Chuyên đề về tính đơn điệu của hàm số

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 CHỦ ĐỀ 01: CƠ BẢN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ LÝ THUYẾT ❖ Điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng K • Định nghĩa Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng y = f ( x ) hàm số xác định K, ta nói: Hàm số y = f ( x ) gọi đồng biến (tăng) K x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số y = f ( x ) gọi nghịch biến (giảm) K x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K ❖ Nhận xét • Nhận xét ▪ Nếu hàm số f ( x ) g ( x ) đồng biến (nghịch biến) D hàm số f ( x ) + g ( x ) đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hiệu f ( x ) − g ( x ) • ▪ Nhận xét Nếu hàm số f ( x ) g ( x ) hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D hàm số f ( x ) g ( x ) đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hàm số f ( x ) , g ( x ) không hàm số dương D • Nhận xét ▪ Cho hàm số u = u ( x ) , xác định với x  ( a; b ) u ( x )  ( c; d ) Hàm số f u ( x )  xác định với x  ( a; b ) Ta có nhận xét sau: ▪ Giả sử hàm số u = u ( x ) đồng biến với x  ( a; b ) Khi đó, hàm số f u ( x )  đồng biến với x  ( a; b )  f ( u ) đồng biến với u  ( c; d ) Giả sử hàm số u = u ( x ) nghịch biến với x  ( a; b ) Khi đó, hàm số f u ( x )  nghịch biến với x  ( a; b )  f ( u ) nghịch biến với u  ( c; d ) ❖ Định lí • Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: ▪ Nếu hàm số đồng biến khoảng K f ' ( x )  0, x  K Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f ' ( x )  0, x  K ❖ Định lí • Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: Nếu f ' ( x )  0, x  K hàm số f đồng biến K Nếu f ' ( x )  0, x  K hàm số f nghịch biến K Nếu f ' ( x ) = 0, x  K hàm số f khơng đổi K | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số ❖ Định lý điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: • Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: Nếu f  ( x )  , x  K f  ( x ) = hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K Nếu f  ( x )  , x  K f  ( x ) = hữu hạn điểm thuộc K hàm số f nghịch biến K Bài toán Tìm tham số m để hàm số y = f ( x ; m ) đơn điệu khoảng ( ;  ) • Bước 1: Ghi điều kiện để y = f ( x ; m ) đơn điệu ( ;  ) Chẳng hạn: ▪ Đề yêu cầu y = f ( x ; m ) đồng biến ( ;  )  y = f  ( x ; m )  ▪ Đề yêu cầu y = f ( x ; m ) nghịch biến ( ;  )  y = f  ( x ; m )  • Bước 2: Độc lập m khỏi biến số đặt vế lại g ( x ) , có hai trường hợp thường gặp : ▪ m  g ( x ) , x  ( ;  )  m  max g ( x ) ▪ m  g ( x ) , x  ( ;  )  m  g ( x ) • Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu hàm số g ( x ) D (hoặc sử dụng Cauchy) để tìm giá trị ( ;  ) ( ;  ) lớn giá trị nhỏ Từ suy m Bài tốn Tìm tham số m để hàm số y = ax + b đơn điệu khoảng ( ;  ) cx + d d Tính đạo hàm y  c • Tìm tập xác định, chẳng hạn x  − • Hàm số đồng biến  y   (hàm số nghịch biến  y   ) Giải tìm m (1) • Vì x  − • Lấy giao (1) ( ) giá trị m cần tìm d d có x  ( ;  ) nên −  ( ;  ) Giải tìm m ( ) c c ➢ Cần nhớ: “Nếu hàm số f ( t ) đơn điệu chiều miền D (luôn đồng biến nghịch biến) phương trình f ( t ) = có tối đa nghiệm u , v  D f ( u ) = f ( v )  u = v Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 VÍ DỤ MINH HỌA ( ) VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x ( x − )( x − ) Khi hàm số y = f x 2 nghịch biến khoảng đây? A ( 3; + ) C ( − ; −3 ) B ( −3; ) D ( −2 ; ) Lời giải Chọn C  Ta có y =  f x  = x  x x − x −  ( ) ( ) ( )( ) = x ( x − )( x + )( x − ) ( x + ) 2 Cho y =  x = −3 x = −2 x = x = x = Ta có bảng xét dấu y  ( ) Dựa vào bảng xét dấu, hàm số y = f x nghịch biến ( − ; −3 ) ( ; ) VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ( có đồ thị hàm f  ( x ) hình vẽ bên Hỏi ) hàm số y = f x − nghịch biến khoảng sau đây? A ( −1; ) B ( 0;1) C ( −; ) D ( 0; + ) Lời giải Chọn B ( ) Ta có y = x f  x − x = x = x = x =    y =  x f  x − =   x − = −2   x = −1    x = x =  x2 − =  x2 =  x = −1   ( ) Ta có bảng biến thiên | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số Nhìn bảng biến thiên hàm số y = f ( x − 1) nghịch biến khoảng ( 0;1) ( ) VÍ DỤ 3.