Tuyển tập bắt đẳng thức trong năm 2016

Trang 1

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016

VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN1

TỔNG HỢP BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

I.CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƢỜNG ĐƢỢC SỬ DỤNG

 Bất đẳng thƣ́c Cauchy (AM – GM)

a b, 0, thì: a b 2 a b D}́u " "xảy ra khi và chỉ khi: ab.

 , , a b c0,thì: 3

3

a b c   a b c D}́u " " xảy ra khi v| chỉ khi: a bc.

Nhiều trường hợp đánh giá dạng:

2.22a ba bab  a b     v| 3 .3a b ca b c    

 Bất đẳng thƣ́c Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki)

 , , , a b x y,thì: 22222

( a x b y )(a b )(x y ) D}́u " "xảy ra khi và chỉ khi: ab

x y

 , , , , , a b c x y z,thì: 2222222

( a x b y c z. )(a b c )(x y z ) D}́u " " xảy ra khi v| chỉ khi: abc

x  yz

Nhiều trường hợp đánh giá dạng: 2222

()().

a x b y a bx y

Hệ quả Nếu , , a b c l| c{c số thực v| , , x y z l| c{c số dương thì:

222()aba bxyx y v| 2222()abca b cxyzx y z 

  : b}́t đẵng thức cộng m}̂u số

 Bất đẳng thƣ́c véctơ

Xét c{c véctơ: u( ; ),a bv( ; )x y Ta luôn có: u v  u v

222222

()()

abxya xb y

 D}́u " "xảy ra khi và chỉ khi u v| v cùng hướng.

 Một số biến đổi hằng đẳng thƣ́c thƣờng gặp

333()3 ().x y  x y xy x y2222()2().x y z  x y z  xy yz zx3333()3()()().x y z  x y z  x y y z z x3332223()() x y z  xyz  x y z x y z  xy yz zx   222222(a b b c c a)()( ) ab bc ca (a b b c c a).(a b b c c a)()(   ) (a b c ab bc ca)()abc. 3332222222() 6(a b)(b c)(c a)2(abcab bc ca) abcabca b c    (a b)3 (b c)3 (c a)33(a b b c c a)()().222222.().()()42abab    a b    a b  v| 222()()2a babab  

 Một số đánh giá cơ bản và bất đẳng thƣ́c phụ

Các đánh giá cơ bản thƣờng đƣợc sử dụng (không cần chứng minh lại)

a 222

; ; 0 suy ra .

x y zxyzxyyz zx

Trang 2

b  ; ; x y z0 suy ra (x y y z z x)()() 8 xyz.c 2222 ; ; x y zsuy ra 3(xyz ) (x y z)  d 222222 ; ; x y z 0 suy ra (x y z x)( yz ) 3(x yy z z x). e 2 ; ; x y z 0 suy ra (x y z)3(xyyz zx). f 222 222 ; ; 0 suy ra ().x y zx yy zz xxyz x y z g 2 ; ; 0 suy ra ()3().x y zxyyz zxxyz x y z h  ; ; x y zsuy ra 3(x y2 2y z2 2z x2 2) ( xyyz zx) 2i ; ; ()() 9()()().8suy rax y zx y z xy yz zxx y y z z x 

Các bất đẳng thức phụ thƣờng đƣợc sử dụng (chứng minh lại khi áp dụng)

j 3313 ; 0 () 4suy rax yxyx yk 1 1 2 1 2 2111suy raxyxyxy  v| 221121 111suy raxyxyxy Suy ra: 1 1 1 211 1suy raxyxyxy   v| 1121 11 1suy raxyxyxy  l ;1 1 2 1 2 11(1)(1)suy rax yxyxy m 22112 ; 0;1 111suy rax yxyxy    n 2, 01121111suy rax yx yxyx y                 

Chƣ́ng minh các đánh giá cơ bản

a Chƣ́ng minh: 222; ; 0 suy ra .x y zxyzxyyz zxÁp dụng BĐT Cauchy: 2222222 222222222222.22xyx yxyyzy zyzxyzxy yz zxzxz xzx     D}́u " " khi x yz.b Chƣ́ng minh: ; ; 0 suy ra ()()() 8.x y zx y y z z xxyzÁp dụng BĐT Cauchy 22 222()()()8.2nhânx yxyy zyzx y y z z xx y zxyzz xzx            D}́u " " khi x yz.c Chƣ́ng minh: 2222 ; ; x y zsuy ra 3(xyz ) (x y z)  

Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng cộng m}̂u số, ta được:

222222222()22223() () 1113yxyzxzxyz  xyzx y z  D}́u " " khi x yz.d Chƣ́ng minh:  ; ; x y z0 suy ra (x y z x )( 2y2z2) 3( x y2 y z z x2  2 ).Ta có: (x y z )(x2y2z2) ( x3xy2) ( y3yz2) ( z3zx2)x y y z z x2  2  2

Trang 3

222222222222(x y z x )(y z ) 2 x y2y z z x x y y z z x3(x y y z z x) D}́u " " khi x yz.e Chƣ́ng minh:  ; ; x y z0 suy ra (x y z )23(xyyz zx).Ta có: 2222(x y z )x y z 2(xy yz zx) 3( xy yz zx). D}́u " " khi x yz.f Chƣ́ng minh: 222 222 ; ; x y z 0 suy rax yy zz xxyz x y z(). 

Đặt: axy b; yz c; zx thì bất đẳng thức c}̀n chứng minh tương đương với:

222

a b c ab bc ca : luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy (BĐT a.)

D}́u đẵng thức khi x y z  hoặc y z 0 hoặc x y 0 hoặc z x 0.

g Chƣ́ng minh: 2

; ; x y z 0 suy ra (xyyz zx)3xyz x y z().

