Mục lục PHÀN 1 ĐẶT VẨN ĐÈ 2 1 Lý do chọn đề tài nghiên cứu 2 2 Mục đích nghiên cứu 3 3 Nội dung nghiên cứu 3 4 Đối tượng nghiên cứu, khách thê nghiên cứu 3 5 Thành phần tham gia nghiên cứu 4 6 Phương[.]
Mục lục PHÀN 1:ĐẶT VẨN ĐÈ Lý chọn đề tài nghiên cứu 2 Mục đích nghiên cứu: .3 Nội dung nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu, khách thê nghiên cứu T hành phần tham gia nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu: Ke hoạch nghiên cứu PHÀN 2: NHỪNG BIỆN PHÁP ĐỎI MỚI HOẶC CAI TIÉN Cơ sở lí luận Thực trạng van đe nghiên cứu (cơ sờ thực tiền) .6 Mô tả, phàn tích giãi pháp cãi tiến .7 A Cơ SỜ LÝ THUYẾT B CÁC DẠNG TOÁN ÚNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN c KÉT QUÁ: .21 PHÀN 3: KÉT LUẬN VÀ KHUYÊN NGHỊ 23 Ket luận: 23 Khuyến nghị: 23 PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐÉ Lý chon đề tài nghiên cứu Dạy nliư đê học sinh nam kiến thức bân cách có hệ thống mà phải nâng cao đê em có hứng thú, say mê học tập càu hỏi mà thay ln đặt cho Tốn học nói chung, tốn THCS nói riêng có nhiều loại, nhiều dạng tập nên học sinh gặp nhiều khó khăn đứng trước tốn Đối VỚI lứa tưịi học sinh THCS nói chung đối tượng nghiên cứu học sinh lớp nói riêng, ti em khơng phải cịn nhó khả phàn tích, suy luận tự tìm lời giãi cho bải tốn cịn nhiều hạn chế đối VỚI đối tượng học sinh học yến lười học Mặt khác đề thi vào lớp 10 tiling học phị thơng, tốn phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi-ét xuất phơ biến Trong nội dưng thời lượng phân sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dạng Ta thấy đê giải toán có hên qua đến hệ thức Vi-ét, học sinh cần tích hợp nhiêu kiến thức đại số, thơng qua học sinh có cách nhìn tịng qt hai nghiệm cùa phương trình bậc hai VỚI hệ số Chính nên nhùng dạng tốn cùa mịn đại số lớp “vận dụng hệ thức Vi-ét ứng dụng đê giài tập có hên quan” đối VỚI em dạng tốn khó Đối VỚI dạng toán nhiên em nam lý thuyết rat chác chan áp dụng giài cịn mac phải nhiều sai sót Thịng qua q trình giảng dạy, đồng thời qua trình kiêm tra đánh giá tiếp thu vận dụng kiến thức cùa học sinh Tôi nhận thấy học sinh vận dụng hệ thức Vi-ét vào giài tốn phương trình bậc hai cịn nhiều hạn che thiếu sót Đặc biệt lả em lúng túng vận dụng kiến thức đà học đê biện hiận phương trình bậc hai đà cho có hai nghiệm X1, X2 thô điền kiện Đây phan kiến thức khó đối VỚI em học sinh lớp BỜI lè ư'r trước đen em chi quen giãi nhùng dạng tốn tính giá trị cùa biêu thức giãi nhùng phương trình cho sẵn, gặp phải nhùng toán biện hiận theo tham số Mặt khác khả tư cùa em cịn hạn chế, em gặp khó khăn việc phân tích đề tốn, suy luận, tìm mối hên hệ giừa yen tố tốn nên khơng định hướng cách giải Do việc hướng dẫn giúp em có kỳ đê giài tốn, ngồi việc nam lý thuyết, em phải biết vận dụng thực hành ư'r phát triển khâ tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh học nham nàng cao chất lượng học tập Vi the tòi đà suy nghi làm đê nâng cao chất lượng học tập cho em học sinh, giúp em biết vận dụng hệ thức Vi-ét đê giãi tốn phương trình bậc hai ân góp phan giúp em ựr tin kỳ thi Đó lý tịi chọn sáng kiến kinh nghiệm “ứng dụng hệ thức Vi-ét đê giãi số dạng tốn phương trình