(Skkn 2023) rèn kĩ năng giải bài tập về căn thức bậc hai cho học sinh lớp 9 trong ôn thi vào lớp 10

1 ỦY BAN NHÂN DÂN HUYỆN BA VÌ TRƯỜNG THCS CỔ ĐÔ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP VỀ CĂN THỨC BẬC HAI CHO HỌC SINH LỚP ƠN THI VÀO LỚP 10 MƠN :TỐN GIÁO VIÊN : PHÙNG THỊ KHÁNH TỔ : KHOA HỌC TỰ NHIÊN Năm học 2022 – 2023c 2022 – 2023 A - ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lí khách quan Mơn tốn mơn khoa học tự nhiên Nó đóng vai trị quan trọng thực tiễn sống, ứng dụng nhiều lĩnh vực khác như: kinh tế, tài chính, kế tốn tiền đề cho mơn khoa học tự nhiên khác Vì việc giảng dạy mơn Tốn trường THCS nói chung mơn Tốn lớp nói riêng vấn đề quan trọng Nếu trước hoạt động dạy học nặng việc truyền thụ kiến thức thiên việc hình thành lực hoạt động cho học sinh Hướng dẫn học sinh tự tìm tịi chủ động lĩnh hội kiến thức Để đáp ứng yêu cầu cần phải thay đổi phương pháp dạy – học , hình thức tổ chức, phương tiện, cách kiểm tra đánh giá… Đặc biệt mơn tốn, mơn khoa học tự nhiên yêu cầu quan trọng hết Lí thực tiễn Với mục đích nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn, đặc biệt tốn lớp chất lượng ơn thi vào lớp 10 thúc đẩy việc đổi phương pháp dạy học nhằm đáp ứng yêu cầu Hướng đổi phương pháp dạy học Toán tích cực hóa hoạt động HS, khơi dậy phát triển khả tự học, tích cực, độc lập, sáng tạo,chủ động lĩnh hội kiến thức.Vì người Giáo viên phải động, sáng tạo vận dụng hợp lý phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế lớp, trường điều chỉnh lại phương pháp dạy học thân nay, nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Tốn nói chung mơn Tốn nói riêng Lý chủ quan Qua trình thực tế giảng dạy lớp nhiều năm ôn thi vào lớp 10 tơi phát cịn nhiều học sinh kỹ giải tốn thức bậc hai cịn yếu hay có nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực sai mục đích, kỹ tính tốn biến đổi yếu Khi dạy thức bậc hai tơi thấy dạy theo thứ tự lí thuyết tập SGK, SBT chưa cung cấp đủ phương tiện cho học sinh để giải tập thuộc chủ đề Quan trọng việc nhớ kiến thức em khơng có hệ thống Như kết làm em khơng cao, bên cạnh hầu hết đề thi vào trường THPT có phần kiến thức Chính thế, tơi tiến hành nghiên cứu SGK, SBT, tài liệu tham khảo toán lớp 9, đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội Trong 10 năm gần để tập hợp tập rút gọn tổng hợp Sau tiến hành phân dạng với dạng rõ phương pháp giải, từ em có hội làm tốt dạng cấu trúc đề thi vào 10 Do năm học 2022 – 2023 tiếp tục chọn đề tài: “Rèn kĩ giải tập thức bậc hai cho học sinh lớp ôn thi vào lớp 10” để nghiên cứu thực II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Qua sáng kiến tơi muốn đưa số lỗi mà học sinh hay mắc phải trình làm tập thức bậc hai để từ giúp học sinh rèn kĩ giải tập kiểm tra ,thi cử, đặc biệt ôn thi vào 10 Cũng qua sáng kiến tơi muốn giúp giáo viên tốn có thêm nhìn sâu sắc hơn, ý đến việc rèn luyện kỹ thực hành giải toán thức bậc hai cho học sinh để từ khai thác hiệu đào sâu suy nghĩ tư lôgic học sinh giúp em phát triển khả tiềm tàng thân em III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Học sinh lớp THCS : Bao gồm lớp với tổng số 99 học sinh Rèn kĩ giải toán toán thức bậc hai ôn thi vào lớp 10 IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong trình thực sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn - Phương pháp quan sát sư phạm - Phương pháp điều tra, đọc sách, nghiên cứu tài liệu - Phương pháp thực tế chuyên đề, trao đổi đồng nghiệp - Phương pháp dạy học thực tiễn để rút kinh nghiệm - Một số