Xác suất cơ sở qua các ví dụ.TT LUẬN VĂN THẠC SỸ

1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khoa học nghiên cứu xác suất phát triển thời kỳ cận đại Việc chơi cờ bạc (gambling) cho thấy ý niệm xác suất có từ trước hàng nghìn năm, nhiên ý niệm mơ tả tốn học sử dụng thực tế có muộn nhiều Ảnh hưởng lý thuyết xác suất sống ngày việc xác định rủi ro bn bán hàng hóa Hai nhà toán học Pierre de Fermat Blaise Pascal người đặt móng cho học thuyết xác suất vào năm (1654) Christiaan Huygens (1657) biết đến người có cơng việc đưa xác suất thành vấn đề nghiên cứu khoa học Ngày lý thuyết xác suất trở thành ngành vơ quan trọng tốn học ngành khoa học khác Với phát triển khoa học cơng nghệ, ngày máy tính giúp cho việc tính tốn vấn đề xác suất thống kê ngày trở nên dễ dàng, có số liệu đắn mơ hình hợp lý Thế nhưng, thân máy tính khơng biết mơ hình hợp lý Đấy vấn đề người sử dụng: cần phải hiểu chất khái niệm mơ hình xác suất thống kê, dùng chúng Xuất phát từ nhu cầu phát triển tính thời việc nghiên cứu xác suất sở, định chọn đề tài với tên gọi: Xác suất sở qua ví dụ để tiến hành nghiên cứu Chúng tơi hy vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người muốn tìm hiểu kết rời rạc liên tục lý thuyết xác suất với ứng dụng chúng nhiều lĩnh vực khác Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm giúp người đọc hiểu chất khái niệm phương pháp xác suất sở Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài lý thuyết xác suất thống kê Phạm vi nghiên cứu đề tài xác suất sở ứng dụng Phương pháp nghiên cứu: Thu thập tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến Xác suất sở Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến xác suất sở ứng dụng thực tế qua ví dụ minh họa, nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu Lý thuyết xác suất ứng dụng Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chia thành chương Chương giới thiệu khái niệm kết xác suất sở liên quan đến phần rời rạc Chương trình bày khái niệm kết xác suất sở liên quan đến phần liên tục Trong phần đưa vào ví dụ minh họa với mức độ khác 3 CHƯƠNG CÁC KẾT QUẢ RỜI RẠC 1.1 PHÂN PHỐI ĐỀU Định nghĩa 1.1.1 Phân phối (Uniform distribution) Có m kết đồng khả xảy (thường gọi kết quả) kết có xác suất 1/m Mỗi kết gọi biến cố sơ cấp (hay kiện sơ cấp) Một tập hợp A gồm k kết xảy ra, với k ≤ m gọi biến cố (hay kiện) xác suất ℙ(A) tính k/m: Số kết quả xảy ra của sự kiện A ℙ(A) = (1.1) Tổng số kết quả xảy ra Ví dụ 1.1.1 Ví dụ 1.1.2 1.2 XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN ĐỊNH LÝ BAYES PHÉP THỬ ĐỘC LẬP Định nghĩa 1.2.1 Xác suất điều kiện Với hai kiện A B với ℙ( ) > 0, xác suất điều kiện ℙ( | ) A B xảy định nghĩa : ℙ( ∩ ) ℙ( | ) = (1.2) ℙ( ) Mệnh đề 1.2.1 Công thức xác