+𝑧 ≥ 𝑥−1+ 𝑦−1+ 𝑧−1 Bài 404 (Belarus 1998) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 + + ≥ + +1 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏+𝑐 𝑎+𝑏 Bài 405 (Belarus 1997) Cho số dương 𝑎, 𝑥, 𝑦, 𝑧 Chứng minh 𝑎+𝑦 𝑎+𝑧 𝑎+𝑥 𝑎+𝑧 𝑎+𝑥 𝑎+𝑦 𝑥+ 𝑦+ 𝑧 ≥𝑥+𝑦+𝑧 ≥ 𝑥+ 𝑦+ 𝑧 𝑎+𝑧 𝑎+𝑥 𝑎+𝑦 𝑎+𝑥 𝑎+𝑦 𝑎+𝑧 Bài 406 (Ireland 1997) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 𝑎𝑏𝑐 Chứng minh 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 𝑎𝑏𝑐 Bài 405 (Bugaria 1997) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏𝑐 = Chứng minh 1 1 1 + + ≤ + + 1+𝑎+𝑏 1+𝑏+𝑐 1+𝑐+𝑎 2+𝑎 2+𝑏 2+𝑐 Page 34 Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection Bài 406 (Romania 1997) Cho só dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏𝑐 = Chứng minh 𝑎9 + 𝑏 𝑏9 + 𝑐 𝑐 + 𝑎9 + + ≥2 𝑎6 + 𝑎3 𝑏 + 𝑏 𝑏 + 𝑏 𝑐 + 𝑐 𝑐 + 𝑐 𝑎3 + 𝑎6 Bài 407 (Estonia 1997) Cho số thực 𝑥, 𝑦 Chứng minh 𝑥2 + 𝑦2 + ≥ 𝑥 𝑦2 + + 𝑦 𝑥2 + Bài 408 (Romania 1997) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑏𝑐 𝑐𝑎 𝑎𝑏 + + ≥1≥ + + 𝑎2 + 2𝑏𝑐 𝑏 + 2𝑐𝑎 𝑐 + 2𝑐𝑎 𝑎 + 2𝑏𝑐 𝑏 + 2𝑐𝑎 𝑐 + 2𝑎𝑏 Bài 409 (Việt Nam 1996) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 cho 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 = 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 + 𝑐𝑑 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑏𝑐𝑑 + 𝑐𝑑𝑎 + 𝑑𝑎𝑏 = 16 Chứng minh 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 ≥ (𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 + 𝑐𝑑) Bài 410 (Belarus 1996) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏𝑐 Chứng minh 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 ≥ 9(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) Bài 411 (Baltic Way 1995) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 Chứng minh 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑 𝑐+𝑎 𝑑+𝑏 + + + ≥4 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑑 𝑑+𝑎 Bài 412 (Poland 1993) Cho số dương 𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣 Chứng minh 𝑥𝑦 + 𝑥𝑣 + 𝑢𝑦 + 𝑢𝑣 𝑥𝑦 𝑢𝑣 ≥ + 𝑥+𝑦+𝑢+𝑣 𝑥+𝑦 𝑢+𝑣 Bài 413 (IMO Shortlish 1993) Cho số không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = Chứng minh 176 𝑎𝑏𝑐 + 𝑏𝑐𝑑 + 𝑐𝑑𝑎 + 𝑑𝑎𝑏 ≤ + 𝑎𝑏𝑐𝑑 27 27 Bài 414 (Poland 1992) Cho số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 𝑐 + 𝑎 − 𝑏 ≥ 𝑎2 + 𝑏 − 𝑐 𝑏 + 𝑐 − 𝑎2 𝑐 + 𝑎2 − 𝑏 Bài 415 (IMO 1968) Cho số dương 𝑥1 , 𝑥2 số thực 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑧1 , 𝑧2 ; 𝑥1 𝑦1 > 𝑧12 , 𝑥2 𝑦2 > 𝑧22 Chứng minh 1 2+ ≥ 𝑥 +𝑥 𝑥1 𝑦1 − 𝑧1 𝑥2 𝑦2 − 𝑧2 𝑦1 + 𝑦2 − 𝑧1 + 𝑧2 Bài 416 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 Bài 417 Cho số 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ Chứng minh 𝑎2 𝑏 + 𝑐 𝑏2 𝑐 + 𝑎 𝑐2 𝑎 + 𝑏 + + ≥ 2 2 2 𝑏 + 𝑐 2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 2𝑏 + 𝑐 + 𝑎 𝑎 + 𝑏 2𝑐 + 𝑎 + 𝑏 Bài 418 Cho số 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ Chứng minh Page 35 Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection 𝑎2 2𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑏2 2𝑏 + 𝑐 + 𝑎 + 𝑐2 2𝑐 + 𝑎 + 𝑏 ≤ Bài 419 (Vasile) Cho số