Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 16 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
16
Dung lượng
252,3 KB
Nội dung
TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP 1) Cho a>0, b>0 Chứng minh a b a b Giải: Cách 1: Ta có: a b a b ( a b ) ( a b ) a ab b a b ab (Bất đẳng thức a, b > nên ab ) Vậy a b ab a b ( a b ) a b ab a b (vì 22 ab ) 10 2) Chứng minh rằng: x2 + + x 3 Giải: x2 Áp dụng bắt đẳng thức cô- si cho hai số dương ta có: x 3 Cách 2: x2 10 1 x2 x2 ( ) x 3 x2 9 x2 x2 3) Cho a>0, b>0 Chứng minh rằng: a b c bc ac ab Giải: a b c bc ac ab a b c 1 0 bc ac ab 2a b c 2b a c 2c a b 0 bc ac ab 2 ab ac ba bc ca cb 0 bc bc ac ac ab ab (a b) (a c) (b c) 0 bc a c bc a b ac ab ab ac bc (a b) (a c) (b c) 0 (b c)(a c) (a b)(b c) (a c)(a b) ( a b) (a c) (b c) (BĐT đúng) (b c)(a c) (a b)(b c) (a c)(a b) a b c Vậy bc ac ab 4) Cho a + b Chứng minh a2 + b2 Ta có: a + b (a b) Mà (a – b)2 Do (a + b)2 + (a - b)2 a 2ab b a 2ab b 2(a b ) 1 (a b ) 5) Cho a > b, b > c, c > Chứng minh rằng: Giải: c(a c) c(b c) ab ThuVienDeThi.com Ta có: c(a c) c(b c) ab ( c(a c) c(b c) ) ab ( a c c c b c ) ab Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki ( a c c c b c ) (a c c)(c b c) ab ab Vậy c(a c) c(b c) ab 6) Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện a, b, c a+b+c=3 Chứng minh rằng: a b c Giải: a, b, c 2 a,2 b,2 c 0 a, b, c abc (2 a )(2 b)(2 c) abc (2 a )(2 b)(2 c) abc 4a 4b 4c 2ab 2bc 2ac abc 2(ab bc ac) 4(a b c) 4 a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab+bc+ca) 7) Cho a,b,c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a2b + b2c + c2a + a2c + c2b + b2a - a3 - b3 - c3 > Giải: Vì a, b, c độ fài ba cạnh tam giác nên theo bất đẳng thức ta có: b + c > a, c + a > b, a + b > c a2(b + c) > a2 a ; b2(c + a) >b2.b ; c2(a + b) > c2.c a2b + a2c > a3; b2c + b2a >b3 ; c2a + c2b > c3 a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b > a3 + b3 + c3 a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b - a3 - b3 - c3 > (đpcm) 8) Cho a,b,c ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc < Giải: a < b + c (bất đẳng thức tam giác) a + a < a + b + c 2a < a < Tương tự b < 1, c < Ta có: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 – b – a + ab)(1 - c) > – c – b + bc – a + ac + ab – abc > – (a + b + c) =ab + bc + ca > Nên abc < -1 + ab + bc + ca 2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca a2 + b2 + c2 + 2abc < a2 + b2 + c2 – + 2ab + 2bc + 2ca a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – (vì a + b + c = 2) a3 b3 a b 9) Cho a>0, b>0 Chứng minh rằng: Giải: 3 a3 b3 a b a3 b3 a b 0 2 (a b)(a ab b ) a b 0 ThuVienDeThi.com (a b)(a ab b ) a b 0 