ĐẬU THẾ PHIỆT BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2 Tính các Đạo hàm riêng 1 z = esin( y x) 2 z = xy 3 u = 1√ x2 + y2 + z 4 u = (y x )x 5 Tính ∂f ∂x (2, 1); ∂f ∂y (2, 1) với f(x, y) = x2+y2∫ x+y etdt 6 Chứng minh nếu f[.]
ĐẬU THẾ PHIỆT BÀI TẬP GIẢI TÍCH Tính Đạo hàm riêng u = p x2 + y + z y x u = x y z = esin( x ) z = xy Tính ∂f ∂f (2, 1); (2, 1) với f (x, y) = ∂x ∂y xZ +y et dt x+y Chứng minh f (x, y, z) = ln(x3 + y + z − 3xyz) ∂f ∂f ∂f + + = ∂x ∂y ∂z x+y+z y2 y 1 + − + Chứng minh f (x, y, z) = 2x x y x2 ∂f ∂f y3 + y2 = ∂x ∂y x Chứng minh f (x, y, z) = (z − y)(x − z)(y − x) ∂f ∂f ∂f + + =0 ∂x ∂y ∂z Cho x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ 0 xr xθ 0 yr yθ 0 zr zθ z = r cos θ Tính x0ϕ yϕ0 zϕ0 Vi phân hàm số z = exy p ln(x + x2 + y Page ĐẬU THẾ PHIỆT ln sin y (xy)z x z2 Tính df (0, 1, 2) với f (x, y, z) = x+y Tính df (1, 1) với f (x, y, z) = xyex+y p Tính gần 3, 982 + 3, 032 Tính gần (1, 99)3,02 Tính gần sin 32° cos 59° 10 Tìm d2 f với f (x, y) = xy 11 Tìm d2 f với f (x, y, z) = xy + xz + z 12 Tìm d2 f (1, 1) với f (x, y) = x2 + xy + y − ln x − ln y ∂ 3f với f (x, y) = x ln(xy) 13 ∂x2 ∂y ∂ 6f với f (x, y) = x4 sin y + y sin x 14 3 ∂x ∂y 15 Tính d3 f với f (x, y) = x3 + y + 3xy(x − y) 16 Tính d3 f với f (x, y) = xyz z 17 Tính d2 f (2, 3, 4) với f (x, y, z) = p x2 + y ∂ 6f 18 Tính với f (x, y, z) = ln(x + y + z ∂x2 ∂y ∂z Đạo hàm hàm hợp df với f (x, y) = xy ; dt x = ln t; y df với f (x, y) = arctan ; dt x y = sin t x = e2t + 1; df ∂f , với f (x, y) = ln(ex + ey ); dy ∂y y = e2t − 1 x = y2 + y Page ĐẬU THẾ PHIỆT ∂f ∂f , với f (x, y) = u ln v; ∂x ∂y u = xy; df với f (x, y) = u2 v − uv ; u = x cos y v = x2 − y v = y sin x Chứng minh hàm g = yf (cos(x − y)) với f hàm khả vi, thoả phương trình ∂g ∂g g + = ∂x ∂y y Chứng minh hàm g = y với f hàm khả vi, thoả phương f (x2 − y ) trình g ∂g ∂g + = x ∂x y ∂y y Chứng minh hàm h(x, y) = xf (x + y) + yg(x + y) với f, g hàm khả vi, thoả phương trình ∂ 2h ∂ 2h ∂ 2h −2 =0 + ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 ∂ 2h 2∂ h Chứng minh = a với h = f (a − at) + g(x − at) f, g ∂t ∂x2 hàm khả vi a số x2 10 Chứng minh hàm z = f (xy) với f hàm khả vi thoả phương trình 3y x2 − xy ∂z ∂z + y2 =0 ∂x ∂y y2 11 Chứng minh hàm số z = ex f xe 2x2 với f hàm khả vi, thoả phương trình xy ∂z ∂z + (y − x2 ) = xyz ∂x ∂y Đạo hàm hàm ẩn