không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 2 ≥ 3(𝑎3 𝑏 + 𝑏 𝑐 + 𝑐 𝑎) Bài 420 (China 2005) Cho tam giác nhọn 𝐴𝐵𝐶 Chứng minh cos2 𝐴 cos2 𝐵 cos2 𝐶 + + ≥ 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑐𝑜𝑠𝐶 + Bài 421 (Nguyễn Anh Cường) Cho số không âm 𝑥, 𝑦, 𝑧 cho 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = Chứng minh 𝑥 𝑦 + 𝑦 𝑧 + 𝑧 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 ≤ Bài 422 (Võ Quốc Bá Cẩn – THTT) Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh 𝑏 𝑐 𝑎 1< + + 𝑎+𝑏+ 𝑏+𝑐+ 𝑐+𝑎 Bài 442 (Thái Nhật Phượng) cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏𝑐 = Chứng minh 𝑎2 𝑏2 𝑐2 + + ≤1 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 𝑐 𝑏 + 𝑐 + 𝑐 𝑎 𝑐 + 𝑎 + 𝑎3 𝑏 Page 37 Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection Bài 443 Cho số 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ;1 Tìm giá trị lớn 𝑥+𝑦 𝑦+𝑧 𝑧+𝑥 + + 1+𝑧 1+𝑥 1+𝑦 Bài 444 (IMO 2006) Cho số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎𝑏 𝑎2 − 𝑏 + 𝑏𝑐 𝑏 − 𝑐 + 𝑐𝑎 𝑐 − 𝑎2 ≤ 16 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 2 Bài 445 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = Chứng minh 1 + + ≥1 2𝑎 + 2𝑏𝑐 + 2𝑏 + 2𝑐𝑎 + 2𝑐 + 2𝑎𝑏 + Bài 446 (Võ Quốc Bá Cẩn) cho số không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = Chứng minh 1 1 + + ≥ 2+ 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐 𝑐 + 𝑐𝑎 + 𝑎2 Bài 447 (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho số không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 1 + + ≥ 4+ 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐 𝑐 + 𝑐𝑎 + 𝑎2 Bài 448 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 có độ dài cạnh 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 𝐵 𝐶 𝑏 𝐶 𝐴 𝑐 𝐴 𝐵 tan2 tan2 + tan2 tan2 + tan2 tan2 𝑏+𝑐 2 𝑐+𝑎 2 𝑎+𝑏 2 Bài 449 Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 độ dài cạnh tam giác 𝐴𝐵𝐶 Chứng minh 𝑎 𝐵 𝐶 𝑏 𝐶 𝐴 𝑐 𝐴 𝐵 tan4 + tan4 + tan4 + tan4 + tan4 + tan4 ≥ 𝑏+𝑐 2 𝑐+𝑎 2 𝑎+𝑏 2 Bài 450 Cho số thực không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh bc ca 3 2 2 2 2 a ab b a ac c c cb b a ab b ab a ac c2 b2 bc c 1 Bài 451 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎2 + 𝑎𝑏𝑐 𝑏 + 𝑎𝑏𝑐 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 + + ≤ 𝑏 + 𝑐𝑎 𝑐 + 𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏𝑐 𝑎𝑏𝑐 Bài 452 (Phan Thành Nam) Cho tam giác nhọn 𝐴𝐵𝐶 Tìm giá trị nhỏ 𝑃 = 𝑡𝑎𝑛𝐴 + 2𝑡𝑎𝑛𝐵 + 5𝑡𝑎𝑛𝐶 Bài 453 Chứng minh với số thực khơng âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 ta ln có 𝑎2 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 𝑎2 𝑏 + 𝑏 𝑐 + 𝑐 𝑎2 Bài 454 (Cezar Lupu) Cho 𝑥, 𝑦, 𝑧 số dương cho 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 ≥ max 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 Chứng minh 8𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≥ 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 − 𝑥 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 − 𝑦 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 − 𝑧 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 Bài 455 (Trần Nam