 

Đặt: axy b; yz c; zx thì bất đẳng thức c}̀n chứng minh tương đương với:

2

(a b c )3(ab bc ca): luôn đúng theo BĐT e

D}́u đẵng thức khi x y z  hoặc y z 0 hoặc x y 0 hoặc z x 0.

h Chƣ́ng minh: 222 2222 ; ; suy ra 3() () x y zx yy zz xxyyz zxTa có: 222222 222()()( )23() 3() 111Cauchy Schwarzxyyzzxx yy zz xxy yz zx    

D}́u đẵng thức xãy ra khi x yz.

i Chƣ́ng minh: ; ; ()() 9()()().8suy rax y zx y z xy yz zxx y y z z x Ta có: ()()()2 8.Cauchyx y y z z x xy yz zx xyz

Mặt khác: (x y z xy yz zx )()xyz(x y y z z x)()() Suy ra:

19()()1 ()()()()()().88x y z xy yz zx       x y y z z x    x y y z z x  

D}́u đẵng thức xãy ra khi: x yz.

Chƣ́ng minh các bất đẳng thƣ́c phụ

j Chƣ́ng minh: 3313 ; 0 () 4suy rax yxyx yTa có: 2 33333()()3 ()()3 ()24Cauchyx yx yxyx yx y x yx y    x y     Dấu " " khi x y .k Chứng mnh: 1 1 2 1 2 2111suy raxyxyxy  v| 221121 111suy raxyxyxy Chứng minh: 1 1 2 1 2 2111xyxyxy  (1)

B}́t đẵng thức (1) tương đương với: 1 2 1 1 2 1 0

111 xxy 1 yxy           222222()()00(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)xy xxy yx y xy x yxxyyxyxxyyxy 222222(1) y(1 x )()(y)()0()0(1)(1)(1)(1)(1)(1)xyx yxyxy xy xxyxyxyxy    222() (1)0(1)(1)(1)y xxyxyxy

Trang 4

Chứng minh: 1 1 2 1 2 2111xyxyxy  (2)

Ta làm tương tự và d}́u đẵng thức xãy ra khi và chĩ khi xy hoặc xy1.

Suy ra: 1 1 1 211 1xyxyxy    v| 112111 1xyxyxy   

Mỡ rộng: ; ; x y z1 thì 1 2 1 2 1 2 31

1 x 1 y 1 z  xyz



 (3)

Chứng minh: Ghép từng cặp xoay vòng, cộng lại D}́u " = " khi và chỉ khi: x  yz 1.

l Chƣ́ng minh: ;1 1 2 1 2 11(1)(1)suy rax yxyxy Ta có: 22211111210111(1)(1)1(1 x)(1 y) xyxyxyxy      222222()1()(1)(1)00(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) (1)(1) (1)y xxy x yy xxyxyxyxyxyxyxy   : đúng x y, 1.

D}́u đẵng thức xãy ra khi và chĩ khi x y 1.

m Chƣ́ng minh: 22112 ; 0;1 111suy rax yxyxy    Ta có: 22222211111.1.11 1111Cauchy Schwarzxyxy (1) Mặt khác x y,(0;1), thì 1 2 1 2 211 x 1 y  xy (2) Th}̣t v}̣y: 2222221111(2)001111(1)(1)(1)(1)xy xxy yxyxyxyxxyyxy                  22222()()() (1)00 :(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y xy x yy xxyxxyyxyxyxy  đúng  xy 1.

Từ (1), (2), suy ra:

22112,11 x 1 y  xy

 x y; 0;1  D}́u đẵng thức xãy ra khi: x y .

n Chƣ́ng minh: 2, 01121111suy rax yx yxyx y               Ta có: 1 1 1 4 2 4 1 4 2 1 1 4()()ĐTxyxyx yx yxyx yxyx yB     222()()()()x yx yxy x yxy x y2(x y) (1 x y) 0 :

Trang 5

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2016

Câu 1: Cho , ,a b c là các số thực thoả mãn , ,a b c[1; 2] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

2( ) 8 42(2 ) 2 ( ) 4 1ab bc cab cPa b cabca b cbcbc           

Trƣờng THPT Anh Sơn 2 – Lần 2

Lời giải tham khảo

Vì , ,a b c[1;2] nên ta có (a1)(b2)(c 2) 0

2(2 ) 2( ) 4

abca b cb c a bc

       

Dấu ‚=‛ xảy ra khi a = 1 hoặc b = 2 hoặc c = 2 Do đó v| do a1 nên ta có 2( ) 8 42(2 ) 2 ( ) 4 1ab bc cab cPa b cabca b cbcbc           2( ) 8 42 ( ) 4 2 ( ) 4 1ab bc cab ca b cbca b cbcbc           2 ( ) 4 4 42 ( ) 4 1a b cbcbcb ca b cbcbc          4 412 ( ) 4 1bcb ca b cbcbc       4 412( ) 4 1bcb cb cbcbc       4 2 414 4 1bcbcbcbcbc     Đặt t bc[1; 2] Xét hàm số 224 2 4( ) 1( 2) 1ttf ttt     trên [1;2] 224 8 2 4 2'( ) 0( 2) ( 1) 27 9tf ttt      

nên ( )f t liên tục v| đồng biến trên [1;2] Suy ra ( ) (2) 76

P f t  f  

Vậy, giá trị lớn nhất của 76

P  khi a =1 , b = c = 2

Câu 2: Cho các số thực a, b, c không âm thỏa mãn 222

1a   bc Chứng minh rằng 1 1 1 91 ab1 bc1 ca 2   Trƣờng THPT Bắc Yên Thành – Lần 1

Trang 6

1 1 1 9 31 1 1 2 1 1 1 2abbccaab bc ca  ab bc ca     Ta có 2 22 2 2 22 21 2 2 2 2 2abababab abcab abc     

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 2 2

222222222242 2a bababacbcabcabc        Vậy 22222211 2abababacbc         Tương tự 2222222222221 1,1 2 1 2bcbcacacbcbacaacabcb                   

Cộng lại ta có điều phải chứng minh Dấu bằng khi 3

3

a  bc

Câu 3: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : ( )( )( x) + 48

3

Pxy yz z

xyz

   

