013 đề hsg toán 7 huyện kinh môn 2018 2019

UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: TOÁN – LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Câu (2,0 điểm) 3 1     11 13 M  5 5 5     11 13 1) Tính 2) Tính 1 1 2017 2018 A      ;B       2019 2018 2017 2016 A Tính B Câu (2,0 điểm) 1) Tìm cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn x  y 3xy  n 2 n 2 n n 2) CMR với n số nguyên dương    chia hết cho 10 Câu (2,0 điểm) a c  a , b , c , d ; c  d b d 1) Cho số dương 2018  b 2018  2019 2018  d 2018  2019 a c CMR:  2019  b 2019  2018 2019  d 2019  2018 a  c 2) Cho biết 3x  y  z  x   xy  yz  xz  500  2019 Tính giá trị biểu thức A  3x  y  z  2018 0 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn  AB  AC  Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao CD BE , K giao AB, DC 1) Chứng minh rằng: DC BE   2) Gọi M N trung điểm CD BE Tính số đo BIK , AMN  3) Chứng minh IA phân giác DIE Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: ab  bc  ca a  b  c   ab  bc  ca  ĐÁP ÁN Câu 3 1     11 13 M  5 5 5     11 13 1) 1 1  1 3      11 13   3  1    1  1 1 5 5         11 13    Vậy M 1 2017 2018 B     2018 2017 2) 2019  2018 2019  2017 2019  2019       2018 2017   2019 2019 2019      2019   1 1          2018 2017 2018 so hang   1 1  2019.      2  2019 2018 2017 A 2019 A   B 2019 A  Vậy B 2019 Câu 1) x  y 3 xy   3x  y  xy  0  3x  xy  y  7  3x   y    y  1 7   y  1   x  7 Do x, y    y  1;2  x  nên ta có bảng sau 3y   3x y x Kết luận Vậy 1 7 3 Thỏa mãn Loại 7 1 2 Thỏa mãn Loại  x, y    3;0  ;  1;    n n n n n 2 n 2 n n 3   1    1 3 10     2) 10.3n 10 , n    n n Ta có: 2 2  510   3n.10  2n.5  10, n     3n2  2n2  3n  2n  10, n   Câu 1) Với a, b, c, d  0, c d , ta có: a c a b a 2018 b 2018     2018  2018 b d c d c d 2018 2018 2018 2018 a b a b  2018  2018 2018 c d c  d 2018 Do đó, Lại có: a, b, c, d  0, c d , ta có: 2018 2019 a   c  2018 2019 2018  b 2018  2019 2018  d 2018  2019 a  c 2018  1 2018 a 2019  a 2019  b 2019    a b a 2019 b 2019 a 2019  b 2019   2019  2019  2019    2 2019 2018 2019 2019 2018 c d c d c  d 2019 c  c  d  2018 2019 a  c  Mà  2019 2018 a   c  a  c Từ (1), (2), (3) 2018 2019 2019 2018  a 2019.2018 (3) c 2019.2018 2018  b 2018  2019 2018  d 2018  2019 2019  b 2019  2018 2019  d 2019  2018 a  c  3x  y 0, x, y   z  x 0, x, z  2018 xy  yz  zx  500  0, x, y, z    2) Ta có: 2018  x  y  z  x   xy  yz  xz  500  0, x, y, z Dấu " " xảy x y 2 3 3 x  y 0  x y z  z x  5 z  x 0       1 10 15 14  xy  yz  zx  500 0    xy  yz  zx 500   2 x y z xy xz yz xy  yz  xz 1  1        10 15 14 150 140 210 500  x 10    y 15 x y z    x, y , z  z 14  Mà 10 15 14 dấu   x, y, z     10;15;14  ;   10;  15;  14   TH1: x 10, y 15, z 14 2019 Khi A  3x  y  z  có giá trị là:  3.10  15  14  TH2: x  10, y  15, z  14   10   15  14  Khi A có giá trị   Vậy A 1 x 10, y 15, z 14 A  x  10, y  15, z  14 2019   1 2019 2019 12019 1  Câu E A D N K M I B C    1) Ta có DAC 60  BAC EAB (1)   Xét ADC ABE có: AD  AB(ABD đều); DAC EAB (cmt ) AC  AE (EAC đều)  DAC BAE (c.g c)  DC BE   2) ADC ABE (cm câu a)  ABE  ADC    Lại có BIK : KBI  BKI  KIB 180      DKA Ta có DAK : ADK  DKA  DAK 180 ; BKI (đối đỉnh)      BIK DAK mà DAK 60 (ABD đều)  BIK 60 ADC ABE (câu a)  ACM  AEN 1  DC  BE  CM EN Có DC BE (câu a)  ACM AEN (c.g.c) (1)        CAM EAN  CAM  CAN EAN  CAN    MAN EAC 0   Mà EAC  EAC 60  MAN 60  1  AM  AN  AMN cân A  AMN  AMN 600 3) Trên tia ID lấy T cho IT IB  BIT cân I mà   BIK 600 (cmt )  BIT  BT BI ; IBT 600   DBA Do TBI (cùng 60 )   TBK     TBD   TBI DBA  TBK  IBA Lại có BA BD, BT BI  IBA TBD (c.g c ) 0     Mà AIB DTB 120 , lại có BID 60  DIA 60     BID DIA  IA tia phân giác DIE Câu 2 2 Ta có:  a  b  0  a  2ab  b 0  a  b 2ab 2 Tương tự ta có: b  c 2bc; c  a 2ac   a  b  c  2  ab  ac  bc   ab  ac  bc a  b  c (1) Dấu " " xảy  a b c  ABC Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: a  b  c  ac  bc  c   a  c  b  ab  bc  b   a  b  c   ab  ac  bc  b  c  a  ab  ac  a  2 ab  ac  bc  a  b  c   ab  ac  bc  Từ (1) (2) ta có: (2)