Xác suất cơ sở qua các ví dụ

MỤC LỤC ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khoa học nghiên cứu xác suất phát triển thời kỳ cận đại Việc chơi cờ bạc (gambling) cho thấy ý niệm xác suất có từ trước hàng nghìn năm, nhiên ý niệm mơ tả tốn học sử dụng thực tế có muộn nhiều Ảnh hưởng lý thuyết xác suất sống ngày việc xác định rủi ro bn bán hàng hóa Chính phủ áp dụng phương pháp xác suất để điều tiết mơi trường hay gọi phân tích đường lối Lý thuyết trò chơi dựa tảng xác suất Một ứng dụng khác xác định độ tin cậy Nhiều sản phẩm tiêu dùng xe hơi, đồ điện tử sử dụng lý thuyết độ tin cậy thiết kế sản phẩm để giảm thiểu xác suất hỏng hóc Xác suất hư hỏng gắn liền với bảo hành sản phẩm Hai nhà toán học Pierre de Fermat Blaise Pascal người đặt móng cho học thuyết xác suất vào năm (1654) Christiaan Huygens (1657) biết đến người có cơng việc đưa xác suất thành vấn đề nghiên cứu khoa học Ngày lý thuyết xác suất trở thành ngành vơ quan trọng tốn học ngành khoa học khác Cùng với phát triển lí thuyết xác suất, thống kê tốn học đời bắt nguồn từ vấn đề thực tiễn dựa thành tựu lý thuyết xác suất, có bước tiến nhanh với đóng góp nhà toán học Francis Galton, Karl Pearson, Ronald Fisher, Von Neuman, … Thống kê tốn học có ứng dụng hiệu nhiều lĩnh vực vật lý, hóa học, học, sinh vật, y học, dự báo, khí tượng, thủy văn, vơ tuyến, điện tử, ngơn ngữ học, xã hội học, … Có thể nói xác suất thống kê đóng vai trò quan trọng hầu hết lĩnh vực giới đại, từ khoa học, công nghệ, đến kinh tế, trị, đến sức khỏe, mơi trường, v.v Vì thế, lý thuyết xác suất thống kê (đặc biệt xác suất sở) kiến thức thiếu tất ngành Hiện nay, xác suất sở đưa vào giảng dạy trường phổ thông trung học, trường trung cấp, cao đẳng đại học nước giới Với phát triển khoa học công nghệ, ngày máy tính giúp cho việc tính tốn vấn đề xác suất thống kê ngày trở nên dễ dàng, có số liệu đắn mơ hình hợp lý Thế nhưng, thân máy tính khơng biết mơ hình hợp lý Đấy vấn đề người sử dụng: cần phải hiểu chất khái niệm mô hình xác suất thống kê, dùng chúng Xuất phát từ nhu cầu phát triển tính thời việc nghiên cứu xác suất sở, định chọn đề tài với tên gọi: Xác suất sở qua ví dụ để tiến hành nghiên cứu Chúng hy vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người muốn tìm hiểu kết rời rạc liên tục lý thuyết xác suất với ứng dụng chúng nhiều lĩnh vực khác Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm giúp người đọc hiểu chất khái niệm phương pháp xác suất sở, qua áp dụng chúng, sâu tìm hiểu phương pháp thích hợp cho tình cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài lý thuyết xác suất thống kê Phạm vi nghiên cứu đề tài xác suất sở ứng dụng Phương pháp nghiên cứu: Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến Xác suất sở, vấn đề quan trọng lý thuyết xác suất thống kê Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với chuyên gia ứng dụng lý thuyết xác suất thống