Dũng) Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 số thực không âm không đồng thời Chứng minh ta có bất đẳng thức Page 38 Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection a2 b2 c2 2 2 3a (b c) 3b (c a) 3c (a b) Bài 456 (USA Team Selection Test 2009) Cho số dương x, y, z Chứng minh x3 ( y z )2 y3 ( z x2 )2 z3 ( x2 y )2 xyz[ xy( x y)2 yz( y z )2 zx( z x)2 Bài 457 (Germany Team Selection Tests 2009) Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 số dương Chứng minh (a b)(a c) (b c)(b d ) (c d )(c a ) (d a )(d b) 0 a bc bcd cd a d a b Bài 458 (India National Olympiad 2009) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎3 + 𝑏 = 𝑐 Chứng minh a2 b2 c2 6(c a)(c b) Bài 459 (Serbia Team Selection Tests 2009) Cho số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 cho 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 Chứng minh 1 1 x y 1 y z 1 z x 1 1 1 1 Bài 460 (USA USAMO 2009) Cho (a1 a2 an ) n với 𝑛 ≥ 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 a a2 an 2 số thực dương Chứng minh max(a1 , a2 ,., an ) 4min(a1 , a2 ,., an ) Bài 461 (Serbia Junior Balkan Team Selection Test 2009) Cho số dương thực dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 1 1 Chứng minh cho x 1 y 1 z 1 1 1 x 2 y 2 z 2 Bài 462 (China 2009) Cho 𝑥, 𝑦, 𝑧 số thực lớn Chứng minh 𝑥 − 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑦 + 𝑧 − 2𝑧 + ≤ 𝑥𝑦𝑧 − 2𝑥𝑦𝑧 + Bài 463 (Nguyễn Việt Anh) cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑎+𝑏+𝑐 + + ≥ 2 2 2 2𝑎 − 𝑎𝑏 + 2𝑏 2𝑏 − 𝑏𝑐 + 2𝑐 2𝑐 − 𝑐𝑎 + 2𝑎 Bài 464 Cho số thực không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho khơng có số Chứng minh 𝑎2 + 2𝑏𝑐 𝑏 + 2𝑐𝑎 𝑐 + 2𝑎𝑏 + + ≥2 2𝑎2 + 𝑏𝑐 2𝑏 + 𝑐𝑎 2𝑐 + 𝑎𝑏 Bài 465 (Võ Quốc Bá Cẩn Trần Quang Hùng) Cho số thực không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 1 + + 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 𝑏2 + 𝑏𝑐 + 𝑐 𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐 𝑐 + 𝑐𝑎 + 𝑎2 𝑐 + 𝑐𝑎 + 𝑎2 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 ≥4+ Bài 466 (China 22007) Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 độ dài cạnh tam giác cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Tìm giá trị nhỏ Page 39 Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 Bài 467 (Croatia 2007) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎2 𝑏 𝑐 + + ≥ 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 Bài 468 (Romania 2007) Cho số không âm 𝑥, 𝑦, 𝑧 Chứng minh 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 ≥ 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥−𝑦 𝑦−𝑧 𝑧−𝑥 Bài 469 (Yugoslavia 2007) Cho số nguyên dương 𝑘 số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 có tổng băng Chứng minh 𝑥 𝑘+2 𝑦 𝑘+2 𝑧 𝑘+2 + + ≥ 𝑘+1 𝑘 𝑘 𝑘+1 𝑘 𝑘+1 𝑘 𝑘 𝑥 +𝑦 +𝑧 𝑦 +𝑧+𝑥 𝑧 +𝑥 +𝑦 Bài 470 (Romania 2007) Cho 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2, 𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ∈ ℝ, ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, cho 𝑎12 + ⋯ + 𝑎𝑛2 = 𝑏12 + ⋯ + 𝑏𝑛2 = 1, 𝑎1 𝑏1 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = Chứng