XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

H O À N G GIÁO TRÌNH É N G Ọ C N H Ậ M Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn H O À N < £ N j G Ọ C N H À X U Ấ T BẦN< T H Ố N Q Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN N H Ậ M K Ế ^ a < m http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn L i n ó i đ ầ u Lý thuyết xác suất n g h i ê n cứu quy luật h i ệ n tượng ngẫu nhiên Dựa t h n h tựu lý thuyết xác suất, thống k ê loàn khoa học định sở thông tin thu thập từ thực t ế Hơn 300 n ă m phát t r i ể n , đ ế n nội dung phương p h p xác suất t h ố n " kê phong phủ p dụng rộng rãi rãi nhiều lĩnh vực Vì việc học tập, n g h i ê n cứu m ô n x c suất ihống kê hở thành nhu c ầ u khôn!* t h ể thiếu đ ố i với sinh viên nhiều trường đ i học Đe đáp ứng yêu cầu nân" cao chát lượn" đào lạo, đáp ứng đòi h ỏ i kinh l ố thị trương tạo đ i ề u k i ệ n thuận l ợ i đ ể sinh viên trường học m ô n x c suất thống k ê C h ú n g b i ê n soạn "Lý thuyết xác suất thống kê toán" Qua s c h nhỏ n y c h ú n g hy vạn? g i ú p c c bạn -sinh viên đ t k ế t cao học tập, n g h i ê n cứu m ô n học ứng dụng c c phương p h p x c suất thống k ê c n g v i ệ c sau n y Cuốn sách gồm phần chia làm chương xếp theo thứ l ự chặt chẽ n h ằ m ° i ú p cho sinh v i ê n h i ể u rõ c c k h i n i ệ m , c c c ô n s thức c c phướng p h p x c suất đ ể n g h i ê n cứu h i ệ n tượng ngẫu nhiên Những h i ệ n tượng n h r ấ t thường gặp kinh t ế , đặc b i ệ t kinh t ế thị trường Trang bị phương p h p thống k ê toán như: Phương p h p mẫu đ ổ thu thập xử lý thông tin, phương p h p ước lượng, p h n g p h p k i ể m định giả thiết thống kê C c phương p h p n y n g y coi công cụ k h ô n g t h ể thiếu n g "hộp đồ n g h ề " c c nhà kinh tế Niĩoài sách n y g i ú p n â n g cao n ă n g lực tư duy, khả n ă n g độc l ậ p n g h i ê n cứu sinh v i ê n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Đ ố i v i c c nhà kinh t ế c c nhà quản trị doanh nghiệp, biết thu thập n ắ m vững c c phương p h p x lý thông tin kinh t ế xã h ộ i y ê u cầu k h ô n g t h ể thiếu T o n học n ó i chung, x c suất thống k ê nói riêng c n g cụ n g h i ê n cứu kinh t ế r ấ t hữu h i ệ u Đ ố i v i sinh v i ê n , mục tiêu cuối c ù n g v i ệ c học toán sử dụng c ô n g cụ n y v o o n g c ô n g v i ệ c tương lai Do sách v i ế t theo quan đ i ể m thực h n h , trọng v i ệ c p dụng x c suất thống k ê toán v o thực t ế v i ệ c trình b y c c vấn đ ề có tính chất túy lý thuyết Ngoài đối tượng bạn đọc sinh viên trường Đại học Kinh tế sách g i ú p ích cho tất c ô n s v i ệ c , tron" n g h i ê n cứu phải xử lý m ộ t số lượng lớn thông ùn, số l i ệ u Cuốn sách chỉnh lý, sửa đổi số phần cho phù hợp với y ê