phương pháp khác V PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH THỰC HIỆN Phạm vi : mơn tốn 9, học sinh khối trường: Năm học 2019 - 2020 2020-2021 2021-2022 2022-2023 B - NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong năm gần đây, định hướng đổi phương pháp dạy học thống theo tư tưởng tích cực hóa hoạt động học tập học sinh tổ chức hướng dẫn giáo viên , học sinh tự giác chủ động tìm tịi, phát hiện, giải nhiệm vụ nhận thức có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức kỹ thu nhận Muốn đổi cách học phải đổi cách dạy Cách dạy định cách học, nhiên, thói quen học tập thụ động HS ảnh hưởng đến cách dạy thầy Mặt khác, có trường hợp học sinh mong muốn học theo phương pháp dạy học tích cực giáo viên chưa đáp ứng Do vậy, giáo viên cần phải bồi dưỡng, phải kiên trì cách dạy theo phương pháp dạy học tích cực, tổ chức hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, hình thành thói quen cho học sinh Trong đổi phương pháp phải có hợp tác thầy trò, phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học có kết Phương pháp dạy học tích cực hàm chứa phương pháp dạy phương pháp học II CƠ SỞ THỰC TIỄN Qua nhiều năm giảng dạy mơn tốn ơn thi vào 10 tham khảo ý kiến đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, nhận thấy: Trong trình hướng dẫn học sinh giải tốn thức bậc hai học sinh lúng túng vận dụng khái niệm, định lý, bất đẳng thức, cơng thức tốn học Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải tập cụ thể học sinh chưa linh hoạt Khi gặp tốn địi hỏi phải vận dụng có tư học sinh không xác định phương hướng để giải tốn dẫn đến lời giải sai khơng làm Một vấn đề cần ý kỹ giải tốn tính tốn số học sinh yếu, mạch kiến thức bị vỡ Để giúp học sinh làm tốt tập thức bậc hai người thầy phải nắm sai lầm mà học sinh thường mắc phải, từ có phương pháp Rèn kĩ giải tập thức bậc hai cho học sinh lớp ôn thi vào lớp 10 III THỰC TRẠNG 1.Giới thiệu sơ lược đặc điểm riêng trường *Thuận lợi -Trường THCS chúng tơi có mơi trường học tập học tốt, thiết bị dạy học đầy đủ tất HS có sách giáo, sách tham khảo phục vụ học tập tốt -Với đội ngũ tập thể giáo viên trường nhiệt tình cơng việc, say chun mơn Vì mà chất lượng hiệu đào tạo nhà trường đạt kết cao, đặc biệt chất lượng thi vào lớp 10 mơn tốn *Khó khăn Trường nằm địa bàn xã có điều kiện kinh tế phát triển Dân cư thu nhập thấp, sống chủ yếu nghề nông Một số khác, phụ huynh làm ngư nghiệp, làm ăn xa, quan tâm đến con, phó mặc cho nhà trường Học sinh chưa có ý thức chủ động học tập, gây khó khăn đến cơng tác quản lý giảng dạy Do dịch bệnh Cơ vít kéo dài phải học trực tuyến nên nhiều học sinh phương tiện học tập tốt bị hổng nhiều kiến thức Số liệu thống kê trước nghiên cứu Bài kiểm tra sau học xong chương - Đại số 9, kết sau: Tổng số học sinh Giỏi Khá TB Yếu Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lượng (%) lượng (%) lượng (%) lượng lệ (%) 99 12 12,1% 20 20,2% 23 23,2% 44 44,5 % Hai nguyên nhân dẫn đến kết là: Về phía giáo viên: Khi dạy chương thức bậc hai giáo viên thực nhiệm vụ theo phân phối chương trình với nội dung SGK mà khơng đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng tập Bên cạnh tập thể SGK SBT số lượng không nhiều, chưa đề cập hết dạng cần thiết để học sinh có đủ kiến thức giải tập dạng kiểm tra định kì đề thi vào lớp 10 Do dịch bệnh Cơ Vít kéo dài phải dạy trực tuyến nhiều nên việc truyền thụ kiến thức cho học sinh học yếu gặp nhiều khó khăn Về phía học sinh: Trong năm học trước sau hoàn thành việc giảng dạy ơn tập tốn thức bậc hai , nhận thấy đa số học sinh thường bỏ qua câu 1, ý đề thi vào 10, câu rút gọn phần cuối kiểm tra định kì Nguyên nhân: - Do dịch bệnh Cơ Vít kéo dài học tập học sinh bị gián đoạn , hổng nhiều kiến thức - Học sinh không nắm phép biến đổi thức bậc hai, không nhớ hiểu sâu giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn mẫu, chứa ,tìm cực trị , tìm x để biểu thức nguyên… IV CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Tổng hợp nội dung bậc hai 1.1 Kiến thức Nội dung chủ yếu bậc hai phép khai phương (phép tìm bậc hai số học số không âm) số phép biến đổi biểu thức lấy bậc hai *Nội dung phép khai phương gồm : - Giới thiệu phép khai phương (thông qua định nghĩa, thuật ngữ bậc hai số học số không âm) - Liên hệ phép khai phương với phép bình phương (với a≥0, có  a a ; với a có a | a | ) - Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự (SGK thể Định lý so sánh bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b  a  b ”) - Liên hệ phép khai phương với phép nhân phép chia(thể : định lý “ Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : ab  a b ” định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có : a a  ”) b b * Các phép biến đổi biểu thức chứa bậc hai mà SGK giới thiệu cho công thức sau : A = | A| (với A biểu thức đại số hay nói gọn biểu thức) AB  A B ( với A, B hai biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ 0) A A  B B ( với A, B hai biểu thức mà A ≥ 0, B > 0) A B | A | B ( với A, B hai biểu thức mà B ≥ ) A  AB B B ( với A, B hai biểu thức mà AB ≥ 0, B ≠ ) A ( với A, B biểu thức B > 0) B  A B B C A B C A B   C ( A B ) A  B2 (với A, B, C biểu thức mà A≥ A ≠ B2 ) C( A  B ) (với A, B, C biểu thức mà A ≥ 0, B ≥ A ≠ B) A B *Để so sánh biểu thức rút gọn A với số k, ta xét hiệu: A – k + Nếu A – k > A > k + Nếu A – k < A < k * Bất đẳng thức Cô si với số thực không âm: Dấu “=” xảy a = b 1.2 Kĩ Hai kĩ chủ yếu kĩ tính tốn kĩ biến đổi biểu thức, biểu thức chứa thức bậc hai Có thể kể kĩ tính tốn sau: -Tìm khai phương số (Số số phương hoăc tích hay thương chúng, đặc biệt tích thương số với 100) -Phối hợp kĩ khai phương với kĩ cộng trừ nhân chia số (Sử dụng tính chất khai phương ) Có thể kể kĩ biến đổi sau -Các kĩ biến đổi riêng lẻ tương ứng với công thức nêu phần (Công thức dạng A = B biến đổi A thành B B thành A) Chẳng hạn kĩ nhân thức bậc hai coi vận dụng cơng thức AB  A B theo chiều từ phải qua trái -Phối hợp kĩ để có kĩ biến đổi biểu thức chứa thức bậc hai: Chẳng hạn kĩ trục thức mẫu Điều quan trọng rèn luyện kĩ biến đổi biểu thức tính mục đích biến đổi Điều sách giáo khoa ý thông qua ứng dụng sau hình thành ban đầu kĩ biến đổi biểu thức Các ứng dụng nhằm phong phú thêm cách thức rèn kĩ (So sánh số tìm x thõa mãn điều kiện đó) Ngồi hai kĩ nêu ta cịn thấy có hình thành củng cố phần : -Giải toán so sánh số -Giải tốn tìm x thỏa mãn điều kiện ,giải phương trình chứa thức , giải bất phương trình , tìm GTLN, GTNN Những sai lầm thường gặp cách khắc phục giải toán bậc hai: Khi giải tốn thức bậc hai học sinh mắc sai lầm chủ yếu sau: 2.1 Sai lầm tên gọi hay thuật ngữ toán học: a) Định nghĩa bậc hai: *Ở lớp đưa nhận xét 32 = 9; (-3)2 = Ta nói -3 bậc hai - Định nghĩa : Căn bậc hai số a không âm số x cho x2 =a - Số dương a có hai bậc hai, số dương ký hiệu số âm ký hiệu - a a * Ở lớp nhắc lại lớp đưa định nghĩa bậc hai số học b) Định nghĩa bậc hai số học Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a Sau đưa ý : với a ≥ 0, ta có: Nếu x = a x ≥ x2 =a; Nếu x ≥ x2 =a x = a Ta viết  x 0 x= a    x a Phép tốn tìm