kê Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến xác suất sở ứng dụng thực tế qua ví dụ minh họa, nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu Lý thuyết xác suất ứng dụng Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, đưa số ví dụ minh hoạ nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chia thành chương Chương giới thiệu khái niệm kết xác suất sở liên quan đến phần rời rạc, như: phân phối đều, công thức tính xác suất kiện, khái niệm biến ngẫu nhiên tham số đặc trưng, phân phối nhị thức, Poisson, hình học biến rời rạc, dạng hàm biến ngẫu nhiên, bất đẳng thức Chebyshev, Markov, Jensen, định lý De MoivreLaplace, trình nhánh, … Chương trình bày khái niệm kết xác suất sở liên quan đến phần liên tục, : phân phối đều, hàm mật độ, phân phối xác suất, hàm sinh, hàm đặc trưng, khái niệm biến ngẫu nhiên tính độc lập, tham số đặc trưng, … phân phối chuẩn mở rộng cho nhiều biến Trong phần đưa vào ví dụ minh họa với mức độ khác CHƯƠNG CÁC KẾT QUẢ RỜI RẠC Các khái niệm kết chương tìm thấy tài liệu [2], [3], [4], [6], [7] 1.1 PHÂN PHỐI ĐỀU Trong phần này, chúng tơi sử dụng mơ hình xác suất đơn giản Định nghĩa 1.1.1 Phân phối (Uniform distribution) Có m kết đồng khả xảy (thường gọi kết quả) kết có xác suất 1/m Mỗi kết gọi biến cố sơ cấp (hay kiện sơ cấp) Một tập hợp A gồm k kết xảy ra, với k ≤ m gọi biến cố (hay kiện) xác suất (A) tính k/m: (1.1) Số kết xảy kiện A Một tập rỗng có Tổng số kết xảy xác suất không tập gồm tất trường hợp xảy có xác suất Sơ đồ trơng đơn giản, thực tế việc tính tốn số kết xảy kiện định (hoặc tổng số kết quả) khó khăn Ví dụ 1.1.1 Giả sử gia đình có Khi xác suất để gia đình có trai, gái bao nhiêu? Lời giải: Chúng ta lập mơ hình xác suất với kiện thành phần: trai, trai gái, trai gái, gái Thế kiện thành phần khơng “cân bằng” với nhau, không kết luận xác suất “2 trai gái” 1/4 Để có khơng gian xác suất với phân bố đều, ta lập mơ hình xác suất với kiện thành phần (m = 8) sau: {TTT, TTG, TGT, TGG, GTT, GTG, GGT, GGG} (Chẳng hạn, GGT có nghĩa thứ gái, thứ hai gái, thứ ba trai) Sự kiện “2 trai gái” hợp kiện thành phần mơ hình xác suất này: TTG, TGT,GTT (tương ứng k = 3) Như xác suất 3/8 Ví dụ 1.1.2 Bạn tơi chơi trò chơi tung đồng xu: đồng xu rơi mặt ngửa điểm, mặt sấp bạn điểm Ban đầu, tỷ số số khơng Tính xác suất mà : (1) Sau 2n lần ném điểm số nhau; (2) Sau 2n +1 lần ném số điểm nhiều bạn ba Lời giải: (1) Tất chuỗi NNN…N, SNN…N, …, SSS…S hình thành 2n chữ N S (với N (Ngửa), S (Sấp)) Tổng số kết xảy m = , kết có xác suất Ta cần tìm số kết có số lượng N S Số k kết (số cách để lựa chọn vị trí cho n chữ N 2n vị trí có sẵn trình tự) Xác suất cần tìm (2) Mỗi kết chuỗi có độ dài , có tổng số kết Xác suất số điểm nhiều bạn ba bằng: 1.2 XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN ĐỊNH LÝ BAYES PHÉP THỬ ĐỘC LẬP Xác suất kiện phụ thuộc vào nhiều yếu tố, điều kiện khác Để cách cụ thể việc xác suất kiện A phụ thuộc vào điều kiện