SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi: TỐN (chun) Thời gian làm : 150 phút Câu (3,0 điểm) x y a) Cho số hữu tỷ x, y thỏa mãn Chứng minh A x xy y số hữu tỉ b) Giải phương trình : x x x x x2 x6 y y y c) Giải hệ phương trình x Câu (2,0 điểm) a) Chứng minh với x số nguyên 25 x khơng thể viết dạng tích hai số ngun liên tiếp b) Tìm tất số thực x cho 3x x 1 , 2x 1 ký hiệu a a a với a số nguyên lớn không vượt a Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ 1 P 2x2 y z y 2z x biểu thức Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Đường tròn (O) đường E E B BE D B, D E kính BC cắt AB Gọi D điểm cung nhỏ O Hai đường thẳng DC AH cắt G, đường thẳng EG cắt đường tròn M ( M khác E), hai đường thẳng AH BM cắt I, đường thẳng CI cắt O đường tròn P (P khác C) a) Chứng minh tứ giác DGIP nội tiếp b) Chứng minh GA.GI GE.GM c) Hai đường thẳng AD BC cắt N, DB CP cắt K Chứng minh hai đường thẳng NK AH song song với Câu (0,5 điểm) Chứng minh 16 số nguyên dương đôi khác nhỏ 23, tìm hai số khác có tích số phương ĐÁP ÁN Câu (3,0 điểm) x y d) Cho số hữu tỷ x, y thỏa mãn Chứng minh A x xy y số hữu tỉ 3x y xy x y 3xy x y A x xy y x y 3xy x y x y 1 x y 1 x y 1 Vì x, y hữu tỉ A hữu tỉ e) Giải phương trình : x x x x 5x x , pt x 3x x x x x ĐK: 3x x 5x 5x x x x 3x x x x x 1; x (tmdk ) 3 x x 0(do x PTVN ) 1 S 1; 4 Vậy x2 y x6 y y f) Giải hệ phương trình x Điều kiện : x 0; y Nhân vế với vế hai phương trình ta : x y x2 x y y x x x 2; y x 9 x2 x y y x x x 6; y x 2;1 , 6;3 Vậy hệ có hai nghiệm Câu (2,0 điểm) c) Chứng minh với x số nguyên 25 x khơng thể viết dạng tích hai số ngun liên tiếp Giả sử Có vế phải 25 xM25 với x nguyên (1) Xét vế trái : 25 x n n n ¢ n n 25 x n n 25 x Th1: n M5 n n 2 chia hết n n 3 M25 vế trái n n 3 không chia hết cho 25 n n 2 Th2: n không chia hết cho khơng chia hết cho n n 3 n n 3 Nên không chia hết cho không chia hết cho hay vế trái không chia hết cho 25 Cả hai trường hợp mâu thuẫn với (1) Vậy 25 x khơng viết dạng tích hai số nguyên liên tiếp d) Tìm tất số thực x cho 3x x 1 , 2x 1 ký hiệu a a a với a số nguyên lớn không vượt a 3x x x x x x 1 0, x 1 x2 Với x : Với x : 2x x2 2 3x x x 2 2x2 2x 1 3x x 3x2 x 1 3x x 2 2x 1 2 Từ (1) (2) x x 3x x 1 x 2 Giải x 3x x x 2 Giải x 1 x ;x Vậy số phải tìm Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z Tìm giá trị 1 P 2x2 y z y 2z x nhỏ biểu thức 1 P 2x2 y z2 y 2z x Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có : P x y z xy z x y z x y z 1 8 x y 2 z z x y 2 x y 17 t t t P t 1 t 2 t Đặt z 15 17 t 15 17 17 2 2t 2t P 17, dấu " " xảy Vậy Min P 17 x y xy z z Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH Đường trịn (O) đường kính BC cắt AB E E B Gọi D điểm cung nhỏ BE D B, D E Hai đường thẳng DC AH cắt G, đường thẳng EG cắt đường tròn O M ( M khác E), hai đường thẳng AH BM cắt O I, đường thẳng CI cắt đường tròn P (P khác C) d) Chứng minh tứ giác DGIP nội tiếp D thuộc đường trịn đường kính BC BDC 90 BDG BHG 180 tứ giác BHGD nội tiếp HGC DBH DBC DPC (nội tiếp (O) chắn cung DC) HGC DPI nên tứ giác DGIP nội tiếp e) Chứng minh GA.GI GE.GM E đường trịn đường kính BC BEC 90 BAH BCE (cùng phụ với ABC ) ; BME BCE (cùng chắn cung BE ) EAG IMG Xét GIM GEA có IGM EGA (đối đỉnh), EAG IMG GI GE GI GA GE.GM GM GA f) Hai đường thẳng AD BC cắt N, DB CP cắt K Chứng minh hai đường thẳng NK AH song song với EGD CGM có EGD CGM (đối đỉnh), EDG CMG (cùng chắn GE GC EGD ∽ CGM ( g g ) GE.GM GC.GD GD GM cung EC) GI GD GE.GM GI GA GI GA GC.GD GC GA Lại có Xét GAD GCI có GI GD AGD CGI , GAD ∽ GCI (c.g c ) DAG ICG GC GA Xét ANH CKD có AHN CDK 90, NAH DCI ANH DKC nên tứ GIM ∽ GEA( g g ) giác DNKC nội tiếp KNC KDC 90 hay NK NC Mà AH NC NK / / AH Câu (0,5 điểm) Chứng minh 16 số nguyên dương đôi khác nhỏ 23, tìm hai số khác có tích số phương Lập 15 nhóm sau: Nhóm 1: 1; 4; 9; 16 Nhóm 2: 2; 8; 18 Nhóm 3: 3; 12 Nhóm 4: 5; 20 11 nhóm tiếp theo, nhóm có số 11 số khơng nhóm 0,25 nhóm Với 16 số nguyên dương đôi khác nhỏ 23 xếp vào 15 nhóm → có hai số xếp vào nhóm, mà 11 nhóm cuối có số → hai số nhóm nhóm từ nhóm đến nhóm tích chúng số phương