  

Trƣờng THPT Số 3 – Bảo Thắng – Lào Cai– Lần 1

Trang 7

( )

f t

 đồng biến trên 6; Vậy

Min f t6; ( ) f(6) 80

  

Suy ra P80 dấu bằng xảy ra khi x  yz 2

Kết luận : Giá trị nhỏ nhất của P l| 80 đạt được khi x  yz 2

Câu 4: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2227 12114( )Aabbccaabc

Trƣờng THPT Bình Minh – Ninh Bình – Lần 1

Trang 8

Suy ra 324 1

( ) , ;1

7 3

f tt Vậy 324

7

A với mọi a b c, , thỏa điều kiện đề bài Hơn nữa, với

1 1 1; ;2 3 6abc thì 222 7181abcabc và 3247A Vậy 324min7A

Câu 5: Cho các số thực x y z, , thỏa mãn x2,y1,z0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2221 1( 1)( 1)2 2(2 3)      Py xzxyzxyTrƣờng THPT Bố Hạ – Lần 2

Lời giải tham khảo:

Đặt a x 2,b y 1,c za b c, , 0 2221 1( 1)(b 1)(c 1)2 1Paabc     Ta có 22222 ( ) ( 1) 1 21 ( 1)2 2 4a bca    bc     a b c   Dấu “=” xảy ra khi a  bc 1

Mặt khác 3( 3)( 1)(b 1)(c 1)27abca      Khi đó 1 27 31 ( 3)Pa b ca b c 

      Dấu “=” xảy ra khi a  bc 1

Trang 9

Từ BBT Ta có maxf(x)=f(4)=18 Vậy ma f(4) 1 1 1 3; 2; 11 48abcxPabcxyza b c                

Câu 6: Cho x, y, z0thoả mãn x + y + z0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3333x + y + 16zP =x + y + z

Trƣờng THPT Cam Ranh – Khánh Hoà– Lần 1

Trước hết ta chứng minh được: 333x + yx + y

4

Đặt x + y + z = a Khi đó 33 33  

3333x + y+ 64za - z+ 64z4P== 1 - t+ 64taa (với t = za;0 < t < 1) Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t 0;1 Có :        22 1f'(t) = 3 64t - 1 - t,f'(t) = 0t =0;1

9 Lập bảng biến thiên

  0;164Minf t =81 GTNN của P là 1681 đạt được khi x = y = 4z >0

Câu 7: Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 v| thoả mãn điều kiện: 1+1+12

xyz

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x - 1 y - 1 z - 1

Trƣờng THPT Cam Ranh – Khánh Hoà – Lần 2

Ta có 1+1+12xyz , nên : 1(1 -1) + (1 - ) = (1y - 1) + (z - 1)2(y - 1)(z - 1)(1)xyzyzyz1(1 - ) + (1 - ) = (11x - 1) + (z - 1)2(x - 1)(z - 1)(2)yxzxzxz1(1 - ) + (1 -11) = (x - 1) + (y - 1)2(x - 1)(y - 1)(3)zxyxyxy

Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được (x - 1)(y - 1)(z - 1)1

Trang 10

Vậy Amax = 1x = y = z =3

82

Câu 8: Giả sử a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

222223( )4( ) 5 (c a) 5abPa bb cbcca      Trƣờng THPT Cao Lãnh 2 – Đồng Tháp – Lần 1

Áp dụng bất đẳng thức Côsi 222222245( ) 5 ( ) ( ) 9( )4aaab cbc b cb c  b c     Tương tự: 22224( ) 5 9( )bbc aca  c a  2222222224 29 9 c a( ) 5 (c a) 5 ( ) (c a)abababb cb cbccab c                    222222222222( )(a b)2 (a b) 2 2 2 2( ) 4 (a b)9 ( ) 9 ( ) 9 ( ) 4 ( ) 4( )4a bcabca bcab c a bca ba bc a bcc a bc                                       Vì a b c      1 a b 1 c nên ta có 2 2222222 2(1 c) 4 (1 c) 3 8 2 3(1 ) 1 (1 ) (1)9 (1 c) 4 (1 c) 4 4 9 1 4cPccccc                      Xét hàm số 2228 2 3( ) 1 (1 ) , (0;1)9 1 416 2 2 3 1( ) 1 ( 1); ( ) 09 1 ( 1) 2 3f ccccf ccf cccc                     

Bảng biến thiên

Trang 11

Từ (1) và (2) suy ra 19

P  , dấu đẳng thức xảy ra khi 13

a b c   Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1

9



Câu 9: Với x, y, z là các số thực đôi một phân biệt Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

22 22 2 2.xyyzzxMxyyzzx                    Trƣờng THPT Chuyên KHTN – Lần 2

Câu 10: Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 234345

x y z x y z , chứng minh rằng

333

3

x y z 

Trƣờng THPT Chuyên KHTN– Lần 1

Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 234345

x y z x y z , chứng minh rằng

333

3

x y z 

Trang 12

Câu 11: Cho x, y, z là các số thực dương v| thỏa mãn điều kiện a2 abb2 c abc Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức:

2222222222 2a 2 2 4acb cababPaccbbcaa babc b          Trƣờng THPT Chuyên KHTN – Lần 3

Bổ đề : Cho ,x y 0;xy 1 khi đó : 1 2 1 2 2(*)11 x 1 yxyThật vậy (*)222( 1)( )0(1 )(1 )(1 )xyxyxyxy (Luôn đúng) 2 22222221 1 22 2a 2 2 11 1 ( )( )acbcabaccbbcaabac bcacbc                     Đặt 2( )( ) ( )44abac bcabc abctabab        thì ( ), ( ) 2 1 11 2tPf tf tttt    Ta có : 22 22 1 1'( ) 01 2f tttt     do 2 221 1 2 2( 2) ( 1)2 t tt  t   t Suy ra : ( ) (4) 12160

f t  f  Dấu bằng xảy ra khi t   4 abc Vậy : ax 121

60

m

P 

Câu 12:Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa: x2 + y2 + z2 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = 3(x + y + z) + 2( 1x  1y 1z )