bậc hai số học số không âm gọi phép khai phương (gọi tắt khai phương) ⋆ Nguy dẫn đến học sinh mắc sai lầm thuật ngữ “căn bậc hai” "căn bậc hai số học” Ví dụ 1: Tìm bậc hai 16 Rõ ràng học sinh dễ dàng tìm số 16 có hai bậc hai hai số đối - Ví dụ 2: Tính 16 10 Học sinh đến giải sai sau : 16 =  có nghĩa 16 = 4 Như học sinh tính số 16 có hai bậc hai hai số đối : 16 = 16 =  Do việc tìm bậc hai bậc hai số học nhầm lẫn với Cách khắc phục : GV viên hướng dẫn cho học sinh hiểu rõ khái niệm bậc hai số học bậc hai Từ em có định hướng bậc hai số học Cụ thể: 16 = ( giải thích thêm > 42 = 16) Trong tốn sau khơng cần u cầu học sinh phải giải thích c) So sánh bậc hai số học Với hai số a b khơng âm, ta có a < b  a b Ví dụ 3: So sánh 15 Học sinh loay hoay nên so sánh chúng theo hình thức theo định nghĩa số 15 bậc hai số học 15 đem so sánh với số số có hai bậc hai số học -2 với suy nghĩ học sinh đưa lời giải sai sau : < 15 (vì hai bậc hai nhỏ 15 ) Tất nhiên sai học sinh em hiểu nhầm sau học song mà sau học thêm loạt khái niệm hệ thức học sinh khơng ý đến vấn đề quan trọng Cách khắc phục: Ở giáo viên cần nhấn mạnh ta so sánh hai bậc hai số học! Ta có 16 > 15 nên 16 > 15 Vậy = 16 > 15 d) Sai thuật ngữ ý định nghĩa bậc hai số học với a ≥ 0, ta có : Nếu x = a x ≥ x2 =a; Nếu x ≥ x2 = a x = a Ví dụ 4: Tìm số x, khơng âm biết : x = 15 Học sinh áp dụng ý thứ giải sai sau: 14 x2  * Lời giải sai : (x  = x 3 )( x  ) x = x - * Phân tích sai lầm : Rõ ràng x = - x + = 0, biểu thức x  x  không tồn Mặc dù kết giải học sinh khơng sai, sai lúc giải khơng có lập luận, biểu thức khơng tồn có kết * Cách khắc phục: Biểu thức phân thức, để phân thức tồn cần phải có x + ≠ hay x ≠  Khi ta có x2  x (x  = )( x  ) = x - (với x ≠  ) x Ví dụ : Cho biểu thức  Q =  1 x x  x   x  với x ≠ 1, x > x 1  x  a) Rút gọn Q b) Tìm x để Q > -1 x  Giải : a) Q =  1 x  x   x  x 1  x   x (1  x )  x (1  Q=  (1   x)  x x )(1  x ) 1 x   x  x  x  x 3 x  Q =   1 x   1 x Q= x  (3  x 3 x  = 1 x 1 x 1 x Q=  3 x = 1 x 1 x Q=- x) 1 x b) * Lời giải sai : Q > -1 nên ta có - 1 x > -1  > 1+ x  > x  > x hay x < Vậy với x < Q < -1 * Phân tích sai lầm : Học sinh bỏ dấu âm hai vế bất đẳng thức có bất đẳng thức với hai vế dương nên kết toán dẫn đến sai 15 * Cách khắc phục: Q > -1 nên ta có - 1 x > -1  <  1+ x >  1 x x >  x > Vậy với x > Q > - Những phương pháp giải toán bậc hai 1.1 Xét thuật ngữ toán học Vấn đề khơng khó dễ dàng ta khắc phục nhược điểm học sinh (GV: Có thể áp dụng vào giảng dạy ngày cách nhắc nhở đặt câu hỏi vấn đáp trả lời) 2.2 Xét biểu thức phụ có liên quan Ví dụ : Với a > 0, b > chứng minh a  b < a  b Giải : Ta so sánh hai biểu thức sau : a + b ( a + b )2 Ta có : ( a + b )2 = a+ b + ab Suy a + b < ( a + b )2 ta khai hai vế ta : a b < ( a  b ) a > 0, b > nên ta : a b < a b * Như toán muốn so sánh a  b với a  b ta phải so sánh hai biểu thức khác có liên quan biết quan hệ thứ tự chúng, biểu thức liên quan ta gọi biểu thức phụ Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức A : A= 2  x2 Giải : Ta phải có |x| ≤ Dễ thấy A > Ta xét biểu thức phụ sau : B=  2A  x2 Ta có : ≤  x ≤ => - ≤-  x ≤ => 2- ≤ -  x ≤ giá trị nhỏ B = 2-  =  x  x = Khi giá trị lớn A = 2 = 2+ Giá trị lớn B = giá trị nhỏ A = 1 = B  x =  x =  , 16 Nhận xét: Trong ví dụ trên, để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A, ta phải xét biểu thức phụ A 3.3 Vận dụng hệ thức biến đổi học Giáo viên ý cho học sinh biến đổi thực toán bậc hai cách sử dụng hệ thức công thức học: đẳng thức, quy tắc khai phương tích, quy tắc nhân