D VinhUSBA2HK09 10mautn DVI ÑEÀ THI HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2009 20 10 Moân hoïc Ñaïi soá tuyeán tính Thôøi gian laøm baøi 90 phuùt Ñeà thi goàm 7 caâu Sinh vieân k hoâng ñöôïc söû duïn g taøi lieäu HÌNH[.]
ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA Câu : Cho ma trận A = −2 Câu : Tìm chiều x1 + x + x + x1 + Câu : Cho nh xạ A= −1 vaø x2 x2 x2 x2 − − − − tuyến −1 −2 cô x3 x3 x3 x3 Tính A2010 , biết A có hai trị riêng −5 sở TRỰC − x4 − x4 − x4 − x4 CHUẨN không gian nghiệm hệ phương trình = = = = 3 tính f : IR −→ IR , biết ma trận f sở tắc Tìm ma trận f sở E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieá t E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } laø A = ma trận củ a f sở −1 Tìm sở số chiều kerf Câu : ChoA ma trận vuông tùy ý, thực, cấp n, thoả A10 = Chứng tỏ A chéo hoá A ma trận không Câu : Tìm m để ma trận A = −2 −2 có ba trị riêng dương (có thể trùng nhau) m Câu : Trong hệ trục toạ độ Oxy cho đường cong ( C) có phương trình x2 +2 xy+5 y −2 Nhận dạng vẽ đường cong ( C) √ √ x+4 y = Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điể m −2 −1 −4 −1 D = Câu 1(1.5đ) Chéo hóa ma trận ( 1ñ) A = P DP ; P = −1 1 1 0 2010 2010 2010 −1 −1 2010 ; D A = P D P , tính P = = 2010 −1 −1 −3 0 Câu (1.5đ) Tìm sở tùy ý không gian nghiệm: E = {( , −1 , , ) , ( , −1 , , ) Dùng trình Gram-Schmidt đưa sở trực giao: E1 = {( , −1 , , ) , ( , , −7 , ) } Chuaån hóa, có sở trực chuẩn: E2 = { √ 16 ( , −1 , , ) , √ 167 ( , , −7 , ) } 0 } Câu (1.5đ) Có nhiều cách làm Ma trận chuyển sở từ tắc sang E laø: P = 1 1 1 Ma trận ánh xạ tuyến tính sở E B = P −1 AP = −2 −1 −2 −3 −9 −2 T Câu 4(1.5đ) Giả sử x ∈Kerf ; [x]E = ( x1 , x2 , x3 ) Khiđó f ( x) = ⇔ [f( x) ]E = ⇔ A · [x]E = −1 x1 α x2 = ⇔ [x]E = −1 α ⇔ ⇔ x = ( −1 α, α, −4 α) x3 α Dim( Kerf ) = , sở: ( , −7 , ) Câu (1.5đ) Vì A10 = nên A có trị riêng λ = (theo tính chất, λ0 TR A, 10 −1 λ10 , D ma trận nên A = TR A A chéo hóa ⇔ A = P · D · P Câu (1.5đ) Ma trận đối xứng thực có ba trị riêng dương, suy dạng toàn phương tương ứng xác định dương ( hay ma trận cho xác định dương) Theo Sylvester, A xác định dương định thức dương ⇔ δ1 = > , δ2 = > , δ3 = det( A) = m − > 0 ⇔ m > Caâu 7(1.0đ) Xét dạng toàn phương x21 + x1 x2 + x22 có ma trận A = Chéo hóa trực 1 −1 giao ma trận A ma trận trực giao P = √ ma trận chéo D = 1 −1 1 Đường cong ( C) có ptrình hệ trục Ouv với hai véctơ sở √ , √ , √ , √ laø: 2 2 Đây đường cong ellipse Hệ trục Ouv thu từ hệ Oxy cách ( u + 16 ) + ( v + 34 ) = 11 12 o quay góc ngược chiều kim đồng hồ