B sao, người ta đưa khái niệm xác suất điều kiện Điều kiện B hiểu kiện, tức kiện “có B” Định nghĩa 1.2.1 Xác suất điều kiện Với hai kiện A B với , xác suất điều kiện A B xảy định nghĩa : Từ (1.2) ta có cơng thức tích sau : (1.3) Tất nhiên, ta coi B kiện, A điều kiện nếu, ta có Hai kiện A B gọi xung khắc Gọi A tập hợp tất biến cố, Ω tập tất biến cố sơ cấp xảy xác suất A Khi ba gọi khơng gian xác suất Mệnh đề 1.2.1 Công thức xác suất đầy đủ Nếu B1, …, Bn phân hoạch Ω, tức có Bi ∩ Bj = ∅ với ≤ i < j ≤ n B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = Ω, (Bi) > cho ≤ i ≤ n, với kiện A, ta có : (1.4) * Chứng minh : Chú ý 1.2.1 Hệ kiện B1, …, Bn xung khắc đôi Bi ∩ Bj = ∅ , với ≤ i < j ≤ n B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = Ω gọi hệ đầy đủ biến cố Mệnh đề 1.2.2 Định lý Bayes Nếu B1, …, Bn phân hoạch Ω, tức có Bi ∩ Bj = ∅ với ≤ i < j ≤ n B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = Ω, A kiện ngẫu nhiên, với , xác suất điều kiện : Cơng thức (1.5) gọi công thức Bayes * Chứng minh : Bằng cách ứng dụng trực tiếp định nghĩa công thức xác suất đầy đủ, ta có: Ví dụ 1.2.1 Có n bình đựng bi hình thức bên ngồi giống nhau, bình thứ k chứa k -1 bi màu đỏ n - k bi màu xanh, k = 1, 2, , n Chọn ngẫu nhiên bình loại bỏ hai bi từ bình mà khơng cần thay Tìm xác suất để hai bi bị loại bỏ có màu sắc khác Lời giải : Tổng số bi màu xanh màu đỏ tất bình đựng Gọi Bk : kiện bình k chọn, k = 1, 2, …, n, kiện Bk xung khắc đôi B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn = Ω; A kiện loại hai bi khác màu trường hợp bi màu đỏ, bi màu xanh Ta có : Áp dụng cơng thức xác suất đầy đủ : Ở sử dụng đẳng thức biết : Do đối xứng, xác suất cần tìm : Các khái niệm độc lập phát minh quan trọng lý thuyết xác suất Nó có dạng lý thuyết giai đoạn đầu xem tính đặc biệt xác định vị trí lý thuyết xác suất lý thuyết đo lường tổng quát 10 Định nghĩa 1.2.2 Hai kiện A B gọi độc lập với (1.6) Một tiêu chuẩn thuận tiện tính độc lập là: hai kiện A B (B) > độc lập (A|B) = (A), nghĩa kiện B xảy không làm thay đổi xác suất kiện A Ví dụ 1.2.2 1) Sự kiện rỗng ∅ (biến cố khơng thể) tồn Ω: chúng khơng phụ thuộc kiện 2) Xét bốn kết 00, 01, 10 11 kết có xác suất 1/4 Ở đây, kiện A = {chữ số đầu 1} B = {chữ số thứ 0} độc lập Ngoài ra, kiện {chữ số đầu 0} {cả hai chữ số giống nhau} độc lập, kiện {chữ số đầu 0} {tổng chữ số > 0} phụ thuộc Mở rộng định nghĩa cho n kiện độc lập, ta có : Định nghĩa 1.2.3 Các kiện A1, …, An gọi độc lập với với tập hữu hạn Ai1, …, Ail, (l = 1, …, n) ta có đẳng thức : (1.7) Nếu (Ai ∩ Ak) = (Ai).