SỞ GD&ĐT YÊN BÁI TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG BÁO CÁO SÁNG KIẾN ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN CẤP CƠ SỞ Lĩnh vực Chuyên ngành Toán học HƯỚNG DẪN HỌC SINH ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIÚP[.]
SỞ GD&ĐT YÊN BÁI TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG BÁO CÁO SÁNG KIẾN ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN CẤP CƠ SỞ Lĩnh vực: Chuyên ngành Toán học HƯỚNG DẪN HỌC SINH ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIÚP NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TOÁN CỦA HỌC SINH TRONG CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI Tác giả: Nơng Thanh Loan Trình độ chun mơn: Thạc sĩ Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Hồng Quang Yên Bái, tháng 01 năm 2022 MỤC LỤC Nội dung Trang I THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 3 Phạm vi áp dụng sáng kiến Thời gian áp dụng sáng kiến Tác giả II MÔ TẢ GIẢI PHÁP SÁNG KIẾN Tình trạng giải pháp biết Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến Khả áp dụng giải pháp 34 Hiệu quả, lợi ích thu 34 Những người tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu 35 Điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 35 Tài liệu gửi kèm 36 III CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN 36 I THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến “Hướng dẫn học sinh ứng dụng tính đơn điệu hàm số vào giải hệ phương trình giúp nâng cao kết học tập mơn Toán kỳ thi học sinh giỏi” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Giáo dục Đào tạo Phạm vi áp dụng sáng kiến Đề tài áp dụng cho học sinh trường THPT Hồng Quang - Lục Yên - Yên Bái Thời gian áp dụng sáng kiến Từ 25 tháng năm 2020 đến 30 tháng 12 năm 2021 Tác giả Họ tên: Nông Thanh Loan Năm sinh: 02/02/1985 Trình độ chun mơn: Thạc sĩ Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THPT Hồng Quang – Lục Yên - Yên Bái Địa liên hệ: Trường THPT Hồng Quang – Lục Yên - Yên Bái Điện thoại: 0917.382.313 II MÔ TẢ GIẢI PHÁP SÁNG KIẾN Tình trạng giải pháp biết Hệ phương trình chuyên đề hay, đề thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh Để giải hệ phương trình có nhiều phương pháp, từ phương pháp đơn giản phép thay thế, cộng đại số, đến phép đặt ẩn phụ, hình học, đồ thị, hàm số, song hành kỹ phân tích nhân tử, kỹ giải phương trình bậc cao phương trình vơ tỷ tạo hệ thống tập vô đa dạng Trong phương pháp ấy, phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu hàm số phương pháp tích hợp nhiều kiến thức, kỹ Có thể nói kỹ thuật đột phá, nhạy bén kiến thức sử dụng đơn giản, tuý sử dụng tính đơn điệu hàm số Trong cơng cụ để giải tốn hệ phương trình, hệ phương trình vơ tỷ dùng đơn điệu hàm số phương pháp mạnh gặp dạng phức tạp thường cho lời giải gọn gàng, đẹp mắt, bất ngờ Tính đơn điệu hàm số đề cập đến sách giáo khoa sách tập Giải tích lớp 12 ban nâng cao song dừng ứng dụng vào khảo sát hàm số Kiến thức sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải tốn có nhiều ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; chứng minh bất đẳng thức toán chứa tham số; địi hỏi giáo viên cần tích cực tực học, tự nghiên cứu, tìm tịi, bổ sung kiến