bậc hai ân cho HS lớp 9” Muc đích nghiên cứu: Đê nham mục đích bơ sung nâng cao kiến thức giâi tốn bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho em học sinh THCS Từ em có thê làm tốt tốn phương trình bậc hai ân kỳ thi Giúp em hiên tầm quan trọng cùa hệ thức Viét việc giãi tốn phương trình bậc hai Giúp em có hiên biêt phương pháp biện luận nghiệm biêu thức chứa nghiệm cùa phương trình bậc hai theo hệ số Kích thích, giúp em biết cách tìm kiến thức nhiều nữa, khơng chi tốn bậc hai mả dạng tốn khác Rèn luyện cho học sinh tính tư logic, sáng tạo toán; say mê u thích học mơn tốn Việc nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm giúp tịi có tài liệu mang tính hệ thống định lí Vi-et phục vụ cho cịng tác giảng dạy cùa Qua nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm giúp tòi tự tin cịng tác giảng dạy 3 Nơi dung nghiên cứu Quá trình nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm đê bân thân trau dồi kiến thức chuyên mòn nghiệp vụ Giúp học S11111 cài tiến phương pháp học tập Biết quan tàm tới bân chất toán học phát biêu Đưa tới cho học sinh số dạng tập có tính ứng dụng cao kì thi, giúp em có kết tốt Đê nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này, tòi đà đề nhiệm vụ sau: - Nghiên cứu toán phương trình bậc hai ân có hên quan đến hệ thức Vi-ét, tìm phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức đê em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức, kì cho - Giúp học sinh nam vừng ứng dụng cùa định lí Vi-ét, làm tốt dạng tập mả trước lúng túng, bế tắc Đoi tương nghiên cứu, khách thê nghiên cứu - Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu phạm vi học sinh lớp trường THCS công tác, năm học 2016 - 2017 - Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu số dạng ứng dụng hệ thức Viét theo nội dung ôn thi vào lớp 10 THPT bao gom cà kiến thức bân nàng cao đáp ứng nhu cầu học tập cùa học sinh muốn đạt diêm cao thi vào trường THPT cịng lập THPT chun tồn quốc Thành phần tham gia nghiên cứu - Nghiên cứu 50 học sinh học lóp trường THCS giảng dạy - Nghiên cứu ứng dụng cùa hệ thức Vi-ét, mơn đại số lớp 9, tìm hiên tốn vê phương trình bậc hai ân có ứng dụng hệ thức Vi-ét Phương pháp nghiên cứu: Căn vào mục đích nhiệm vụ nghiên cứu, tòi sừ dụng phương pháp nghiên cứu sau: a) Phương pháp nghiên cửu, tham khảo tài liệu Tôi đọc chọn bải tốn bậc có ứng dụng hệ thức Vi-ét, sap xếp thành 12 nhóm ứng dụng sau: Dạng Nhàm nghiệm cùa phương trình bậc hai ân v' Dạng Tim điều kiện cùa tham số đê phương trình bậc hai có nghiệm X = X1 cho tiước, tìm nghiệm thứ hai v' Dạng Lập phương trình bậc hai Dạng Tính giá trị cừa biên thức nghiệm cừa phương trình v' Dạng Tim hệ thức liên hệ giừa hai nghiệm cừa phương trình cho hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số s Dạng Tim giá trị tham số cùa phương trình thỏa biên thức chứa nghiệm Dạng Xác định dấư nghiệm cừa phương trình bậc hai Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhó biêu thức nghiệm Dạng Nghiệm chung cùa hai hay nhiều phương trình, hai phương trình ưrơng đirơng Dạng 10 Chứng minh bất đăng thức cùa biên thức nghiệm v' Dạng 11 ứng dụng hệ thức Viét đâo vào tập v' Dạng 