Đại số ctct CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

HƢ : : https://www.facebook.com/groups/chungtacun gtien.hcmut/?fref=ts Bi i h - i ƣớng dẫn ơn thi cuối kì mơn ại số hóm ại số - ội Chúng ta tiến Dạng 1: MA TR N Dạng toán dạng “cho điểm” đề thi cuối kì ể làm đƣợc câu cách xác nhanh nên có số lƣu ý sau đây: - Phép nhân ma trận tổng qt khơng có tính giao hốn (AB khác với BA), biến đổi phải để ý vị trí (trƣớc, sau) ma trận nghịch đảo Nếu muốn chắn làm cẩn thận bƣớc (vd: ) - Bấm máy tính xác: máy tính cầm tay tính đƣợc ma trận 3x3 (thƣờng có đề) ma trận nghịch đảo, chuyển vị tƣơng ứng Ví dụ 1: Tìm ma trận X thỏa mãn ( ( với ) ) ƣớng dẫn: - ầu tiên biến đổi ma trận: ( ) ( )( ) - Bấm máy: nhập MatA ma trận A, MatB ma trận B, MatC ma trận đơn vị I Bấm máy ( ( ta có đƣợc kết ( )) ( ) ) - Nếu muốn thử lại kết quả, ta sử dụng chức ( at ns để kiểm tra lại, nhập: ) kết ma trận kết vừa tính đƣợc xác ƣớng dẫn ơn thi cuối kì mơn ại số hóm ại số - ội Chúng ta tiến thỏa mãn ( Ví dụ (HK Hè 2015): Tìm ma trận ) , đó: ( ) ( ) ƣớng dẫn: - Biến đổi: ( ) ( ) ( )( ) ý giao hoán đƣợc với ma trận nên ( ) - Bấm máy: nhập MatA ma trận A, MatB ma trận B, MatC ma trận I (hoặc 2I đƣợc) - áp số: ( Dạng 2: H ƢƠ ) R N TÍNH Bài tốn thƣờng khơng khó có dạng tốn giải hệ phƣơng trình – ẩn với trƣờng hợp vơ số nghiệm Quy trình giải tốn này: - Viết ma trận (A|b) - Biến đổi sơ cấp theo hàng đƣa ma trận bậc thang (chú ý khơng nên biến đổi sơ cấp theo cột khó kiểm sốt nghiệm) - Tìm phần tử sở, đặt tham số ẩn khơng có phần tử sở Rút ẩn lại theo thứ tự từ dƣới lên ƣớng dẫn ôn thi cuối kì mơn ại số hóm ại số - ội Chúng ta tiến Ví dụ 1: Giải hệ phƣơng trình: { Giải: - Ma trận: ( | ) ( ) - Biến đổi sơ cấp: ( )→ ) ( → - ặt ( )→( ) ta có Vậy hệ pt có nghiệm dạng ( ( ) / ) Ngồi ta giải theo cách biến đổi trực tiếp (không cần ghi ma trận ( |b) để biến đổi sơ cấp) Cách 2: Biến đổi: { { { ƣớng dẫn ơn thi cuối kì mơn ại số hóm ại số - ội Chúng ta tiến { ặt ta có Vậy hệ pt có nghiệm dạng ( ( ) / ) Ví dụ (HK hè 2015): Giải hệ phƣơng trình: { Giải: ( | ) ( )→ → ( ) ( ) - Từ pt sau suy - Từ pt đầu suy ( ) - Suy nghiệm hệ: ( ) ( ) với ƣớng dẫn ôn thi cuối kì mơn ại số hóm ại số - ội Chúng ta tiến Dạng 3: KHÔNG GIAN VECTOR Dạng 1: Khơng gian - Trong Rn , tìm sở số chiều không gian F a Cho tập sinh F = < e1, e2,…,en >, ta lập ma trận hàng A vector ei, biến đổi sơ cấp theo hàng để đƣa bậc thang hi đó, dim(F) = rank(A) lấy hàng khác làm sở b = {x | x = 0} hi đó, dim(F) = n – rank(A) (trùng với số ẩn tự do) sở