thức tích luỹ kinh nghiệm để hướng dẫn học sinh hiểu vận dụng cách hiệu Hiện trạng trước áp dụng sáng kiến trường THPT Hồng Quang: a Về phía học sinh: Bài tốn giải hệ phương trình khơng mẫu mực tốn khó kỳ thi học sinh giỏi địi hỏi em phải tư linh hoạt, em học sinh vùng cao lượng kiến thức em hạn chế, sách tham khảo khơng nhiều Khi gặp hệ phương trình dạng em không làm biến đổi từ đâu Dẫn đến tâm lý e sợ, ngại, chán nản chí khơng u thích mơn Tốn, khơng có học sinh ơn thi học sinh giỏi Tốn Chính mà kết thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh thường khơng cao b Về phía giáo viên: Giáo viên khơng có tài liệu tham khảo rõ ràng, đọng Có vài tập kèm lời giải gây khó khăn cho giáo viên dạy, hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình Trăn trở với thực tế nêu trên, thân tơi q trình dạy học nhiều năm qua mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh ứng dụng tính đơn điệu hàm số vào giải hệ phương trình giúp nâng cao kết học tập mơn Tốn kỳ thi học sinh giỏi” nhằm mục đích hướng dẫn, cung cấp cho em học sinh công cụ để giải số hệ phương trình khó để em dần cảm thấy khơng cịn sợ hệ phương trình phức tạp u thích học Tốn để nâng cao chất lượng, thành tích học sinh kỳ thi Trong sáng kiến kinh nghiệm trình bày cách hệ thống, chi tiết kiến thức tính đơn điệu hàm số ứng dụng vào giải hệ phương trình Sáng kiến kinh nghiệm trình bày với chương Chương I Cở sở lý luận Chương hệ thống lại kiến thức tính đơn điệu hàm số, bao gồm khái niệm, định lý dùng để giải tốn chương II I.1 Nhắc lại tính đơn điệu hàm số I.2 Các định lý I.3 Một số ý Chương II Các dạng tốn giải hệ phương trình thường áp dụng kiến thức tính đơn điệu hàm số để giải Chương đề cập đến dạng toán giải hệ phương trình có sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải II.1 Dạng 1: Sử dụng đồng thời tính đơn điệu hàm số giải hệ phương trình II.2 Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu hàm số biến đổi tương đương giải hệ phương trình II.3 Dạng 3: Sử dụng tính đơn điệu hàm số kết hợp với đặt ẩn phụ giải hệ phương trình II.4 Dạng 4: Sử dụng phương pháp sau dùng tính đơn điệu hàm số giải hệ phương trình II.5 Dạng 5: Sử dụng phương pháp cộng đại số sau dùng tính đơn điệu hàm số giải hệ phương trình II.6 Dạng 6: Kết hợp tính đơn điệu hàm số tìm min, max hàm số giải hệ phương trình Nội dung giải pháp đề nghị cơng nhận sáng kiến 2.1 Mục đích giải pháp Đề tài: “Hướng dẫn học sinh ứng dụng tính đơn điệu hàm số vào giải hệ phương trình giúp nâng cao kết học tập mơn Tốn kỳ thi học sinh giỏi” xây dựng nhằm cung cấp cho học sinh công cụ để định hướng tốt q trình giải hệ phương trình khó, phức tạp Trên sở kết hợp với phương pháp giúp học sinh hoàn thiện tư duy, kỹ định hướng giải toán đại số 2.2 Nội dung giải pháp Trong q trình giảng dạy nhiều năm tơi thấy dạng tốn Giải hệ phương trình thường xuất kì thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh Hơn tài liệu tham khảo dạng tốn chưa có nhiều, khơng đưa phương pháp giải chung mà có vài dạng với lời giải ví dụ làm cho giáo viên khó khăn hướng dẫn cho học sinh giải dạng tập Chính mà sáng kiến kinh nghiệm đưa ra, sâu tìm hiểu, định hướng nhận biết tốn giải hệ phương trình cơng