yx0 biết cos(xy) − exy − xy = yx0 biết xy = y x y (1), y 00 (1) biết x2 + 2xy + y − 2x + 4y − = y(1) = Page ĐẬU THẾ PHIỆT x z zx0 , zy0 biết = ln + 10 z y ∂z ∂z xy , biết − z ln(y + z) = ∂x ∂y z x 00 zx0 , zxx biết z = y + arctan z−y u0x , u0y biết u = x cos z + z sin y với z(x, y) xác định xyz + ez = u0x , u0y biết u = 10 x+z z(x, y) xác định zez = xez + yey y+z dx dy , biết x, y, z thoả hệ dz dz ( x+y+z =0 a) x2 + y + z = ( x2 + y = z b) x+y+z =0 ∂u ∂v ∂u ∂v , , , biết u, v hàm theo x, y xác định ∂x ∂x ∂y ∂y ( u+v−x=0 u2 + v − y = z 11 dz biết yz − e x + x2 + y = 12 d2 z biết x + y + z = ez 13 dz(3, −2), d2 z(3, −2) biết z(x, y) hàm khả vi thoả z − yz + x = z(3, −2) = Đạo hàm theo hướng − Tính đạo hàm theo hướng → u hàm f = x3 + 2y − 3x3 điểm A(2, 0, 1) −→ − với → u = AB, B(1, 2, −1) −−−→ Tính modul gradf với f = x3 + y + z − 3xy A(2, 1, 1) Khi −−−→ −−−→ gradf vng góc với Oz Khi gradf = p −−−→ Tính gradf với f = x2 + + ln r với r = x2 + y + z x Page ĐẬU THẾ PHIỆT Theo hướng biến thiên hàm số f = x sin z − y cos z từ gốc toạ độ lớn p −−−→ Tính p góc hai vector gradz hàm số z = x2 + y z = x − 3y + 3xy (3,4) Viết phương trình tiếp diện pháp tuyến M (0, 0, π) mặt z = 2arccot(x − y) Tính tích phân kép ZZ x sin(x + y)dxdy: D = {(x, y) ∈ R2 : ≤ y ≤ π π ;y ≤ x ≤ 2 D ZZ x2 (y − x)dxdy: D giới hạn đường cong y = x2 x = y D ZZ |x + y|dxdy: D = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1; |y| ≤ 1} D ZZ p |y − x2 |dxdy: D = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1, ≤ y ≤ 2} D ZZ |y − x2 |3 dxdy: D = {(, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1, ≤ y ≤ 2} D ZZ (|x| + |y|)dxdy: D = {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| ≤ 1} D ZZ ( dxdy 4y ≤ x2 + y ≤ 8y √ :D= (x2 + y )2 x ≤ y ≤ 3x D ZZ s − x2 − y dxdy D : x2 + y ≤ 2 1+x +y D x2 + y ≤ 12 x2 + y ≥ 2x ZZ √ xy 2 dxdy: D = x + y ≥ 3y x2 + y x>0 D y > Page ĐẬU THẾ PHIỆT ZZ 10 |9x2 − 4y |dxdy: D : x2 y + ≤1 D ZZ 11 ( ≤ xy ≤ (4x2 − 2yd2 xdy: D : x ≤ y ≤ 4x D ZZ 12 |x|2x −y dxdy ( −1 ≤ x ≤ D: −1 ≤ y ≤ D √ Z Z dx 13 Đổi thứ tự lấy tích phân f (x, y)dy x2 −4 −2 Z Z dx 14 Đổi thứ tự lấy tích phân ZZ (8x − 3y)dxdy 15 4−x 2−x √ 1− 1−x2 f (x, y)dy ( 2x + 3y ≤ D: x ≥ 0; y ≥ D ZZ 16 cos(x − y) dxdy sin x cos y D: nπ π π πo ≤x≤ ; ≤y≤ 6 D ZZ 17 dxdy + (x2 + y )2 ( x2 + y ≤ D: x≥0 D ZZ 18 dxdy p − (x2 + y )2 ( x2 + y ≤ D: x≥0 