F nghiệm hệ Ví dụ 1: ìm sở số chiều không gian L a L = )→( Xét A= ( ) Suy dim(L) = rank(A) = sở L (1,1,1); (0,1,1); (0,0,2) b L = {(x1, x2, x3, x4) R4 | x1 – x4 = x1 + x3 – x4 = 0} /→ Xét A = / rank(A) = 2, n = Suy dim(L) = Với x2, x4 ẩn tự x2 = α, x4 = β ⇒ x1 = β, x3 = uy x = (β, α, 0, β) = α(0, 1, 0, 0) + β(1, 0, 0, 1) sở L (0, 1, 0, 0) (1, 0, 0, 1) Hoặc để tìm sở L cách nhanh chóng, ta xếp ẩn sở bên, ẩn tự bên Bên phía ẩn tự ta ghép vào ma trận đơn vị để suy ẩn sở từ phƣơng trình hệ phƣơng trình đề : (ẩ ) (ẩn tự do) x1 x3 | x2 x4 0 ⇒ 1 0 ƣớng dẫn ơn thi cuối kì mơn ại số hóm ại số - ội Chúng ta tiến Dạng 2: Tổng giao hai không gian - Cho khơng gian , tìm sở số chiều F+G FG Dạng khơng khó, cần nắm bắt đƣợc cách làm giải nhanh chóng - Tính chất cần lƣu ý: dim(F∪G) + dim(F+G) = dim F + dim G  Tìm số chiều sở F+G rƣớc tiên ta xác định tập sinh (cơ sở) F G Nhớ tới tính chất tổng khơng gian con: F = < f1, f2, …, fn >; G = < g1, g2, …, gn > ⇒ F + G = < f1, f2, …, fn, g1, g2, …, gn > au tìm sở số chiều + nhƣ khơng gian bình thƣờng với dim(F+G) = rank< f1, f2, …, fn, g1, g2, …, gn > (các vector fi, gi xếp theo hàng)  Tìm số chiều sở FG (có nhiều dạng đề) Lư ý ần nhớ: FG = {x | xF xG} Hoặc Cho F = < f1, f2, …, fn > ; G = < g1, g2, …, gn > x = α1f1 + … + αnfn = β1g1 + … + βngn  α1f1 + … + αnfn – β1g1 – … – βngn = úc đƣa dạng tìm sở số chiều = {x | x = 0} hi ta có dim(L) = n – rank(A) Ví dụ 2: Trong khơng gian R3, cho không gian con: *( )| + không gian G = {(x1; x2; x3) | x1–2x2+x3 =0} Tìm số chiều sở không gian F+G, FG Giải: ƣớng dẫn ơn thi cuối kì mơn ại số hóm ại số - ội Chúng ta tiến rường hợp F+G ìm sở F = {(x1; x2; x3) | x1–x2+x3 =0} x1 | x2 x3 1 -1 F = {(1; 1; 0), (-1; 0; 1)}, dim F = ƣơng tự G = {(2; 1; 0), (-1; 0; 1)}, dim G = )  dim(F+G) = Do dim(F+G) = nên ta lấy F+G = ( vector (1; 1; 0), (-1; 0; 1), (2; 1; 0) làm sở + chúng rường hợp FG FG = { {  x = α(-1; 0; 1) Suy dim(F ) =1 sở FG (-1; 0; 1) Chú ý: Có thể tính dim(FG) trực tiếp công thức biết dim F, dim G dim(F+G) Ví dụ 3: Trong khơng gian R3 cho không gian F = {(x1, x2, x3) | x1+2x2+2x3=0} G = ìm sở số chiều F+G FG Giải: rường hợp F+G: ƣơng tự cách làm nhƣ í dụ rường hợp FG Gọi x  FG nên xF xG ƣớng dẫn ôn thi cuối kì mơn ại số hóm ại số - ội Chúng ta tiến Do x nên x đƣợc tạo G hay x tổ hợp tuyến tính hai vector (1, 0, 5) (–1, 0, 1)  G  x = α(1, 0, 5) + β(–1, 0, 1) = (α – β, 0, 5α + β) Mặt khác xF nên ta thay x vào phƣơng trình F = {(x1, x2, x3) | x1+2x2+2x3=0}, ta đƣợc (α – β) + 2.0 + 2(5α + β) =  β = –11α hay β vào vector x  x = (12α, 0, –6α) = α(12, 0, –6) Suy dim(F ) = sở FG (12, 0, –6) Ví dụ 4: Trong khơng gian R3 cho không gian F = = ìm sở số chiều FG Giải: Gọi xFG Do xFG nên x tổ hợp tuyến tính F G  x = α1(1, 2, 3) + β1(1, –1, 2) = α2(0, 1, 5) + β2(1, 3, 8) { Xét A = ( )→( ) dim(FG) = số ẩn – rank(A) = 4-3 =1 Từ ma trận bậc thang A, ta có 14α2 + 14β2 =  α2 = –β2 Với β2 = –α2, ta thay vào vector x  x = –β2(0, 1, 5) + β2(1, 3, 8) = β2(1, 2, 3) Vậy sở FG (1, 2, 3) ƣớng dẫn ơn thi cuối kì mơn ại số hóm ại số - ội Chúng ta tiến Dạng 4: KHÔNG GIAN EUCLIDE Dạng thƣờng đề Mức độ khơng khó, cần nắm phƣơng pháp giải công thức chƣơng đƣợc M t số công thứ  ản: ộ dài vector u: ‖ ‖ ) ( o (u, u)  Dấu “=”  u = 0) √(  Khoảng cách vector u, v: ( )  ( óc α vector u v: ‖ ) ‖ ‖‖ ‖ ‖ (0 ≤ α ≤ ) M t số ị h lý ản:  u  v  (u, v) =  u  F =  (u, fi) = (i = 1, 2, …, n)  Họ vector M gọi trực giao u, vM: uv  Họ vector M gọi trực chuẩn M trực giao uM: ||u|| = Lư ý hi cho tích vơ hƣớng tắc ta áp dụng cơng thức nhƣ dùng hi cho tích vơ hƣớng cơng thức cần ý thay vào cho rƣờng hợp đặc biệt: Chẳng hạn cho tích vơ hƣớng (x, y) = 5x1y1 + 2x1y2 +2x2y1 + 3x2y2 + x3y3, ta đặt A=( ) (aij hệ số xiyj) Lúc (x, y) = xAyT o tính nhanh máy tính Dạng 1: Bù vng góc không gian Kiến thức cần nắm: Trong không gian Euclide V, cho không gian F Tập hợp F = {xV | xF} gọi bù vng góc không gian F dim F + dim F = dim V rong trƣờng hợp tí h v hướng tắc Rn: Cho F = {xRn | x=0} hi hàng A tập sinh F 10 ƣớng dẫn ơn thi cuối kì mơn ại số hóm ại số - ội Chúng ta tiến +Ứng với 𝛌1=-2 ta đƣợc ma trận (A-2I)=( ) -Ta chọn hàng ma trận B= / ( bạn chọn hàng , tùy ý ) - au chọn ma trân vng cấp từ ma trận B= / tức bỏ cột cột cột sau cho giá trị định thức ma trận vng cấp có đƣợc khác -Ở chọn bỏ cột ta đƣợc / , det=6 0, -Sử dụng máy tính cầm tay chọn chế độ giải hệ phƣơng trình ẩn ( -2z -1z cột mà bỏ lúc nãy) { au cho z=1 ta nhập hệ phƣơng trình sau vào máy tính { Vậy ta đƣợc X1=( ) { ( ) +Ứng với 𝛌2=𝛌3=4 Ta có (A-4I)=( ) Với ma trận trên, ta thấy rút gọn hàng cho giống với hàng Nên ta có phƣơng trình khơng phải hệ phƣơng trình nhƣ trƣờng hợp 𝛌1 -Ở ta phải tìm hai giá trị X2,X3 có bội n2=2 -Ta chọn * Có thể chọn z=0, y=1 => x=-1/2 Suy X2=( * Chọn z=5, y= - => x =-2 Suy X3=( )=( ) ) Nên chọn giá trị z,y cho đơn giản nhỏ (mỗi ma trận có nhiều nghiệm ) 21 ƣớng dẫn ôn thi cuối kì mơn ại số Ƣ Ý: Á hóm ại số - ội Chúng ta tiến Ể TÍNH NHÁP, CHÉP K T QUẢ VÀO BÀI THI ƢƠ Dạng 7: D Định nghĩa Dạng toàn phƣơng Rn hàm số thực, cho tồn