cụ ứng dụng tính đơn điệu hàm số từ áp dụng phương pháp giải phù hợp Cụ thể đưa biện pháp sau : Biện pháp 1: Bổ sung hệ thống kiến thức Trong trình giảng dạy lớp giáo viên giúp học sinh nắm vững khắc sâu kiến thức lý thuyết chương trình Chỉ rõ cho học sinh kiến thức quan trọng như: Các định nghĩa, định lý, hệ quả, nhận xét, ý, Hướng dẫn học sinh phương pháp học để dễ thuộc, nhớ lâu Thường xuyên kiểm tra giúp học sinh tái kiến thức Khi tham gia dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, phụ đạo yêu cầu học sinh nêu lại kiến thức học sau giáo viên chốt lại cho học sinh kiến thức cho học sinh ghi lại vào Chỉ sai lầm mà học sinh hay mắc phải Biện pháp 2: Giúp học sinh nắm vững số kiến thức tính đơn điệu hàm số bổ sung thêm số định lý Vì tập hệ phương trình phức tạp thường khó giáo viên cần phân tích đề bài, định hướng cách giải, tổng hợp lại kiến thức cho học sinh cách hệ thống rõ ràng Biện pháp 3: Rèn cho học sinh tư duy, kỹ năng, phương pháp Rèn cho học sinh biết phân tích vấn đề bài, so sánh chúng, tổng hợp vấn đề thành chuỗi logic từ lựa chọn phương pháp giải toán tối ưu Biện pháp 4: Phân tích dạng tập phương pháp giải Trong trình hướng dẫn học sinh giải tập giáo viên cần chốt cho học sinh bước để giải dạng toán Giáo viên cần nghiên cứu tìm tịi hệ thống số phương pháp giải từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó phù hợp với đối tượng học sinh để học sinh tiếp cận giúp em hiểu cách làm, vận dụng tránh tình trạng chán nản sợ học môn - Cụ thể: CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong chương này, tơi trình bày khái niệm tính đơn điệu hàm số khái niệm, định lý bản, ý I.1 Nhắc lại tính đơn điệu hàm số: (Theo sách giáo khoa hành giải tích 12-NXB giáo dục Việt Nam) I.1.1 Định nghĩa Ký hiệu D khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định D Ta nói Hàm số y = f ( x ) đồng biến (tăng) D với cặp x1 , x2 thuộc D mà x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ; Hàm số y = f ( x ) nghịch biến (giảm) D với cặp x1 , x2 thuộc D mà x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) I.1.2 Tính đơn điệu dấu đạo hàm Định lý Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm D a) Nếu f '( x) với x thuộc D hàm số f ( x) đồng biến D b) Nếu f '( x) với x thuộc D hàm số f ( x) nghịch biến D Chú ý: Ta có định lý mở rộng sau Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm D Nếu f '( x) ( f '( x) ) với x thuộc D f '( x) = số hữu hạn điểm hàm số f ( x) đồng biến (nghịch biến) D I.2 Các định lý bản: (Theo sách số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp- tập III- NXB Đại học quốc gia Hà Nội- Gs Phạm Văn Điều chủ biên) Định lý Nếu hàm số f ( x) đồng biến (nghịch biến) liên tục D số nghiệm D phương trình f ( x ) = k (trong k số cho trước) không nhiều x, y D : f ( x) = f ( y ) x = y Chứng minh Ta chứng minh với trường hợp hàm số f ( x) đồng biến Giả sử phương trình f ( x ) = k có nghiệm x = x0 , tức f ( x0 ) = k Do f ( x) đồng biến nên • x x0 suy f ( x ) f ( x0 ) = k nên phương trình f ( x ) = k vơ nghiệm • x x0 suy f ( x ) f ( x0 ) = k nên phương trình f ( x ) = k vơ nghiệm • x = x0 suy f ( x ) = f ( x0 ) = k nên phương trình f ( x ) = k có nhiều nghiệm