(Ak) (i ≠ k) với hai kiện khác họ kiện A1, …, An (n > 2) gọi họ kiện độc lập đôi Chú ý 1.2.2 Nếu có họ kiện độc lập, kiện họ độc lập đôi với Nhưng điều ngược lại khơng Ví dụ 1.2.3 1) Tung hai lần đồng xu cân đối, với kiện A = {lần tung cho mặt ngửa}, B = {lần tung cho mặt ngửa} C = {Cả hai lần tung hiển thị mặt} Thì : 50 Chú ý 2.2.2 Nếu Y = g(X), hàm BNN X, với hàm mật độ X, cố định tích phân vế phải tồn tại, tức Tương tự trường hợp rời rạc, ta có số tính chất kỳ vọng với BNN có hàm mật độ Mệnh đề 2.2.1 Một số tính chất kỳ vọng (1) (Tính chất cộng) X, Y hai BNN, (2) Nếu c số (3) (Tính chất tuyến tính) (4) Nếu X, Y BNN độc lập có hàm mật độ f, * Chứng minh: (1) Sử dụng hàm mật độ đồng thời : (2) Với c ≠ BNN X với hàm mật độ : c > đẳng thức cuối đơn giản c < ta phải thay đổi giới hạn phép lấy tích phân dẫn đến kết (3) Sử dụng kết hợp phương trình (2.30) (2.31), ta (2.32) Mở rộng cho tập hữu hạn đếm BNN: 51 với điều kiện giá trị trung bình X i tồn chuỗi hội tụ tuyệt đối Đặc biệt, với BNN X1, X2, … với (4) Tương tự đưa cho BNN với giá trị rời rạc: theo cơng thức (2.29), Ví dụ 2.2.2 Cho X biến ngẫu nhiên phân phối theo hàm mũ với hàm mật độ xác suất : µ > Chứng tỏ Var X = µ2 Trong thí nghiệm với n quan sát độc lập, BNN X1, , Xn tạo từ phân phối mũ với kỳ vọng µ, thu BNN trung bình Tiến hành thí nghiệm thứ hai độc lập với thí nghiệm trước với m quan sát độc lập, BNN Y1, …, Ym phân phối mũ giống thí nghiệm đầu tiên, thu BNN trung bình thứ hai Hai BNN trung bình kết hợp thành , < p < Tìm kỳ vọng phương sai Tp Lời giải : Tích phân phần : Bây giờ, 52 Tương tự, Định nghĩa 2.2.2 Kỳ vọng điều kiện Cho X, Y hai BNN liên tục, hàm mật độ BNN Y với điều kiện Khi đó, tích phân : gọi kỳ vọng điều kiện BNN Y với điều kiện X = x Chú ý 2.2.3 Trong công thức (2.35) vai trò X Y hốn đổi Ví dụ 2.2.3 Cho X, Y hai BNN có hàm mật độ đồng thời Tìm Lời giải : Ta có Thay biểu thức ta : Vậy Kỳ vọng điều kiện BNN Y với điều kiện X = x : Định nghĩa 2.2.3 Hiệp phương sai Cov (X, Y) hai BNN X Y số, xác định : 53 Như trường hợp rời rạc, Đối với biến độc lập Tuy nhiên, trước, công thức (2.33), công thức (2.38) kéo theo tính độc lập X Y Ví dụ 2.2.4 Xét điểm ngẫu nhiên vòng tròn đơn vị: gọi X Y tọa độ Giả sử điểm phân phối cho xác suất mà nằm tập hợp A tỷ lệ thuận với diện tích A Biểu diễn tọa độ cực: R ∈ (0, 1) khoảng cách điểm tâm vòng tròn ∈ [0, 2) góc tạo bán kính qua điểm ngẫu nhiên đường nằm ngang Diện tích vùng tọa độ cực Vì vậy, R độc lập, Tương tự, Do Nhưng X Y khơng độc lập: Tổng qt hố cơng thức (2.39), cho tập hữu hạn đếm BNN độc lập Xi số thực ci 54 với điều kiện phương sai Var X i tồn Đặc biệt, chuỗi BNN độc lập phân phối giống X1, X2, … với Var Xi = Var Định nghĩa 2.2.4 Hệ số tương quan hai BNN X, Y Hệ số tương quan hai BNN X, Y ký hiệu xác định : Chú ý 2.2.4 -1 Corr (X, Y) Hơn nữa, Corr (X, Y) = X Y độc lập, Corr (X, Y) = X = cY với c > -1 X = cY với c < Khái niệm hàm sinh xác suất, hàm sinh moment hàm đặc trưng xuất trường hợp liên tục Định nghĩa 2.2.5 Hàm sinh xác suất hàm sinh moment BNN liên tục X với hàm mật độ Các hàm sử dụng cho BNN không âm Nhưng chí khơng tồn số dương s Ví dụ, X ~ Exp (λ): Ở đây, tồn ln s < , tức s < , Với X, không tồn : Định nghĩa 2.2.6 Hàm đặc trưng BNN liên tục X với hàm mật độ Chú ý 2.2.5 