Ngân hàng Đề thi môn Toán cao cấp A1
Trang 1T NG CÔNG TY B U CHÍNH VI N THÔNG VI T NAM Ổ Ư Ễ Ệ C NG HOÀ XÃ H I CH NGHĨA VI T NAM Ộ Ộ Ủ Ệ
H C VI N CÔNG NGH B U CHÍNH VI N THÔNG Ọ Ệ Ệ Ư Ễ
-Đ c l p - T do - H nh phúc ộ ậ ự ạ
-NGÂN HÀNG Đ THI Ề
Ban hành kèm theo Quy t đ nh s : ………/QĐ-TTĐT1c a Giám đ c ế ị ố ủ ố
H c vi n Công ngh B u chính vi n thông ký ngày /04/2006 ọ ệ ệ ư ễ
DÙNG CHO ĐÀO T O H Đ I H C T XA NGÀNH QTKD Ạ Ệ Ạ Ọ Ừ
TH I GIAN : 120 phút Ờ
M I Đ 4 CÂU Ỗ Ề ( m t câu lo i 1, m t câu lo i 2, m t câu lo i 3 và m t câu lo i 4) ộ ạ ộ ạ ộ ạ ộ ạ
I CÂU H I LO I 1 ĐI M (V.I) Ỏ Ạ Ể
1 Tính đ o hàm c a hàm s : ạ ủ ố
x
x y
−
+
=
1
1
2 Tính đ o hàm c a hàm s : ạ ủ ố y=ln(x+ 1+x2)
3 Tính đ o hàm c a hàm s : ạ ủ ố y=e xlnsinx
4 Tính đ o hàm c a hàm s : ạ ủ ố y=x2e arctgx
5 Tính đ o hàm c a hàm s : ạ ủ ố
x
x y
+
−
=
1
1 arcsin
6 Tính đ o hàm c a hàm s : ạ ủ ố
x x
x
x x
x y
sin cos
cos sin
−
+
7 Tính vi phân c a hàm s : ủ ố
a
x arctg x
a x
f( )= + , a là h ng s ằ ố
8 Tính vi phân c a hàm s : ủ ố y=(a2 −x2)52x
9 Tính vi phân c a hàm s : ủ ố y= 1+x2 ln(1−x)
10 Tính vi phân c a hàm s : ủ ố
6
6 ln 12
1 2
+
−
=
x
x e
II CÂU H I LO I 2 ĐI M (V.II) Ỏ Ạ Ể
1 Tính gi i h n sauớ ạ
Trang 2x
tgx sin 1
0 1 sin
1 lim
+
+
2 Tính gi i h n sauớ ạ
x
x x x
x x
+
−
+ +
∞
4 5 lim 2
2
3 Tính gi i h n sauớ ạ
( )tgx
x 1 cosx
lim
0 −
4 Tính gi i h n sauớ ạ
( x)x
x x e2 1 0
lim +
5 Tính gi i h n sauớ ạ
( ) x
x x ln
0 1
lim+ +
6 Ch ng minh r ng ứ ằ arcsinx−x và
6
3
x
là các vô cùng bé
tương đương khi x→0
7 Cho hàm s ố
=
≠
<
−
−
+
=
0 khi
0 , 1 x khi ) 1 ln(
) 1 ln(
) (
x a
x x
x x
x f
Tìm h ng s a đ hàm s liên t c t i x = 0.ằ ố ể ố ụ ạ
8 Tìm gi i h n sau ớ ạ [ x x]
x sinln( 1) sinln
lim + −
∞
9 Cho hàm số
=
≠
−
=
0 khi
0 khi )
(
x c
x x
e e x f
bx ax
Tìm h ng s c đ hàm s liên t c t i x = 0 ằ ố ể ố ụ ạ
10 Tìm gi i h n sau ớ ạ 2
1 0
sin lim x
x
→
III CÂU H I LO I 3 ĐI M (V.III) Ỏ Ạ Ể
Trang 31 Cho hàm s ố y=xln2 x
a Tính vi phân t i x = e v i ạ ớ ∆x=−0,1
b.Tìm c c tr c a hàm s ự ị ủ ố
2 Tính th tích c a kh i tròn xoay t o ra khi quay hình ph ngể ủ ố ạ ẳ
gi i h n b i các đớ ạ ở ường
y=x−4 và y2 =2x quanh tr c ox.ụ
3 Cho hàm số
1
2 −
=
x
x y
a Tính dy t i x = 0.ạ
b Tính y(n)(x)
4 Cho tích phân suy r ng ộ
+∞∫
1
2 dx x
arctgx
a. Ch ng minh tích phân đã cho h i t ứ ộ ụ
b. Tính tích phân đó
5 Cho tích phân suy r ngộ
+∞∫ −
0
3 2
dx e
x x
a Ch ng minh tích phân đã cho h i t ứ ộ ụ
b Tính tích phân đã cho
6 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đệ ẳ ớ ạ ở ường cong
y=x2 +1 , 2
2
1
x
y= và y=5. 7.Tính th tích v t th tròn xoay t o nên khi quay hình ph ng ể ậ ể ạ ẳ
gi i h n b i đớ ạ ở ường cong
x2 + y2 −6y+5=0 quanh tr c Ox.ụ
8 Tính th tích kh i tròn xoay t o nên khi quay mi n ph ng ể ố ạ ề ẳ
gi i h n b i các đớ ạ ở ường
y=2x−x2 và y=0 quanh tr c Ox.ụ
9 Xét s h i c a tích phân suy r ngự ộ ủ ộ
Trang 4+∞ −∫
1
dx x
e x
10 Cho hàm s ố
1
2
2 +
−
=
x
x y
a Tính dy t i x=1ạ
b Tìm c c tr c a hàm s ự ị ủ ố
IV CÂU H I LO I 4 ĐI M (V.IV) Ỏ Ạ Ể
1 a Tính tích phân: =∫1 +
2
) 1 ( x
dx x
b Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ ∑∞