minh 𝑛 𝑎𝑖 𝑖=1 𝑛 + 𝑏𝑖 ≤𝑛 𝑖=1 Bài 471 (France 2007) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = Chứng minh 𝑎3 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 ≥ 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + Bài 472 (Irish 2007) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎+𝑏+𝑐 ≤ 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 𝑎𝑏 𝑏𝑐 𝑐𝑎 ≤ + + 3 𝑐 𝑎 𝑏 Bài 473 (Việt Nam TST 2007) Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 Tìm giá trị nhỏ 𝐴 𝐵 𝐵 𝐶 𝐶 𝐴 cos2 cos 2 cos 2 cos2 cos2 cos 2 + + 𝐵 𝐶 𝐴 cos2 cos 2 cos 2 Bài 474 (Greece 2007) Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 độ dài cạnh tam giác Chứng minh 𝑐+𝑎−𝑏 𝑎+𝑏−𝑐 𝑏+𝑐−𝑎 + + ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 𝑎 𝑎+𝑏−𝑐 𝑏 𝑏+𝑐−𝑎 𝑐 𝑐+𝑎−𝑏 1 1 Bài 475 (Poland 2007) Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 số dương cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = Chứng minh 𝑎3 + 𝑏 3 𝑏 + 𝑐 3 𝑐 + 𝑑 3 𝑑 + 𝑎3 + + + ≤ 𝑎+𝑏+𝑐+𝑑 −4 2 2 Bài 476 (Turkey 2007) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 có tổng Chứng minh 1 1 + + ≥ 2 𝑎𝑏 + 2𝑐 + 2𝑐 𝑏𝑐 + 2𝑎 + 2𝑎 𝑎𝑐 + 2𝑏 + 2𝑏 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 Bài 477 (British 2007) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎2 + 𝑏 2 ≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 𝑐 + 𝑎 − 𝑏 Bài 478 (Brazilian 2007) Cho số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏𝑐 = Chứng minh 1 1 1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 + + + + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + + + ≥ 6+2 + + + + + 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 𝑎 𝑏 𝑐 Bài 479 (Ukraina 2007) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏𝑐 ≥ Chứng minh Page 40 Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection a/ 𝑎+ 𝑎+1 𝑏+ 𝑏+1 𝑐+ 27 ≥ 𝑐+1 b/ 27 𝑎3 + 𝑎2 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑐 + 𝑐 + ≥ 64 𝑎2 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 + (𝑐 + 𝑐 + 1) Bài 480 (Moldova 2007) Cho số 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 cho 𝑎𝑖 ≥ , với 𝑖 = 1, 𝑛 𝑐ứ𝑛𝑔 𝑚𝑖𝑛 𝑟ằ𝑛𝑔 𝑖 1 2𝑛 𝑎1 + 𝑎2 + … 𝑎𝑛 + ≥ (1 + 𝑎1 + 2𝑎2 + ⋯ + 𝑛𝑎𝑛 ) 𝑛 𝑛+1 ! Bài 481 (Iranian 2008) Cho số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 cho 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = Chứng minh 𝑥3 𝑦3 𝑧3 + + ≥ + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 3 𝑦 + 𝑧 + 𝑥 + 27 Bài 482 (Macedonia 2008) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 = Chứng minh 𝑎+𝑏+𝑐 ≥ 27 𝑎3 + 𝑏 + 𝑐 3 Bài 483 (Federation of Bosnia 2008) Cho số thực 𝑥, 𝑦, 𝑧 Chứng minh 3 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 𝑥𝑦 − 𝑦𝑧 − 𝑧𝑥 ≥ max 𝑥 − 𝑦 2, 𝑦 − 𝑧 2, 𝑧 − 𝑥 4 Bài 484 (Federation of Bosnia 2008) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎5 + 𝑏 𝑏5 + 𝑐 𝑐 + 𝑎5 + + ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 − 𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑏𝑐 𝑏 + 𝑐 𝑐𝑎 𝑐 + 𝑎 Bài 485 (RMO 2008) Cho 𝑎, 𝑏 ∈ 0; Chứng minh 𝑎 + 𝑏 𝑎𝑏 ≤1− + 1+𝑎+𝑏 Bài 486 (Romania TST 