UBND TỈNH HẢI DƯ¬ƠNG 5 UBND HUYỆN KIM THÀNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài 150 ph[.]
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC SINH GIỎI THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022 – 2023 MƠN: TỐN - LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 05 câu, 01 trang) UBND HUYỆN KIM THÀNH Câu (2,0 điểm) a) Cho M = x2 x2 x 5x x x2 Rút gọn tính giá trị M x b) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c 14 a b c 6 Chứng minh rằng: a b c 22 a 11 b 11 c 11 (a 11)(b 11)(c 11) Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 2x x x x 1 x 1 x 2 x y 4 x b) Giải hệ phương trình: x 12 x y 6 x +9 Câu (2,0 điểm) a) Cho a, b, c, k số tự nhiên thỏa mãn: a b3 c a b c k 2k Chứng minh k chia hết cho b) Tìm x, y nguyên biết: x y xy 12 x 0 Câu 4: (3 điểm) 1) Cho ABC vuông A, đường cao AH Các đường phân giác góc BAH, CAH cắt BC E, F a) Chứng minh: BC.EH CH BE tâm đường tròn ngoại tiếp AEF trùng với tâm đường tròn nội tiếp ABC b) Kí hiệu d1 , d đường thẳng vng góc với BC E, F Chứng minh d1 , d tiếp xúc với đường tròn nội tiếp ABC 2) Cho tam giác ABC Gọi l A , lB , lC độ dài đường phân giác góc A, B, C Chứng minh l A 2bc cos A b c 1 1 1 l A lB lC a b c Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn: x y z 9 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M x3 y3 y z z x3 xy yz xz -HẾT Họ tên học sinh Số báo danh Chữ kí giám thị Chữ kí giám thị 2 UBND HUYỆN KIM THÀNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022- 2023 MƠN: TỐN – LỚP (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Ý Nội dung M x( x 1) x Điểm (ĐK: x>1 x ) 5( x 1) x x 0.25 A x >1 => M x 1( x x x 1) x x 1(5 x x x 1) x 0.25 x 1( x x x 1) x 1( x x x 1) x M x = x 1 x = -1- < -1 => M = x x 1 2 0.25 2(2 2) 21 0,25 Ta có a b c 6 a b c 0,25 ab bc ca 36 ab bc ca 11 Do đó: a 11 a ab bc ca a b a c 0,25 b Tươngtự ta có: ca a b b 11 b ab bc ca b c b a c 11 c ab bc c c Suy ra: 0,25 a b c a 11 b 11 c 11 a a a b a c b c b c a c a b a b b c c a ab bc ca (a 11)(b 11)(c 11) b b c b a c c a c b 22 (a 11)(b 11)(c 11) Điều kiện xác định x 1 0,25 0.25 Phương trình cho x x x 1 x x 1 x x 1 x a b ab 1 0 b 0 x 1 b 2 Ta có phương trình b a a b ab a b 0.25 Vì ab nên a = b Khi ta phương trình 0.25 Đặt a x a (a 0) Tìm x x b x 1 x thỏa mãn điều kiện nên nghiệm pt cho 0.25 Từ phương trình (1) ta suy ra: 12 x x y vào phương trình (2) thu b gọn ta được: 0.25 x y 0 x y 3( x y ) ( x y )( x xy y 3x y ) 0 2 x xy y 3x y 0 * Nếu x y 0 y x y x vào phương trình (1) ta 0.25 x 4 x 2( x 1) 1 0 phương trình vơ nghiệm * Nếu x xy y 3x y 0 , trừ vế theo vế phương với phương 0.25 trình (1) ta được: x 3 xy 3x y x xy x y 0 ( x 3)( y 1) 0 y 1 + Nếu x =3 thay vào phương trình (1) ta suy y2 = suy y = => (x;y) = (3; 0) thoả mãn phương trình (2) + Nếu y =1 thay vào phương trình (1) ta suy (x - 2)2 = => x = => (x;y) = (2; 1) thoả mãn phương trình (2) Vậy nghiệm hệ cho (x; y) = (3;0), (2; 1) Bài toán phụ: Với x số tự nhiên Chứng minh rằng: x3 – x ln chia hết cho Chứng minh: Ta có: x3 – x = x(x – 1)(x + 1) Do đó: x3 – x ln chia hết cho Ta có : a b3 c a b c k 2k Hay a a b3 b c c k 2k 0.25 0,25 0,25 Hay: k 1 a a b3 b c3 c Áp dụng tốn ta có: a a M3 b3 b M3 0,25 c c M3 Nên: k 1 M3 Mà số nguyên tố Nên : k 1M3 (đpcm) Ta có: x y xy 12 x 0 0,25 x xy y 3x 12 x 12 0 0,25 2 x y x 7 Suy ra: 3 x 7 Hay: x 2 0,25 Do đó: x 0;1 Ta có trường hợp: 0,25 +) x 0 Khi x y 7 (Loại) x 1 x +) x 1 x x x y 2 Khi đó: x y 4 x y y 4 y 8 Nên: x = –1 x = –3 y 0 y 4 0,25 Nghiệm phương trình x; y ( 1; 4); ( 1;0);( 3;8);( 3; 4); Vì AE phân giác góc BAH, ta có: EB AB EH AH 2 a EB AB BH BC BC EH AH BH CH CH BC.EH CH BE Gọi O giao điểm đường phân giác góc B, C O tâm đường tròn nội tiếp ABC BAE Ta có: AEC B HAC EAH EAC AEC cân C CO phân giác góc ACE đồng thời trung trực AE CMTT: BO trung trực AE O tâm đường tròn ngoại tiếp AEF ĐPCM Kẻ OM, ON, OP vuông góc với BC, d1 , d , gọi K giao điểm b AO với BC EOK FOK 2 EAO FAO 2 EAF BAC 90o Có: EOF Mà OE OF EOF vuông cân O OM EM FM Chứng minh được: ON ME ; OP MF OM ON OP d1 , d tiếp xúc với đường tròn nội tiếp cos sử dụng tam giác cân 2 đỉnh A có A 2 thơng qua cơng thức diện tích để đến kết luận 1 A A Ta có: S ABC bc sin A , S ABD cl A sin , S ACD bl A sin 2 2 2 2bc A cos Mà S ABC S ABD SACD l A b c A cos 1 b c lA bc 2b 2c 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Chứng minh công thức sin 2sin 0,25 0,25 0,25 Tương tự: B C cos 1 , 1 lB 2a 2c lC 2a 2b cos A B C cos cos 1 lA lB lC a b c cos Ta có A B C cos cos 111 lA lB lC l A lB lC cos 1 1 1 l A lB lC a b c Ta chứng minh : với a, b số dương ta có a b3 ab 0,25 a b 0.25 a b Dấu xảy a=b x3 y3 x y x y 36 x y Khi ta có xy x y 36 x y 36 Áp dụng BĐT Cô-si ta x y 0.25 36 12( x y ) 36 x y x3 y x3 y x y x y x y xy 12 x y xy Chứng minh tương tự ta y3 z3 z3 x3 y z ; z x yz xz 0.25 Cộng ba BĐT chiều ta M x y y z z x M 2( x y z ) M 2.9 M 9 Dấu xảy x y z x y z 3 x y z Vây GTNN M đạt x y z 3 0.25