suất đầy đủ Nếu B1, …, Bn kiện xung khắc đôi một, phân hoạch , tức có Bi ∩ Bj = ∅ với ≤ i < j ≤ n B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = , ℙ(Bi) > cho ≤ i ≤ n, với kiện A, ta có : ℙ( ) = ℙ( | )ℙ( ) + ℙ( | )ℙ( ) + ⋯ + ℙ( | )ℙ( ) (1.4) Chú ý 1.2.1 Mệnh đề 1.2.2 Định lý Bayes Nếu B1, …, Bn kiện xung khắc đôi một, phân hoạch , tức có Bi ∩ Bj = ∅ với ≤ i < j ≤ n B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = , A kiện ngẫu nhiên, với ℙ( ) > 0, xác suất điều kiện : ℙ( | ) = ℙ( | ) ℙ( ) ∑ ℙ | ℙ (1.5) Công thức (1.5) gọi công thức Bayes * Chứng minh : Bằng cách ứng dụng trực tiếp định nghĩa công thức xác suất đầy đủ, ta có: ℙ( ∩ ) ℙ( | ) ℙ( ) ℙ( | ) ℙ( ) ℙ( | ) = = = ℙ( ) ℙ( ) ∑ ℙ | ℙ Ví dụ 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Hai kiện A B gọi độc lập với ℙ( ∩ ) = ℙ( )ℙ( ) Ví dụ 1.2.2 Định nghĩa 1.2.3 n kiện độc lập Chú ý 1.2.2 Ví dụ 1.2.3 Định nghĩa 1.2.4 Dãy phép thử độc lập Mệnh đề 1.2.3 Một số tính chất kiện độc lập Ví dụ 1.2.4 Ví dụ 1.2.5 1.3 CƠNG THỨC BÙ-TRỪ BÀI TỐN LÁ PHIẾU Mệnh đề 1.3.1 Công thức bù-trừ (1.6) Cho A1,…, An tập kiện đôi không xung khắc A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An , : ℙ( ) = ℙ( ) + ⋯ + ℙ( ) − ℙ( ∩ ) − ℙ( ∩ ) − ⋯ −ℙ( ∩ ) + ℙ( ∩ ∩ )+⋯ ( ∩ …∩ ) +ℙ( ∩ ∩ ) + ⋯ + (−1) = (−1) ℙ (1.10) ⋯ * Chứng minh : (Bằng quy nạp n) - Với n = (n = công thức tầm thường) Đối với hai kiện A B ℙ(A ∪ B) = ℙ((A\(A∩B)) ∪ (B \(A∩B)) ∪ (A∩B)) = ℙ(A\(A∩B)) + ℙ(B \(A∩B)) + ℙ(A∩B) = ℙ(A) - ℙ(A∩B) + ℙ(B) - ℙ(A∩B) + ℙ(A∩B) = ℙ(A) + ℙ(B) - ℙ(A∩B) - Giả sử công thức cho tập n kiện (n > 2) Khi với tập A1, …, An+1 n +1 kiện, xác suất ℙ(⋃ ) : ℙ ∪ + ℙ( = ℙ = (−1) )−ℙ ∩ ℙ + ℙ( ) ⋯ −ℙ ( ∩ ) Đối với số hạng cuối có, lặp lại giả thiết quy nạp : −ℙ ( ) ∩ = (−1) ℙ ∩ ⋯ = (−1) ℙ ∩ ⋯ Chúng ta thấy toàn tổng khai triển ℙ(⋃ ) bao gồm tất số hạng xác định vế phải công thức (1.10) cho n + 1, với dấu xác Điều hồn thành chứng minh mệnh đề Ví dụ 1.3.1 Bài tốn phiếu Nguyên phát biểu có hệ thống là: cộng đồng cử tri gồm m người phe hữu n người phe tả bỏ phiếu cho ứng cử viên mình, m ≥ n Xác suất mà trình đếm phiếu bí mật ứng cử viên phe hữu khơng thấp phe tả gì? Câu hỏi xuất nhiều hoàn cảnh Trong đề tài này, bắt đầu với trường hợp cụ thể m = n Có 2n ly rượu số n ly rượu thật n ly rượu giả Trong trò chơi phổ biến địa phương, người tham gia bịt mắt uống tất 2n ly thời điểm, lựa chọn cách ngẫu nhiên Người tham gia tuyên bố người chiến thắng say với thể tích rượu thật uống ln không nhiều so với rượu giả Chúng ta kiểm tra xem điều xảy với xác suất 1/(n +1) Xem xét di động ngẫu nhiên tập hợp{- n, - n +1, …, n} người tham gia di chuyển lên bước uống ly rượu giả lùi bước uống rượu thật Việc gốc (lúc chưa uống) sau 2n bước ln trở vị trí ban đầu (số lượng rượu thật = số lượng rượu giả) Hình 1.1 Trên hình 1.1 bao gồm thời gian, bước X(t) việc điểm (0, 0) kết thúc (2n, 0) lần nhảy lên sang phải xuống sang phải Chúng ta nhìn thấy xác suất mà bước cịn lại phía đường X = -1 Tổng số đường dẫn từ (0, 0) đến (2n, 0) (2n)!