u cầu trình độ t i ế p thu sinh v i ê n Đ n g thời s c h c c c n giảng dạy m ô n T o n Kinh t ế Khoa T o n Thống k ê trường đ i học kinh t ế thành p h ố H Chí M i n h g ó p ý song k h n g t h ể tránh k h ỏ i sai sót C h ú n g tơi mong bạn đọc vần xa g ó p ý, b ổ sung đ ể sách ngày c n g có chất lượng cao đ p ứng n g y c n g tốt nhu cầu n g h i ê n cứu, học tập sinh v i ê n Nhân dịp xin chân thành cảm ơn tất đ ó n g g ó p v o nôi dung tổ chức cho sách mắt ban đọc Thành phố Hồ Chí Minh T* 'É • ì ác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ỉ/2003 http://www.lrc-tnu.edu.vn Ọliươtiti 1: c&tír i Ị ít cùa biến eổ cúc cơ/lự thức tinh xáe PHẦN ỊUất I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Chương XÁC SUẤT CỦA BIẾN cố VÀ CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT ì- Phép thử loại biến cố Tron? tốn học có khái n i ệ m khơng có định nghĩa mà có t h ể mơ tả chúng hình ảnh tư trực giác Chẳng hạn tron? hình học, c c khái n i ệ m đ i ể m , đường thẳng, mặt phang khái n i ệ m khơng có định nghĩa Trong xác suất, khái n i ệ m p h é p thử khái n i ệ m khơng có định nghĩa, ta h i ể u p h é p thử m ộ i thí nghiệm hay quan sát n o đ ó P h é p thử g ọ i ngẫu nhiên la không t h ể biết trước k ế t n o xảy Thường phép thử (thí nghiệm) có nhiều kết xảy C ó kết đơn g i ả n , có k ế t phức hợp Chẳng hạn, quay xổ số, ta chí quan lâm tới hai số c u ố i m ỗ i x u ấ i c c số l 00 OI 98, 99 k ế t đơn giản nhất; n g đ ó xuất hiên c c số chẵn l ẻ đ ầ u 5, đuôi k ế t phức hợp (gồm nhiều k ế t đơn giản nhai hợp thành) Kết đơn giản gọi biến cố sơ cấp (nó giống khái n i ệ m đ i ể m hình học, khơng có định nghĩa x c ) T ậ p hợp tai cá b i ế n c ố sơ cấp g ọ i không gian b i ế n c ố ĩ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn íỊiáo trình li) tlim/ết nít' DÙ Hiốnq tốn sơ cấp M ỗ i tập không gian c c h i ế n c ố sư cấp g ọ i b i ế n cố Ta Ihườnsĩ dùng: (0 đổ ký hiệu b i ế n cô sơ c p ; íì đ ể ký hiệu k h ô n " gian b i ế n c ố sơ c p ; A B c, A | A A„ đ ể ký h i ệ u h i ế n cố Để minh họa, la XÓI phép thử có số kết đơn giản hữu hạn vô hạn đ ế m được: (Oi, 0) Theo trên, m ỗ i co g ọ i u hiên cô sơ cấp, lập hợp Q = leo, CO:, } không dan Hiôli cô sơ cáp Thí dụ: Ì- Gieo m ộ i xúc xắc thực p h é p l l i K h ô n g aian c c biên cô sơ c p đôi với p h é p thử là: Q = í (Oi (Õ2 OÌỊ, 0)4, (0ỹ, 0) j (l tron" đó: Củi (i = ì, , 6) chí kết xúc xắc xuất mại i chấm Gieo hai xúc xắc Khôns eian biên cố sơ cấp p h é p thử là: Q = {con, to,: ,,0)fõ, Oif.fi} đó: 0)jj (i j = 1,2 6) kết xúc xắc thứ xuất mặt i chấm xúc xắc thứ hai xuất h i ệ n mặt j chấm ( p h é p thử có 36 b i ế n c ố SƯ cấp) Trong không gian biến cố sơ cấp, ta iĩọi lập A c Í2 m ộ i