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x + ) x + mx + với x  ( Số giá trị ) nguyên âm m để hàm số g ( x ) = f x + x − đồng biến khoảng ( 1; + ) A C B D Lời giải Chọn B ( ) Ta có g ' ( x ) = ( x + 1) f ' x + x − Để hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( 1; + ) ( )  g ' ( x )  x  (1; + )  f ' x + x −  x  (1; + ) ( ) (x ( )  x2 + x − 2 +x ( ) (( x ) ( ) ) + x − + m x + x − +  x  (1; + ) )  x2 + x − + m x2 + x − +  (1) x  (1; + ) Đặt t = x + x − , x  ( 1; + )  t  Khi (1) trở thành t + mt +  t  ( 0; + )  t +  −m t (2) t  ( 0; + ) Để (1) nghiệm với x  ( 1; + )  ( ) nghiệm với t  ( 0; + ) Ta có h ( t ) = t + 5  với t  ( 0; + ) Dấu xảy t =  t = t t Suy Min ( h ( t ) ) =  ( ) nghiệm t  ( 0; + )  −m   m  −2 t( 0; + ) Vậy số giá trị nguyên âm m VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm sau Bất phương trình f ( x )  e x + m với x  ( −1;1) A m  f ( ) − B m  f ( −1) − e C m  f ( ) − D m  f ( −1) − e Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Lời giải Chọn C Có f ( x )  e x + m, x  ( −1;1)  m  g ( x ) = f ( x ) − e x , x  ( −1;1) (1) 2  g ( x )  0, x  ( −1; ) Ta có g ( x ) = f  ( x ) − x.e x có nghiệm x =  ( −1;1)   g x  0,  x  0;1 ( ) ( )  Bảng biến thiên: Do max g ( x ) = g ( ) = f ( ) − Ta ( 1)  m  f ( ) − ( −1;1) VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f  ( x ) có bảng biến thiên sau: Bất phương trình f ( x)  3e x + + m có nghiệm x  ( −2; ) khi: A m  f ( −2 ) − B m  f ( ) − 3e C m  f ( ) − 3e D m  f ( −2 ) − Lời giải Chọn B Ta có: f ( x)  3e x + + m  f ( x) − 3e x +  m Đặt h ( x ) = f ( x) − 3e x +  h ( x ) = f  ( x ) − 3e x + ( Vì x  ( −2; ) , f  ( x )  x  ( −2; )  x +  ( 0; )  3e x +  3; 3e ) Nên h ( x ) = f  ( x ) − 3e x +  0, x  ( −2; )  f (2) − 3e  h ( x )  f ( −2) − Vậy bất phương trình f ( x)  3e x + + m có nghiệm x  ( −2; ) m  f ( ) − 3e VÍ DỤ Tổng giá trị nguyên tham số m khoảng ( −2020; 2020 ) để hàm số y =   đồng biến khoảng  0;   4 A −2039187 B 2022 C 2093193 Lời giải Chọn A Điều kiện xác định: sin x  m | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh D 2021 sin x − sin x − m Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số cos x ( sin x − m ) − ( sin x − 3) cos x cos x ( − m ) sin x −  y = = Ta có y = 2 sin x − m ( sin x − m ) ( sin x − m )  2   Vì x   0;  nên cos x  0; sin x   0;    4     Suy hàm số đồng biến khoảng  0;   4 Vì m  3 − m  m   m      m3     m   m  −2019; −2018; ; −1; 0  1; 2 −2019 + 2020 + + = −2039187 Vậy tổng giá trị tham số m là: S = VÍ DỤ Cho hàm số f ( x ) Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình bên Hàm số g ( x ) = f (1 − x ) + x − x nghịch biến khoảng ? y –2 O x –2  3 A 1;   2  1 B  0;   2 C ( −2; −1) D ( 2;3) Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có: g ( x ) = f (1 − x ) + x − x  g  ( x ) = −2 f  (1 − x ) + x − − 2x t Xét tương giao đồ thị hàm số y = f  ( t ) y = − Hàm số nghịch biến  g  ( x )   f  (1 − x )  −  −2  t  t Dựa vào đồ thị ta có: f  ( t )  −   t  1 x   −2  − x  2 Khi đó: g ' ( x )     − x   x  −  Cách 2: Ta có: g ( x ) = f (1 − x ) + x − x  g  ( x ) = −2 f  (1 − x ) + x − Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 g  ( x ) =  f ' (1 − x ) = − 1− 2x t Xét tương giao đồ thị hàm số y = f  ( t ) y = − Từ đồ thị ta có: t = −2 t f ' ( t ) = −  t = Khi đó: t =  x = 1 − x = −2   