Trƣờng THPT Chuyên Lê Q Đơn – Khánh Hồ – Lần 1

Trước hết ta có: (x – 1)2

Trang 13

Câu 13:Cho x y z, , là các số không âm thỏa mãn 3

2

x  yz

Tìm giá trị nhỏ nhất của: P x3 y3z3x y z2 2 2

Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Huệ – Lần 1

▪ Giả sử x minx y z; ;  suy ra 0;12x      Ta có: 333  222 3x y z  xyz x yzx y z xyyzzx  23333 392738 2xyzxyzxyzxyzxyyzzxxyyzzxxyz                  Ta có: 3332 2 22 2 2227 938 21 1 13 27 98 64 4 8 2215 9 9 1364 2 2 4Pxyzx y zx y zxyzxyyzzxxyzxyzxyyzzxxyzxyzx                            Vì 21 9 13 9 13 9 130; 02 2 4 2 4 2 2 4yzxyzx  x                           Suy ra 2215 9 3 1 3 9 1364 2 2 4 2 2 4P  x x  x   x           Xét   215 9 3 1 3 2 9 13 1, 0;64 2 2 4 2 2 4 2f x   x x  x   x x               

Hàm số f x  nghịch biến trên 1   1 250;2 f xf 2 64          Vậy GTLN của P bằng 2564 đạt khi 12x  yz Câu 14:Cho x y z, , 0 và  2225 x y z 9 xy2yzzx Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2231xPyzxyz   

Trang 14

Đặt  22 2 20 ; ;2 4tty zt t y z  yz222222225 9 2 5 9 285 5 9 7 5 2 0 2xyzxyyzxzxyzx yzyzxtxttx txtxt                     232 127xPtt  với t0   244 190 160ftttfttt     

Lập bảng biến thiên suy ra GTLN của P bằng 16 đạt được tại 1; 1

3 12

x y z

Câu 15: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xy;xzyz1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 2  2 21 4 4Pxyxzyz    

Trƣờng THPT Chuyên Sơn La – Lần 1

1.11axzyzaxyxzyzaaa            21()axy xzyza    

Thay v|o P được:

Trang 15

323313984'( )3;'( ) 002; (1)11ttttf tf ttttt     T 1 2  f’ - 0 + F 12 1 ( ) 12tMin f t

  Vậy Min P12 khi 2; 1

2

x zy   z xy

Câu 16: Cho x y,  thỏa mãn

2222 3yxyxx   

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4422Pxyxy  Trƣờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 1

Từ giả thiết ta có y0 và

Trang 16

Lập bảng biến thiên ta có Min

36

3 4 16

2 2

P khi x y

Câu 17:Cho a b c, , l| độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : T 4 4 4 1 1 1

abbccaabc

     

  

Trƣờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 2

2224 4 4 1 1 1 5 1 5 1 5 11 1 1abcTabcabcaab bc c               

Vì a b c, , l| độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 , , 0;12a b c     Ta có 5 12  3 1 2 22 1 118 3 0 , 0;2aaaaaa aa a            

Từ đó suy ra : 5 12 18 3, 0;12aaaa a        

Ta cũng có 2 bất đẳng thức tương tự:

25 1 118 3, 0;2bbbb b         và 25 1 118 3, 0;2cccc c        

Cộng các bất đẳng thức này lại với nhau ta có :

2225 1 5 1 5 118 9 9abcTabcaab bc c           

Dấu đẳng thức xẩy ra khi 13

a  bc Tmax 9 đạt được 1

3

abc

   

Vậy Cho a b c, , l| độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 , thì giá trị lớn nhất của biểu thức : T 4 4 4 1 1 1

abbccaabc

     

   bằng 9 v| đạt được khi và chỉ khi

13

a  bc

Chú ý: Để có được bất đẳng thức 5 12 18 3, 0;12aaaa a         ta đã sử dụng phương ph{p tiếp tuyến

Trang 17

Trƣờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 3

P AB Trong đó 22225 3 3 5A x xy y  x xy y và 22222 2B x xy y  x xyy 3 3 2016 6048 *Axy

      dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x y 1008

22226A 180x 36xy108y  108x 36xy180y 2 2 2 211x 7y 59 xy 11y 7x 59 yx        11x7y  11y7x18xy 2 2 2016 4032 **Bxy

      dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x y 1008

2222

4B 16x 16xy32y  32x 16xy16y

2 2 2 2

3x 5y 7 xy 3y 5x 7 yx

        3x5y  3y5x 8 xy

Từ  * và  ** ta đươc P  A B 6048 4032 10080  , dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

1008

x y Vậy Pmin 10080  xy 1008

Câu 19: Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c 2 4abc.

2016

 





Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Pabc

abc bca cab.





Trƣờng THPT Chuyên Hạ Long – Lần 2

Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có

4441 1 1 1.22 2 2abcPabbccaa bcb cac ab         

Với các sớ thực x y z , ta có , , (x y )2 (y z)2 (z x)2  0 xy yz zx x   2y2z2 Do đó 4441 1 1 1 1 1 1 12 2 2abbccaabbccaabcabc                Suy ra 2 .a b cPabc 

Từ giả thiết, ta có a b c  4032 abc Do đóP2016

Với 1 2

1344

Trang 18

Câu 20:Cho hai số dương x, y ph}n biệt thỏa mãn: 2

x 2y12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2444 4 5Px y 8 x y  

Trƣờng THPT Chuyên Long An – Lần 1

Từ điều kiện, dùng bất đẳng thức côsi suy ra: 0xy8 Đ{nh gi{ 22221 . 5 . 116 64 2xyPx yyxy x       Đặt tx yt 2y x   Khi đó 1 . 2 2 5 . 116 64 2Ptt  Xét hàm số ( ) 1 .2 5 . 1 116 64 2 8f ttt   (với t > 2)