12 Lập phương trình đường thăng y = ax+ b (d) VỚI a -ậ quan hệ VỚI Parabol y = mx2 với 111 # b) Phương pháp tông kết kinh nghiệm c) Phương pháp tìm hiên tình hình học tập học sinh Kiêm tra 50 học sinh lớp việc ứng dụng hệ thức Vi-ét giãi toán VỚI nội dung sau: Câu 1: Em hày nêu định lý Vi-ét Áp dụng nhàm nghiệm cùa phương trinh sau: a/2014x2+ 14x-2028 = b/ X2+7X+12 = Càu 2: Cho phương trình (m - l)x2 - 2mx+m + = VỚI m tham số a) CMR: phương trình ln có hai nghiệm phàn biệt x/m + b) Xác định giá trị cùa 111 dê phương trình có tích hai nghiệm bang 5, từ hày tính tịng hai nghiệm cùa phương trình c) Tim hệ thức liên hệ giừa hai nghiệm không phụ thuộc vào 111 d) Tim 111 đê phương trình có nghiệm xpxj thoâ hệ thức: Ke hoach nghiên cứu Trong năm học 2016 -2017 PHẦN 2: NHỮNG BIỆN PHẤP ĐỔI MỚI HOẶC CẢI TIÉN Cơ sở lí luân Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán lớp 9, vào thực tế dạy học, hệ thống tập ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giãi tốn cùa chương trình đại số lớp thấy hệ thống tập SGK sách tập Bộ giáo dục - đào tạo ấn hành dạng bân đơn giàn, thực tế tập ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán đa dạng, phong phú thê loại tốn phơ biến cùa đại số THCS Trong chương trình sách giáo khoa tốn lớp THCS, học sinh dược làm quen với phương trình bậc hai: Cịng thức tính nghiệm cùa phương trình bậc hai, đặc biệt lả định lý Vi-ét ứng dụng việc giãi toán: - Trong tiết lý thuyết: học sinh học định lý Vi-ét ứng dụng hệ thức Vi-ét đê nhâm nghiệm cùa phương trình bậc hai ân, lập phương trình bậc hai tìm hai số biết tịng tích cừa chứng - Trong tiết luyện tập: học sinh làm tập cứng cố tiết lý thuyết vừa học Qua việc giảng dạy Toán trường THCS tòi nhận thấy em vận dụng hệ thức Vi- ét vào giãi toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác sử dụng hệ thức Vi-ét vào giãi nhiều loại bải toán, hệ thức Vi-ét có ứng dụng rộng rãi việc giãi tốn Đứng trước vấn đề đó, người giáo viên cần phải bồi dường hướng dẫn học sinh ựr học thêm kiến thức phần này, tòi sàn vào nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm: “ứng dụng hệ thức Vi-ét đê giãi số dạng tốn phương trình bậc hai ân cho HS lớp 9” VỚI mong muốn cùa tòi giúp cho học sinh nam vừng thành thạo định lý Vi-ét, đồng thời làm tăng khả năng, lực học toán kích thích lực hứng thú học tập mơn tốn cùa học sinh Khi tịi dạy phan kiến thức này, đối VỚI học sinh khá, học sinh giòi đòi hỏi giáo viên phải biên soạn, sim tầm lựa chọn, nội dung kiến thức cho dạng toán đê dạy phong phú đạt hiệu quâ cao Thực trạng vấn đe nghiên cúu (cơ sở thục tiễn) a) Thuận lợi: Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đù kiến thức chương trình Học sinh nam kiến thức bân dà hoàn thành THCS Giáo viên dạy bồi dường học sinh giòi lớp hang năm đà có học sinh đạt giãi mơn Tốn Nhà trường có tị chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, TÔI đà trực tiếp đứng lớp giảng dạy mịn Tốn khối 9, bồi dường học sinh giịi lớp ơn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi vào lớp 10 nên tòi mong muốn có the giứp học sinh giãi qưyết tốt việc giãi tốn vê phương trình bậc hai ân diên hình nhờ ứng dụng hệ thức