g  ( x ) =  1 − x =   x = Ta có bảng xét dấu:  1 − x =  x = −  3  1 3 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: hàm số nghịch biến khoảng  − ; −   ;  2  2 2 VÍ DỤ Cho hàm số f ( x ) g ( x ) có phần đồ thị biểu diễn đạo hàm f  ( x ) g ( x ) hình vẽ Biết hàm số y = h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) − a x + 2021 tồn khoảng đồng biến ( m; n ) Tổng giá trị nguyên dương a thỏa mãn là? A B C D Lời giải Chọn B Ta có đạo hàm: h ( x ) = f  ( x ) − g ( x ) − a Để hàm số đồng biến h ( x )   a  f  ( x ) − g ( x ) Từ đồ thị, ta có f  ( x ) − g ( x )  12  a  12 Suy số giá trị nguyên dương a thỏa mãn a  1; 2; 3 Vậy tổng giá trị a thỏa mãn | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 DẠNG Câu 1: Câu 2: Câu 3: Cơ tính đơn điệu hàm số Hàm số dưới đồng biến tập ? A y = x + x + C y = B y = x − sin x 3x + 5x + Hàm số y = x − x + x nghịch biến khoảng nào? A ( 2; ) B ( 1; ) C ( −6; −1) Kết luận sau tính đơn điệu hàm số y = D y = ln ( x + ) D ( −3; −2 ) 3x − đúng? x−2 A Hàm số nghịch biến khoảng ( −; ) ( 2; + ) B Hàm số đồng biến \2 C Hàm số đồng biến khoảng ( −; ) ( 2; + ) D Hàm số nghịch biến Câu 4: Câu 5: Cho hàm số y = x − 3x + Mệnh đề dưới đúng? A Hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) B Hàm số nghịch biến khoảng ( −; ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( 0; ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( 2; +  ) Hàm số sau đồng biến ( −; ) ( 2; + ) ? A y = Câu 6: Câu 7: Câu 8: Câu 9: \2 x −1 x+2 B y = x−2 C y = 2x − x−2 D y = x −1 x−2 Cho hàm số y = x − x + x + Mệnh đề dưới đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng ( 1; ) B Hàm số nghịch biến khoảng ( 3; + ) C Hàm số đồng biến khoảng ( 1; + ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −; ) Cho hàm số f ( x ) = x3 x2 − − 6x + A Hàm số nghịch biến khoảng ( −2; ) B Hàm số nghịch biến ( − ; −2 ) C Hàm số đồng biến ( −2; + ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −2; ) Cho hàm số y = x − Mệnh đề dưới đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (1; + ) B Hàm số nghịch biến khoảng ( −; ) C Hàm số đồng biến khoảng (0; + ) D Hàm số đồng biến ( −; + ) Hàm số z − z + = đồng biến khoảng  1   A  −; −  B  − ; +  2    C ( 0; + ) Câu 10: Trong hàm sau đây, hàm số không nghịch biến | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh D ( −; ) Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số x   B y =    2+ 3   A y = − x +1 C y = − x + x − x D y = −4 x + cos x Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) có đạp hàm f  ( x ) = x + , x  Mệnh đề dưới đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −1;1) B Hàm số nghịch biến khoảng ( −; ) C Hàm số đồng biến khoảng ( − ; + ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( 1; + ) Câu 12: Trong hàm số sau, hàm số vừa có khoảng đờng biến vừa có khoảng nghịch biến tập 2x + xác định (  ) y = , (  ) y = − x + x − , (  ) y = x + 3x − x+1 A (  ) ; (  ) B (  ) & ( II ) C (  ) ; (  ) D ( II ) Câu 13: Cho hàm số y = − x + x − x + Mệnh đề sau đúng? A Hàm số nghịch biến B Hàm số đồng biến C Hàm số đồng biến ( 1; +  ) nghịch biến ( −;1) D Hàm số đồng biến ( −;1) nghịch biến ( 1; +  ) Câu 14: Cho hàm số y = x+1 Khẳng định sau khẳng định đúng? 1− x A Hàm số đồng biến khoảng ( −;1) ( 1; + ) B Hàm số nghịch biến khoảng ( −;1) ( 1; + ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −;1)  (1; + ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −;1)  (1; + ) Câu 15: Cho hàm số y = A x+1 , y = tan x , y = x + x + x − 2017 Số hàm số đồng biến x+2 B C D Câu 16: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = mx − ( m + ) x nghịch biến khoảng ( −1; + ) A −2  m  Câu 17: Cho hàm số y = B −2  m  C m  −2 D