Tính đạo hàm, vẽ bảng biến thiên, tìm được:

2;527264min ( )f t f    

Tìm được giá trị nhỏ nhất của P là 27

64 khi x = 2 và y = 4

Câu 21: Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa  222

5abc6abbcca

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  22

2

Pa bcbc

Trƣờng THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành– Lần 1

Từ điều kiện suy ra a b c  2b c 

412 ,2P tt t b c ax 3, 1, 12 2mP a c b

Câu 22: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 8(a2 + b2 + c2) = 3(a + b + c)2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a(1 – a3) + b(1 – b3) + c

Trƣờng THPT Đa Phúc – Hà Nội – Lần 1

+) Từ giả thiết ta có: 5c2 – 6 (a+b)c + (a+b)2 0  1( )

Trang 19

+) Ta có 4 4 1( )4 ,8a b  a b a b => P 2( ) 1( )48a ba b   +) Xét 433( ) 2 (t 0), '( ) 2 ; '( ) 0 48 2ttf t  t  f t   f t   t+) BBT:< T 0 34 + f’(t) + 0 - f(t) 33 42+) MaxP = 33343 4224abc   .

Câu 23:Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn a2 b2 c2 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3a2 2 3b2 2 3c2

P

bccaab





Trƣờng THPT Đa Phúc – Hà Nội – Lần 2

Từ giả thiết 2 2 2 4  

, , 0; 2, , 0abca b ca b c     và 2222224 4a       bcbca <Do đó 2222222222223333 3 3 3 3 3 3 3 34 4 4 4 4 4abcabcabcPbccaababcaab bcc                Vì , ,a b c0.Xét hàm sớ   34f x  xx với x 0; 2 Có   2   2 3' 4 3 ' 0 , (0) 0, (2) 03fxxfxx  ff       

Trang 20

32 3 2 3 2 3 16 343 3 3 9f               

Từ bảng biến thiên ta có 16 3  

0 ( ) , 0; 2 9f xx   Tức 3 2 2  3316 3 1 9 3 9 30 4 , 0; 29 4 16 3 4 16 3xxxxxxxxx          Dấu ‚=‛ khi 2 33x Áp dụng ta có 3 23 9 3 2 9 2 3 23 9 3 2 9 2 3 23 9 3 2 9 2  ; ; , ( , , 0; 2 )4 16 3 16 4 16 3 16 4 16 3 16aaabbbccca b ca a   b b   c c     

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được

222 2229 9 9 9 916 16 16 16 4abcP    a  bc  Và dấu ‚=‛ xảy ra 2 33abc    Vậy min 94

P đạt được, khi và chỉ khi 2 33

a  bc

Câu 24: Cho , ,a b c l| độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn 2c babc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 3 4 5

bcaacbab c

  

     

Trƣờng THPT Phƣớc Bình- Bình Phƣớc – Lần 1

Trang 21

Áp dụng bất đẳng thức 1 1 4 ,x 0,y 0.x  yxy  1 1 1 1 1 12 3Sbcaacbbcaabcacbabc                          suy ra S 2 4 6.cba  

Từ giả thiết ta có 1 2 a,

c b nên 2 4 6 2 1 2 3 2 a 3 4 3.

cbacbaa

   

         

   

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng4 3 Dấu bằng xảy ra khia  bc 3

Câu 25: Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn a b2 2c b2 2 1 3b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   22221 4 81 1 2 3bPabc    Trƣờng THPT Phƣớc Bình- Bình Phƣớc – Lần 2

- Ta có:    22222221 4 8 1 1 81 1 2 3 1 1 312bPabcacb              - Đặt d 1b , khi đó ta có: 22221 3a b c b   b trở thành a2 c2 d23d Mặt khác: 22 22 21 1 8 8 81 3 31 22 2Padcdca                    2264 2562 2 1052adcdac         - Mà: 2a4d2ca2 1 d2   4 c2 1 a2d2  c2 6 3d6 Suy ra: 2a d 2c6

- Do đó: P1 nên GTNN của P bằng 1 khi 1, 1, 12

a c b

Câu 26: Cho a, b, c là các sớ thực dương

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 4 1

Trang 22

Trƣờng THPT Phƣớc Bình- Bình Phƣớc – Lần 3

Ta có 2 2 2 1 14 4 44 2 4 2bcbcabcabbc     và 4 1 18 a 2b 3c 4 a b c 4 b 2c          Suy ra  1  1 4 4Pa b cac b      , Đặt t   a b c t, 0Xét 221 1 1 1( ) , 0, '( ) ; '( ) 0 44 4 4 4f ttf tf tttttt          T 0 4 +F’ - 0 + f -161

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng -161 khi 21422bcacbacbcbacb.

Câu 27: Cho , ,a b c là các sớ thực dương

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 4 8

2 2 3acbcPab ca bca bc       Trƣờng THPT Phƣớc Bình- Bình Phƣớc – Lần 4

Lời giải tham khảo:

Đặt 2 5 32 23xab caxyzya bcbxyzza bccyz                       

Do đó ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của

Trang 23

Đẳng thức xảy ra khi b 1 2a c, 4 3 2 a

Vậy GTNN của P là 12 2 17.

Câu 28:Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab1; c a  bc3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 6ln( 2 )

1 1bcacPabcab       Trƣờng THPT Phƣớc Bình – Bình Phƣớc – Lần 5

2 1 2 12 6ln( 2 )1 11 12 1 6ln( 2 )1 1abcabcPabcababcabcab                      

Ta chứng minh được c{c BĐT quen thuộc sau:

1 1 2)1 a 1 b 1 ab     (1) 1) (2)2abab  Thật vậy, 1 1 2) 2 1 2 1 11 a 1 b 1 aba babab            2 1 0abab

    luôn đúng vì ab1 Dầu ‚=‛ khi a=b hoặc ab=1 21) 1 02abab  ab

     Dấu ‚=‛ khi ab=1

Trang 24

2233316 12 ( ) 6ln , 0;16 2 4 6 86 6 16 32'( )tPf tt tttttttf ttttt           BBT t 0 4 f’(t) - 0 + f(t) 5+6ln4

Vậy, GTNN của P là +6ln4 khi a=b=c=1.