biên Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn VhttơntỊ 1: (ÀMÍC iittĩt tim biến cố va etíe inỊ thứ* titth ,rtíe suất Như vậy, mội biến cố du LO Me xay mội phép thử gắn liền với thực h i ệ n TroiiiỊ thực t ế có thơ x ả y c c loai b i ế n c ố sau đ â y : + Hiến cố chắn: lù biến c ố đinh xảy thực h i ệ n p h é p thử B i ế n c ố chán ký hiệu Q Thi dụ: Tung xức xấc biến c ố " xuất h i ệ n m ã i cớ số chấm nhỏ 7" b i ế n c ố chắn + Biếu cố khơng thể có: b i ế n c ố định k h ô n g x ả y thực h i ệ n p h é p thử B i ế n c ố không thê dược ký h i ệ u Thi dụ: M Ộ I k i ệ n hùng có l o sản phẩm (trong có sản phẩm l o i í sản phẩm l o i l i ) Chọn ngẫu nhiên k h ô n g h o n l i l k i ệ n sản phẩm B i ế n cố: " có sản phẩm loại ì sản p h ẩ m l ấ y từ k i ệ n " b i ế n c ố khơng i h ể có + Biến cố ngẫu nhiên: b i ế n c ố có t h ể xảy k h ô n g x ả y thực h i ệ n p h é p thử người ta thường d ù n g chữ in hoa đ ể ký h i ệ u c c b i ế n c ố nsẫu n h i ê n , chẳng hạn: A , B, c, ; A i , À , , A n : B i , B i , , B,J, Thí dụ: Tung x ú c xắc, g ọ i A2 b i ế n cố: "xuất h i ệ n mặt c h ấ m " A2 b i ế n c ố ngẫu nhiên li- Mối quan hệ biến cố K h i g i ả i c c toán lý thuyết x c suất ta thường phải d i ễ n tả b i ế n c ố phức hợp theo c c h i ế n c ố đơn gián Đ e l m đ i ề u đ ó ta cần n g h i ê n cứu m ố i quan hộ c c biến c ố t h ể h i ệ n qua c c định n s h í a đ â y : Định nghĩa ì: B i ế n c ố A B g ọ i hai biển cố tương đương (ký h i ệ u A = B ) n ế u A xảy B xay ngược l i Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Qiủa trình / ý thuyết xức DÙ t/tơnạ kè tốn Thí dụ Tung xúc xắc, h i ế n cố " x ú c xắc m ặ t chẩn** b i ế n cố "xúc XÍU r;i mặt: 2, 4, 6" hai b i ế n c ố tương đương Định nghĩa 2: B i ế n c ố c g ọ i tổng b i ế n c ố A B (ký h i ệ u c = A ù B c = A + B) N ế u c x ả y có mơi hai biến c ố A B x ả y Thí dụ: Xét phép thử quan sát hai xạ thủ bắn vào bia Gọi A b i ế n c ố "xạ thủ thứ bắn trúng bia", B b i ế n c ố "xạ thủ thứ hai bắn trúng bia", c b i ế n c ố "bia trúng đ n " R õ r n g c xả> chi có m ộ i hai b i ế n c ố A , B xảy Vậy: c = AuB I Định nghĩa 3: B i ế n cố A g ọ i lổng n b i ế n cố: A j , A , A n A xảy chí có n b i ế n c ố x ả ) Ký h i ệ u là: li A = A i u A i ụ u An h o ặ c A = M A j h o ặ c i=i • A = 2^ i A i=i Định nghĩa 4: Biến cố c gọi hiệu biến cố A B (ký h i ệ u c = A - B) N ế u c x ả y A xảy B k h ô n g x ả y Thí dụ: Một lớp có 50 học sinh, có 15 người giỏi tốn, 10 g i ỏ i văn người g i ỏ i hai m ô n Gặp ngẫu nhiên học sinh lớp G ọ i A b i ế n cố gặp người g i ỏ i loàn; B b i ế n c ố gặp người g i ỏ i văn; c b i ế n c ố gặp người chi g i ỏ i tốn, c = A - B Định nghĩa 5: Hai biến cố A B gọi xung khắc c h ú n g