D ZZ (x + y)(y + 2x)dxdy 19 D giới hạn y = −x; y = − x; 2x + y = 0; D 2x + y = ZZ 20 ln(1 + x2 + y )dxdy p D : giới hạn y = a2 − x2 ; y = D ZZ (y−x)(y+2x)dxdy 21 D giới hạn y = x; y = 1+x; 2x+y = 0; 2x+y = D Page ĐẬU THẾ PHIỆT ZZ p D giới hạn y = − a2 − x2 ; y = arctan(1 + x + y )dxdy 22 D Z √ 1+ 1−x2 Z f (x, y)dy dx 23 Đổi cận tích phân 2−x Z x2 Z dx 24 Đổi cận tích phân ZZ 25 Biểu diễn tích phân (3−x) f (x, y)dy + √ Z 3Z f (x, y)dy f (x, y)dxdy toạ độ cực với D cho x2 +y ≤ D 6x + 3y Z1 26 Đổi cận tích phân √ Z1−x2 dx f (x, y)dy (1−x)2 ZZ p |y − x2 |dA D giới hạn −1 ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 27 I = D √ Z1−y Z1/2 dy √ 28 Chuyển sang toạ độ cực f (x, y)dx 2y−y √ Z Z2y−y 29 Đổi cận tích phân dy f (x, y)dx 2−y Z1 30 Đổi thứ tự lấy tích phân √ Z2−y dy f (x, y)dx √ ZZ 31 Biểu diễn tích phân 4, y ≥ x y f (x, y)dxdy toạ độ cực với D cho x2 +y ≤ D √ Z2 1−(y−1)2 Z dy 32 Đổi thứ tự lấy tích phân f (x, y)dx 2−y Page ĐẬU THẾ PHIỆT Z0 f (x, y)dy + dx 33 Đổi cận tích phân Z1 Z1 −1 √ 2−y Z1 Z1 dy Z1/2 f (x, y)dx √ 36 Đổi thứ tự lấy tích phân 2x−x2 √ Z 1−y f (x, y)dx dy 35 Đổi thứ tự lấy tích phân √ 1+ Z1 34 Đổi thứ tự lấy tích phân f (x, y)dy dx −x Z1 y √ Z1−y dy √ f (x, y)dx 2y−y ZZ max{x, y}dA D miền phẳng giới hạn ≤ x ≤ 4, ≤ 37 I = D y≤4 ZZ 38 I = |xy|dA với D miền giới hạn ≤ x2 + y ≤ D ZZ |y|dA với D miền 39 I = x2 y + ≤ x2 + y ≥ 16 D ZZ 40 I = x2 y + 16 p dA D giới hạn x = 0, y = 0, x = − y2 12 D 41 Tính diện tích miền giới hạn x2 + 3y ≤ 1, y ≥ 0, y ≥ x √ 42 Tính diện tích miền phẳng giới hạn 2x ≤ x +y ≤ 6x,y ≤ x 3, x+y ≥ ZZ 43 I = (x − yd A với D giới hạn đường x = a cos3 t, y = a sin3 t, ≤ t ≤ 2 D π/2 trục toạ độ Tính tích phân bội Page ĐẬU THẾ PHIỆT ZZZ 0 ≤ x ≤ 1/4 zdxdydz: V = x ≤ y ≤ 2x p ≤ z ≤ − x2 − y V ( ZZZ x2 + y + z = 2 (x + y )dxdydz ; V : x2 + y − z = V ZZZ ( x2 + y ≤ V : 1≤z≤2 (x2 + y )zdxdydz V ZZZ z p x2 + y dxdydz V (a) V giới hạn x2 + y = 2x mặt y = 0, z = 0, z = a (b) V nửa hình cầu x2 + y + z ≤ a2 , z ≥ x2 + y z + ≤ 1; z ≥ (c) V nửa khối Ellipsoid a2 b ZZZ p ydxdydz V giới hạn y = x2 + z mặt phẳng y = h V ZZZ (x2 + y + z )dxdydz ( ≤ x2 + y + z ≤ V : x2 + y ≤ z V ZZZ p x2 + y dxdydz V giới hạn x2 + y = z z = V ZZZ dxdydz p x2 + y + (z − 2)2 ( x2 + y ≤ V : |z| ≤ V ZZZ p x2 + y + z dxdydz V giới hạn x2 + y + z ≤ z V ZZZ 10 z dxdydz (x2 + y + z )2 ( x2 + y ≤ V 1≤z≤5 V Page ĐẬU THẾ PHIỆT ZZZ p 11 6y − x2 − y − z dxdydz V : x2 + y + z ≤ 6y V z=0 ZZZ x + y + z = 10 f (x, y, z)dxdydz với Ω bị chặn mặt 12 Biểu diễn tích phân xy = Ω x+y =5 ZZZ p 13 x2 + y + z dxdydz với V nửa hình cầu có phương trình V x2 + y + z ≤ R2 ZZZ f (x, y, z)dxdydz với Ω xác định Ω = 14 Xác định cận tích phân Ω ( x2 + y + z ≤ 16 p x2 + z + y ≤ ZZZ 15 Xác định cận lấy tích phân ( ≤ x2 + y + z ≤ f với Ω = p y + z2 + x ≤ Ω ZZZ 16 I = (y+z)dV với V giới hận z = x2 +y , x2 +y = 4, z = 2+x2 +y V ZZ 17 I = xdV với V giới hạn x + y + z ≤ 0, x2 + y + z ≤ D ZZZ 0 ≤ x ≤ 1/4 18 zdV miền V xác định x ≤ y ≤ 2x p ≤ z ≤ − x2 − y V ( ZZZ x2 + y + z = 2 19 (x + y )dV V = x2 + y − z = V ZZZ 20 ( x2 + y ≤ 2 (x + y )zdV V = 1≤z≤2 V Page 10 ĐẬU THẾ PHIỆT ZZZ z 21 p x2 + y dV V • V miền giới hạn mặt trụ x2 + y = 2y mặt x = 0, z = 0, z = a • V nửa hình cầu x2 + y + z ≤ a2 , z ≤ 0, a(> 0) x2 + y z + ≤ 1, z ≥ 0, (a, b > 0) • V nửa khối Ellipsoid a2 b ZZZ p 22 ydV V miền giới hạn mặt nón y = x2 + z mặt V phẳng y = ( ZZZ ≤ x2 + y + z ≤ 2 23 (x + y + z )dV V : x2 + y ≤ z V ZZZ p x2 + y dV V giới hạn x2 + y = z , z = 24 V ZZZ 25 ( dV x2 + y ≤ V : x2 + y + (z − 2)2 |z| ≤ V ZZZ p x2 + y + z dV V miền giới hạn x2 + y + z ≤ z 26 V ZZZ 27 xyzdV với V miền giới hạn mặt y = x2 , x = y z = xy, V z=0 ZZZ 28 dV với V giới hạn mặt x + y + z = 1, x = 0, (1 + x + y + z)3 V y = 0, z = ZZZ 29 |xyz|dV với V cho x2 + y ≤ 2z, ≤ z ≤ V ZZZ 30 z dV với V miền giới hạn mặt x2 + z = 1, x2 + z = 2, 2 x +z V y = π, y = 2π Page 11 ĐẬU THẾ PHIỆT ZZZ z 31 p x2 + y dxdydz với Ω xác định x2 + y ≤ 2x, y ≥ 0, ≤ z ≤ Ω ZZZ y cos(x + z)dV với V miền giới hạn mặt y = 32 √ x, y = 0, V z = 0, x + z = π/2 ZZZ xy √ dV với V miền giới hạn mặt x2 + y = 4z , z = 1, 33 z V góc 1/8 thứ ZZZ 34 (x2 + y )dV với V miền cho ≤ x2 + y + z ≤ 4, z ≥ V ZZZ p x2 + y + z dV với V cho x2 + y + z ≤ x 35 V ZZZ 36 p dV với V miền giới hạn x2 + y ≤ 2x, ≤ z ≤ 2 2 (x + y + 4) V ZZZ (x + y + z)dxdydz 37 V : giới hạn x + y + z = a; x = 0; y = 0; z = V ZZZ xyzdxdydz 38 V giới hạn y = x2 ; x = y ; z = xy; z = V ZZZ 39 (x2 + y )dxdydz V giới hạn z = x2 − y ; z = 0; z = V ZZZ zdxdydz 40 V giới hạn z = h2 (x + y ); z = h R V ZZZ |xyz|dxdydz 41 V giới hạn x2 + y ≤ 2z; ≤ z ≤ a V ZZZ dxdydz 42 V giới hạn x2 + y = 1; x = 0; z = 0; z = a V Page 12 ĐẬU THẾ PHIỆT ZZZ 43 z dxdydz x2 + z V giới hạn x2 + z = 1; x2 + z = 2; y = π; y = 2π V ZZZ y cos(x + z)dxdydz 44 V giới hạn y = √ x; y = 0; z = 0; x + z = π V ZZZ 45 xy √ dxdydz z V giới hạn x2 + y = 4z ; z = 1; x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ V ZZZ p 46 x2 + y dxdydz V giới hạn x2 + y = z ; z = V ZZZ z 47 p x2 + y dxdydz V giới hạn y = p 2x − x2 ; y = 0; z = 0; z = a V √2 x2Z −y /a Za −y p dy dx x2 + y dz √ a/ Z 48 ZZZ 49 y xyz dxdydz V cho x2 + y + z ≤ x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ V ZZZ 50 (x2 + y + z )dxdydz V miền giới hạn mặt cầu x2 + y + z = V x+y+z ZZZ 51 (x2 = y )dxdydz V cho R12 ≤ x2 + y + z ≤ R22 ; z ≥ V ZZZ p 52 x2 + y + z dxdydz V cho x2 + y + z ≤ x V ZZZ 53 dxdydz p x2 + y + (z − 2)2 V cho x2 + y ≤ 1; −1 ≤ z ≤ V ZZZ xyzdxdydz 54 x2 + y V giới hạn z = x +y ; z = ; xy = a2 ; xy = b2 ; 2 V y = αx; y = βx (z = x2 + y , < α < β) Page 13 ĐẬU THẾ PHIỆT ZZZ f (x, y, z)dxdydz với V = {(x, y, z) ∈ 55 Biểu diễn tích phân toạ độ cầu V 2 R : y ≥ 0, x + y + z ≤ 4, z ≥ 0} ZZZ 56 Biểu diễn sang toạ độ trụ f (x, y, z)dxdydz với Ω giới hạn z = Ω 2 x + y , z = 1, z = ZZZ 57 Biểu diễn trọng toạ độ Decartes f (x, y, z)dxdydz với Ω xác định Ω p 2 x + y + z ≤ 1, z ≥ x + y ZZZ 58 Xác định cận lấy tích phân f (x, y, z)dxdydz với Ω giới hạn x2 +y = 2 Ω 6; z = x + y y2 − z = x +p 59 Xác định cận lấy tích phân f (x, y, z)dxdydz với Ω = z = − x2 + y x + y2 = Ω ZZZ 60 Xác định cận lấy tích phân f (x, y, z)dxdydz với Ω giới hạn z = ZZZ Ω 2 x + y , z = 1, z = 2 y z x 61 Khối ellipsoid V = (x, y, z) ∈ R3 + + ≤ a b c Tính thể tích vật giới hạn x y = Tính diện tích miền D giới hạn đường y = 2−x y = ( y − x; y = 2x Tính diện tích miền D giới hạn x2 = y; x2 = 2y ( y = 0; y = 4x Tính diện tích miền D giới hạn x + y = 3; y ≤ Page 14 ĐẬU THẾ PHIỆT ( x2 + y = 2x; x2 + y = 4x Tính diện tích miền D giới hạn x = y; y = Tính diện tích miền D xác định r ≥ 1; r ≤ √ cos ϕ Tính diện tích miền D giới hạn (x2 + y )2 = 2xy Tính diện tích miền D giới hạn r = + cos ϕ Tính diện tích miền D giới hạn r = + cos ϕ Tính thể tích vật giới hạn 3x + y ≥ 1 3x + 2y ≤ y ≥ 0; ≤ z ≤ − x − y ( z = − x2 − y 2 2x = + x2 + y z = − x2 − y ; y = x; y = x2 + y + z = 4; √ 3x; z = x2 + y − 2y = x2 y x2 y 2x z = 0; z = + ; + = a b a2 b a p z = x2 + y ; z = x2 + y x2 + y + z = 2; z = 2x + 2y z = cos x cos y; z = sin πy ; 2x z = 0; z = 0; 10 z = x2 + (y − 1)2 ; |x + y| ≤ y = x; π ; y = 0; |x − y| ≤ π x=π 2y + z = (x2 + y )2 = 2xy; z = (x > 0; y > 0) p 2 12 z = − x − y ; z = x2 + y 11 z = x + y; 13 x2 + y + z = 2z; x2 + y = z Page 15 ĐẬU THẾ PHIỆT 14 (x2 + y + z )2 = a2 (x2 + y + z ); (a > 0) 15 Tìm a để thể tích vật giới hạn mặt x2 + y = az; z = số V cho trước 16 x2 + y + z = 2, z = 2x + 2y πy , z = 0, y = x, y = 0, x = π 2x π π 18 z = cos x cos y, z = 0, |x + y| ≤ , |x − y| ≤ 2 17 z = sin 19 z = x2 + (y − 1)2 , 2y + z = 20 z = x + y, (x2 + y )2 = 2xy, z = 0, (x > 0, y > 0) p 21 z = − x2 − y , z = x2 + y 22 x2 + y + z = 2z, x2 + y = z 23 (x2 + y )2 = 2xy, z = x + y, z = 0, (x > 0) 24 x2 + y = 8, x + y + z = 4, x = 0, y = 0, z = 25 z = x2 + y + 5, x2 + y = 4; z = −2 26 z = x2 + y ; y = x2 ; y = 1; z = 27 x2 + y = 8; x + y + z = 4; x = 0; y = 0; z = p 28 x2 + y + z ≤ 9; z = x2 + y p 29 z = − x2 − y ; x2 + y = 1; z = −1 p 30 z = x2 + y ; z = 31 z = x−; z = x2 + y nằm trụ x2 + y = a với a > 32 z = x2 + y ; y = x2 ; y = 1; z = Tính tích phân đường Z (x − y)ds C : x2 + y = 2x C Page 16 ĐẬU THẾ PHIỆT ( x = − sin t y ds C : y = − cos t Z ≤ t ≤ 2π C ( Z p x = cos t + t sin t x2 + y ds C : y = sin t − t cos t ≤ t ≤ 2π C Z (2x − y)dx + xdy ( x = t − sin t C: y = − cos t t : → 2π C Z 2(x2 + y )dx + x(4y + 3)dy OBCO đường gấp khúc qua O(0, 0), OBCO B(1, 1), C(0, 2) Z dx + dy ABCDA đường gấp khúc qua A(1, 0), B(0, 1), C(−1, 0), |x| + |y| ABCDA D(0, −1) Z p x2 + y dx + dy ( √ x = t sin t √ C: y = t cos t 0≤t≤ π2 C Z (xy + x + y)dx + (xy + x − y)dy C : x2 + y = 2x C I x x y y+ dy − y x + dx 4 x2 +y =2x I 10 ex [(1 − cos y)dx − (y − sin y)dy] OABO đường gấp khúc O(0, 0), OABO A(1, 1), B(0, 2) I 11 x 2 (xy +x +y cos(xy)dx+ + xy − x + x cos(xy) dy ( x = a cos t C: y = a sin t C (3,0) Z 12 (x4 + 4xy )dx + (6x2 y − 5y )dy (2,−1) Page 17 ĐẬU THẾ PHIỆT (2,2π) Z y y y2 y y − cos dx + sin + cos dy x x x x x 13 (1,π) 14 Tìm α để tích phân sau khơng phụ thuộc vào đường miền xác định Z (1 − y )dx + (1 − x2 )dy (1 + xy)α AB 15 Tìm số a, b để biểu thức (y axy +y sin(xy))dx+(x2 +bxy +x sin(xy))dy vi phân toàn phần hàm số u(x, y) Tìm hàm số (x, y) 16 Tìm hàm số h(x) để tích phân Z h(x)[(1 + xy)dx + (xy + x2 )dy] AB không phụ thuộc vào đường miền xác định Tính tích phân từ A(0, 0) đến B(1, 2) với h(x) vừa tìm 17 Tìm hàm số h(y) để tích phân Z h(y)[y(2x + y )dx − x(2x − y )dy] AB không phụ thuộc vào đường miền xác định Tính tích phân từ A(0, 1) đến B(−3, 2) với h(y) vừa tìm 18 Tìm hàm số h(xy) để tích phân Z h(xy)[(y + x3 y )dx + (x + x2 y )dy] AB không phụ thuộc vào đường miền xác định Tính tích phân từ A(1, 1) đến B(2, 3) với h(xy) vừa tìm ( Z x2 + y = 4x − 19 (2y −3x2 y)dx+(x2 y −7y )dy với C nửa đường tròn x≥2 C theo ngược chiều kim đồng hồ Page 18 ĐẬU THẾ PHIỆT Z 20 ex sin ydx + (ex cos y + x)dy với C đường gấp khúc ABC : A(2, 0), C B(0, 2), C(−1, 0) Z 21 (x + y)ds với C 4OAB A(1, 0), B(1, 2) C I 22 (x arctan x+y )dx+(x+2xy+y e−y )dy với C đường tròn x2 +y −2y = C Z 23 p x ydx − xy dy với C đường y = − x2 từ A(−2, 0) đến B(2, 0) 2 C Z 24 (x2 +y)dx+(x+y )dy (i) C đường thẳng nối A(−1, 1), B(0, 2); C (ii) C đường cong nối A, B Z 25 (ex sin y + y)dx + (ex cos y + x2 ey )dy với C đường y = − x2 từ C A(−1, 0) đến B(1, 0) Z p 26 x2 ydx − x(y + 1)dy C đường có phương trình y = − x2 C nối A(−2, 0) đến B(2, 0) Z 27 (y + 1)dx − (x3 + 2y)dy với L cung nối O(0, 0) đến A(2, 0) theo đường C có phương trình y = 2x − x2 ( Z x2 + y = −4y 2 28 (5xy + 4y )dx + (x − 2y )dy với C nửa đường tròn y ≤ −2 C theo chiều kim đồng hồ Z 29 (x + y)ds với C đoạn thẳng nối A(9, 6) B(1, 2) C Z 30 xdy − ydx C đường cong kín bao quanh 0, ngược chiều kim x2 + y C đồng hồ Page 19 ĐẬU THẾ PHIỆT Z 31 ( x2 + y = 6x 3 (y + 5xy)dx + (x y − y )dy với C nửa đường tròn x≥3 C theo chiều ngược chiều kim đồng hồ ( Z x2 + y = 4y 32 (xy + 5)dx + (2x2 − y )dy với C nửa đường tròn y≥2 theo C chiều ngược chiều kim đồng hồ Z 2xds với C = C1 ∪ C2 : C1 : y = x2 từ (0,0) đến (1,1) C2 đường thẳng 33 C từ (1,1) đến (1,2) Z xdy − ydx d cho y = x2 ≤ x ≤ 2; (ii) 34 A(1,1), B(2,4) với (i) cung AB 2 x +y d AB d tạo với đoạn AB đường cong kính khơng bao quanh cung AB gốc toạ độ Z 35 (x + y)ds với C 4OAB có đỉnh O(0, 0), A(1, 0), B(1, 2) C Z dx + 4xydy với C đường cong kín trơn khúc chứa đoạn thẳng OA 36 C đường cong OA : y = √ x; O(0, 0), A(4, 2) Tính tích phân mặt ZZ 4y z + 2x + dS o n x y z S = (x, y, z) : + + = 1; x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ S ZZ (x2 + y )dS S : {(x, y, z) : z = x2 + y ; ≤ z ≤ 1} S ZZ z(x2 + y )dxdy S : x2 + y + z = 1; z ≥ hướng mặt cầu S ZZ ydzdx + z dxdy S phần phía ngồi mặt Ellipsoid x2 + y2 + z2 = S 1; x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ Page 20