= 2 ( −1)
n
n
n n
x
2 a Tính tích phân: =∫1 +
01 x
xdx
b Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ ∑∞
=
− +
−
1
) 2 (
) 2 3
1 2 (
n
n
n x n
n
3 a Tính tích phân: =∫ + −
1
0 x x
x
e e
dx e
I b Xét
s h i t c a chu i s ự ộ ụ ủ ỗ ố ∑∞
−
1 ln( 1)
) 1 (
n
n
n
4 a Tính tích phân: = ∫0 +−
3
ln 1
1
dx e
e
x
b Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ ∑∞
=
+ +
+
−
1
1 1
) 1 (
) 1 (
n
n n
n n
x
5 a Tính tích phân: ∫
−
−
= 3
3
2
2 9 x dx x
I
b Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ ∑∞
=1
3
4
n n
n
n x
6 a Tính tích phân: =∫3 −
0 6 x dx x
Trang 5b Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ ∑∞
=
+
1
2
2
) 2 (
n n
n
n
x
7 a Tính tích phân: ∫
−
= 1
1
.arctgx dx x
b Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ ∑∞
=
+
+
+
0
1 2
1 2
) 2 (
n
n
n
x
8 a Tính tích phân: =∫1 −
0
.e dx x
b Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ ∑∞
=
+
1
2
) 1 (
n
n
n
x
9 a Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đệ ẳ ớ ạ ở ường
y=x2 +4, và x – y + 4 = 0
b Xét s h i t c a chu i s ự ộ ụ ủ ỗ ố ∑∞
= −
+
2 2 2
2
n n
n
10 a Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đệ ẳ ớ ạ ở ường
y=x3, y = x, và y = 2x
b Xét s h i t c a chu i s ự ộ ụ ủ ỗ ố ∑∞
= 1 4 3 +2 2 −1
1
n n n .
Trang 6PH N B Ầ
DÙNG CHO ĐÀO T O H Đ I H C T XA NGÀNH ĐTVT VÀ CNTT Ạ Ệ Ạ Ọ Ừ
TH I GIAN : 120 phút Ờ
M I Đ 4 CÂU Ỗ Ề ( m t câu lo i 1, m t câu lo i 2, m t câu lo i 3 và m t câu lo i 4) ộ ạ ộ ạ ộ ạ ộ ạ
I CÂU H I LO I 1 ĐI M (V.I) Ỏ Ạ Ể
1 Tính tích phân sau
I =∫xln2 xdx
2 Tính tích phân sau
=∫ dx
x
gx I
sin
cot
3 Tính tích phân sau
=∫ dx
x
tgx I
cos .
4 Tính tích phân sau
I =∫arctg 2x−1dx
5 Tính tích phân sau
=∫ + dx
x
x
sin
2 sin 1
6 Tính tích phân sau
I =∫xln 1−x dx
7 Tính tích phân sau
= ∫3
0
xarctgxdx
8 Tính tích phân sau
=∫ − dx
e
e I
x
x
16
2
9 Tính tích phân sau
=ln∫2 −
0
1dx
e
Trang 7
10 Tính tích phân sau
=∫e + dx
x x
x I
1 1 ln
ln
II CÂU H I LO I 2 ĐI M (V.II) Ỏ Ạ Ể
1 Tính gi i h n sauớ ạ
x
tgx sin 1
0 1 sin
1 lim
+
+
2 Tính gi i h n sauớ ạ
x
x x x
x x
+
−
+ +
∞
4 5 lim 2
2
3 Tính gi i h n sauớ ạ
( )tgx
x 1 cosx
lim
0 −
4 Tính gi i h n sauớ ạ
( x)x
x x e2 1 0
lim +
5 Tính gi i h n sauớ ạ
( ) x
x x ln
0 1
lim+ +
6 Ch ng minh r ng ứ ằ arcsinx−x và
6
3
x
là các vô cùng bé
tương đương khi x→0
7 Cho hàm s ố
=
≠
<
−
−
+
=
0 khi
0 , 1 x khi ) 1 ln(
) 1 ln(
) (
x a
x x
x x
x f
Tìm h ng s a đ hàm s liên t c t i x = 0.ằ ố ể ố ụ ạ
8 Tìm gi i h n sau ớ ạ [ x x]
x sinln( 1) sinln
lim + −
∞
9 Cho hàm số
Trang 8
=
≠
−
=
0 khi
0 khi )
(
x c
x x
e e x f
bx ax
Tìm h ng s c đ hàm s liên t c t i x = 0 ằ ố ể ố ụ ạ
10 Tìm gi i h n sau ớ ạ 2
1 0
sin lim x
x
→
III CÂU H I LO I 3 ĐI M (V.III) Ỏ Ạ Ể
1 Cho hàm s ố y=xln2 x
a Tính vi phân t i x = e v i ạ ớ ∆x=−0,1
b.Tìm c c tr c a hàm s ự ị ủ ố
2 Tính th tích c a kh i tròn xoay t o ra khi quay hình ph ngể ủ ố ạ ẳ
gi i h n b i các đớ ạ ở ường
y=x−4 và y2 =2x quanh tr c ox.ụ
3 Cho hàm số
1
2 −
=
x
x y
a Tính dy t i x = 0.ạ
b Tính y(n)(x)
4 Cho tích phân suy r ng ộ
+∞∫
1 2
dx x
arctgx
c Ch ng minh tích phân đã cho h i t ứ ộ ụ
d Tính tích phân đó.
