046 đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh quảng bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi : TOÁN CHUYÊN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) P Cho biểu thức  x  x  11  x 1 x 2   x 2  1 x 1 x 2 (với  x  1) a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P chia hết cho Câu (2,0 điểm) a) Cho phương trình x   m  1 x    1 (với m tham số) Tìm tất giá trị ngun m để phương trình   có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  b) Giải phương trình x   x   Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a2 b2 c2    abc bca c  a b a bc Câu (1,5 điểm) Tìm n  ¥ để n  chia hết cho n  Câu (3,5 điểm) Từ điểm A bên ngồi đường trịn  O  kẻ hai tiếp tuyến AM , AN với (O) (M, N tiếp điểm) Gọi E trung điểm AN , C giao điểm ME với (O) (C khác M) H giao điểm MN AO a) Chứng minh tứ giác HCEN nội tiếp b) Gọi D giao điểm AC với (O) ( D với C ) Chứng minh tam giác MND tam giác cân O c) Gọi I giao điểm NO với   (I khác N); K giao điểm MD AI KM Tính tỉ số KD ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) P Cho biểu thức  x  x  11  x 1 x 2   x 2  1 x 1 x 2 (với  x  1) c) Rút gọn biểu thức P P  x  x  11   x 1 x 2   x 2  1 x 1 x 2 x  x  11  x   x   x  x     x  2  x  1  x6 x 7    x  1  x  2  x  1  x 1  x  2 x 7 x 7 x 2 d) Tìm x để P chia hết cho Ta có : P x 7 5  1   P     0  x  1 2 x 2 x 2 Biểu thức P chia hết cho Vậy x  P 3 x 7   x   x   x  (tm) x 2 Câu (2,0 điểm) c) Cho phương trình x   m  1 x    1 (với m tham số) Tìm tất giá trị nguyên m để phương trình   có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  Vì ac  nên phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với giá trị m  x1  x2  2m     x x  3  3 Theo hệ thức Vi-et ta có :  Kết hợp x1  x2  với (2) ta x1  4m  9; x2   2m Thay vào (3) ta : m   4m     2m   3  8m  46m  60    15 m  x   3x   d) Giải phương trình Điều kiện : x x   3x         x 1   3x     x  3 x 3       x  3   0 x 1  3x   3x     x 1  x      0(VN )  x   3x   Vậy x  Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a2 b2 c2    abc bca c  a b a bc  x  a  b  c  a  x  z   y  b  c  a    x  y yz z  c  a  b  b  ;c    2 Đặt  x  y 4z Ta cần chứng minh :  x  y Ta có : 4z  y  z  4x 2  y  z  4x  z  x  4y   z  x  4y xy yz zx    1 z x y xy yz yz zx xy zx   y;   z;   x x y z y Mặt khác : z x xy yz zx    x  y  z  2 Khi z x y  x yz  x  y Từ (1) (2) ta có : 4z  y  z  4x  x  z  4y  x yz a2 b2 c2    abc Vậy b  c  a c  a  b a  b  c Dấu xảy a  b  c Câu (1,5 điểm) Tìm n  ¥ để n  chia hết cho n  n5  1Mn3   n2  n3  1   n  1 Mn3  Với n  ¥ , ta có :   n  1 Mn3    n  1  n  1 M n  1  n  n  1  n  1Mn  n  (do n   0)  n  n  1 Mn  n    n  n  1  1Mn  n   n2  n   n   1Mn  n     (tm) n  n  n      Vậy n  0, n  Câu (3,5 điểm) Từ điểm A bên đường tròn   kẻ hai tiếp tuyến AM , AN với (O) (M, N tiếp điểm) Gọi E trung điểm AN , C giao điểm ME với (O) (C khác M) H giao điểm MN AO O d) Chứng minh tứ giác HCEN nội tiếp Ta có AM , AN hai tiếp tuyến cắt nên OA đường phân giác MON MON cân O, có OA đường phân giác nên OA đồng thời đường tung trực ứng với MN  MH  HN ; OA  MN Vì MN  HN , AE  EN nên HE đường trung bình MAN ¼ )  HE / / MA  HEM  AME mà MNC  AME (cùng chắn MC Nên MNC  HEM suy tứ giác HCEN nội tiếp e) Gọi D giao điểm AC với (O) ( D với C ) Chứng minh tam giác MND tam giác cân ENC ∽ EMN ( g.g )  EN EC EA EC   EM EN mà EN  EA nên EM EA EA EC  ECA EAM có : EM EA AEC chung  ECA ∽ EAM  EAC  EMA ¼ Lại có EMA  MDC (cùng chắn MC ) nên EAC  MDC Suy MD / / AN  DMN  MNA Mặt khác, MDN  MNA (cùng chắn cung MN)  MDN  DMN Do MND cân N O f) Gọi I giao điểm NO với   (I khác N); K giao điểm MD KM AI Tính tỉ số KD Gọi L giao điểm MD, NI Vì MD / / AN (cmt ), IN  AN (tính chất tiếp tuyến) Nên IN  MD L INA có  DL  ML  LK / / AN  MD LK IL   1 AN IN Ta có IM / / AO (cùng vng góc với MN ), suy MIL  AON Lại có MLI  ONA  90 nên MIL ∽ AON ( g.g ) IL ML IL ML IL ML       2 Suy NO AN NO AN IN AN LK ML ML ML   LK   MK  KL  2 Từ (1) (2) suy AN AN Vì MK  LK , ML  DL  KD  3KM  KM  KD