Trường hợp hàm số f ( x) nghịch biến chứng minh tương tự Định lý Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (nghịch biến); hàm số y = g ( x ) nghịch biến (đồng biến) liên tục D số nghiệm D phương trình f ( x) = g ( x) không nhiều Chứng minh Giả sử x = x0 nghiệm phương trình phương trình f ( x) = g ( x) , tức f ( x0 ) = g ( x0 ) Ta giả sử f ( x) đồng biến g ( x ) nghịch biến • Nếu x x0 suy f ( x) f ( x0 ) = g ( x0 ) g ( x) nên phương trình f ( x) = g ( x) vơ nghiệm • Nếu x x0 suy f ( x) f ( x0 ) = g ( x0 ) g ( x) nên phương trình f ( x) = g ( x) vơ nghiệm • Nếu x = x0 suy f ( x) = f ( x0 ) = g ( x0 ) = g ( x) nên phương trình f ( x) = g ( x) có nghiệm I.3 Một số ý Nếu hàm số f ( x) đơn điệu tăng liên tục tập xác định D f (a) f ( b ) a b với a, b nằm tập xác định hảm số Nếu hàm số f ( x) đơn điệu tăng liên tục tập xác định D f (a) f ( b ) a b với a, b nằm tập xác định hảm số Nếu hàm số f ( x) đơn điệu giảm liên tục tập xác định D f (a) f ( b ) a b với a, b nằm tập xác định hảm số Nếu hàm số f ( x) đơn điệu giảm liên tục tập xác định D f (a) f ( b ) a b với a, b nằm tập xác định hảm số Nếu f ( x), g ( x ) đồng biến, dương liên tục tập xác định D hàm số h ( x ) = f ( x ).g ( x ) k ( x ) = f ( x ) + g ( x ) hàm số đồng biến liên tục D Nếu f ( x), g ( x ) nghịch biến, dương liên tục tập xác định D hàm số h ( x ) = f ( x ).g ( x ) hàm số đồng biến liên tục D k ( x ) = f ( x ) + g ( x ) hàm số nghịch biến liên tục D Nếu f ( x) đồng biến, dương g ( x ) nghịch biến, dương liên tục tập xác định D hàm số h ( x ) = f ( x ).g ( x ) hàm số nghịch biến liên tục D CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI Khi phân chia dạng toán này, thân ban đầu nghĩ đến việc phân chia theo dạng hệ phương trình mà phương trình hệ có dạng f ( x ) = k , f (u ( x )) = f (v ( y )) , f ( x) = g ( x) tổng, tích hàm số đơn điệu gặp nhiều toán biến đổi khác nhau, tơi thấy cách chia chưa thể hết dạng tập hay, đẹp hệ phương trình dạng Vì thế, tơi chọn cách phân chia theo việc kết hợp việc sử dụng tính đơn điệu hàm số giải hệ phương trình biến đổi khác Mặc dù, có tập có xuất nhiều biến đổi khác xếp vào dạng biến đổi bật 18 toán, chia thành dạng tốn dựa vào kinh nghiệm tơi đúc kết cách giải trình tự học, tự nghiên cứu, hồn tồn khơng chép II.1 Dạng 1: Sử dụng đồng thời tính đơn điệu hàm số giải hệ phương trình Khi gặp hệ dạng này, thơng thường từ phương trình ta dễ dàng biến đổi để sử dụng tính đơn điệu hàm số, sau ta tìm mối quan hệ hai ẩn x y Ta thay vào phương trình cịn lại lại xuất phương trình phức tạp chưa thể giải được, chưa khơng chứa có chút tương đồng biểu thức, ta lại tiếp tục sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải Bài tốn Giải hệ phương trình 2(16 x + 1) x + (2 y − 3) − y = (1) ( x, y 2 (2) 16 x + y + − x = ) Phân tích tốn: Để giải tốn trên, ta cố gắng biến đổi phương trình (1) dạng f (4 x) = f ( ) − y f (t ) = ( t + 1) t hàm số đồng biến Từ đó, suy x = − y Kết hợp với phương trình cịn lại ta lại dùng tính đơn điệu hàm số lần Lời giải: Điều kiện: x , y Phương trình ( (1) (16 x2 + 1)4 x + (4 y − 6) − y = (4 x)2 + 1 x = − 4y ) + 1 − y (3) Xét hàm số f (t ) = ( t + 1) t Ta có f '(t ) = 3t + 0, t Suy f (t ) đồng biến 10