ab ab (a ab b ) a b 4a 4ab 4b (a 2ab b ) 0 (a b)(4a 4ab 4b a 2ab b ) (a b)(3a 6ab 3b ) 3(a b)(a b) (BĐT đúng) a3 b3 a b 10) Chứng minh rằng: a2 + b2 + ab + a + b Giải: Ta có: a2 + b2 2ab b2 + 2b a2 + 2a 2(a2 + b2 + 1) (2ab + 2a + 2b) (a2 + b2 + 1) ab + a + b 11) Cho số dương x,y,z x + y + z = Chứng minh rằng: x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z) Giải: Vì x,y,z x + y + z = x,y,z 1-x, 1-y, 1-z Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số khơng âm ta có: Vậy 1 x 1 y (1-x)(1-z) 4(1-x)(1-z) (1+y) 4(1-x)(1-z) (1-y) (1+y)2(1-y) 4(1-x)(1-z) (1-y) (1-y2)(1+y) 4(1-x)(1-z) (1-y) 1+y = x+2y+z Vậy x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z) 12) Chứng minh số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 Giải: 1 9 a b c 1 1 1 (a b c) (vì a+b+c=1) a b c a b c a a b b c c 111 b c a c a b a b b c c a 6 b a c b a c Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: Ta có: a b b c c a a b b c c a 2 2 2 b a c b a c b a c b a c a b b c c a 222 b a c b a c 1 9 a b c 13) Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam giác thì: a) ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2(ab + bc + ca) Vậy với số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 ThuVienDeThi.com Giải: a) Ta có: a2 + b2 2ab b2 + c2 2bc c2 + a2 2ca 2(a2 + b2 + c2) 2(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2) (ab + bc + ca) Mặt khác a,b,c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có: a0 Vậy a3+b3 a4 + b4 = (a – b)2[(a + 12ab ab 1 b) Cho a b Chứng minh rằng: a b 32 Giải: 12ab (a + b)(9 + ab) 12ab a) a b ab Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số khơng âm ta có: a b ab ;9 ab 9ab 25) a) Cho a 0, b Chứng minh: a b (a b)(9 ab) ab 9ab 12ab b) Ta có: 1 1 1 + = (a b ) (a b ) (a b ) 2 2 4 32 2 26) Cho a+b+c abc Chứng minh a +b +c abc Giải: Vì a+b+c abc nên có hai trường hợp xảy - Trường hợp : a 1; b 1; c a4 b4 Ta có: a b c a b c a b c abc - Trường hợp: ba số a ; b ; c có số nhỏ Không tính tổng quát, giả sử c Ta có: a2+b2+c2 a2+b2 ab abc abc 27) Cho x 1, y Chứng minh 1 2 xy 1 x 1 y Giải: 1 2 xy 1 x 1 y 1 1 0 2 xy y xy 1 x ab 28) Chứng minh a b với a,b Giải: Nếu tổng a+b < bất đẳng thức hiển nhiên Nếu a+b 0, ta có: ab a2 b2 2(a b ) a b 2(a b ) (a b) 2a 2b a 2ab b 2 (a b) (BĐT đúng) ab Vậy a b với a,b 29) Cho a,b,c ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh: ThuVienDeThi.com 1 1 1 2 pa pb pc a b c Giải: Áp dụng bất đẳng thức 1 để chứng minh x y x y a3 b3 c3 ab bc ca b c a a3 Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho cặp số ; ab ;………… b (a b)(1 ab) 31) Chứng minh rằng: (a 1)(b 1) Giải: Ta có: xy ( x y ) x y xy 1.