SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH CAO BẰNG ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN CAO BẰNG NĂM HỌC 2022-2023 MƠN THI : TỐN CHUN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) x +2 x + 2x + x − − − x +1 − x x − x − A= a) b) Rút gọn biểu thức Cho Parabol ( P ) : y = mx Tìm giá trị m để hai điểm Câu (2,0 điểm) a) Cho số thực P= 2021 a, b, c 2022 (d) A đường thẳng cắt A B Chứng minh a + b + c = ab + bc + ca thỏa mãn Tính giá trị biểu thức 2023 a b c + 2022 + 2023 2021 b c a a) Cho hệ phương trình : cho biểu thức A = 3x − y b) Giải phương trình Câu (3,0 điểm) I m Tia IO (m tham số) để hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) nhận giá trị nguyên AB ( O; R ) lấy điểm C Gọi trung điểm AM thỏa mãn x 2022 = y 2022 − y1348 − y 674 + x + + − x − − x − x2 = Cho nửa đường tròn B Trên cung ( x; y ) mx − y = 2 x + my = Tìm giá trị nguyên điểm hai điểm phân biệt (m tham số, m > 0) B nằm bên phải trục tung b) Tìm cặp số nguyên dương Câu (2,0 điểm) ( O) ( P) ( d ) : y = x − m2 đường kính M AM (M khác Tia cắt đường thẳng IO d AB A Đường thẳng B) Tia cắt đường thẳng N AM d d tiếp tuyến cắt đường thẳng I d C Gọi trung a) Chứng minh tứ giác b) Chứng minh OBCI AI IC = IO.IN O c) Gọi E hình chiếu d) Xác định vị trí M để AN Chứng minh 2AM + AC AN CE = 2R CN đạt giá trị nhỏ a , b, c Câu (1,0 điểm) Cho số dương Chứng minh nội tiếp thỏa mãn 4a + 3b + 2c = 10 3b + 2c + 15 4a + 2c + 15 a + 3b + 15 + + ≥ 15 + 4a + 3b + 2c ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) x +2 x + 2x + x − − − x +1 − x x − x − A= c) Rút gọn biểu thức Điều kiện : x +2 x + 2x + x − − − = x +1 − x x − x − A= = ( x ≥ 0, x ≠ 25 −3 x − )( x +1 d) x −5 = ) ( Cho Parabol m > 0) −3 ( ) x +1 )( x +1 x −5 ( P ) : y = mx Tìm giá trị m ( ) x +2 = )( ) ( x + 3) ( x + 1) − x − ( x + 1) ( x − 5) x −5 + −3 x −5 đường thẳng để ( d) cắt ( P) Chứng minh hai điểm Do m>0 ∆ ' =1− m nên phương trình A mx − x + m = ( 1) x +4 ( d ) : y = x − m2 (m tham số, hai điểm phân biệt A B B nằm bên phải trục tung phương trình bậc hai ẩn có Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ∆ ' > ⇔ ( − m ) ( + m + m ) > ⇔ m < 1(do + m + m2 > 0) < m m x1 x2 = m > ⇒ x > 0; x > Theo định lý Vi-et ta có Nên (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B nằm bên phải trục tung Câu (2,0 điểm) a) Cho số thực P= 2021 a , b, c 2022 thỏa mãn a + b + c = ab + bc + ca Tính giá trị biểu thức 2023 a b c + 2022 + 2023 2021 b c a Ta có : a + b + c = ab + bc + ca ⇔ 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ac = ⇔ ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) = ⇔ a = b = c ⇒P= 2 a 2021 b 2022 c 2023 + + =3 b 2021 c 2022 a 2023 b) Tìm cặp số nguyên dương x 2022 =y 2022 −y 1348 −y 674 Ta có : a = x 674 , b = y 674 , a, b ∈ ¥ * Đặt Xét : + ( 1) ( x; y ) thỏa mãn ta phương trình : x 2022 = y 2022 − y1348 − y 674 + a3 = b3 − b2 − b + a − ( b − 1) = b3 − b − b + − b3 + 3b + = 2b − 4b + = ( b − 1) + > ⇒ a > ( b − 1) ⇒ a ≥ b3 ⇔ b3 − b − b + ≥ b3 ⇔ b + b − ≤ ⇔ ( b + ) ( b − 1) ≤ ( b + > b − 1) b + ≥ ⇒ ⇒ −2 ≤ b ≤ b − ≤ Do b ∈ ¥ * ⇒ b = ⇒ y 674 = ⇒ y = 1( y ∈ ¥ *) ⇒ x = 1(do x ∈ ¥ *) ( x; y ) = ( 1;1) Vậy Câu (2,0 điểm) a) Cho hệ phương trình : mx − y = 2 x + my = Tìm giá trị nguyên ( x; y ) cho biểu thức Ta có : Thế mx − y = 2 x + my = y = mx − Thay A = 3x − y mx − y = ⇔ y = mx − ( 1) 3m + m2 + y = m vào (1) ta : Vậy với m, hệ có nghiệm A = 3x − y = nhận giá trị nguyên x + my = vào phương trình 3m + m2 + (m tham số) để hệ phương trình cho có nghiệm Từ phương trình : x + m ( mx − 3) = ⇔ x = x= m 3m + 9m − −3 = 2 m +2 m +2 3m + x = m + y = 9m − m2 + 3m + 9m − 33 − = 2 m +2 m +2 m +2 Để A có giá trị nguyên b) Giải phương trình ta : Ta có : 33M( m + ) ⇒ m + ∈ { 3;11;33} (do m + > 0) ⇒ m ∈ { ±1; ±3} x + + − x − − x − x2 = x + + − x − − x − x = ( −3 ≤ x ≤ ) ( ⇔( ⇔ ) ( x − − 1) − ( x + −1 + 2− x − x−2 )( ( − x ) ( x + 3) ) = ) x + −1 = ⇔ x +3 =1 x + =1 x = −2 ⇔ ⇔ ⇔ (tm) x − = x − = x = ( )( ) x + −1 1− x − = S = { −2;1} Vậy phương trình có tập nghiệm Câu (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn ( O) thẳng I d B Trên cung AB đường kính lấy điểm I M C Gọi trung điểm trung điểm e) ( O; R ) AM Tia IO AB (M khác AM Tia OBCI nội tiếp A IO cắt đường thẳng Chứng minh tứ giác Đường thẳng d B) Tia d AM tiếp tuyến cắt đường cắt đường thẳng N d C Gọi IA = IM ( gt ) ⇒ OI ⊥ AM ⇒ ∠OIC = 90° Do (d) Vì tiếp tuyến (O) Xét tứ giác OBCI Suy tứ giác f) Xét có : OBCI Chứng minh ∆IOA ∆ICN ∠OIC + ∠CBO = 90° + 90° = 180° nội tiếp AI IC = IO.IN có : ∠AIO = ∠NIC = 90°; ∠IAO = ∠INC Do O trực tâm Suy ba điểm Xét (vì phụ với ∠ACB) IO IA ∆IOA ∽ ∆ICN ( g g ) ⇒ = ⇒ IO.IC = IA.IC (dfcm) IC IC Gọi E hình chiếu g) Do B ⇒ d ⊥ AB ⇒ ∠CBO = 90° ∆ABN ∆ANC C , O, E ∆CEN nên O CO ⊥ AN AN mà Chứng minh AN CE = 2R CN OE ⊥ AN thẳng hàng có : ∠ABN = ∠CEN = 90°; ∠ANB chung AB AN AN CE ⇒ = ⇒ = AB = R (dfcm) CE CN CN h) Xác định vị trí M để 2AM + AC Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có : Mà AM + AC ≥ 2 AM AC ( 1) AM AC = AB = R ( ) Từ (1) (2) suy Vậy đạt giá trị nhỏ 2AM + AC AM + AC ≥ 2.4 R = R đạt giá trị nhỏ 4R Câu (1,0 điểm) Cho số dương a , b, c 2AM = AC thỏa mãn hay M trung điểmAC 4a + 3b + 2c = 10 Chứng minh Đặt 3b + 2c + 15 4a + 2c + 15 4a + 3b + 15 + + ≥ 15 + 4a + 3b + 2c x = 4a + 1; y = 3b + 1; z = 2c + x, y , z (với số dương) Suy Thì bất đẳng thức cho trở thành: Cho x + y + z = 13 x, y , z số dương thỏa mãn Chứng minh : y + z + 13 x + z + 13 x + y + 13 + + ≥ 15 x y z Ta có : VT = y z 13 x z 13 x y + + + + + + + + 13 x x x y y y z z y x y z z = + ÷+ + ÷+ + x y z y x 1 1 x ÷+ 13 + + ÷( 1) z x y z Áp dụng BĐT Cô si cho số dương , ta có : x y x y + ≥ = 2, y x y x tương tự y z x z + ≥ 2; + ≥ ( ) z y z x Ta lai có : 1 1 x y y z x + + ÷ = + + ÷+ + ÷+ + x y z y x z y z ( x + y + z) ⇔ z ÷≥ + + + = x 1 9 + + ≥ = ( Do x + y + z = 13) ( 3) x y z x + y + z 13 VT ≥ + + + 13 Từ (1), (2), (3) ta có : x=y=z= Dấu xảy x + y + z = 13 = 15( dfcm) 13 13 10 10 10 ⇔ a = ;b = ;c = 12