m  −2 2x + Mệnh đề dưới đúng? −x + A Hàm số đồng biến B Hàm số nghịch biến \1 \1 C Hàm số đồng biến khoảng ( −; 1) ( 1; +  ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( −; 1) ( 1; +  ) Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x − x , x  khoảng A ( −2; ) B ( 0; ) Hàm số y = −2 f ( x ) đồng biến C ( 2; + ) D ( − ; −2 ) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 19: Cho hàm số y = x4 − x − Chọn khẳng định A Hàm số nghịch biến khoảng ( −2; ) ( 2; + ) B Hàm đồng biến khoảng ( − ; −2 ) ( 0; ) C Hàm số đồng biến khoảng ( −2; ) ( 2; + ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( − ; −2 ) ( 2; + ) Câu 20: Hàm số sau đồng biến ? 1 x −1 A y = x – x – B y = x3 − x2 + 3x + C y = x+2 D y = x + x + 3x – Câu 21: Trong hàm số sau, hàm số đồng biến ( 1; + ) ? x x −1 B y = x +2 A y = log x 1 C y =   2 D y = x−3 x−2 Câu 22: Hàm số y = − x + x + nghịch biến khoảng sau đây? A ( ) ( )( B − 3; ; 2; + ) ( )( 2; + C − 2;0 ; ) ( ) 2; + D − 2; Câu 23: Hàm số y = x − 3x nghịch biến khoảng dưới đây? A ( −1;1) B ( −;1) C ( 0; ) D ( 2; +  ) Câu 24: Hàm số sau đồng biến khoảng ( 0; ) ? A y = − x + 3x B y = − x2 x C y = 2x − x −1 D y = x ln x Câu 25: Hàm số sau nghịch biến ( 1; ) ? x+1 A y = x − x + 3x + B y = x+2 Câu 26: Cho hàm số y = C y = x2 − 2x + x−2 D y = x + 2x + Khẳng định sau đúng? x+1 \−1 A Hàm số luôn nghịch biến B Hàm số đồng biến khoảng ( −; −1) ( −1; + ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −; −1) ( −1; + ) D Hàm số luôn đồng biến \−1 Câu 27: Hàm số y = x − x + đồng biến khoảng nào? A x  B ( −1; ) ( 1; + ) C ( −1; ) Câu 28: Hàm số sau đồng biến ? x A y = B y = x + x+1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C y = x + D ( 1; + ) D y = x + Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số A f a C f a f b f b f c f c 44 B f a 83 14a b c D f a 7a b c f b f b f c f c 44 83 14a b c 7a b c Lời giải Chọn A Từ đồ thị ta có f  ( x ) = x − x −  f ( x ) = x3 − x − x + C Mà f ( −1) =  C = nên f ( x ) = x3 − x − x 3 Cách 1: 40 40 f ( a ) − 7a − = a − 2a − 12a − = ( a − 6a − 36a − 40 ) 3 3 1 = ( a + ) ( a − 8a − 20 ) = ( a + ) ( a − 10 )  0, a  ( −3; −1) 3 40 , a  ( −3; −1)  f ( a )  7a + Chứng minh tương tự ta có: f ( b )  −8b + , b  ( −1; ) , f ( c )  −8c , c  ( 2;5 ) 40   4 44  , dấu xảy  f ( a ) + f ( b ) − f ( c )   7a +  +  −8b +  − 8c = 7a − ( b − c ) +   3  a = −2; b = 1; c = Cách 2: Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − x = x − x − 12 x với x  ( −3; −1) g  ( x ) = x − x − 12, g  ( x ) =  x = −2, x = Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta suy g ( x )  40 40 , x  ( −3; −1) , suy f ( a )  7a + , a  ( −3; −1) 3 Xét hàm số h ( x ) = f ( x ) + x = x − x + 3x với x  ( −1;5 ) h ( x ) = x − x + 3, h ( x ) =  x = 1, x = Bảng biến thiên Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 4 Từ bảng biến thiên ta suy h ( x )  , x  ( −1; ) , suy f ( b )  −8b + , b  ( −1; ) 3 −h ( x )  0, x  ( 2;5 ) , suy − f ( c )  8c, c  ( 2;5 ) Từ bất đăng thức ta suy 40   4 44  f ( a ) + f ( b ) − f ( c )   7a +  +  −8b +  − 8c = 7a − ( b − c ) +   3  Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay, nhập vào hình biểu thức 44 83 f ( A) + f ( B ) − f ( C ) − 14 A + ( B − C ) − f ( A) + f ( B ) − f ( C ) − A + ( B − C ) − 3 Sau tính giá trị biểu thức số giá trị A ( −3; −1) , B  ( −1; ) , C  ( 2;5 ) từ suy đáp án Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau  9  Số nghiệm thuộc đoạn 0;  phương trình f ( f ( cos x ) ) =   A 10 B C Lời giải Chọn D D  f ( cos x ) = −1 Từ bảng biến thiên ta có f ( f ( cos x ) ) =    f ( cos x ) = cos x = a1 , a1  −1 Phương trình f ( cos x ) = −1   cos x = a2 , a2  cos x = a, a  −1  cos x = b, b  ( −1;0 ) cos x = b, b  ( −1;0 )  Phương trình f ( cos x ) =   cos x = c, c  ( 0;1) cos x = c , c  0;1 ( )    cos x = d , d   9  Ta có bảng biến thiên hàm số y = cos x 0;    11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số Từ bảng biến thiên ta thấy cos x = b, b  ( −1;0 ) có nghiệm phân biệt phương trình cos x = c, c  ( 0;1) có nghiệm phân biệt  9  Vậy phương trình có nghiệm 0;    Câu 11: Cho hàm số f ( x) = x + x + Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( ) f ( x) + f ( x) + m = − x3 − x + có nghiệm x  [−1;2] A 1746 Chọn B Ta có f Đặt t = ( B 1750 C 1747 Lời giải D 1748 ) f ( x) + f ( x) + m = − x3 − x + , f ( x) + f ( x) + m , suy (1)  f ( t ) = − x3 − x +  t + t + = ( − x ) + ( − x ) + , Xét hàm số y = h ( u ) = u + u + có h ( u ) = 3u +  0, u  nên hàm số y = h ( u ) đồng biến Do ( )  h ( t ) = h ( − x )  t = − x Suy f ( x) + f ( x) + m = − x  f ( x) + f ( x) + m = ( − x )  m = − f ( x) − f ( x) − x Mà f ( x) = x + x + , suy m = − ( x3 + x + ) − ( x + x + ) − x , Xét hàm số h( x) = − ( x3 + x + ) − ( x3 + x + ) − x với x  [−1;2] Suy h( x) = −3 ( x3 + x + ) ( 3x + 1) − ( 3x + 1) − 3x  0, x   −1;2 Do h ( −1)  h( x)  h ( )   h( x)  −1748 Vậy phương trình có nghiệm x  [−1;2] phương trình có nghiệm x  [−1;2]  −1748  m  Lại có m   m  −1748; −1747; ; −1;0;1 Vậy có 1750 giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( ) f ( x) + f ( x) + m = − x3 − x + có nghiệm x  [−1;2] Câu 12: Cho hàm số f ( x ) = x3 + x + Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( ) f ( x ) + f ( x ) + m = − x3 − x + có nghiệm x   −1; 2 A 1746 B 1750 C 1747 Lời giải D 1748 Chọn B Ta có: f  ( x ) = 3x +  x  , suy hàm số f ( x ) đồng biến x   −1; 2  f ( x )   0;12 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 12 Phan Nhật Linh Phương trình cho tương đương với: f ( Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 ) f ( x) + f ( x) + m = f (−x) f ( x ) + f ( x ) + m = − x  f ( x ) + f ( x ) + m = − x3  f ( x ) + f ( x ) + x = − m ( *) Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + f ( x ) + x , ta có: g  ( x ) = f ( x ) f  ( x ) + f  ( x ) + x  x  , suy hàm số g ( x ) đồng biến  −1; 2 Vậy phương trình (*) có nghiệm g ( x )  −m  max g ( x )  g ( −1)  −m  g ( )  −1;2  −1;2  f ( −1) + f ( −1) −  − m  f ( ) + f ( ) +  −1  − m  123 + 12 +  −1748  m  Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Gọi S tập hợp số nguyên dương m để bất phương trình f ( x )  mx ( x − ) + 2m có nghiệm thuộc đoạn  0;3 Số phần tử tập S A B 10 C Vô số Lời giải D Chọn A Từ bảng biến thiên suy f ( x )  5;9 , x   0;3 max f ( x ) = x = 0;3 f ( x )  mx ( x − ) + 2m f ( x )  m ( x − x + ) Xét hàm số g ( x ) = x − x + đoạn  0;3 x =  y = Ta có g  ( x ) = x3 − x =    x = 1  y = Bảng biến thiên g ( x ) Từ bảng biến thiên suy g ( x )  1;65 , x   0;3 g ( x ) = x = 0;3 13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số f ( x) f ( x) Do  9, x   0;3 max = x = 0;3 g ( x ) g ( x) f ( x )  mx ( x − ) + 2m  m  f ( x) g ( x) Khi có nghiệm thuộc đoạn  0;3  m  max 0;3 f ( x) g ( x)  m  Vì m nguyên dương nên m  1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 Câu 14: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm thỏa mãn f ( x )  f  ( x ) + với số thực x Bất phương trình f ( x )  me x + nghiệm với x  ( 0; + ) A m  f ( e ) − B m  f ( e ) − C m  f ( ) − D m  f ( ) − Lời giải Chọn C x x Ta có f ( x )  me +  f ( x ) −  me  Xét hàm g ( x ) = Có g  ( x ) = f ( x) −1 ( 0;+ ) ex f  ( x ) −  f ( x ) − 1 ex f ( x) −1 m ex  0, x  ( 0; + ) Bảng biến thiên Vậy bất phương trình f ( x )  me x + nghiệm với x  ( 0; + ) m  f ( 0) − Câu 15: Tổng nghiệm thực phương trình x + 2020 x = ( x − ) − 2020 ( − x ) là: A 2021 B −6 C 2020 Lời giải D Chọn D Xét