(*) x y2 Mà (a2+1)(b2+1) = a2+b2+1+a2b2 = a2+2ab+b2+1-2ab+ a2b2 = (a+b)2 + (1-ab)2 (a b)(1 ab) (a b)(1 ab) 2 (a 1)(b 1) (a b) (1 ab) 30) Cho a,b,c>0 Chứng minh : Áp dụng (*) ta có: (a b)(1 ab) 2 (a b) (1 ab) (a b)(1 ab) 2 (a 1)(b 1) (a b)(1 ab) 2 (a 1)(b 1) 32) Cho a 0, b Chứng minh rằng: Giải: 1 ( a b) ( a b) a b b a 1 1 1 (a b) (a b) (a b)(a b ) (a b)(a b ) 2 4 Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: 1 1 1 (a b)(a b ) ab (2 a b ) ab ( a b ) a b b a 4 4 1 Vậy (a b) (a b) a b b a x2 y2 33) Cho xy =1, x>y Chứng minh 2 x y Giải: x y ( x y ) xy xy xy x y ( x y ) 2.1 2 (theo BĐT cơsi) Ta có: x y x y x y x y 1 34) Chứng minh: 1,999 1.1999 2.1998 1999 Giải: Theo BĐT côsi cho hai số dương ta có: a+b ab dấu ‘=’ xảy a = b ab a b Trong tốn dấu ‘=’ khơng xảy a b Ta có: Ta có: ThuVienDeThi.com 1.1999 2.1998 1999 2 2 2 1999 1998 1999 2000 2000 2000 1999 so 0 ,001 0, 001 0, 001 1,9999 1999 so 35) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2=5/3 Chứng minh rằng: 1 1 a b c abc Giải: Ta có: (a+b-c)2 a2+b2+c2+2ab+2ca-2bc 2ab+2ca-2bc a2+b2+c2 Mà a2+b2+c2=5/3 < 2ab+2ca-2bc 2bc 2ca 2bc (do abc>0) 2abc 2abc 1 1 a b c abc 36) Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) Hướng dẫn: Chuyển vế đưa đẳng thức ac bd ca d b 4 37) Cho a,b,c,d > Chứng minh rằng: ab bc cd d a Giải: (a c).4 (d b).4 4(a b c d ) (a c) 4 (d b) abcd ab cd d a bc abcd d abc 1 (áp dụng bất đẳng thức phụ ) x y x y 38) Cho a,b,c>0 thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 4a 4b 4c 21 Giải: Áp dụng BĐT cơsi cho hai số dương ta có: 4a 3 21 4a 10 4a (4a 1) 7 14 3 Tương tự: 21 10 4b 4b 14 3 4c 21 10 4c 14 3 21 21 (4a 4b 4c 10) 14 21 14 14 Vậy 4a 4b 4c 21 x2 39) a) Chứng minh: với x x2 2006 2005 b) Chứng minh 2005 2006 2005 2006 Giải: 4a 4b 4c a) Ta có: x2 + = x2 + + ( x 2).1 x (theo côsi cho hai số dương) dấu = xảy x2 + 2>0 với x ThuVienDeThi.com x2 Vậy với x x2 2005 2006 2005 2006 2005 2006 b) 1 2005 2006 2005 2006 2006 2005 1 (BĐT đúng) 2005 2006 2006 2005 Vậy 2005 2006 2005 2006 a a 1 a a 1 40) Cho a chứng minh rằng: a 2a a 2a 1 Giải: a a 1 a a 1 a 2a a 2a 2( a a 1 a a 1) a 2a a 2a ( ( a 1) ( a 1) ( 2a 1) ( 2a ) ( a 1) 2a 2( a 1 a 1 1 a 1 a 1 1 a 1 1 2a 2a 2a 2a 2a ( a 1) a 2a 2a ( a 1) a (vì a 2) 2a 2a 2 a 2a 2a 2a 2a a nên 2a – < 2a – 2a 41) Chứng minh bất đẳng thức: a b c d (a c) (b d ) Giải: a b c d (a c) (b d ) ( a b c d ) ( (a c) (b d ) ) a b a b c d c d (a c) (b d ) a b c d 2ac 2bd (a b )(c d ) ac bd Nếu ac + bd BĐT Nếu ac + bd > (a b )(c d ) ac bd (a b )(c d ) (ac bd ) (a b )(c d ) (ac) (bd ) 2acbd a c b d a d b c ) (ac) (bd ) 2acbd a d b c ) 2(ad ).