k h ô n g thể đồng thời xảy trons p h é p thử Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn VttiMiHỊ Ị: X)ùi' suất cún biếu ỉ vù cị lít/ thửe tính je suất f Trong thực l í với sơ p h é p thử đủ lớn ta có thổ lấy lần suất làm giá trị iiân li ú liỈ: xác suấL Tức la có PíA) * RA) n lớn * Chủ ý: Khái niệm hội lạ theo xác suấi lần suất cú iBrhĩa với m ọ i Í: ihíóiiu bé tùy ý ta ln có: Lim vịt' - pị < e) = Ì n—>oc Đốn chưtiiii! la chứng minh S("í lý thuyết hội lu Nhờ thành lồn học kỹ ihuậl lính tốn đại, định nghĩa t h ố n " k ê x c suất có l ầ m quan trọng đặc b i ệ t ứng dụng 4- Nguyên lý xác suất nhỏ xác suất lổn Trong nhiều toán thực l ố , ta thườn" irặp c c biến c ố c ó x c suất r i n h ò , tức gần b n g Qua nhiều lần quan sái, người ta thấy rà n : c c h i ế n c ố có x c suất nhỏ gần khôiiỉĩ x ả y ihực h i ệ n p h é p thử T r ê n d í sở đ ó có t h ể đưa " N g u y ê n lý ihực l ố k h ô n g t h ể c ó c c b i ế n c ố LÓ x c suất nhỏ" sau đ â y : Nếu mội biến cố có xác suất nhỏ thực lố cho m ộ i p h é p ihử, biến khịm: xảy Việc qui định mức xác suất coi "rất nhỏ" tùy thuộc v o loàn cụ t h ể C h ẩ n " hạn: N ế u x c suối đ ể loại dù k h ô n g mà nhảy dù 0,0ỉ xác suất chưa thổ coi nhỏ la khôns: n ê n sử đ ụ n " l o i dù đ ó Soím x c suất đ ổ m ộ i chuyến xe lửa đốn ỈM chậm l o phin 0.01 ta có t h ể coi mức x c suất đ ó nhỏ lức có thổ cho rằm? xe lửa đốn ga đúnsi iiiìí MỘI mức xác suất nhỏ mà với ta có lliể chi) rằn ÍT: biên cố XĨI k h ô n g xay trung m ộ i p h é p thử Sĩọi mức ý nsrhĩa T ù y 23 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Lịìáo trình Ịlị thuyết xát Mất oà thống kẻ toài* theo toán cụ thể, mức ý nghĩa thường lấy ưong khoảng từ 0,01 đ ế n 0,05 Tương tự ta nêu ra" nguyên lý thực tế chắt chắn xảy b i ế n c ố có x c suất l n " n h sau: , N ê u biến c ố có x c suất gần Ì thực te V > 'hổ cho b i ế n c ố xảy m ộ i p h é p thử Cũng ưên, việc qui định mức xác suất dượt L»»I "lớn" tùy thuộc v o toán cụ t h ể T h ô n g thường n g i la l ấ y khoảng từ 0,95 đ ế n 0,99 IV- Công thức cộng xác suất a- NếuẢ B hai biến cố xung khắc thì: P ( A u B ) = P(A) + P(B) Chứng minh: Ta chứng minh cho trường hợp p h é p t h có t h ể phân tích thành n trường hợp đ ố i xứng, đ ó c ó m i trường hợp thuận lợi cho A m trường hợp thuận l ợ i cho B K h i đ ó s ố trường hợp thuận l ợ i cho b i ế n c ố ( A u B) là: mi+nv> (vì A , B hai b i ế n c ố xung khắc) Ta minh họa số trường hợp thuận lợi sau: Theo định nghĩa cổ điển ta có: 24 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn QtuMng ì: Ợũảê en biết! tế vù tám tồng, títứe tinh xáe tuất Trường hợp tổng quát, công Ihức phát biểu sau: Nếu Aj, A , , A n biến cố xung khắc đơi, thì: n P(Aj u A