/n!n! Số lượng đường đường thẳng giống tổng số đường từ (1, 1) đến (2n, 0) tổng số đường từ (1, -3) đến (2n, 0) Thật vậy, bước thứ từ (0, 0) phải bước lên Tiếp theo, bước từ (0, 0) đến (2n, 0) tiếp xúc xuyên qua đường X = -1, phản xạ bit thu đường từ (1, -3) đến (2n, 0) Điều gọi nguyên lý phản xạ Do đó, xác suất chiến thắng : (2 − 1)! (2 − 1)! − ! ( − 1)! ( + 1)! ( − 2)! (2 )! = ! ! − ( − 1) = +1 +1 Bây giả sử số ly rượu giả m, số ly rượu thật n, m > n Như trước, chiến thắng trò chơi có nghĩa lần số lượng tiêu thụ rượu giả khơng so với rượu thật Sau tổng số đường dẫn từ (0, 0) đến (m + n, m - n) (m + n)!/ m!n! Một lần nữa, bước đường chiến thắng lên Tổng số đường dẫn từ (1, 1) đến (m + n, m - n) (m + n -1)!/(m - 1)!n! Sử dụng nguyên lý phản xạ, thấy số lượng đường với tổng số đường dẫn từ (1, -3) đến (m + n, m - n), (m + n -1)! / (m + 1)!(n - 2)! Cuối cùng, xác suất chiến thắng là: ( + − 1)! ( + − 1)! ( + )! − +1 − = ( − 1)! ! ( + 1)! ( − 2)! ! ! +1 1.4 BIẾN NGẪU NHIÊN KỲ VỌNG VÀ KỲ VỌNG ĐIỀU KIỆN PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI Định nghĩa 1.4.1 Biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên (BNN) hàm X tập hợp kết , X: ∈  ⟼ ( ) (1.11) với tập giá trị ( ) tập hữu hạn vô hạn đếm gọi tập giá trị BNN X Ví dụ 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Kỳ vọng BNN Kỳ vọng BNN X, lấy giá trị x1,…, xm với xác suất p1,…, pm ký hiệu ( ) tổng : ( ) = = ℙ( = ) (1.12) Ví dụ 1.4.2 Mệnh đề 1.4.1 Một số tính chất kỳ vọng Định nghĩa 1.4.3 Phân bố xác suất đồng thời - Phân bố xác suất điều kiện Cho BNN X Y, với giá trị rời rạc X( ) Y( ) Xét kiện {X = xi, Y = yj} (với cặp giá trị xi, yj X, Y), phân bố xác suất đồng thời cặp X, Y ℙ( = , = ) Phân bố xác suất điều kiện X = xi điều kiện Y = yj (cố định) xảy : ℙ = = = ℙ( = , = ℙ( = ) ) (1.14) Trong đó, xác suất biên ℙ(X = xi) ℙ(Y = yj) tính : ℙ( = ℙ = )= ℙ( = , = ), = ℙ( = , = ) (1.15) Định nghĩa 1.4.4 Kỳ vọng điều kiện Nếu X Y hai BNN : ( ) = [ ( | )] = = với , ℙ = ℙ = ℙ = = = (1.16) giá trị BNN X, Y Chú ý 1.4.1 Ví dụ 1.4.3 Định nghĩa 1.4.5 BNN độc lập Định nghĩa 1.4.6 Chuỗi BNN độc lập phân phối giống Mệnh đề 1.4.2 Kỳ vọng tích hai BNN độc lập Chú ý 1.4.2 Ví dụ 1.4.4 Định nghĩa 1.4.7 Phương sai BNN 10 Phương sai BNN rời rạc X có = số ký hiệu xác định sau : Var = ( − ) ; (1.20) Bằng cách sử dụng tính chất kỳ vọng, có Var = ( − + ) = ( ) − ( ) + = ( ) − + = ( ) − [ ( )] (1.21) Định nghĩa 1.4.8 Hiệp phương sai hai BNN