Vi-ét TƠI đong nghiệp góp ý kiến giảng dạy Đa số học sinh khá, giói đềư mong muốn nâng cao kiến thức b) Khỏ khăn: Thời lượng phàn bố tiết cho phan không nhiều, cụ thê chương trình lớp chi có tiết (1 tiết lý thuyết, tiết luyện tập) Do clma khai thác hết ứng dụng cùa hệ thức Vi-ét, em đirợc trọng nâng cao kiến thức Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khâo tài liệu, đê nâng cao kiến thức clma nhiêu nên số lượng học sinh giịi Tốn cịn hạn chế Từ thuận lợi khó khăn trên, với sáng kiến kinh nghiệm tòi mong giáo viên giúp em có thêm kiến thức đê tự tin học tập Mơ tả, phân tích giải pháp hoăc câi tiến A Cơ SỞ LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa: Phương trình bậc hai đơi với ân xeR ỉà phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0(1) ( thi phương trình (1) có hai nghiệm phàn biệt -b- VÃ -ồ + VÃ X, = —_ —’ x2 = —_ — 2a 2a Định lý Vi-et - Dấu nghiệm Định lý: Neu phương trình bậc hai ân X e R: ax2+ỒX+C = 0(1) ( c nghiệm Xp x2 s = x1+x2 =—, p = x1.x2 =- a Ngược lại nett có hai so Xp x2 thỏa mãn s = X1 - x2và p = XjX2 hai so hai nghiệm cũa phương trình: X2- Sx + p = (đk: s2 - 4P>0) Dấu nghiệm: Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu p < Phương trình (1) có hai nghiệm dấư oj A _ ÍA>0 Phương trình (1) có hai nghiệm dương o < p > s>0 ÍA>0 Phương trình (1) có hai nghiệm âm t p > S => p < S'2 Vậy p đạt GTLN chi kill X = X, =4- ■ (2) Giá tri nhô Neu hai số dương có tích khơng địi tịng cùa hai số nhị hai số bang nhan Giã sử XpX2 > XpX2 = p không đòi, X; + x2 = s thay đòi Do điều kiện S2-4P>0=>(S-2 \fp ) (S T y[p) > => s - y[p > => s > 2y[p Vậy s đạt GTNN 2y/p chi kill X] = x2 = yfp B CẤC DANG TỐN ÚNG DUNG HÊ THỨC VI-ÉT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Dạng Nhâm nghiệm phương trình bậc hai ân: • Phương pháp Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a * 0) ' • c • Nêu a T b + c = phương trinh có hai nghiệm X1 = 1, X? = — a X1r1• • /s Nếua-b + c = o thi phương trình có hai nghiệm X1 = -1, X2 = - — • Nen X1 + X2 = 111 T 11, X1X2 = 11111 A>0 phương trình có nghiệm X1 = 111, X2 = 11 X1 = 11, X2 = 111 • Vỉ dụ: Dùng hệ thức Vi-ét đê nhàm nghiệm phương trình san: a) 2x2 + 2017x-2019 = b) — l)x2 + 6-7+V + 5/3 +1 = Giãi: a) 2x2 + 2017x - 2019 = có a + b + c = + 2017 +(-2019) = , Vậy phương trinh có hai nghiệm phân biệt: X1 = 1, X2 = — = b) c -2019 ơ2 (3-Ự3 - l)x + 6-Ự3.X + 3-Ự3 +1 = có a - b + c = 3^3-1 -65/3+3^3+1 = Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: X1 = -1, X2= - +1 3A/3 — Dạng Tìm điều kiện tham so đê phương trình bậc hai có nghiệm X = X1 cho trước, tìm nghiệm thứ hai • Phương pháp - Lập điền kiện để phương trình bậc đà cho có hai nghiệm: A > (hoặc Á >0) (*) - Thay X = X1 vào phương trình đà cho, tìm giá trị tham số - Đối chiếu giá trị vừa tìm tham số VỚI điều kiện (*) đê kết luận * Đê tìm nghiệm thứ hai ta có thê chọn cách lảm sau: • Thay giá trị cùa tham số tìm vào phương trình giãi phương trình • Thay giá trị tham số tìm vào cịng thức tịng hai nghiệm sè tìm nghiệm thứ hai • Thay giá trị tham số tìm vào cịng thức tích hai nghiệm, từ tìm nghiệm thứ hai • Vỉ dụ: Cho phương trình: mx2 - 2(111-2 )x + 111-3 = 0(1) VỚI 111 tham số Tim 111 đê (1) có nghiệm bang Tìm nghiệm thứ hai Giải * Lập điều kiện đê phương trình (1) có hai nghiệm A >0 i(w-2)2-W(ZM-3)>0 _ - or ’ v ’ o0^»?0 A' = [3(w-1)] -9(w-3)m>0 A' = 9(W2-2ZM + 1)-97M2 + 27ZM>0 ỈU + J ill * A' = 9(»? + l)>0 [//?