ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN – năm học 2018-2019 Câu (3 điểm) 330 520 a) So sánh hai số: 10 16 + 120.69 A= 46.312 + 611 b) Tính : x, y , z x = yz , y = xz , z = xy Câu (2 điểm) Cho số khác x= y=z Chứng minh rằng: Câu (4 điểm) x −1 x − x − x − + = + 2009 2008 2007 2006 x a) Tìm biết: y; x1 , x2 x; y1 , y2 x b) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch hai giá trị y y1 , y2 y12 + y22 = 52 x1 = 2; x2 = hai giá trị tương ứng Tính biết f ( x ) = ax + bx + c a , b, c ∈ ¢ Câu (2 điểm) Cho hàm số với f ( 1) M 3, f (0)M 3, f (−1)M a , b, c Biết Chứng minh chia hết cho A ( x ) = x + x + x3 + + x99 + x100 Câu (3 điểm) Cho đa thức A( x ) x = −1 a) Chứng minh nghiệm x = A( x ) b) Tính giá trị đa thức A, ABC BC M Câu Cho tam giác cân đỉnh cạnh lấy hai điểm N cho BM = MN = NC Gọi H trung điểm BC a) Chứng minh AM = AN AM AH ⊥ BC AB = 5cm, BC = 6cm b) Tính độ dài đoạn thẳng · · · MAN > BAM = CAN c) Chứng minh : ĐÁP ÁN Câu a)330 = ( 33 ) = 2710 ;520 = ( 52 ) = 2510 < 2710 ⇒ 330 > 520 10 10 ( ) b) P = (2 ) 10 = + 3.2.5.22.( 2.3) 312 + ( 2.3) 11 12 10 212.310 + 310.212.5 ( + ) = 12 12 11 11 = 11 11 + 3 ( 2.3 + 1) 6.212.310 = 7.211.311 Câu x, y , z x = yz , y = xz , z = xy Vì số khác x z y x z y x y z ⇒ = ; = ; = ⇒ = = y x z y x z y z x Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x+ y+z = = = =1⇒ x = y = z y z x y+z+x Câu x −1 x − x − x − x −1 x−2 x −3 x−4 a) + = + ⇒ −1+ −1 = −1+ −1 2009 2008 2007 2006 2009 2008 2007 2006 x − 2010 x − 2010 x − 2010 x − 2010 ⇒ + = + 2009 2008 2007 2006 1 ⇔ ( x − 2010 ) + − − ÷ = ⇒ x = 2010 2009 2008 2007 2006 x, y b) Vì hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên: 2 x1 y2 y2 y2 y1 y2 y1 y y y + y22 52 = ⇒ = ⇒ = ⇒ ÷ = ÷ ⇒ = = = =4 x2 y1 y1 3 9+4 13 2 3 +) y12 = 36 ⇒ y = ±6 Với Với y1 = −6 ⇒ y2 = −4 y1 = ⇒ y2 = Câu f ( ) = c; f (1 = a + b + c; f (−1) = a − b + c Ta có: +) f ( ) M ⇒ cM + ) f ( 1) M ⇒ a + b + cM ⇒ a + bM 3(1) + ) f (−1)M ⇒ a − b + cM ⇒ a − bM 3( 2) ( a + b ) + ( a − b ) M3 ⇒ 2aM3 ⇒ aM3 ⇒ bM3 Từ (1) (2) suy a , b, c Vậy chia hết cho Câu 99 100 A(−1) = ( −1) + ( −1) + ( −1) + + ( −1) + ( −1) a) −1) = −1 + − + + − + = (vì có 50 số 50 số A( x ) x = −1 Suy nghiệm đa thức 1 1 1 x= A = + + + + 98 + 99 + 100 2 2 2 b) Với giá trị đa thức 1 1 1 1 1 ⇒ A = + + + + 98 + 99 + 100 ÷ = + + + + + 98 + 99 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ⇒ A = + + + + 98 + 99 + 100 ÷+ − 100 ⇒ A = A + − 100 2 2 2 2 ⇒ A = − 100 Câu a) Chứng minh ∆ABM = ∆ACN (c.g.c) ⇒ AM = AN ∆ABH = ∆ACH (c.g c) ⇒ ·AHB = ·AHC = 900 ⇒ AH ⊥ BC Chứng minh AH : AH = AB − BH = 52 − 32 = 16 ⇒ AH = 4cm b) Tính AM : AM = AH + MH = 42 + = 17 ⇒ AM = 17cm Tính AM = MK , ⇒ ∆AMN = ∆KMB (c.g c ) AM c) Trên tia lấy điểm K cho · · ⇒ MAN = BKM AN = AM = BK BA > AM ⇒ BA > AK Do · · · · · ⇒ BKA > BAK ⇒ MAN > BAM = CAN ... −1+ −1 2009 2008 20 07 2006 2009 2008 20 07 2006 x − 2010 x − 2010 x − 2010 x − 2010 ⇒ + = + 2009 2008 20 07 2006 1 ⇔ ( x − 2010 ) + − − ÷ = ⇒ x = 2010 2009 2008 20 07 2006 x, y b) Vì hai... 6cm b) Tính độ dài đoạn thẳng · · · MAN > BAM = CAN c) Chứng minh : ĐÁP ÁN Câu a)330 = ( 33 ) = 271 0 ;520 = ( 52 ) = 2510 < 271 0 ⇒ 330 > 520 10 10 ( ) b) P = (2 ) 10 = + 3.2.5.22.( 2.3) 312 +... Chứng minh AH : AH = AB − BH = 52 − 32 = 16 ⇒ AH = 4cm b) Tính AM : AM = AH + MH = 42 + = 17 ⇒ AM = 17cm Tính AM = MK , ⇒ ∆AMN = ∆KMB (c.g c ) AM c) Trên tia lấy điểm K cho · · ⇒ MAN = BKM AN