Câu 29: Cho ,a b0 thỏa mãn  22 22

2 a b a b Tìm Min P, với 2211 1 1abPbaab      Trƣờng THPT Hùng Vƣơng – Bình Phƣớc– Lần 1

Trang 25

Câu 30: Cho , ,a b c 0 thỏa mãn a 2bc và a2 b2 c2 2 abbcca Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức 2 11 2acabPa bcabac abc Trƣờng THPT Hùng Vƣơng – Bình Phƣớc – Lần 2

222222 22 1 2 11 12 22 2 212 1ab bccaabcabcabacaab bccaabacab acab acab acabaca bcababab acaca bcababa bcab222212 241 1 1 12ac abcacabcababababac abcababKhi đó 2 1 1 2 1 1 2 1; 0PtababababababXét hàm số 2 1; 0, ' 1 2 , ' 02f ttt tf tt f ttt 0 12  'ft  0  f t0 14Kết luận: 1 2 2 2 2, ,4 2 2MaxPkhi abc

Câu 31: Cho a, b là các số thực thỏa mãn : a b 2 a 2 3 b20142012 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :  2 2 2015 2 1

Trang 26

2  20151 4 1 51Ta ba ba b        Max = 4096577 20152026T  Min = 4044122 20152013T  

Câu 32: Cho a, b, c là ba số dương Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức:

2221 21 1 11Pabcabc     Trƣờng THPT Đồng Xoài – Bình Phƣớc– Lần 2

Trang 27

Vậy giá trị lớn nhất của 1

4P khi 311abcabcabcc         

Câu 33: Cho các sớ thực dương a, b,c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

323P.aababcabc Trƣờng THPT Đồng Xồi – Bình Phƣớc – Lần 3

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có 3 1 a4b1 a4b 16c4aababca abc22433  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a4b 16c Suy ra 33P2 abcabc  

Đặt t  abc, t0 Khi đó ta có: 33P2ttXét hàm số  33f t2tt với t0 ta có  332f ' t2t2t t  332f ' t00t 12t2t t   

Bảng biến thiên

Trang 28

Do đó ta có  t 03min f t2   khi và chỉ khi t1Vậy ta có 3P2

  , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc 11641a,b,ca4b 16c212121     

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 32 khi và chỉ khi 16 41a, b,c,,21 21 21 .

Câu 34: Cho các số không âm , ,a b c thỏa mãn a b c  3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 333

( ) ( ) ( )

P a b  b c  ca

Trƣờng THPT Chuyên Quang Trung – Bình Phƣớc – Lần 2

Giả thiết cho 2(a

4+b4)+8c2 =9(a2+b2)cÛ c£a2+b2 £8c Ta có: 22( ) ( 2 ) ( ) ( 2 )16 1b ca cca cb ccPca cb c         222 ( ) ( )(b c) 2cb ca c 16 c 1a cb c           222( ) ( ) 2 ( 2 ) 16 1 8 2 16 1BCSc a bb ca c    c  cccc      Xột hm f (c)=8c-2c2+16 c+1 vi cẻ(0;+Ơ) có f (c)=0Ûc=3.

Dựa vào bảng biến thiên ta có Pmax =38 khi c=3Þa=b=2 3.

Câu 35: Cho a b c, , thuộc đoạn [1,2] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

22( ) 24 4 4ab cbcPbccbc   

Trƣờng THPT Quang Trung – Bình Phƣớc – Lần 1

Trang 29

Khi đó 2'222 4f (t) 0(t 4 t 1)t t  1(1)6

P f  Dấu bằng xảy ra khi

2

ca b

Câu 36: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x yz và x  yz3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Pxz 3y

zy

  

Trƣờng THPT Nguyễn Hữu Cảnh – Bình Phƣớc – Lần 1

Ta có xxz 2 ,x

z   zyz 2z

y 

Từ đó suy ra Pxz 3y 2xxz 2zyz 3y

zy

       

2

2(xz) y x( yz) xzyz 2(xz) yx y( z)

           

Do x0 và yz nên (x y z) 0 Từ đ}y kết hợp với trên ta được

2223 2( ) 2(3 ) ( 1) 5 5xzPyxzyyyyzy            

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 đạt khi x=y=z=1

Câu 37: Cho ba số thực x y z, , thoả mãn: x2y2z2 2x4y1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T 2(x z) y.

 2 2  

2222

2 4 1 1 2 4 1

x y z  x y  x  y z 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Xét mặt cầu:

   2 2 2

: 1 2 4

Sx  y z  Có tâm I1; 2; 0 ,bán kính R2

Xét mp   : 2x y 2z T 0

G/s M x y z ; ;  Từ  1 có điểmM nằm bên trong  S và kể cả trên mặt cầu  S

Trang 30

 Với T  2 thì M l| giao điểm của mp  : 2x y 2z 2 0 V| đường thẳng  đi qua I và  

1 2: 22xtytzt       1; 4; 43 3 3M      

Với T10 Tương tự 7; 8 4;

3 3 3

M  

 

 

Vậy minT  2 khi

1343xyz      maxT10 khi 738343xyz    

Câu 38: Cho ba sớ thực dương x y z, , Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  22249224Pxyxzyzxyz

Trang 31

t 0 6  f t + 0  f t 58Vậy 58P Suy ra max 58P khi xyz 6xyz        xyz 2

Câu 39: Cho x, y, z là các số thực dương thõa: xyz = 1 Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức :

2( ) 2( ) 2( ) 2 2 2x y zy z xz x yAy yz z z zx x x xy y      Trƣờng THPT Hà Huy Tập – Lần 1