(bc) (ad bc) (BĐT đúng) Vậy ta có: a b c d (a c) (b d ) 42) Cho a>0, b>0 a + b = 1 6 a) Chứng minh rằng: ab a b ThuVienDeThi.com b) Chứng minh rằng: 14 ab a b Giải: Áp dụng bất đẳng thức phụ: 1 * x y x y ( HS tự chứng minh ) * xy ( x y ) a) Ta có: 1 1 1 4 4 4 ( ) 6 2 2 2 ab a b 2ab 2ab a b ( a b) ( a b) 1 2ab a b ( a b) b) 3 3.4 12 12 ( ) 14 2 2 2 ab a b 2ab 2ab a b ( a b) ( a b) 1 2ab a b ( a b) 43) Cho a,b Chứng minh a2b – 3ab + ab2 + Dấu xảy nào? Giải: Áp dụng côsi cho ba số dương ta có: x+y+z 3 xyz Suy ra: a2b + ab2 + 1– 3ab 3 a b.ab - 3ab = 3ab – 3ab = Dấu xảy a2b = ab2 = a = b = a2 b2 c2 abc 44) Cho ba số dương a,b,c Chứng minh rằng: bc ca ab Giải: Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: a2 bc b2 ca c2 ab a2 b c b2 c a c2 a b 2 2 2 bc ca ab bc ca ab =a+b+c 2 a b c ab bc ca ab abc abc 4 4 bc ca ab 2 45) Với bốn số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện a + b = (a – d)(b – c) = Chứng minh rằng: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab -2 Giải: Ta có: a2 + b2 = (a – d)(b – c) = Do đó: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab = c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab + a2 + b2 + a2 + b2 – = a2 – 2ad + d2 + b2 -2bc + c2 + a2 – 2ab + b2 – = (a – d)2 + (b - c)2 + (a – b)2 – 2(a – d)(b – c) + – = 2.1 – = - 46) Cho a + 4b = Chứng minh rằng: a2 + 4b2 Hướng dẫn: a + 4b = a = – 4b vào biểu thức cần chứng minh dưa dạng đánh giá A2+ 47) Chứng minh x+y+z =1 x2+y2+z2 Giải: x2+y2+z2 = x y z ( x y z xy yz zx) ( x y xy ) ( y z yz ) ( z x zx) 3 2 2 ( x y z ) ( x y ) ( y z ) ( z x) ( x y z) 3 48) Chứng minh rằng: 2( n n ) 2( n n 1) (với n số nguyên dương) n ThuVienDeThi.com Giải: Ta có: 2( n n ) 2(n n) (1) n 1 n n 1 n n 2(n n 1) Mặt khác: 2( n n 1) (2) n n 1 n n 1 n Vậy n n ) 2( n n 1) n 49) Cho x,y x2 + y2 = Chứng minh x3 y3 Giải: Ta có: x2 + y2 = x2 y2 mà x 0, y x x x3 x2 , y3 y2 x3 + y3 x2 + y2 = (1) 2 2 = x2 + y2 = ( x x y y ( x y )( x y ) ( x y )( x y ) (theo bunhiacopxki) Mặt khác (x+y)2 2(x2+y2) = x+y ( x y )( x y ) ( x y ) x y Từ (1) (2) ta có: (2) x3 y3 50) Cho ba số thực dương thỏa mãn a + b +c = 12 Chứng minh rằng: 3a a 3b b 3c c 17 Giải: Áp dụng côsi cho hai số khơng âm ta có: 3a a Tương tự: 17 (3a a 1).17 3a a 17 3a 18 a 2 17 3a 18 4a 2 a 40 17 7b 40 17 7c 40 3c c 17 3b b 7(a b c) 120 7.12 120 51 4 17 17 17 17 2 51) a) Chứng minh rằng: (x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 3( x y z ) 3a a 3b b 3c c b)Gọi m số nhỏ ba số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 Chứng minh rằng: m Giải: a) HS tự giải b) Vai trò x,y,z nhau, giả sử x y z Vì m số nhỏ ba số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 m số nhỏ ba số x y , y z , z x (x-y)2 m, (y-z)2 m Mặt khác: z x x z ( x y ) ( y