x=(x1,x2,…,xn)T f(x)=xT M x, Rn, ma trận đối xứng f (x) = f (x1,x2,x3) = Ax12 + Bx22 + Cx32 + 2Dx1x2+ 2Ex1x3+ 2Fx2x3 ) M=( f (x) = f (x1,x2,x3)=xT.M.x Ví dụ: f (x1,x2,x3)=x12-2x1x2+4x1x3+2x2x3 - x32 ) Ma trận M=( *Đưa dạng tồn phương dạng tắc phép biến đổi trực giao Ví dụ 1: Cho dạng toàn phƣơng: f(x)=f(x1,x2) = 5x12-4x1x2+8x22 ƣa f(x) dạng tắc phép biến đổi trực giao Giải: M= / det(M-𝛌I)=| * 𝛌1=9 Suy (M-9I) = |=𝛌2-13𝛌+36=0  { / => X1= ( ( ) ) / => P1 =(√ ) √ *𝛌2=4 Suy (M-4I) = / => X2= / => P2=(√ ) √ 22 ƣớng dẫn ơn thi cuối kì mơn ại số Suy ma trận P=( √ √ √ √ )= D=( hóm ại số - ội Chúng ta tiến ) / f(y1,y2)= 9y12+4y22 phép biến đổi X=PY *Đưa dạng toàn phương dạng tắc phép biến đổi Lagrange Ví dụ 2: ƣa dạng tồn phƣơng f(x1,x2,x3) = 2x12+8x22+2x32-2x1x2+4x1x3+6x2x3 dạng tắc biến đổi Lagrange ( biến đổi sơ cấp ).Nêu rõ phép biến đổi Giải: f= 2(x12+4x22+x32-x1x2+2x1x3+3x2x3 )=2[ ( x - x2+x3)2 + =2 ( x - x2+x3)2 + = ( x - x2+x3)2 + =2 ( x - x2+x3)2 + (x22 + x2x3) [(x22 + 2.x2.( x3)+ ( x3)2) (x2 x22 + 4x2x3] x3 ) ( x3)2] x32 ặt { { Dạng tắc f= + Biên soạn: Tiến ũng, oàng âm, ấn Thanh – ội CTCT 23 ƣớng dẫn ơn thi cuối kì mơn ại số Phụ lục 1: Giải đề thi hóm ại số - ội Chúng ta tiến ại số tuyến tính cuối kỳ 151 Câu 1: Tìm ma trận X cho với: ( ) ( ) Giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy ma trận X cần phải tìm ( ) Câu 2: Tìm tất giá trị thực m cho ( ( ) với: ) Giải: ầu tiên ta biến đổi sơ cấp: → ( )→ ( ) Do phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi định thức nên ta có: 24 ƣớng dẫn ơn thi cuối kì mơn ại số ( ) Suy hóm ại số - ội Chúng ta tiến ( ) ( ) ( ( )) Vậy giá trị m cần phải tìm Câu 3: Trong với tích vơ hƣớng ( * ( )| ( ) xuống không gian F ) cho không gian + Tìm hình chiếu vng góc vector Giải: sở F = {(1;0;1); (0;1;-2)} = {f1; f2} Gọi x = y + z; y  F z  F v = α f + β f2 + z (v, f1) = α(f1, f1) + β(f2, f1) = 4α - 2β = (v, f2) = α(f1, f2) + β(f2, f2) = -2α + 6β = -8 Giải hệ phƣơng trình ta có α = 13/10; β = -9/10 Hình chiếu vng góc v lên F là: y = prF(v) = α f1 + β f2 = 13/10(1;0;1) – 9/10(0;1;-2) = (13/10; -9/10; 31/10) → Câu 4: Cho ánh xạ tuyến tính Giả sử ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) Tìm sở số chiều nhân axtt Giải: Cách 1: Ta có : (x1; x2; x3) = x1.(1;0;0) + x2.(0;1;0) + x3.(0;0;1) = x1.e1 + x2.e2 + x3.e3 Do f ánh xạ tuyến tính nên 25 ƣớng dẫn ơn thi cuối kì mơn ại số hóm ại số - ội Chúng ta tiến f(x1; x2; x3) = x1.f(1;0;0) + x2.f(0;1;0) + x3.f(0;0;1) = x1.f(e1) + x2.f(e2) + x3.f(e3) Ta có hệ phƣơng trình: ( { ) ( ( ( ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ) ( ) ( { ( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ) ) ) )  f(e1) = f(1;0;0) = (1;1;-3)  f(e2) = f(0;1;0) = (0;1;1)  f(e3) = f(0;0;1) = (0;0;0) f(x1; x2; x3) = x1.