2( ) 2( ) 2( ) 2 2 2x y zy z xz x yAy yz z z zx x x xy y      

Từ giãi thiết x y z2( ) 2x yz2 2 x2 1 2x x

x   Tương tự: y z x2(  ) 2 y y z x y; 2(  ) 2 z zKhi đó 2 2 22 2 2y yx xz zAy yz z z zx x x xy y     Đặt 4 2924 2292 4 29c abx xa x xy ya bcb y yz zy yc z zx xb caz z                  

B}́t đẵng thức trỡ thành: 2 4 2 4 2 4 29c aba bcb caAbca            2 4 6 29c a ba b cb c ab c a                   

Trang 32

Câu 40: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a[0;1],b[0;2],c [0;3] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2222(2 ) 81 2 3 ( ) 8 12 3 27 8ab ac bcbbPa bcb c b a cabc             

Trƣờng THPT Anh Sơn 2 – Nghệ An – Lần 1

Ta có a[0;1],b[0;2],c [0;3] (1 )( ) 0 2 3 2(2 )( ) 0 2 2a b cb cab aca bcab bc acb a cacab bc                   (1) 2(2 ) 2(2 )1 2 3 1 2ab ac bcab ac bca bcab ac bc         

Mặt khác b c a b c(  ) vì a[0;1], suy ra

8 8 8( ) 8 ( ) ( ) 8 2 8bbbb c b a ca b cb a cab bc ac             

Với mọi số thực x, y, z ta có 222222

(xy) (yz)  (zx)  0 2(x y z )2xy2yz2zx22223(xyz ) (xyz)      (2) Áp dụng (2) và (1) ta có 222222212a 3b 27c  3[(2 )a b (3 ) ]c  (2a b 3 )c 2a b 3c2ab bc ac222 2 812 3 27 8bbab bcacabc     Suy ra 2(2 ) 81 2 2 8 2 8ab bc acbbPab bc acab bc acab bc ac            2(2 ) 81 2 2 8ab bc acPab bc acab bc ac         Đặt t2ab bc ac  với t[0;13] Xét hàm số ( ) 2 8 ; [0;13]1 8tf tttt    có''222 8( ) ; ( ) 0 6( 1) ( 8)f tf tttt      Tính (0) 1; (6) 16; (13) 477 21f  f  f  ( ) 16, [0;13]7f tt    và ( ) 167f t  khi t6 Do đó 167P Khi 1; 2; 23a b c thì 167

P Vậy giá trị lớn nhất của P là 167

Câu 42: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 222

2

x y z  x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2242 1 1xzzxPxyyxy     

Trang 33

GT 2 2 

2x 2xyzxy 2z xyxxyxzyz

            1

Dấu bằng khi x y z

Từ (1) v| x, y, z dương suy ra ,

1 1 2 1zxxzxyyxyxy     224xxPxyxy        Đặt 20 2 4xtPttxy     Xét hàm số   22 4 , 0 1f t  tt  tLập BBT cho ta   1 14 4f t  f    Kết luận: 1  1 3 4; ; ; ;4 13 13 13MaxP  x y z    

Câu 43: Cho các số thực a, b, c thõa mân abc v| a2b2c2 5 Chứng minh rằng : (ab)(bc)(ca)(abbcca)4

Trƣờng THPT- Đoàn Thị Điểm – Khánh Hoà – Lần 1

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: 3ab bc ca  3 (3 abc)2 abc1

Suy ra: 2221 11 ( ) ( ) ( ) 3 (1).1 ( ) 3a b cabc a b ca ab bc caaa b ca           Tương tự ta có: 21 1 (2), 21 1 (3).1 b c a( )3b 1 c a b( ) 3c   Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có: 2221 1 1 1 1 1 1 1( )1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 3ab bc caa b cb c ac a bcbcabcabc            

Dấu ‚=‛ xảy ra khi và chỉ khi abc1,ab bc ca      3 abc 1, ( , ,a b c0).

Câu 44: Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyyzzx3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 222222333 18 8 8xyzSxyzyzx        

Trƣờng THPT Đoàn Thƣợng – Hải Dƣơng – Lần 1

Trang 34

Ta có (x yz)2 3(xyyzzx)    9 xyz 3Mặt khác 22222221(1)4(1)1(1)22x  yz  x y z   x y z   x   yzĐẳng thức xảy ra x  yz 12232 (y 2) (y 2 y 4) 60 8 (y 2)(y 2 y 4)2 2yyy             2223268xxyyy  

 Tương tự cộng lại ta được

222222222333 26 6 68 8 8xyzxyzyyzzxxyzx                Đẳng thức xảy ra x  yz1Ta lại có 2222222222( )6 6 6 6 6 6xyzxyzyyzzxxyyzzxx                22( )( ) ( ) 12xyzxyzxyz      Đặt t  xyz t, 3 và xét hàm số 22( ) , 312tf tttt  Ta có 22224'( ) , '( ) 0 0, 24( 12)ttf tf ttttt      t 3 24  f t + 0  f t1248471 3;1min ( ) 3, 3 12f tSSxyz         Vậy minS 3

Câu 45: Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Trang 35

Trƣờng THPT Đoàn Thƣợng – Hải Dƣơng – Lần 2

- Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có :    22 2 2 2 2 2 2 2 222222222222222222222222222223 3142 21 1 1 1 11 1 1 4 4 2 2 4 2 2 4 8ccaaabbcccaaccaabbbbcaabbcabbccaabbcabbcabbcabbcbbbbbcabcacabb                                                            - Xét bất đẳng thức : 3 3 1(x y)34

x y   (phải chứng minh bđt này)

Áp dụng : 333 33 33333(ab ) 1.44bca bb cbbcac ac a       31 1 1.4 8 96bbbbPcaca              Đặt tbb,ca  khi đó t0 và 1 3 1 1.96 8 4P  t  tXét hàm số ( ) 1 3 1 196 8 4f t   t  t với t 0 Ta có '( ) 1 2 1; '( ) 0 2,32 8f t   t  f t   t vì t 0.