z ) x y y z m ThuVienDeThi.com x2 y2 z2 3( x y z ) (x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 6m m x2 y2 z2 52) Cho a,b số dương Chứng minh: ab a b ab Hướng dẫn: Bình phương hai vế 53) Chứng minh rằng: a4 + b4 a3b + ab3 với a,b HD: Chuyển vế biến đổi tương đương 54) Chứng minh với x,y khác ta có đẳng thức: x y x6 y6 y2 x2 HD: quy đồng, khử mẫu, biến đổi tương đương 1 1999 55) Chứng minh 1998 < 1000000 HD: sử dụng toán phụ: 2( n n ) 2( n n 1) để chứng minh n 56) a) Cho a,b Chứng minh: a b b a ab b) Cho a,b,c ba số dương thỏa mãn a+b+c = Chứng minh rằng: 1 1 1 64 a b c Giải: a) Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: a.(b 1) ab a b a (b 1).1 2 ab Tương tự b a ab ab Vậy a b b a ab 2 b) Vì a+b+c = nên: abc b c b c b c b c 1 2 2.2 a a a a a a a a a a (theo BĐT côsi cho hai số không âm) Tương tự: 1 ac ab 4 ;1 b b c c 1 1 1 64 a b c 57) Cho a>0, b>0 Chứng minh rằng: a3+b3 a2b+ab2 HD: biến đổi tương đương 58) Với a>0, b>0, c>0 Chứng minh BĐT: ab bc a) 2b c a ab bc ca b) abc c a b a3 b3 b3 c3 c3 a3 c) abc 2ab 2bc 2ca Giải: a) Áp dụng côsi cho hai số dương vế trái b) Áp dụng côsi cho hai số dương cặp tương tự câu a c) Chứng minh toán phụ a3+b3 a2b+ab2 suy điều cần chứng minh 1 ThuVienDeThi.com b c 4 a a bc a 59) Cho a,b,c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: ab+bc+ca+a+b+c Giải: x2 y2 Ta có: x2 + y2 2xy hay xy với x,y a2 b2 b2 c2 c2 a2 a2 1 b2 1 c2 1 ab bc ca a b c 2 2 2 2 a b c 3 (do a2 + b2 + c2 = ) a2 b2 c2 33 3 6 Vậy ab+bc+ca+a+b+c a b c 60) Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng: 2 ab bc ca Giải: b c a a b c 1 Ta có: ab bc ca abc abc bca Mặt khác: b c b c a a b b c c a a a b bc ca a b bc ca a b bc bc bc ca ca 111 a b c 2 ab bc ca 61) Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác p nửa chu vi tam giác Chứng minh: (p – a)(p – b)(p –c) abc Giải: abc bca a (vì b + c >a – BĐT tam giác)) Ta có: p – a = 2 Tương tự: p – b>0, p –c>0 Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: p a p b 2p a b c (p – a)(p – b) 4 a b Tương tự: (p – b)(p –c) ; (p – c)(p – a) 4 abc ( p a ) ( p b) ( p c ) 64 ( p a )( p b)( p c) abc a8 b8 c8 1 62) Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng: a b c b 3b c Giải: Ta có: a b c a b b c c a a b b c b c c a c a a b a b c (a b c ) a b c (ab bc ca) a b c (ab bc ca) abc 1 1 a 3b c abc a b c a8 b8 c8 1 a b c b 3b c 63) Cho ba số dương a,b,c Chứng minh rằng: ThuVienDeThi.com a b c a b c 2 2 bc ca ab 1 a 1 b 1 c Giải: a Ta có: + a2 2a 2 1 a b c ; Tương tự: 2 1 c 1 b a b c 2 2 1 a 1 b 1 c a b c Chứng minh: dung biến đổi tương đương bc ca ab 64) Chứng minh: 1 1 2001 3(1 ) 5( ) 7( ) 4003( 2001 2002 ) 2003 HD: Ta có: 