>-! 6(ffí -1) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: III 9(w - 3) III ViXj + x2 = XjX2(giả thiết) Nên —— o 6(/// -1) = 9(w - 3) 3tn = 21 71/ = (thỏa màn) m ỈU Vậy với 111 = phương trình đà cho có hai nghiệm Xi, X2 thóa hệ thức: X; + x = X;X2 Ví du 2: Cho phương trình: X2- (2111 + 1) X + m2 + 2=0 Tim giá trị tham số 111 đê hai nghiệm X1 X2 thỏa hệ thức: 3XJX2 - (xj + x2) + = Giái: Đê phương trình có hai nghiệm X1 X2 thì: A = (2w + 1) 2-4(»/2+2)>0OW>^ Theo hệ thức Vi-ét, ta có: = X; +x2 = 2///+1 Vi 3X]X; - (x, + x2) + = (già p = x1.x2 = UI2 + thiết) JU = 2ỢM) Nên 3(»/2+2)-5(2W + 1) + = 0O ÌU = ^KTM) Vậy VỚI 111 = phương trình có hai nghiệm X1 X2thỏa hệ thức: 3XJX2 - (XJ + x2 ) + = Ví đu 3: Cho phương trình: mx2 +2 (111 - 4)x + 111 + =0 Tim 111 đê phương trình có hai nghiệm Xi, X2 thỏa hệ thức: Xj -2x = Giãi: ĐKXĐ: 15 -2(w-4) s = X; + x2 = —— Theo hệ thức Vi-ét, ta có: (1) P = x1.x2 Theo đề ta có: Xj - 2X2 = o Xj = 2X2 o X] + x2 = 3X2 o (xj + x2) = 6x2 o (.Ý] + x2) = 3X] íx,+x2 = 3x, Suy ra: , 12(Z +Z) = 3.V, ° 2(v-+V =9XA(2) Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình: m2+ 127111 - 128 = O=>1111 = 1; 1112 = -128 (thỏa ĐK trên) Dạng Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình: ax2 + bx T c = (a 0) Hày tìm điều kiện đê phương trình có hai nghiệm: trái dấn, dan, Cling dương, âm, • IZ dụ: Xác định 111 cho phương trình: X2- (3111 T 1) X + Ill2 -111 - = có hai nghiệm trái dấu Giãi: Đê phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: p < o m ~™~6 lx - x211= /(;;?+ 4)2 + 4“ V2 =9 4V4 111 + = 111 = - 2 Vậy |xj - x21 đạt giá trị nhó y'19 kill 111 = - Dạng Nghiệm chung hai hay nhiều phương trình, hai phương trình tương đương 9.1 Chímg minh hai phương trình cho có nghiệm • Phương pháp: - Tính ApA2 - Chứng minh Aj + A, >0 AJ.A2 < đê suy biệt số không âm (Chú ý kết hợp già thiết có) • Vỉ dụ: Vi du 1: Cho hai phương trình: x2-3x + 2w+ = 0(1) X2 + X - 2m -10 = (2) Chứng minh rang: VỚI 111, hai phương trình có nghiệm Hướng dẫn: Aj + A2 = 26>0 => có biệt số không âm Vi du 2: Cho hai phương trình bậc hai: X2 + «jX + bỵ = X2 + «2X + z>2 = có hệ số thỏa điều kiện: axa2 > 2(bỵ + b2) Chứng minh rang hai phương trinh có nghiệm Hướng dần: Giá sứ hai phương trình vơ nghiệm: Aj + A2 = ữj2 +Ỡ22 -4(Z>! + Ố2)< + !+z>2)-2ữ1ữ2 o ayt2 < (bị + b2) (mân thuẫn với giá thiết) 9.2 Tìm giả trị cùa tham so đê haiphương trình có có nghiệm chung • Phương pháp: • Cách 1: - Giâ sử x0 nghiệm chung, lập hệ hai phương trinh (ân X tham số) - Giải hệ plnrơng trinh tìm x0 tìm tham số - Thứ lại: Thay giá trị cùa tham số vào phương trình giải phương trình, tìm nghiệm chung - Rút kết luận • Cách 2: Rút tham số n'r phirơng trình đà cho - Thế giá trị cùa tham số vào phương trình cịn lại, tìm X - Thay giá tiị cùa X tìm m - Rút kết luận • Vỉ dụ: Vi du 1: VỚI giá trị k hai phương trình sau có nghiệm chung x' - (/ PT (d) Loại 2: (*) J -b XA.XB=-^