5 Cho tích phân suy r ngộ
+∞∫ −
0
3 2
dx e
x x
c Ch ng minh tích phân đã cho h i t ứ ộ ụ
d Tính tích phân đã cho
6 Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đệ ẳ ớ ạ ở ường cong
Trang 9y=x2 +1 , 2
2
1
x
y= và y=5. 7.Tính th tích v t th tròn xoay t o nên khi quay hình ph ng ể ậ ể ạ ẳ
gi i h n b i đớ ạ ở ường cong
x2 + y2 −6y+5=0 quanh tr c Ox.ụ
8 Tính th tích kh i tròn xoay t o nên khi quay mi n ph ng ể ố ạ ề ẳ
gi i h n b i các đớ ạ ở ường
y=2x−x2 và y=0 quanh tr c Ox.ụ
9 Xét s h i c a tích phân suy r ngự ộ ủ ộ
+∞ −∫
1
dx x
e x
10 Cho hàm s ố
1
2
2 +
−
=
x
x y
a Tính dy t i x=1ạ
b Tìm c c tr c a hàm s ự ị ủ ố
IV LO I CÂU H I 4 ĐI M (V.IV) Ạ Ỏ Ể
1.
a Xét s h i t c a chu i s có s h ng t ng quát ự ộ ụ ủ ỗ ố ố ạ ổ
a n = n2 +n−n
b Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ ∑∞
=
+ +
1 2
) 3 ( 2
n
n
x n
n
2
a Xét s h i t c a chu i s ự ộ ụ ủ ỗ ố ∑∞
= 1 +
2
) 1
(
n
n
n
n
b Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ ∑∞
=
− +
+
1
) 1 ( ) 1 2
1 (
n
n
n x n
n
3
a Xét s h i t c a chu i s ự ộ ụ ủ ỗ ố ∑∞
=
+
)
1 1 ln(
n tg n
Trang 10b Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ ∑∞
=1
3
4
n n
n
n
x
4
a Xét s h i t c a chu i s ự ộ ụ ủ ỗ ố ∑∞
= + +
+
13 3 3
2
n n
n
n
n
b Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ ∑∞
=
+
+
+
0
1 2
1 2
) 2 (
n
n
n
x
5
a Xét s h i t c a chu i s ự ộ ụ ủ ỗ ố ∑∞
=1 sin 2
1
π
b Tìm mi n h i t c a chu i lu th a ề ộ ụ ủ ỗ ỹ ừ ∑∞
=
+
1
2
) 3 ( )!
2 (
) (
n
n
x n
n
6 Ch ng minh r ng ứ ằ ∑∞
=
+
=
0
2
1
2
!
) 2 (
n
x
n
xe n
x
.Từ đó hãy tính t ng ổ ∑∞
=
+
0 !
) 1 ( 2
n
n
n
n
.
7 Cho hàm s ố f(x)=x2 v i ớ 0<x<π
a Khai tri n hàm s thành chu i Fourier.ể ố ỗ
b T đó hãy tính t ng ừ ổ ∑∞
=
=
1 2
1
n n
8 Cho hàm s ố f(x)=x(π −x) v i ớ x∈(0,π)
a Khai tri n hàm s đã cho theo các hàm s sin.ể ố ố
b.Tính t ng ổ ∑∞
= +
−
=
0(2 1)3
) 1 (
n
n
n
9 Cho hàm s ố f(x)=x2 v i ớ x∈(−π,π).
a Khai tri n hàm s thành chu i Fourier.ể ố ỗ
b Tính t ng ổ ∑∞
=
−
=
1 2
) 1 (
n
n
n
10 Cho hàm s ố 2
2 2
1 ln ) (
x x x
f
+ +
a Khai tri n hàm s thành chu i các lu th a c a (x+1).ể ố ỗ ỹ ừ ủ
b Tính t ng ổ ∑∞
= +
−
=
0 1
) 1 (
n
n
n