hàm số f ( t ) = t + 2020t  f ' ( t ) = 3t + 2020  0, t  R nên hàm số y = f ( t ) đồng biến khoảng R Phương trình x + 2020 x = ( x − ) + 2020 ( x − ) có dạng: x = f ( x2 ) = f ( 5x − 6)  x = 5x −   x = Vậy tổng nghiệm Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 14 Phan Nhật Linh Câu 16: Cho hàm số f ( x ) , hàm số f  ( x ) liên tục Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f ( x )  x + m ( m số thực) nghiệm với x  ( −1;0 ) khi: A m  f ( ) B m  f ( −1) + C m  f ( −1) + D m  f ( ) Lời giải Chọn B Ta có: f ( x )  x + m  f ( x ) − x  m Xét g ( x ) = f ( x ) − x , ta có: g  ( x ) = f  ( x ) − Với x  ( −1;0 ) −1  f  ( x )  Từ g  ( x ) = f  ( x ) −  nên hàm số nghịch biến ( −1;0 ) Suy g ( x ) = f ( x ) − x  f ( −1) + Yêu cầu toán tương đương với m  f ( −1) + Câu 17: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị   tham số m để phương trình f (cos x) = −2m + có nghiệm thuộc khoảng  0;   2 A ( 0;1) B ( −1;1) C ( 0;1 D ( −1;1 Lời giải Chọn A Đặt cos x = t , t  ( 0;1)   Phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng  0;   phương trình f (t ) = −2m + có nghiệm  2 thuộc khoảng (0;1) Dựa vào đồ thị suy −1  −2m +    m  15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số Câu 18: Cho phương trình sin x − cos x + sin x + cos x − cos x + m − m = Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm thực? A B C Lời giải Chọn C Điều kiện: cos x + m  D Ta có: sin x − cos x + sin x + cos x − cos x + m − m =  2sin x.cos x − cos x + + sin x + cos x − cos x + m − m =  ( sin x + cos x ) + sin x + cos x = cos x + m + cos x + m (1) Xét hàm số f ( u ) = u + u với u  có f  ( u ) = 2u +  0, u  Nên phương trình (1)  sin x + cos x = cos x + m  + sin x = cos x + m  sin x − cos x = m Điều kiện để phương trình có nghiệm  12 + 12  m  −  m  nên m  −1;0;1 Do m  Câu 19: Xét số thực x, y thỏa mãn: x + y +1 ( )  x + y − x + x Giá trị nhỏ biểu thức 4y gần với số đây? 2x + y +1 A −2 B −3 C −5 Lời giải P= D −4 Chọn B Ta có:  2x x + y +1 + y − x +1 ( )  x + y − x +  ( 2 x 2x + y +1 x  x2 + y − 2x + ) − x + y − x + −  ( *) Đặt t = x + y − x +  t = ( x − 1) + y  Khi (*) trở thành 2t − t −  Xét hàm số: f ( t ) = 2t − t −  0; + )   f  ( t ) = 2t ln −  f  ( t ) =  t = log    ln  Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có f ( t )    t   ( x − 1) + y  Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 16 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 4y  Px + ( P − ) y + P = 2x + y +1 Khi x + y +  P = Các cặp ( x; y ) thỏa mãn: ( x − 1) + y  tọa độ điểm ( x; y ) thuộc hình trịn ( C ) Tâm I (1;0 ) , bán kính R = Các cặp ( x; y ) thỏa mãn: Px + ( P − ) y + P = tọa độ điểm ( x; y ) thuộc đường thẳng ( d ) : Px + ( P − ) y + P = Do tồn giá trị nhỏ P đường thẳng ( d ) phải có điểm chung với hình trịn ( C ) 3P  d ( I ;d )  R  4P2 + ( P − 4)   P + P −   −1 −  P  − + Vậy P = −1 −  −3, 24 Dấu xảy ( x; y ) tọa độ tiếp điểm đường thẳng ( d ) với hình trịn ( C ) Câu 20: Có cặp số nguyên dương ( m, n ) cho m + n  14 ứng với cặp ( m, n ) tồn ) ( ba số thực a  ( −1;1) thỏa mãn 2a m = n ln a + a + ? A 14 B 12 C 11 Lời giải D 13 Chọn C ( Xét phương trình: 2a m = n ln a + a + ) (1) Nhận xét: a = nghiệm phương trình (1) ( 2 ln a + a + Với a  , phương trình (1)  = n am Xét hàm số: f ( a ) = a +1 Xét hàm số g ( a ) = 1− m a2 + − am a Xét phương trình g ( a ) = ( ln a + a + ( − m ln a + a + = a a +1 a2 a +1 ) ( ( *) ) ( −1;1) ; f  ( a ) = ) ( ) a a +1 ( 2) ) − m ln a + a + ( −1;1)  g  ( a )  0, a  ( −1;1) ; m  * Suy hàm số g ( a ) nghịch biến khoảng ( −1;1) Do đó, phương trình ( ) có nghiệm a = Trường hợp 1: m chẵn 17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh ( − m ln a + a + a m+1 ) Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số Phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( −1;1) phương trình ( *) có nghiệm phân biệt khác thuộc khoảng ( −1;1) Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy với n nguyên dương phương trình f ( a ) = khơng có hai n nghiệm phân biệt Suy loại trường hợp m chẵn Trường hợp 2: m lẻ m  Phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( −1;1) phương trình ( *)  có hai nghiệm phân biệt khác thuộc khoảng ( −1;1) n = 2  ln +  n   n ln + n = ( ) ( ) Với n = , m lẻ m  , m +  14 suy m  3;5;7;9;11;13 Với n = , m lẻ m  , m +  14 suy m  3;5;7;9;11  Trường hợp 3: m = Phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( −1;1) phương trình ( *) có ( hai )  ln +  nghiệm phân biệt khác thuộc khoảng ( −1;1) 2 1  n  suy không tồn số tự nhiên n thỏa mãn n ln + ( ) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 18 Phan Nhật Linh Vậy có 11 cặp ( m ; n ) thỏa mãn yêu cầu toán Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ Bất phương trình x f ( x )  mx + nghiệm với x  1; 2020 ) A m  f ( 2020 ) − C m  f (1) − 2020 D m  f (1) − B m  f ( 2020 ) − 2020 Lời giải Chọn D Ta có: x f ( x )  mx + nghiệm với x  1; 2020 ) 1  m  f ( x ) − nghiệm với x  1; 2020 ) x x 1 Xét hàm số: g ( x ) = f ( x ) − với x  1; 2020 ) Ta có: g  ( x ) = f  ( x ) + x x  f ( x)  m +  f ( x)   Do  với x  1; 2020 ) nên g  ( x ) = f  ( x ) +  với x  1; 2020 ) x  0 x Suy hàm số g ( x ) đồng biến nửa khoảng 1; 2020 ) Vậy yêu cầu toán tương đương m  g ( x ) = g (1) = f (1) − 1;2020) Câu 22: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình    cos3 x − cos x + ( m − 3) cos x − = có bốn nghiệm khác thuộc khoảng  − ;  ?  2 A B C D Lời giải Chọn B ( ) Ta có: 4cos3 x − cos x + ( m − 3) cos x − =  4cos3 x − 2cos x − + ( m − ) cos x − =  cos3 x − cos x + ( m − ) cos x =  cos x ( cos x − cos x + ( m − ) ) =   cos x =  x = + k     cos x − cos x + ( m − 3) = 19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh (1) (2) Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số    Ta thấy nghiệm không thuộc khoảng  − ;  nên phương trình cho có bốn nghiệm  2    thuộc khoảng  − ;  phương trình có bốn nghiệm thuộc khoảng  2    − ;   2 Xét: cos x − cos x + ( m − 3) = (2)    Đặt cos x = t , dễ thấy với t ,  t  có giá trị x thuộc khoảng  − ;   2    Do phương trình có nghiệm thuộc khoảng  − ;  phương trình  2 4t − 2t + ( m − 3) = có nghiệm t ,  t  Ta tìm m để phương trình: −4t + 2t + = m có nghiệm t ,  t  Xét f ( t ) = −4t + 2t + có f ' ( t ) = −8t + Từ bảng biến thiên suy  m  13 Do m nguyên nên m = 2; m = Câu 23: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f  ( x ) cho hình vẽ bên Có giá trị nguyên tham số m khoảng (1;2021) để bất phương trình f (1 − m2 ) − f ( − x + 2mx + − 3m2 )  x − 2mx + 2m2 có nghiệm? A B C 2019 Lời giải D 2020 Chọn C f (1 − m2 ) − f ( − x + 2mx + − 3m2 )  x − 2mx + 2m2  − x + 2mx + − 3m − f ( − x + 2mx + − 3m )  − m − f (1 − m ) ( *) Ta có: − m  0, m  (1; 2021) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 20 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 − x + 2mx + − 3m = − ( x − m ) − 2m +  0, m  (1; 2021) , x  2 2 Xét hàm số g ( t ) = t − f ( t ) , t  Có g  ( t ) = − f  ( t )  0, t  Vậy g ( t ) hàm số đồng biến ( −;0 ) (*) có dạng g ( − x + 2mx + − 3m2 )  g (1 − m2 )  − x + 2mx + − 3m  − m  − x + 2mx − m2  m2  − ( x − m )  m2 Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức bậc thỏa mãn f ( −2 ) + f (1) = f ( ) Đồ thị hàm số y = f  ( x ) hình vẽ sau: Tìm m để bất phương trình f ( x − 1) − x3 + x − x − − m  có nghiệm thuộc ( −1; ) 1 8 A m  f ( −1) − B m  f ( −1) − C m  f ( −2 ) + D m  f ( −2 ) + 6 3 Lời giải Chọn C 1 Ta có f ( x − 1) − x3 + x − x − − m   