Mệnh đề 1.4.3 Một số tính chất phương sai Ví dụ 1.4.5 Ví dụ 1.4.6 Ví dụ 1.4.7 1.5 PHÂN PHỐI NHỊ THỨC, POISSON VÀ HÌNH HỌC HÀM SINH XÁC SUẤT, HÀM SINH MOMENT VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG Định nghĩa 1.5.1 Phân phối nhị thức (Binomial distribution) BNN X gọi có phân phối nhị thức với hai tham số n, p X có phân bố xác suất ℙ( = ) = , (0 ≤ ≤ ,0 < < 1) (1.24) Kí hiệu X ~ Bin (n, p) Mệnh đề 1.5.1 Nếu X ~ Bin (n, p) : = = , Var = Var = (1.25) Ví dụ 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Phân phối hình học (phân phối bội) (Geometric distribution) 11 Phân phối hình học với tham số q (0 ≤ q ≤ 1) phân bố xác suất rời rạc tập trung tập hợp số tự nhiên, cho công thức sau: ℙ( = ) = , = 1, 2, … (1.26) Kí hiệu X ~ Geom ( ) Nhận xét 1.5.1 Mệnh đề 1.5.2 ( ) : = , Var = Nếu X ~ (1.27) Ví dụ 1.5.2 Định nghĩa 1.5.3 Phân phối Poisson (Poisson distribution) Một biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối Poisson với tham số λ, giá trị số ngun khơng âm, với k ∈ Z+ ta có ℙ( = ) = ! , = 0, 1, 2, … (1.28) Kí hiệu : X ~ Po () Nhận xét 1.5.2 Mệnh đề 1.5.3 Nếu X ~ Po () : = , Var = (1.29) Ví dụ 1.5.3 Mệnh đề 1.5.4 Liên hệ phân phối nhị thức với phân phối Poisson Nhận xét 1.5.3 Ví dụ 1.5.4 Định nghĩa 1.5.4 Hàm sinh xác suất (The probability generating function) 12 ( )= = ( ) = ( ) ; (1.32) ∈ Chú ý 1.5.1 ( ) Mệnh đề 1.5.5 Một số tính chất hàm sinh xác suất Định nghĩa 1.5.5 Hàm sinh moment (The moment generating function) ( )= (1.40) Chú ý 1.5.2 Định nghĩa 1.5.6 Hàm đặc trưng (The characteristic function) ( ) (1.41) Mệnh đề 1.5.6 Một số tính chất hàm sinh moment hàm đặc trưng ( ) ( ) ( )= = = ( ) ∈ Ví dụ 1.5.5 Ví dụ 1.5.6 1.6 BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV VÀ MARKOV BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN LUẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ DE MOIVRE-LAPLACE Mệnh đề 1.6.1 Bất đẳng thức Chebyshev Nếu X biến ngẫu nhiên với kỳ vọng phương sai hữu hạn ∀ > 0 : ℙ(| − |≥ )≤ Var (1.44) * Chứng minh : Var = ( − ≥ = ℙ(( − Ví dụ 1.6.1 ) ≥ [( − (( − ) ≥ ) ≥ )= ) (( − ) ≥ ) ℙ(| − | ≥ ) )] 13 Mệnh đề 1.6.2 Bất đẳng thức Markov Cho biến ngẫu nhiên X không âm với kỳ vọng hữu hạn, với > cho trước, ta có : ℙ( ≥ ) ≤ (1.45) Ví dụ 1.6.2 Mệnh đề 1.6.3 Bất đẳng thức Jensen Cho X BNN với giá trị khoảng (mở, nửa mở đóng) J ⊆ ℝ, với kỳ vọng hữu hạn hàm lồi (lõm) có giá trị thực cho kỳ vọng : → ℝ ( ) là hữu hạn Khi : ( ) ≥ ( ) tương ứng ( )≤ ( ) (1.46) Nói cách khác, ∀ x1, …, xn ∈ (a, b) xác suất p1, …, pn (với p1, …, pn ≥ p1+ …+ pn = 1): g ≤ tương ứng là g ≥ g( ), g( ) (1.47) Ví dụ 1.6.3 Mệnh đề 1.6.4 Luật số lớn Chú ý 1.6.1 Ánh xạ Φ: ∈ℝ⟼ √2 / (1.49) xác định gọi phân phối chuẩn tắc N(0, 1) ; Φ( ) được