013 đề HSG toán 7 huyện kinh môn 2018 2019

UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU OLYMPIC CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: TOÁN – LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Câu (2,0 điểm) 3 1     11 13 M  5 5 5     11 13 1) Tính 2) Tính 1 1 2017 2018 A      ;B       2019 2018 2017 2016 A Tính B Câu (2,0 điểm) 1) Tìm cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn x  y  3xy  n2 n2 n n 2) CMR với n số nguyên dương    chia hết cho 10 Câu (2,0 điểm) a c  1) Cho số dương a, b, c, d ; c  d b d a c CMR:  2018 2018  b 2018   d 2018  2019 2019 a  c 2019 2019  b 2019   d 2019  2018 2018 2) Cho biết 3x  y  z  x   xy  yz  xz  500  Tính giá trị biểu thức A   3x  y  z  2018 0 2019 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn  AB  AC  Vẽ phía tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao CD BE , K giao AB, DC 1) Chứng minh rằng: DC  BE · · 2) Gọi M N trung điểm CD BE Tính số đo BIK , AMN · 3) Chứng minh IA phân giác DIE Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: ab  bc  ca  a  b  c   ab  bc  ca  ĐÁP ÁN Câu 3 1     11 13 M  5 5 5     11 13 1) 1 1  1 3      11 13     1   1 1  1 1 5 5         11 13    Vậy M  2) B 2017 2018     2018 2017 2019  2018 2019  2017 2019  2019      2018 2017   2019 2019 2019      2019  1141 4   2443    2018 2017 2018 so hang   1 1   2019.      2  2019 2018 2017 A  2019 A   B 2019  A  Vậy B 2019 Câu 1) x  y  xy   x  y  xy    3x  xy  y    3x   y    y  1    y  1   x   Do x, y  ¢  y  1;2  x  ¢ nên ta có bảng sau 3y 1  3x y x Kết luận Vậy 1 7 3 Thỏa mãn Loại 7 1 2 Thỏa mãn Loại  x, y    3;0  ;  1; 2   n n n n n2 n n n    1    1  10     2) 10.3n M 10 , n  ¢   n n 10 Ta có: 2 M2  5M   3n.10  n.5  M 10, n  ¢    3n  n  3n  n  M 10, n  ¢  Câu 1) Với a, b, c, d  0, c  d , ta có: a c a b a 2018 b 2018     2018  2018 b d c d c d a b a b  2018  2018 2018 c d c  d 2018 2018 Do đó, 2018 2018 2018 a   c  2018 2019 2018 2019 a  c 2018 2018  b 2018   d 2018  2019 2019  1 Lại có: a, b, c, d  0, c  d , ta có: a 2019  a 2019  b 2019    a b a 2019 b 2019 a 2019  b 2019   2019  2019  2019    2 2019 2018 2019 2019 2018 c d c d c  d 2019 c  c d  2018 a  c  Mà  2018 2019 2018 2019 a   c  2019 2018 2019 2018 a 2019.2018  2019.2018 (3) c 2018 a  c Từ (1), (2), (3) 2018 2018  b 2018   d 2018  2019 2019 a  c  b 2019  2019 2019  d 2019  2018 2018  x  y  0, x, y   z  x  0, x, z  2018 xy  yz  zx  500   0, x, y , z    2) Ta có:  3x  y  z  x   xy  yz  xz  500  2018  0, x, y, z Dấu "  " xảy x y 2  3 x  y   x y z  z x  5 z  x        1 10 15 14  xy  yz  zx  500  7   xy  yz  zx  500   x2 y2 z2 xy xz yz xy  yz  xz  1  1       10 15 14 150 140 210 500  x  10    y  15 x y z    x, y , z  z  14  Mà 10 15 14 dấu   x, y, z     10;15;14  ;  10; 15; 14   TH1: x  10, y  15, z  14 Khi A   x  y  z  có giá trị là:  3.10  15  14  TH2: x  10, y  15, z  14 2019 3. 10   15  14  Khi A có giá trị  Vậy A  x  10, y  15, z  14  1 2019 A  1 x  10, y  15, z  14 2019   1 2019  12019  Câu · · · DAC  60  BAC  EAB (1) 1) Ta có · · Xét ADC ABE có: AD  AB (ABD đều); DAC  EAB (cmt ) AC  AE (EAC đều)  DAC  BAE (c.g.c)  DC  BE · · 2) ADC  ABE (cm câu a)  ABE  ADC · · · Lại có BIK : KBI  BKI  KIB  180 · · · · ·  DKA Ta có DAK : ADK  DKA  DAK  180 ; BKI (đối đỉnh) · · · ·  BIK  DAK mà DAK  60 ( ABD đều)  BIK  60 ADC  ABE (câu a)  ·ACM  ·AEN 1  DC  BE  CM  EN Có DC  BE (câu a)  ACM  AEN (c.g.c) (1) · · · · · ·  CAM  EAN  CAM  CAN  EAN  CAN · ·  MAN  EAC 0 · · Mà EAC  EAC  60  MAN  60  1  AM  AN  AMN cân A  AMN  ·AMN  600 3) Trên tia ID lấy T cho IT  IB  BIT cân I mà · · BIK  600 (cmt )  BIT  BT  BI ; IBT  600 · ·  DBA Do TBI (cùng 60 ) ·  TBK · · · ·  TBD ·  TBI  DBA  TBK  IBA Lại có BA  BD, BT  BI  IBA  TBD (c.g c ) 0 · · · · Mà AIB  DTB  120 , lại có BID  60  DIA  60 · · ·  BID  DIA  IA tia phân giác DIE Câu Ta có:  a  b    a  2ab  b   a  b  2ab 2 Tương tự ta có: b  c  2bc; c  a  2ac   a  b2  c    ab  ac  bc   ab  ac  bc  a  b  c (1) Dấu "  " xảy  a  b  c  ABC Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: a  b  c  ac  bc  c   a  c  b  ab  bc  b   a  b  c   ab  ac  bc  b  c  a  ab  ac  a  Từ (1) (2) ta có: ab  ac  bc  a  b  c   ab  ac  bc  (2) ... a 2018 b 2018     2018  2018 b d c d c d a b a b  2018  2018 2018 c d c  d 2018 2018 Do đó, 2018 2018 2018 a   c  2018 2019 2018 2019 a  c 2018 2018  b 2018   d 2018  2019. .. d  2018 a  c  Mà  2018 2019 2018 2019 a   c  2019 2018 2019 2018 a 2019 .2018  2019 .2018 (3) c 2018 a  c Từ (1), (2), (3) 2018 2018  b 2018   d 2018  2019 2019 a  c  b 2019. .. B 20 17 2018     2018 20 17 2019  2018 2019  20 17 2019  2019      2018 20 17   2019 2019 2019      2019  1141 4   2443    2018 20 17 2018 so hang   1 1   2019. 