m  f ( x − 1) − x3 + x − x − (*) 6 Gọi g ( x ) = f ( x − 1) − x3 + x − x − Đặt t = x − x  ( −1; )  t  ( −2;1) 3 (*)  m  f ( t ) − ( t + 1) + ( t + 1) − ( t + 1) − Xét hàm số g ( t ) = f ( t ) − 3 ( t + 1) + ( t + 1) − ( t + 1) − g  ( t ) = f  ( t ) − ( t + 1) + ( t + 1) − g (t ) = f  (t ) − t + t + g (t ) =  f  (t ) = t − t −1 21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số t = −1  x =  Dựa vào đồ thị ta thấy f  ( t ) = t − t −  t =  x = t = ( l )  Ta có bảng biến thiên g ( −1) = f ( −2 ) + ; g (1) = f ( ) Lại có f ( −2 ) + f (1) = f ( )  f ( −2 ) − f ( ) = f ( ) − f (1) 8 Xét g ( −1) − g (1) = f ( −2 ) − f ( ) + = f ( ) − f (1) +  Do g ( −1)  g (1) 3 Vậy m  f ( x − 1) − x3 + x − x −  m  g ( −1) = f ( −2 ) + Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) = + x + x Gọi S tập tất giá trị tham số m để bất phương trình ( x − m) f ( x − m) + + − x2 ( f + − x2 ) ) 0 nghiệm S =  a + b ; + Khi khẳng định sau đúng? A a + 2b  10 B a + 2b = C ab = Lời giải Chọn B với x   −1;1 Biết D a + b = Ta có: f ( − x ) = + x − x ; 1 + x2 − x = = = + x2 − x = f ( − x ) 2 f ( x) 1+ x + x 1+ x − x BPT: ( x − m ) f ( x − m ) + ( + − x2 ( f + − x2 ) ( ) 0 )  ( x − m ) f ( x − m ) + + − x f −1 − − x  Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 22 Phan Nhật Linh (  ( x − m ) f ( x − m )  ( −1 − ) ( − x ) f ( −1 − Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 ) − x ) ( *)  ( x − m ) f ( x − m ) − −1 − − x f −1 − − x  Xét hàm g ' (t ) = + t + t g ( t ) = t f ( t ) = t + t + t số 1+ t2 + 2t = + t + 2t + t + t 2 1+ t2 suy hàm số g ( t ) đồng biến = ( 1+ t2 + t ) ; 1+ t2  với t  ) ( Do BPT (*) : g ( x − m )  g −1 − − x  x − m  −1 − − x  x + + − x  m (**) với x   −1;1 Xét hàm số: h ( x ) = x + + − x ( −1  x  1) h '( x) = 1− x − x2 − x2 − x = − x2 ; h '( x) =  x =   −1;1   h ( x) = 1+ Nhận xét: h ( −1) = 0, h   = + 2, h (1) = nên max  −1;1  2 Vậy BPT (**) với x   −1;1 max h ( x )  m hay m  +  −1;1 nên ( a, b ) = (1, ) Ta có: a + b = + a, b  Câu 26: Cho f x x2 2x x f x2 Tổng bình phương giá trị tham số m để phươngtrình x2 2x 2x f x m 2mx m có nghiệm phân biệt là: A 13 B C D Lời giải Chọn B Ta có: x − 2mx + m2 = x − m ; f '( x) = + x x2 + + x 0 x2 + 1 f (− x) = − x + x +  f ( x) f (− x) =  f ( x) =  f (− x + x − 2) = f (− x) f ( x − x + 2) Phương trình tương đương x2 + x − m +1 f (2 x − m + 1) = = x2 − x + f ( x − x + 2) Xét hàm số: g (t ) = t f (t ) − t f '(t ) (t  0)  g '(t ) = = f (t ) f (t ) 23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh t + t2 +1 − t − f (t ) t2 t2 +1 = t + f (t ) 0 Chủ đề 01: Cơ tính đơn điệu hàm số Vậy hàm số g (t ) đồng biến, phương trình tương đương với pt x2 − x + = x − m +   x − x + = 2( x − m)   x − x + = −2( x − m) x2 − 2x + = x − m  2m = − x + x −   2m = x + Ta thấy hai parabol y = − x + x − 1, y = x + tiếp xúc với điểm có tọa độ (1; ) nên đồ thị chúng hệ tọa độ Oxy sau y x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -4 -6 -8 Khi để phương trình có nghiệm đường thẳng y = 2m cắt hai parabol điểm phân  m=   2m =   biệt, từ đồ thị suy 2m =   m =    2m = 1 m =  Vậy tổng bình phương giá trị m Câu 27: Cho hàm số f ( x ) = (1 − m3 ) x3 + 3mx + ( 3m − 2m + ) x + m3 + 2m với m tham số Có số nguyên m   −2020; 2021 cho f ( x )  với x   2020; 2021 ? A 2023 B 2022 C 2021 Lời giải D 2020 Chọn B f ( x ) = (1 − m3 ) x + 3mx + ( 3m − 2m + ) x + m3 + 2m  x   2020;2021  ( x + m ) + ( x + m )  ( mx ) + 2mx x   2020;2021 (1) 3 Xét hàm số f (t ) = t + 2t , f '(t ) = 3t +  0t Vậy hàm số f (t ) đồng biến R nên (1) suy x 2021 x   2020;2021  m  x −1 2020 Vậy đoạn  −2020;2021 có 2022 giá trị nguyên m thỏa mãn x + m  mx x   2020;2021  m  Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 24