gọi hàm phân phối xác suất gọi hàm phân phối Gauss Một số tính chất hàm Φ( ) : 14 (1) lim Φ( ) = 0, lim Φ( ) = → → (2) Φ( ) = − Φ(− ) ∀ ∈ ℝ, kéo theo Φ(0) = Φ ( ) = (3) 1 = √2 / √2 / = Φ( ) − =0 √2 (có nghĩa giá trị trung bình phân phối chuẩn tắc 0) (4) / √2 =1 (có nghĩa phương sai phân phối chuẩn tắc 1) (5) Φ( ) hàm không giảm liên tục x Mệnh đề 1.6.5 Định lý De Moivre – Laplace địa phương (The local De Moivre–Laplace Theorem) * Ý nghĩa định lý De Moivre – Laplace địa phương: Nếu X BNN có phân phối nhị thức với tham số n, p n lớn ta có cơng thức tính gần ℙ( = ) = ℙ ( ) ≈ (1 − ) ( ) ( ) (1.51) Mệnh đề 1.6.6 Định lý De Moivre – Laplace * Ý nghĩa định lý De Moivre – Laplace: Cho cơng thức tính gần xác suất để BNN X có phân phối nhị thức với tham số n, p nhận giá trị [α, β] n lớn : 15 ℙ( ≤ ≤ )=ℙ ≈ Φ − (1 − ) − − ≤ (1 − ) −Φ (1 − ) − ≤ (1 − ) − (1 − ) (1.54) Ví dụ 1.6.4 1.7 QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH Mơ hình dẫn đến q trình phân nhánh đơn giản Ban đầu, ta có mục (một hạt hay sinh vật sinh học) sản xuất ngẫu nhiên số 'con', số tạo ngẫu nhiên số Điều tạo cấu trúc "cây giống" có liên kết với bố mẹ số liên kết với riêng Mỗi điểm (ngẫu nhiên) lên có đường dẫn nối với tổ tiên xa xôi (gọi nguồn gốc, mục gốc cây) Chiều dài đường dẫn, tương đương với số lượng liên kết Mỗi điểm đưa đến mọc từ (đối với số điểm khơng tiếp tục, số lượng số không) Xét BNN X0, X1, X2, … Xn cho kích thước dân số hệ thứ n Đó : X0 = 1, X1 = số sau phân hạch 1, X2 = số sau phân hạch thứ 2, v.v… Các BNN Xn Xn+1 có liên quan phép đệ quy sau : = ( ) ( ) (1.55) số cháu sản xuất thành viên thứ i 16 ( ) hệ thứ n Các BNN cho chuỗi BNN độc lập phân phối giống nhau, phân phối chung chúng xác định trình phân nhánh Bằng cách sử dụng kỳ vọng có điều kiện, giá trị trung bình (tức kỳ vọng kích thước hệ thứ n) : = [ ( | ℙ( = ( = ℙ( ) ( ) ) = = ) ℙ( ( ) Giá trị )] = = ) ( = ℙ( = ( ) | = = ) ) ( ) (1.56) không phụ thuộc vào k i, biểu thị Khi : = =( , ) ,…, =( ) , … (1.57) Nhận xét 1.7.1 ( ) Hàm sinh xác suất BNN (không phụ thuộc vào n i): ( ) = Nếu ( ) = hàm sinh xác suất kích thước hệ thứ n, ( ) = ( ) đệ quy, ( )= Xác suất bị tuyệt chủng ≔ ℙ( = 0) = xạ ≥ (1.58) (0) = (0) (1.59) = ( Do = lim ( ) , → ), trực giác ta kỳ vọng giới hạn (0) để điểm cố định ánh = lim → ⟼ ( ), tức nghiệm = ( ) Trong thực tế, giới hạn xác suất bị tuyệt chủng = nghiệm khơng âm nhỏ thỏa Ví dụ 1.7.1 Ví dụ 1.7.2 tồn = ( ) (1.60) 17 CHƯƠNG CÁC KẾT QUẢ LIÊN TỤC 2.1 PHÂN PHỐI ĐỀU HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP Định nghĩa 2.1.1 Phân phối (Uniform distribution) Một kiện (nghĩa tập hợp con) A ⊆ có xác suất: ( ) ℙ( ) = (2.1) ( ) ( ) độ đo (diện tích chiều dài) A ( ) độ đo , gọi phân phối Ví dụ 2.1.1 