Suy ra bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có 5 ,12

P  dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t2

Vậy giá trị lớn nhất của P là 5 ,

12 đạt được khi a  bc 1

Câu 46: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: x  yz 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

xyyzzxPxyzyzxzxy      

Trƣờng THPT Đông Du - ĐăkLăk– Lần 1

Trang 36

1 11 (1 )(1 )xyzzxyzxyxyxy         1 11 (1 )(1 )yzxxyzxyzyzyz         1 11 (1 )(1 )zxyyzxyzxxzxz         Khi đó xyyzzxPxyzyzxzxy       1 1 1(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )zxyxyyzxz          3 1 1 13 3(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )zxyxyyzxz        

Vậy Min P = 3 khi x = y = z = 1

3

Câu 47: Cho x y z, , là ba số dương có tổng bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: P 1 x 1 y 1z

Trƣờng THPT Đông Du – Đăk-lăk– Lần 2

+ Áp dụng BĐT AM-GM, ta có 212 3 5 31 3 2 6xxx    

+ Tương tự, ta thu được

 2  2  2 5 3 5 3 5 31 1 1 23 3 3 6 6 6xyzxyz            + Suy ra P 6

+ Dấu bằng xảy ra khi 13

Trang 37

Câu 48: Cho a b c, , là các số dương v| a b c  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

333bccaababcbcacabP 

Trƣờng THPT Đông Du – Đăk - Lăk – Lần 3

Với a + b + c = 3 ta có 3 ( ) ( )( )bcbcbca bc  a a b cbc  a b a c     1 12bca bac      Theo BĐT Cô-Si: 1 1 2( )( )a bac  a b ac    , dấu đẳng thức xảy rab = cTương tự 1 123cacabab cb ca        và 1 123ababcac bcab       Suy ra P 32( ) 2( ) 2( ) 2 2bc caab bcab caa b ca bc ab c          

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Vậy max P = 3

2 khi a = b = c = 1.

Câu 49: Cho các số thực x y, thỏa mãn x  y 1 2x 4 y1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S (xy)2 9 xy 1

xy

      



Trƣờng THPT Đồng Gia – Hải Dƣơng – Lần 1

Điều kiện: x2;y 1;0  xy 9; Ta có 20 1 2 2 1 1 3( 1) ( 1) 3( 1)0 1 3 1 4.xyxyxyxyxyxyxy                       Đặt t xy t, [1;4], ta có 2 19Sttt   1 1'( ) 2 0, [1; 4]2 9 2S ttttt t     

 Vậy S(t) đồng biến trên [1;4]

Trang 38

Câu 50: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

323 1 1 1abcPab bccaabc       Trƣờng THPT Đồng Xồi – Bình Phƣớc – Lần 2

Áp dụng Bất đẳng thức 2 3 , , ,x yz  xyyzzx x y z ta có: 2 3 9 abc 0abbcca  abc a bc  3ab bccaabc   Ta có: 331a 1b 1c  1 abc ,a b c, , 0 Thật vậy: 1a1b1c 1 a  bc abbccaabc  2 33 3 3

1 3 abc3 abc abc 1 abc

Khi đó  332 113 1abcPQabcabc  

Đặt 6abc t Vì a b c, , 0 nên

30 13abcabc        Xét hàm số 2232, t 0;113 1tQtt    522322 1 1' 0, t 0;11 1t ttQ ttt      

Do hàm số đồng biến trên0;1 nên    5  

1 26QQ t Q Từ (1) và (2) suy ra 56PVậy max 56

Trang 39

Câu 51: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn 2

2 12

a  b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2444 4 58Paba b  Trƣờng THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc – Lần 2

Từ giả thiết và bất đẳng thức CơSi ta có:

222 12 4 2 16 4 2 16 2 4 2 16 0 8a  b a   b  a b  a b  abDo đó 2222244224 4 5 1 5 1 .64 8 8 16 642a bababPababa bbaba                Đặt tab (t 2)ba   , ta có 1 2 5 1 1.16 64 2 8Ptt  Xét hàm số 1 2 5 1 1( ) ê (2; )16 64 2 8f tttr nt   Ta có 21 5 1 5'( ) ; '( ) 08 64 2 2f ttf ttt    BBT:

Từ bảng biến thiên ta có

2;5 27min ( )2 64f tf    Suy ra 2764

P , dấu bằng xảy ra khi a2,b4.

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 27

64 khi a2,b4.

Câu 52: Cho , ,a b c là những số dương thỏa mãn: 222

3a   bc Chứng minh bất đẳng thức 2221 1 1 4 4 47 7 7a bb cc aa b c     

Trang 40

Áp dụng bất đẳng thức 1 1 4 (x 0,y 0)x yxy  Ta có: 1 1 4 ; 1 1 4 ; 1 1 42 2 2a+b+ca bb c ab c b cc a a bcc aa b          Ta lại có:   22222222221 2 22 4 4 2 2 02 2 4 72 1 1 1 0abcabca b cabcaabc                    Tương tự: 1 22 ; 1 222b c a b 7 2c a bc 7     

Từ đó suy ra 1 1 1 24 24 24

7 7 7

a bb cc aa b c

     

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Câu 53: Cho các số x, y, z là những số thực dương thỏa mãn: xy  yz  zx 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

222xyzAxyyxzx    

Trƣờng GDTX Cam Lâm _ Khánh Hoà – Lần 2

Áp dụng bất đẳng thức Cơ Si, ta có:

2222 (1)2xyxxyxyxxxxyxyxyxyxxxy        

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y

Chứng minh tương tự ta có:

2 (2)2yzyyyz  

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y  z

2 (3)2zxzzxz  

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xz

Từ (1); (2); (3) suy ra 12

A   xyz

Định dạng
Số trang	123
Dung lượng	3,24 MB