bậc hai, quy tắc khai phương thương, quy tắc chia hai bậc hai, đưa thừa số dấu căn, đưa thừa số vào dấu căn, khử mẫu biểu thức lấy căn, trục thức mẫu… Ngoài hệ thức nêu trên, tính tốn học sinh gặp tốn có liên quan đến bậc hai biểu thức, toán lại yêu cầu tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức cho Hay yêu cầu tìm giá trị tham số để biểu thức ln âm ln dương hoặc giá trị đó… giáo viên cần phải nắm vững nội dung kiến thức cho hướng dẫn học sinh thực nhẹ nhàng mà học sinh hiểu tốn Ví dụ 1: Cho biểu thức :  a   P =  a   2  a1    a 1 a   với a > a ≠ a   a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm giá trị a để P < Giải:  a a  a) P =   a  ( a  1)  ( a  1)  ( a  1)( a  1)   a   a  a   a  a  (a  1)( a )  =  = (2 a ) a 2 a = 1 a (1  a ).4 a = a 4a Vậy P = 1 a a với a > a ≠ b) Do a > a ≠ nên P < 1 a a Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức A : A = x 1+ Giải : y  biết x + y = Ta có A2 = ( x-1) + (y - 2) + ( x  1)( y  2) = 17 = (x + y) - + ( x  1)( y  2) = 1+ ( x  1)( y  2) Ta lại có ( x  1)( y  2) ≤ (x -1) + (y- 2) = Nên A2 ≤ x  y   Giá trị lớn A =   x  y 4  x 1,5   y 2,5 Một số tập rút gọn tổng hợp: Bài 1: Cho biểu thức: a a   a 2 a  A   1 :   1  a    a 2  a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A b) Tìm a để A = c) Tính giá trị A a 3  2 d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên e) Tìm a để A < Bài giải: a 0 a) ĐKXĐ:  a 0    a  0 a 1 Ta có: a a   a 2 a   a ( a  1)   a ( a  2)  A   1 :   1   1 :   1 a  a  a  a          ( a  1) : ( a  1) Vậy A = a 1 a1 a) Tìm a để A = Phương pháp: Thay A biểu thức vừa rút gọn giải phương trình: A 5  a 1 5  a1  a  5( a  1)  a   a  (TM ) Vậy với a = 9/5 A = a 3  2 a  5 a   a 6 18 b) Tính giá trị A Phương pháp: Thay giá trị biến vào biểu thức vừa rút gọn thực phép tính Ta có: a 2  2  ( 2)  2.1 12 ( 1) Suy a     Do thay vào biểu thức A ta được: A  1 1 2  1  2 1  d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên Phương pháp : Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu ước phần dư (một số) ý điều kiện xác định a 1  a1 a1 Để A nguyên ngun, suy a1 Ta có:        A a  1là ước a    a 0   a 4 (TMĐK) a  2  a 9 a   a  1 Vậy a = 0; 4; A có giá trị nguyên e) Tìm a để A < Phương pháp : Chuyển vế thu gọn đưa dạng M < (hoặc M > 0) N N dựa vào điều kiện ban đầu ta biết M N dương hay âm, từ dễ dàng tìm điều kiện biến a 1 1  a1 a 1  1  a1 0 a1 a  1  a 1 Kết hợp điều kiện ban đầu, suy a  Ví dụ 2: Cho biểu thức A ( x  ): x  x x x1 a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A 19 b) Tìm giá trị nhỏ A Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x  Rút gọn A ( x  x  x x ( x )2  A x ( x  1) ): x1 ( x x1  x ( x  1) ): x  (x  2)( x  1) x    x ( x  1) x b)Tìm giá trị nhỏ A Phương pháp: Dựa vào điều kiện ban đầu bất đẳng thức Ta có A  x   x  2 x x  A 2  Vậy: x (BĐT Côsi cho hai số dương)  x 2 (TMĐK) x A 2  x 2    A       x 1   x  x1 a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A Ví dụ 3: Cho biểu thức b)Tìm giá trị x để A  A Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1   x 1  x  x 1  A        x 1   x x  x1 x  x 1    x  1 x  x  1 x 1 x  A  x1 b) A  A   A     x1  x1 20 )0  )  x1 x    x  1 1 1   x1 0 x1 x3 0 x1  x   (vì x > 1)  x  Vậy x >   x   x x1 A  Ví dụ 4: Cho biểu thức x1 x x A A a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A b) Với giá trị x A  A Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1 A x  x1 x1 x   x1 b) A  A  A    x  x  x 1  x1 0  x  x1   x1 x  x   (vì Kết hợp với điều kiện xác định < x