Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh ninh bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỂ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUN NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi: TỐN CHUN Thời gian làm : 150 phút  x 3 x 2 x 2   x2  A     :  1   x 3 x 5 x 6   x  x 2   x 2 Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức Với x  0, x  4, x  1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x   2 Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình : x  3x     x  x   2 x  y  x  y  1  2 2) Giải hệ phương trình  x  y  xy  y  Câu (2,0 điểm) 1) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  3z  Chứng minh : 1 3     2 x  y  9z 49 xy 49 yz 98 zx 49 2 2) Tìm tất số nguyên dương a số nguyên tố p cho a  p    nội tiếp đường tròn   Gọi Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn M , N trung điểm cạnh AB, AC Đường thẳng MN cắt (O) điểm P, Q (P thuộc cung nhỏ AB Q thuộc cung nhỏ AC ) Lấy điểm D cạnh BC ( D khác B C) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB điểm I (I khác B) Đường thẳng DI cắt AC K 1) Chứng minh tứ giác AIPK nội tiếp 2) Chứng minh PK PD  QB.QA 3) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP G (G khác P) Đường thẳng IG cắt đường thẳng BC điểm E Chứng minh điểm D di ABC AB  AC O CD chuyển cạnh BC tỉ số CE khơng đổi Câu (1,0 điểm) Cho bảng ô vuông  (gồm ba dòng ba cột) Người ta ghi  1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 tất số thuộc tập hợp vào ô vuông bảng, ô vuông ghi số, cho tổng số bảng ô vuông cỡ  1) Hãy cách ghi số vào bảng thỏa mãn yêu cầu 2) Trong tất cách ghi số vào bảng thỏa mãn yêu cầu tốn, tìm giá trị lớn tổng số bảng vuông cỡ  ĐÁP ÁN  x 3 x 2 x 2   x2  A     :     x 3 x5 x 6   x 2   x x 2  Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức Với x  0, x  4, x  1) Rút gọn biểu thức A Đặt a  x , ta có :  a    a2   a3 a2 A    1 :   a  a  a  5a    a  a   a   a   a   a    a  1  a    a  1 a      a a  a    a  3  a  3 a x 1 x 2) Tính giá trị biểu thức A x   2 x  3 2    2   x   Khi A 1  2 2 1 Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình : x  3x     x  x   x  x     x  x    x  1   x    x  1   x   x   x  x  x       x     x  (tm)  x 1 x 1   x 1   x   Vậy tập nghiệm phương trình cho S   1; 2;5 2 x  y  x  y  1  2 2) Giải hệ phương trình  x  y  xy  y  2 2 x  y  x  y  1 2  x     y  1   1   2 2  x  y  xy  y   x  y    y  1    Trừ hai phương trình vế theo vế, ta :  x     x  y    y  1  2   x     x  y    x     y  1  2 2   x  y  1  y  1   x  y  1  x  y  3    x  y  1  x  y     1   x    y  2  y  x    1   x        x  7  y     2   26  13 52  13  x y   26 26  x  5 y      52  y  1      26  13 52  13 x y   26 26   Vậy hệ phương trình có nghiệm : 1     52  13 26  13   52  13 26  13  ; ;  ;  ;   ; ;   ;   26 26 26 26  2   2       x; y     Câu (2,0 điểm) 1) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  3z  Chứng minh : 1 3     2 x  y  9z 49 xy 49 yz 98 zx 49 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si – Schwarz ta có : 36 1 3      49  49  49 2 x  y  9z 49 xy 49 yz 98 zx x  y  z xy 12 yz zx  3 1     182  7 7     x  y  z 1 2 x  y  z  xy  12 yz  zx 49 2) Tìm tất số nguyên dương a số nguyên tố p cho a  p  a; p    11;  a; p    24;3 Dễ thấy   thỏa mãn a    a  3  p Xét p  3, a chẵn  Đặt d  UCLN  a  3; a  3  6Md Nếu d    a  3, a  3  a   p7 (ktm) a    Nếu 3Md   a  3 M3  p M3  p M3 mà a  lẻ nên (vô lý)  a    p  7( ktm)   a   p p  7, p    a 3     p  13(ktm)  a   p Nếu a; p    11;  ,  24;3 Vậy  Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn  O  Gọi M , N trung điểm cạnh AB, AC Đường thẳng MN cắt (O) điểm P, Q (P thuộc cung nhỏ AB Q thuộc cung nhỏ AC ) Lấy điểm D cạnh BC ( D khác B C) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB điểm I (I khác B) Đường thẳng DI cắt AC K 1) Chứng minh tứ giác AIPK nội tiếp Do tứ giác IPBD, APBC nội tiếp nên KIP  PBD  KAP Vậy tứ giác AIPK nội tiếp 2) Chứng minh PK PD  QB.QA Do tứ giác AKPI , BDIP nội tiếp nên PKD  PBA PDK  PBA Suy PK PA  PD PB Ta có tứ giác APBQ nội tiếp nên MAP  MQB MPQ  MBQ PA AM PB BM  AMP ∽ QMB    QB QM Tương tự ta có : QA QM Do AM  BM PA PB PA QB    QB QA hay PB QA PKD ∽ PAB  PK PA QB   PD PB QA Vậy 3) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP G (G khác P) Đường thẳng IG cắt đường thẳng BC điểm E Chứng minh điểm D CD di chuyển cạnh BC tỉ số CE không đổi Do tứ giác IPBG nội tiếp nên BIG  BPG  BAC  IG / / AC CD KD  Theo định lý Ta-let, ta có : CE KI Lấy điểm J AB cho APJ  KPI  BAC , J cố định KD AB  KD , KB PKD ∽ PAB I, J chia theo tỉ số nên KI AJ CD AB  Vậy CE AJ cố định Câu (1,0 điểm) Cho bảng ô vuông  (gồm ba dòng ba cột) Người ta ghi  1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 tất số thuộc tập hợp vào ô vuông bảng, ô vuông ghi số, cho tổng số bảng ô vuông cỡ  1) Hãy cách ghi số vào bảng thỏa mãn yêu cầu Cách điền số sau thỏa mãn toán Tổng bảng X 24 2) Trong tất cách ghi số vào bảng thỏa mãn yêu cầu tốn, tìm giá trị lớn tổng số bảng vuông cỡ  Giả sử ta có cách điền số vào bảng thỏa mãn yêu cầu sau a b c d e f g h i Theo giả thiết, tồn số A cho A  abd e bce f  d e g h  e f hi  A   a  b  c  d  e  f  g  h  i   b  d  f  h  3e  45  b  d  f  h  3e  A  45  b  d  f  h  e  2e  45           98  A  24 Kết hợp với cách điền ý a, ta GTLN tổng số bảng ô vuông  24  ... tập hợp vào ô vuông bảng, ô vuông ghi số, cho tổng số bảng ô vuông cỡ  1) Hãy cách ghi số vào bảng thỏa mãn yêu cầu Cách điền số sau thỏa mãn toán Tổng bảng X 24 2) Trong tất cách ghi số vào bảng...   26 26  x  5 y      52  y  1      26  13 52  13 x y   26 26   Vậy hệ phương trình có nghiệm : 1     52  13 26  13   52  13 26  13  ; ;  ;  ; ... 1   x   Vậy tập nghiệm phương trình cho S   1; 2;5 2 x  y  x  y  1  2 2) Giải hệ phương trình  x  y  xy  y  2 2 x  y  x  y  1 2  x     y  1   1  