Ví dụ 2.1.2 Định nghĩa 2.1.2 Hàm mật độ xác suất (Probability density function) Hàm f (x) ≥ thỏa ∫ ℙ( ) = ( ) ( ) = 1 và , ⊆ Ω (2.2) f (x) gọi hàm mật độ xác suất Định nghĩa 2.1.3 Biến ngẫu nhiên (BNN) Biến ngẫu nhiên hàm X tập hợp kết , X: ∈  ⟼ ( ) (2.10) với tập ( ) tập số thực gọi tập giá trị BNN X Nhận xét 2.1.1 Định nghĩa 2.1.4 Hàm phân phối xác suất (Probability distribution function) Hàm phân phối xác suất BNN X nhận giá trị thực hàm ( ) xác định: 18 ∈ℝ⟼ ( ) = ℙ( < ) (2.11) Chú ý 2.1.1 Định nghĩa 2.1.5 Hàm mật độ đồng thời - Hàm phân phối đồng thời (The joint density function - The joint distribution function) Hàm phân phối đồng thời hai BNN thực X, Y kí hiệu , ( , ) xác định : ∀ x, y ∈ ℝ, , ( , ) = ℙ( < , < )= hàm mật độ đồng thời chúng ( , )= , , (2.19) ( , ), xác định : , ( , ) (2.20) Chú ý 2.1.2 Các hàm mật độ biên độ đồng thời ( , ) , , BNN X, Y có hàm mật xác định phép lấy tích phân : , ( )= , ( , ) ( )= , ℝ , ( , ) (2.22) ℝ Chú ý 2.1.3 Định nghĩa 2.1.6 Hàm mật độ điều kiện | ( | ) BNN Y có điều kiện { = } ( , ) (2.24) ( ) Định nghĩa 2.1.7 Hai BNN độc lập | ( | )= , BNN X Y không gian kết Ω gọi độc lập ℙ( < , < ) = ℙ( < )ℙ( < ), ∀ , hay nói cách khác, hàm phân phối đồng thời thành tích ( ) ( ) Định nghĩa 2.1.8 n BNN độc lập Ví dụ 2.1.3 Ví dụ 2.1.4 , ∈ ℝ (2.25) ( , ) phân tích 19 2.2 KỲ VỌNG, KỲ VỌNG ĐIỀU KIỆN PHƯƠNG SAI HÀM SINH HÀM ĐẶC TRƯNG Định nghĩa 2.2.1 Biến ngẫu nhiên X với hàm mật độ fX có kỳ vọng phương xác định : sai ( ) = ( − Var = ) ( ) (2.28) Chú ý 2.2.1 Ví dụ 2.2.1 Chú ý 2.2.2 Mệnh đề 2.2.1 Một số tính chất kỳ vọng Ví dụ 2.2.2 Định nghĩa 2.2.2 Kỳ vọng điều kiện BNN Y với điều kiện X = x ( | = )= | ( | ) (2.35) Chú ý 2.2.3 Ví dụ 2.2.3 Định nghĩa 2.2.3 Hiệp phương sai Cov (X, Y) Ví dụ 2.2.4 Định nghĩa 2.2.4 Hệ số tương quan Corr ( , ) của hai BNN X, Y Chú ý 2.2.4 Định nghĩa 2.2.5 Hàm sinh xác suất moment ( ) ( )= ( )= = ( ) = Định nghĩa 2.2.6 Hàm đặc trưng ( ) hàm sinh , > 0; (2.42) ( ) ( ) = , ∈ ℝ (2.43) 20 ( )= = ( ) , ∈ ℝ (2.44) Chú ý 2.2.5 Mệnh đề 2.2.2 Một số tính chất hàm sinh moment hàm đặc trưng ( ) và ( ) Ví dụ 2.2.5 2.3 PHÂN PHỐI CHUẨN SỰ HỘI TỤ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Định nghĩa 2.3.1 Một biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối chuẩn (hoặc phân phối Gauss) với hai tham số µ σ2, kí hiệu X ~ N(µ, σ2), hàm mật độ có dạng : ( ) ( )= , ∈ ℝ (2.52) √2 Đặc biệt, µ = 0, σ2 =1 ta có phân phối chuẩn chuẩn tắc, kí hiệu N (0, 1) Chú ý 2.3.1 Ví dụ 2.3.1 Mệnh đề 2.3.1 Một số tính chất phân phối chuẩn Mệnh đề 2.3.2 Định lý giới hạn trung tâm chuỗi BNN độc lập phân phối Giả sử X1, X2, … chuỗi BNN độc lập phân phối giống nhau, với trung bình hữu hạn Xj = a phương sai Var Xj =2 Nếu Sn = X1 + · · · + Xn, với Sn = na, Var Sn = n2 ∀ y ∈ ℝ : − lim ℙ < = Φ( ) (2.57) → Var Mệnh đề 2.3.3 Ví dụ 2.3.2 Định nghĩa 2.3.2 Vectơ phân phối chuẩn n chiều 21 ⋮ = Vectơ gọi có phân phối chuẩn n chiều, ~ ( , ∑), hàm mật độ ( ) có dạng : 1 ( )= exp − 〈 − , Σ ( − )〉 (2.60) (det Σ) / √2 Trong đó: , ∑ : ma trận cấp ⋮ = vectơ thực n chiều , ⋮ = ∈ ℝ , × đối xứng xác định dương (ma trận = (det ∑) tương quan), det ∑ 〈, 〉 viết tắt tích vơ hướng ℝ 〈 − ,Σ ( − )〉 = ( − )Σ − , Ví dụ 2.3.3 Xét vectơ chuẩn hai chiều gồm BNN X, Y Hàm mật độ cho dạng (2.60) với n = Ở đây, ma trận xác định dương Σ Σ viết Σ= Trong , ,Σ = 1− 1/ − /( − /( ) 1/ , số thực khác không (với ) > 0) r số thực, với |r| < Phương trình (2.60) có dạng , ( , )= × √1 − ( − −1 2(1 − ) ) ( − )( − −2 exp Kiểm tra xem X ~ N( , toán hàm mật độ xác suất biên Lời giải : ) + ) Y ~ N( , ( − ) ), nghĩa tính 22 ( )= = 2 √1 − (1 − × ( = √1 − ( − × √2 −1 2(1 − ) ) ( − )( − −2 exp −1 2(1 − ) )( − ) + ) + ( − ) exp − − − ) × √2 exp − √1 − ( − ) (1 − ) Trong = − , ( − = ) Yếu tố cuối dấu ngoặc { } 1, ta có ( )= Tức X ~ N( , ( √2 ) Tương tự Y ~ N( ) , , ) Mệnh đề 2.3.4 Một số tính chất vectơ phân phối chuẩn n chiều Ví dụ 2.3.4 Ví dụ 2.3.5 23 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu Xác suất sở qua ví dụ, luận văn hồn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: - Tổng quan hệ thống cách đầy đủ công thức tính xác suất kiện, khái niệm phân phối đều, định nghĩa công thức xác định tham số đặc trưng, dạng hàm sinh biến ngẫu nhiên liên quan đến phần rời rạc liên tục xác suất sở Chúng đưa vào luận văn dạng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên trường hợp khác mở rộng không gian n chiều - Trình bày rõ ràng, chi tiết cơng thức, ý nghĩa vận dụng bất đẳng thức Chebyshev, bất đẳng thức Markov, bất đẳng thức Jensen định lý De Moivre-Laplace lý thuyết xác suất Chúng tơi mở rộng tìm hiểu đưa vào tốn q trình phân nhánh, nghiên cứu vấn đề mang tính di truyền kế thừa - Và đặc biệt nhiều ví dụ mang tính tổng quát cụ thể so với toán tài liệu tham khảo đưa vào luận văn nhằm làm sáng tỏ vấn đề nghiên cứu Với khảo sát được, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu sau hy vọng nguồn tư liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu kết rời rạc liên tục lý thuyết xác suất, với ứng dụng chúng nhiều lĩnh vực khác Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn nên chưa sâu nghiên cứu ứng dụng thực tiễn phân phối liên tục Đó hướng phát triển luận văn 24 Trong q trình làm luận văn, có nhiều cố gắng song điều kiện khách quan lực có hạn thân nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý chân thành quý thầy bạn đọc để tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triển luận văn sau