u u A ) = P(A,) + P(A ) + + P(A ) n n Bạn đọc chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp Thí dụ 1: Một hộp có 10 sản phẩm (trong có phế phẩm) Lấy ngẫu n h i ê n ( k h ô n g h o n l i ) từ hộp sản phẩm T i m x c suất đ ể có k h n g q u Ì p h ế p h ẩ m sản phẩm l ấ y Giải: Gọi A biến cố "khơng có phế phẩm sản phẩm l ấ y ra"; B b i ế n c ố " c ó Ì p h ế phẩm sản phẩm l ấ y r a " c b i ế n c ố " c ó k h ô n g q u Ì p h ế p h ẩ m sản phẩm l ấ y ra" Ta thấy: c =A u B • M A , B hai b i ế n c ố xung khắc (vì k h n g t h ể đồng thời xảy p h é p thử l â y ngẫu n h i ê n sản phẩm từ hộp) V ỉ P(C) = P(A u B ) = P(A) + P(BÌ - ± L c 'lo i 105 = p ( B ) £ i £ i ^ c^10 „ 105 = = Vậy: P C) = i i 105 ( + ^ = i 105 105 = ỉ Từ cơng thức ta suy số hệ sau: Hệ 1: Nếu Ai, A An hệ biến cố đầy đủ xung khắc đ i thì: li £P(Ai) = l 1=1 25 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn íịiúo Ị'tìnít ílị thuyết -rác suất vù iltổiiq kè toán Hệ 2: N ế u A A hai b i ế n c ố đ ố i l ậ p với thì: P ( A ) = Ì - P( A ) Bạn đọc dễ d ì m " chứng minh c c hệ b- N ế u A B hai b i ế n c ố k h ô n g xung k h ắ c t h ì : P(A u l i ) = P(A) + PHỈ) - P(A.B) Chứng minh: Giả sử p h é p thử có n trường hợp đ ố i xứnc tron" có mi trường hợp thuận lợi cho A, 1112 inrìíriỉĩ hợp thuận l ợ i cho B Vì A B khơng xung khắc nên nói chung cớ k irườnu hợp thuận l ợ i cho A B Khi số trường hợp thuận l ợ i cho b i ế n c ố ( A u B) Ì mi + m-> - k Ta có t h ể minh họa trường hợp sau: Theo mô l ả hình m ỗ i nốt chấm đ e n trường hợp ihuận lợi thì: rai = 12; m = 15; k= Theo định nghĩa cổ đ i ể n xác suất, ta có: n,A D> m,+m,-k m, P(AuB) = - i — ^ = :^i n n B n = P ( A ) ; + m, k líỉ2 ± =P(A) + P(B)-P(AB) n ũ ^ L = P(B); n ằ = P(AB) n Thí dụ: M ộ t lớp có 50 sinh viên.trong có 20 sinh viên học giỏi T o n ; 30 sinh viên học giỏi Anh v ă n ; l o sinh viên học eiịi cà hai 26 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương í: (Xiáe li lất cùa biến cố vù cịng tinh' tính xác m ô n T o n A n h văn Chọn ntrẫu n h i ê n sinh viên lớp T i m x c suất đ ể chọn sinh v i ê n học giỏi m ộ t m n hai m ô n T o n Anh văn Giai: Gọi A biến cố chọn sinh viên học giỏi mơn Tốn; B b i ế n c ố chọn sinh viên học giỏi m ô n Anh văn; c b i ế n c ố chọn sinh viên học giỏi hai môn T o n A n h văn Ta thấy c = A w B mà hai b i ế n c ố A B hai b i ế n c ố k h n g xung khắc (vì A B có t h ể x ả y đồntĩ Ihời p h é p thử Đ ó trường hợp chọn sinh viên học giỏi hai m ô n T o n Anh văn) Do đ ó : P(C) = P(A) + P(B) - P(AB) = — + — - — = — =0,8 50 50 50 50 Trường hợp tổng quát công thức phát biểu sau: Nếu Ai, A2, An n biến cố khôn" xun*: khắc thì: li P(AjU A U u A ) = ỊTP(Ai) - X P ( A i=l " Ki n i A ) ) £p i