2008) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = Chứng minh 1 1 + + ≤ + 𝑎2 𝑏 + 𝑐 + 𝑏2 𝑐 + 𝑎 + 𝑐2 𝑎 + 𝑏 𝑎𝑏𝑐 Bài 487 (Zhautykov 2008) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏𝑐 = Chứng minh 1 + + ≥ 𝑏 𝑎+𝑏 𝑐 𝑏+𝑐 𝑎 𝑐+𝑎 Bài 488 (Ukraina 2008) Cho số dương 𝑥, 𝑦, 𝑧 cho 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = Chứng minh 𝑥 𝑦 𝑧 + + ≤ 𝑥2 + 𝑦 + 𝑧 𝑦2 + 𝑧 + 𝑥 𝑧2 + 𝑥 + 𝑦 Bài 489 (Polishi 2008) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎3 𝑏 + 𝑏 𝑐 + 𝑐 𝑎3 ≤ 4𝑐 + 𝑎 + 𝑏 Bài 490 (Romanian 2008) Tìm số 𝑘 lớn để bất đẳng thức sau với số không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 1 𝑎+𝑏+𝑐 + + −𝑘 ≥𝑘 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 Bài 491 (Canada 2008) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎 − 𝑏𝑐 𝑏 − 𝑐𝑎 𝑐 − 𝑎𝑏 + + ≤ 𝑎 + 𝑏𝑐 𝑏 + 𝑐𝑎 𝑐 + 𝑎𝑏 Page 41 Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection Bài 492 (Phạm Kim Hùng) Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎4 + 𝑏 + 𝑐 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 ≥ 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 𝑎2 𝑏 + 𝑏 𝑐 + 𝑐 𝑎2 Bài 493 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎𝑏𝑐 = Chứng minh 1 + 𝑎3 + 𝑏 + 𝑐 + ≥ + + 𝑎 𝑏 𝑐 Bài 494 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 + + ≥1+ 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 2𝑎𝑏𝑐 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 Bài 495 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎2 𝑏 + 𝑏 𝑐 + 𝑐 𝑎 − 3𝑎𝑏𝑐 + + ≥ + 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 Bài 496 Cho số không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎2 + 𝑏𝑐 𝑏 + 𝑐𝑎 𝑐 + 𝑎𝑏 + + ≥3 𝑏 − 𝑏𝑐 + 𝑐 𝑐 − 𝑐𝑎 + 𝑎2 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 Bài 497 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 − ≥ 𝑎 + 𝑏𝑐 𝑏 + 𝑐𝑎 𝑐 + 𝑎𝑏 Bài 498 Cho só dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 Chứng minh 𝑎𝑏𝑐 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 ≤ ≤ 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 3𝑎 + 3𝑏 + 2𝑐 Bài 499 Cho số không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 cho 𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = Tìm giá trị lớn 𝑃 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 𝑎2 𝑏 + 𝑏 𝑐 + 𝑐 𝑎 + 𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎2 + 𝑎𝑏𝑐 Bài 500 Cho số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎 ≥ 𝑏 ≥ 𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh 𝑎 𝑐 + + 3𝑎𝑏𝑐 𝑐 𝑏 Page 42 ... lơi bạn vào vấn đề khó đó, mà mục đích tuyển tập BĐT đẹp, hay (đặc biệt bất đẳng thức biến tính hốn vị nó), tuyển chọn từ thi toán quốc gia, thi chọn đội tuyển thi toán quốc tế, thi chọn học sinh... VIC, VICFJ,… với toán phát triển từ tốn (làm chặt thêm hay sang tạo từ có), sách tham khảo như: Sáng tạo bất đẳng thức, Bất đẳng thức lời giải hay, … Để từ rèn luyện kĩ giải toán BĐT cách nhanh nhạy,... tỉnh, quốc gia, quốc tế,… Tác giả, Nguyễn Đình Thi Page Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection 500 BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN HAY Bài Cho số thực dương