liên tục Mệnh đề 2.2.2 Một số tính chất hàm sinh momentvà hàm đặc trưng (1) Nếu Y = cX + b = 55 (2) Giá trị trung bình X, phương sai Var X xác định đạo hàm t = 0: (3) Hàm xác định hàm mật độ fX (x): (4) Đối với BNN độc lập X Y: * Hàm đặc trưng số phân phối : - Nếu X ~ U (a, b) - Nếu X ~ N () - Nếu X ~ Exp (, - Nếu X ~ Gam (, - Nếu Ví dụ 2.2.5 Cho X1, X2, chuỗi BNN độc lập phân phối giống có hàm sinh moment M(θ), cho N BNN lấy giá trị số nguyên không âm với hàm sinh xác suất ; giả sử N độc lập với chuỗi (X i) Chứng tỏ Z = X1 + X2 + · · · + Xn có hàm sinh moment Số tiền yêu cầu bồi thường (kích thước) cho khiếu kiện công ty bảo hiểm tạo thành chuỗi phân phối giống độc lập có chung hàm mật độ Số lượng đơn năm định có phân phối Poisson với tham số λ Chứng tỏ hàm sinh moment tổng số tiền T khiếu nại năm 56 Suy luận T có kỳ vọng λ phương sai 2λ Lời giải : Hàm sinh moment theo yêu cầu Tương tự, T : X1, …, Xn biểu diễn cho kích thước khiếu kiện, với hàm mật độ , độc lập, N số lượng khiếu nại, với Bây giờ, hàm sinh xác suất N , hàm sinh moment X i Thì hàm sinh moment T theo yêu cầu Cuối cùng, 2.3 PHÂN PHỐI CHUẨN SỰ HỘI TỤ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Phân phối chuẩn (hoặc phân phối Gauss) đóng vai trò lĩnh vực mà khái niệm xác suất sử dụng Trong phần trước ta đề cập đến khái niệm số tính chất phân phối chuẩn, tiếp tục phần phân phối chuẩn mở rộng (đa biến (vectơ chuẩn nhiều chiều)) chủ yếu qua phân tích ví dụ Để tiếp tục nghiên cứu, ta nhắc lại khái niệm số tính chất biết đến phân phối chuẩn Ở ta có Định nghĩa 2.3.1 Một biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối chuẩn (hoặc phân phối Gauss) với hai tham số µ σ 2, kí hiệu X N(µ, σ2), hàm mật độ có dạng : Đặc biệt, µ = 0, σ2 =1 ta có phân phối chuẩn chuẩn tắc, kí hiệu N (0, 1) 57 Chú ý 2.3.1 Nếu X ~ N () Ví dụ 2.3.1 Hai BNN X Y nhận giá trị thực, có mật độ đồng thời -1 < r < Chứng minh X Y phân phối chuẩn với trung bình phương sai 1, chứng minh số r hệ số tương quan X Y Lời giải : Hàm phân phối xác suất X cho Tích phân bên mà rõ phân bố X : nghĩa X ~ N(0, 1) Tương tự vậy, Y ~ N(0, 1) Do đó, Thì Do đó, Corr (X, Y) = r, theo yêu cầu Mệnh đề 2.3.1 Một số tính chất phân phối chuẩn (1) BNN X có phân phối chuẩn N( , : - Hàm phân phối xác suất : - Hàm sinh moment hàm đặc trưng : 58 - Kỳ vọng phương sai X : (2.56) (2) Hai BNN X Y phân phối chuẩn độc lập (3) Tổng X + Y hai BNN phân phối chuẩn X ~ N Y ~ N với phân phối chuẩn, với kỳ vọng + phương sai Đặc biệt, X, Y độc lập, X + Y ~ N Nói chung, cho BNN độc lập X 1, X2, …, Xi ~ N, tổ hợp tuyến tính Phân phối chuẩn xuất đánh dấu định lý giới hạn trung tâm Các phiên định lý De Moivre-Laplace, đưa mục (1.6) Định lý giới hạn trung tâm mở rộng chung cho trường hợp BNN độc lập phân phối giống Định lý sau chứng minh vào 19001901 nhà toán học Nga AM Lyapunov (1857-1918) Mệnh đề 2.3.2 Định lý giới hạn trung tâm chuỗi BNN độc lập phân