2( n n ) 2( n n ) (2n 1)( n n 1) 4n(n 1) n n 1 4n 4n Áp dụng toán suy BĐT 65) Cho ba số dương x,y,z có tổng Chứng minh rằng: x yz y zx z xy xy yz zx Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có: x y xy x y z z xy z xy z z z xy z xy z z xy xy z xy ( z xy ) Tương tự: z xy z xy x yz x yz ; y zx y zx x yz y zx z xy ( x y z ) xy yz zx xy yz zx 66) Cho x,y>0 x+y = Chứng minh: 8(x4+y4)+ 5 xy Giải: 4 Ta có: (x+y)2 4xy xy ( x y ) Mặt khác: x y Suy ra: 8(x4+y4)+ ( x y) (HS tự chứng minh) 8 5 xy 67) Cho số dương a,b,c có tổng Chứng minh: a b b c c a Giải: Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: 2 2 ab bc ca 2 2 2 3 3 2 (a b) (b c) (c a ) 3 3 3 3 2 68) Cho a+b+c = Chứng minh: a4+b4+c4 a3+b3+c3 Giải: Áp dụng tốn phụ x4+y4 x3y+xy3 ta có: 3(a4+b4+c4) = (a4+b4) + (b4+c4) + (c4+a4)+(a4+b4+c4) (a3b+ab3)+ (b3c+bc3)+ (c3a+ca3)+(a4+b4+c4) = a3(a+b+c)+b3(a+b+c)+c3(a+b+c) = (a+b+c)( a3+b3+c3) = (a3+b3+c3) ThuVienDeThi.com Vậy a4+b4+c4 a3+b3+c3 69) Cho số dương x,y,z thỏa mãn x3+y3+z3 = Chứng minh: x2 y2 z2 2 1 x2 1 y2 1 z2 Giải: Vì x,y,z>0 x3+y3+z3 = nên 1-x,1-y,1-z >0 Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: x2 x x x (1 x ) x x 2x3 1 x 2 z y Tương tự: 2y3; 2z 2 1 y 1 z Vậy x2 1 x y2 1 y z2 1 z 70) Cho a,b>0 Chứng minh: Giải: Ta có: 2( x y z ) ( a b) a b a b b a ( a b) a b a b 1 ab 1 1 a b a b ab a b a b b a 2 4 4 71) Chứng minh: a b 2ab b a với a>b>0 HD: bình phương hai vế dung phương pháp biến đổi tương đương 72) Cho x,y không âm thỏa mãn x2+y2=1 Chứng minh: x y Giải: Ta có: (x+y)2 2(x2+y2) = x y Và (x+y)2 = x2+y2+2xy = + 2xy Vậy x y 73) Cho a,b,c số thực thỏa mãn a+b+c = Chứng minh: ab + 2bc + 3ca Giải: a+b+c = b c a; a b c ab 2bc 3ca ab ca 2bc 2ca a (b c) 2c(a b) a (a ) 2c(c) a 2c a b c 74) Cho a,b,c > Chứng minh : 12 b 1 c 1 a 1 Giải: Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: a a a 4( b 1) 4( b 1) a a 4 b 4 b 1 b 1 b 1 b c Tương tự: b c 4; c 4 a 4 c 1 a 1 a b c Vậy 12 b 1 c 1 a 1 75) Cho x,y hai số thực cho x+y=2 Chứng minh xy(x2+y2) Giải: x y ( x y ) x y xy xy ( x y ) xy (4 xy ) xy x y 2( x y xy 1) 2( xy 1) ThuVienDeThi.com ... ( x ) ( y ) ( z ) (là bất đẳng thức đúng) 3 15) Cho ba số dương a,b,c Chứng minh rằng: 1 1 1 a b c ab bc ca Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có: 1... rằng: a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) ThuVienDeThi.com Gợi ý: áp dụng bất đẳng thức a2 + b2 2ab hai lần 17) Chứng minh bất đẳng thức sau với số thực x,y khác x y x2 y2 3 y x y... ) (là bất đẳng thức đúng) 2 x y Vậy x y x2 y2 3 y x y x 18) Cho a,b hai số dương có tích Chứng minh rằng: a + b + ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức cơsi cho hai