ĐỀ KHẢO SÁT NĂNG LỰC HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022- 2023 MƠN TỐN - LỚP Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm có câu, 01 trang) ĐỀ THI THỬ Câu (2,0 điểm): 1) Tìm x biết: 47 2.x 20 15 10 2) Cho A 1 32 33 32023 Tìm số tự nhiên x để 2A+1= 81x 3) Tìm số x, y biết: 2x 3y x.y2 = 18 Câu (2,0 điểm): Tính giá trị biểu thức: 412.910 88.27 1) A = 24 81 66.49.97 2) S 1.4 4.7 7.10 2023.2026 3) 1 1 2022 P 2021 2020 2019 2020 2021 Câu (2,0 điểm): 1) Tìm cặp số nguyên (x; y) cho: 2xy = x + y 2) Tìm số p nguyên tố để p2 + số nguyên tố 3) Cho x, y số nguyên thỏa mãn: (x - y)2 + 2xy chia hết cho Chứng minh rằng: x y chia hết cho Câu (3,0 điểm): Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ đoạn thẳng AN vng góc với AB AN = AB (AN AB khác phía bờ AC); vẽ đoạn thẳng AM vng góc với AC AM = AC (AM AC khác phía bờ AB) Gọi E trung điểm BC Trên tia đối tia EA lấy điểm I cho EA = EI MN cắt EA K a) Chứng minh BM = CN AN = CI b) Chứng minh MAN ACI c) Chứng minh AE vng góc với MN Câu (1,0 điểm): 1) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7( x 2023) 25 ( y 1) 2 2) Cho a; b; x; y thỏa mãn: (bx2 - ay2)2022 + x y 0 x 2022 y 2022 Chứng minh rằng: 1011 1011 a b (a b)1011 Hết (a 0; b 0; a + b 0) HƯỚNG DẪN CHẤM HSG TOÁN Câu Nội dung 47 2.x 20 15 10 47 2.x 20 1 2x x 10 20 1) 2đ Điểm 0,25đ 47 2.x 20 15 10 0,25đ 0,25đ 2) Rút gọn được: A 1 3 2023 32024 => 2A 32024 2A 32024 => 81x 32024 34 x 32024 4x 2024 x 506 3) 0,25đ 2x 3y x y k (k R ) => x = 9k y = 4k Mà x.y2 = 18 => 9k.16k2 = 18 => k3 = => k = 0.5 => x = 4,5 y = 412.910 88.27 224.320 224.318 1) A = 24 24 20 6 18 14 81 3 24 18 2 (3 1) A 24 20 (1 1) 2đ 0,5đ 224.318 (32 1) A 24 20 (1 1) 3 3 2) S : 2.3 1.4 4.7 7.10 2023.2026 1 1 1 S : 2.3 1 4 7 10 2023 2026 2025 675 S : 2.3 1 S 2026 2026 1013 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 3) 2021 2020 2019 1 2020 2019 2018 1 1 1 2021 2021 2022 2022 2022 2022 2022 A 2021 2022 1 1 1 2022 P 2021 2022 2022 2 xy x y xy x y 0 xy x y 0 1) x(2 y 1) (2 y 1) 1 (2 x 1)(2 y 1) 1 x 1 x 1 + Trường hợp 1: y 1 y 1 A x y + Trường hợp 2: Vậy (x;y) (0;0); (1;1)} 2) x 0 y 0 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25 0,25 + p = => p2 + = 12 hợp số + p = => p2 + = 17 nguyên tố + p > mà p nguyên tố => p không chia hết cho => p = 3k + p = 3k + (k nguyên dương) + p = 3k + => p2 + = (3k + 1)2 + = 9k2 + 6k + chia hết cho Mà p2 + > => p2 + hợp số + p = 3k + => p2 + = (3k + 2)2 + = 9k2 + 12k + 12 chia hết cho Mà p2 + > => p2 + hợp số Vậy p =3 3) (x - y)2 + 2xy chia hết cho => (x - y)2 + 2xy chia hết cho Mà 2xy chia hết cho => (x - y)2 chia hết cho => x - y chia hết cho (x - y)2 chia hết cho mà (x - y)2 + 2xy chia hết cho 2xy chia hết cho => xy chia hết cho x chia hết cho y chia hết cho Mà x -y chia hết cho => x y chia hết cho 2đ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 A N K M B C E I 0,25 Vẽ hình a) + Chứng minh MAB CAN 900 BAC + Chứng minh ABM ANC BM CN + Chứng minh ABE ICE AB = CI mà AN = BA => CI = AN b) ABE ICE => BAE CIE AB / /CI BAC ACI 1800 3đ MAC BAN 900 900 1800 MAC CAN BAC 1800 MAN BAC 1800 MAN ACI c) Chứng minh ANM CIA ANM CIA KAC AMN Mà KAC KAM 90 MAK AMN 900 => MN AK 1đ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1) 7(x–2023)2 0 25 ( y 1) 0 ( y 1) 25 y 1 {0; 4;9;16; 25} Mặt khác 25 ( y 1) 7 y 1 {4; 25} +(y -1)2= => 7(x–2023)2 = 21 => (x–2023)2 = => x + (y-1)2 = 25 => y = (y số tự nhiên) => (x–2023)2 = => x = 2023 Vậy (x;y) = (2023;6) 0,25 0,25 2) Từ GT => bx2 = ay2 x2 + y2 = x2 y x2 y x2 y bx = ay => a b a b a b a b 2 x => a 1011 y b 1011 a b x 2022 y 2022 1011 1011 a b ( a b)1011 2022 1011 (vì x2 + y2 = 1) 0,25 2022 x y a1011 b1011 (a b)1011 0,25