phối Giả sử X1, X2, … chuỗi BNN độc lập phân phối giống nhau, với trung bình hữu hạn Xj = a phương sai Var X j =σ2 Nếu Sn = X1 + · · · + X n, với Sn = na, Var Sn = nσ2 ∀ y ∈ : Trong thực tế, hội tụ phương trình (2.57) y : Mệnh đề 2.3.2 chứng minh dựa hàm đặc trưng, ta sử dụng kết sau để chứng minh : Mệnh đề 2.3.3 Cho Y, Y1, Y2, … chuỗi BNN với hàm phân phối hàm đặc trưng Giả sử rằng, n → ∞, hàm đặc trưng Thì tất điểm y ∈ hàm phân phối FY liên tục * Chứng minh mệnh đề 2.3.2: Trong trường hợp này, Y ~ N(0, 1), với liên tục khắp nơi Đặt phải kiểm tra xem hàm đặc trưng Điều thực Kí hiệu 59 lưu ý BNN (Xj – a) /σ độc lập phân phối giống Thì BNN (Xj – a) /σ có kỳ vọng phương sai Do hàm đặc trưng có khai triển Taylor mở rộng gần 0: (Ở ta bỏ qua số (Xj – a) /σ.) Điều cho Nhưng Một chứng minh ngắn phương trình (2.59) đặt nhận thấy rằng, rõ ràng, Tiếp theo, mà dần n → ∞ Ví dụ 2.3.2 Phát biểu định lý giới hạn trung tâm cho BNN thực độc lập phân phối giống với kỳ vọng phương sai Giả định BNN độc lập có phân phối khoảng [0, 1] Tính kỳ vọng phương sai Giả sử Chứng tỏ tiến đến giới hạn tìm biểu thức cho Lời giải : Gọi BNN độc lập có phân phối với Phát biểu định lý giới hạn trung tâm : Hơn nữa, giá trị trung bình Tương tự, giá trị trung bình Cuối ta có: Định nghĩa 2.3.2 Vectơ phân phối chuẩn n chiều Vectơ gọi có phân phối chuẩn n chiều, hàm mật độ có dạng Trong đó: 60 vectơ thực n chiều : ma trận cấp đối xứng xác định dương (ma trận tương quan), viết tắt tích vơ hướng Ví dụ 2.3.3 Xét vectơ chuẩn hai chiều gồm BNN X, Y Hàm mật độ cho dạng (2.60) với n = Ở đây, ma trận xác định dương viết Trong số thực khác khơng (với ) r số thực, với |r| < Phương trình (2.60) có dạng Kiểm tra xem X ~ N Y ~ N nghĩa tính tốn hàm mật độ xác suất biên Lời giải : Hàm mật độ BNN X : Yếu tố cuối dấu ngoặc 1, ta có Tức X ~ N Tương tự Y ~ N Mệnh đề 2.3.4 Một số tính chất vectơ phân phối chuẩn n chiều (1) Nếu có hàm mật độ cơng thức (2.60), : a) Mỗi Xi ~ N, i = 1, …, n, với kỳ vọng phương sai phần tử đường chéo ma trận ∑ b) vectơ trung bình X ; c) Ma trận tương quan X : , (2) Các BNN chuẩn X1, …, Xn độc lập Tức là, ∑ ma trận đường chéo hàm mật độ phân tích thành tích 61 (3) Hàm đặc trưng vectơ phân phối chuẩn có dạng (4) Tổ hợp tuyến tính BNN phân phối chuẩn, với chuẩn, với trung bình phương sai Ví dụ 2.3.4 Cho X, Y độc lập, BNN độc lập phân phối giống có phân phối chuẩn tắc với hàm mật độ Tìm hàm mật độ xác suất đồng thời , hàm mật độ Lời giải : Hàm mật độ đồng thời X Y Kí hiệu Hàm mật độ đồng thời : Ánh xạ ngược Do đó, nghĩa độc lập Ta có hàm phân phối xác suất Z hàm mật độ Z Ví dụ 2.3.5 BNN Xi có phân phối chuẩn với kỳ vọng phương sai , với i = 1, 2, X1 X2 độc lập Tìm phân phối , (Có thể giả sử ) Lời giải : Ta có hàm sinh moment Z : độc lập Tiếp theo, Trong Theo quan điểm tính hàm mật độ với hàm sinh moment cho trước, 62 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu Xác suất sở qua ví dụ, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: - Tổng quan hệ thống cách đầy đủ cơng thức tính xác suất kiện, khái niệm phân phối đều, định nghĩa công thức xác định tham số đặc trưng, dạng hàm sinh biến ngẫu nhiên liên quan đến phần rời rạc liên tục xác suất sở Chúng đưa vào luận văn dạng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên trường hợp khác mở rộng không gian n chiều - Trình bày rõ ràng, chi tiết công thức, ý nghĩa vận dụng bất đẳng thức Chebyshev, bất đẳng thức Markov, bất đẳng thức Jensen định lý De Moivre-Laplace lý thuyết xác suất Chúng tơi mở rộng tìm hiểu đưa vào tốn q trình phân nhánh, nghiên cứu vấn đề mang tính di truyền kế thừa - Và đặc biệt nhiều ví dụ có tính tổng quát cụ thể so với toán tài liệu tham khảo đưa vào luận văn nhằm làm sáng tỏ vấn đề nghiên cứu Với khảo sát được, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu sau hy vọng nguồn tư liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu kết rời rạc liên tục lý thuyết xác suất, với ứng dụng chúng nhiều lĩnh vực khác Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn nên chưa sâu nghiên cứu ứng dụng thực tiễn phân phối liên tục Đó hướng phát triển luận văn Trong q trình làm luận văn, có nhiều cố gắng song điều 63 kiện khách quan lực có hạn thân nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý chân thành q thầy bạn đọc để tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triển luận văn sau 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Văn Hộ (2006), Xác suất thống kê, Nhà xuất Giáo Dục [2] Phạm Văn Kiều (2004), Giáo trình Xác Suất Thống kê, Nhà xuất Giáo Dục [3] Cao Văn Nuôi (2012), Lý thuyết độ đo Xác suất, Giáo trình sau đại học Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng [4] Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tiến Dũng (2010), Nhập môn đại Xác suất Thống kê, Trung tâm Toán Tài Cơng nghiệp Hà Nội, Hà Nội – Toulous TIẾNG ANH [5] J.L Hodges, E.L Lehmann (2005), Basic Concepts of Probability and Statistics, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia [6] Robert B Ash (2008), Basic Probability Theory, Dover Publications, Inc [7] Yuri Suhov, Mark Kelbert (2005), Probability and Statistics by Example, Volume I: Basic Probability and Statistics, Cambridge University Press ... đề tài Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến xác suất sở ứng dụng thực tế qua ví dụ minh họa, nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu Lý thuyết xác suất ứng dụng Chứng minh... lý thuyết xác suất thống kê Phạm vi nghiên cứu đề tài xác suất sở ứng dụng Phương pháp nghiên cứu: Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến Xác suất sở, vấn đề quan trọng... cứu xác suất sở, định chọn đề tài với tên gọi: Xác suất sở qua ví dụ để tiến hành nghiên cứu Chúng hy vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người muốn tìm hiểu kết rời rạc liên tục lý thuyết xác suất