(1;1;-3) + x2.(0;1;1) + x3.(0;0;0) = (x1; x1+x2; -3x1 +x2) x Ker f ( f(x) = | ) ( | ) ( | ) { ( ) Kết luận: dim = – sở ( ) Cách 2: Với sở *( )( )( )+ ta có: ( ) Với ma trận axtt sở tắc Từ suy ra: ( ) ( ) ( ) ể tìm nhân axtt, ta tìm vector x thỏa mãn { Suy nhân axtt có chiều, sở ( ) Từ ta suy hệ: { *( )+ 26 ƣớng dẫn ơn thi cuối kì mơn ại số hóm ại số - ội Chúng ta tiến → Câu 5: Cho ánh xạ tuyến tính ( ) biết: ( ) Tìm ma trận axtt sở *( )( )( )+ Giải: Cách 1: f1= f(1;0;0) = (2;5;3); f2= f(1;1;0) = (4;3;-2) f3= f(0;0;1) = (-3;-6;4) Ta có: f(1;2;1) = f1 + 2.f2 + f3 = (7;5;3) f(2;5;1) = 2.f1 + 5.f2 + f3 = (21;19;0) f(3;7;3) = 3.f1 + 7.f2 + f3 = (25;18;7) AE = E-1 f(E) = ( ) ( )=( ) Cách 2: Ta có ma trận axtt sở tắc: ( ) suy ma trận axtt sở E: Mặt khác ta có cơng thức ( ) ( ( Vậy ma trận axtt sở E ) ( ) ) ( ) 27 ƣớng dẫn ơn thi cuối kì mơn ại số Câu 6: Tính hóm ại số - ội Chúng ta tiến ( , biết ) Giải: ầu tiên ta chéo hóa ma trận A: - a thức đặc trƣng ma trận A là: ( ) ( ( [ ( ) ( ) ) ) - Tìm vector riêng: Với , ta có hệ phƣơng trình: ( Giải ta đƣợc ( Với ) )( ) ( ), suy vector riêng ( ) , ta có hệ phƣơng trình: ( Giải ta đƣợc hai vector riêng ( - uy chéo hóa )( ) ) ( dƣới dạng ) với: ( ) ( ) - Suy ta có ( ) ( ) ( Chú ý: cần thiết ta tính ln ma trận ) ( ( ) ) 28 ƣớng dẫn ôn thi cuối kì mơn ại số hóm ại số - ội Chúng ta tiến Câu 7: Sử dụng phép biến đổi trực giao, đƣa dạng toàn phƣơng sau dạng tắc: ( ) Giải: Ta có ma trận dạng tồn phƣơng: ( ) Chéo hóa trực giao ma trận M: - Trị riêng: ( ( , ) ) - Vector riêng: Với ta có hệ: ( Giải ta đƣợc vector riêng ( Với )( ) ), trực chuẩn ta có vector √ √ √ / ta có hệ: ( Giải ta đƣợc vector riêng ( ( Chọn )( ) ) ( ) Sử dụng Gram – Schmidt: ) ( ) ( ) ( ( ) ), trực chuẩn hóa ta có: ( √ √ ) ( √ √ √ ) 29 ƣớng dẫn ôn thi cuối kì mơn ại số hóm ại số - ội Chúng ta tiến - Suy ma trận D, P: ⁄ √ ( ⁄ √ ⁄ √ ⁄ √ ) ( ⁄ √ ⁄ √ ⁄ √ ⁄ √ ) - uy đƣa dạng tắc ( với phép đổi biến ) (hoặc viết cách khác ) Biên soạn: Tiến ũng, oàng âm, ức An - ội CTCT 30 ƣớng dẫn ơn thi cuối kì mơn ại số hóm ại số - ội Chúng ta tiến Phụ lục 2: ề thi online đội CTCT (học kì 142) Câu 1: Tìm ma trận X thỏa mãn ( ( với ) ) Câu 2: Giải hệ phƣơng trình: { Câu 3: Trong *( ( cho hai khơng gian ) ) + ìm sở số chiều Câu 4: Trong với tích vơ hƣớng ( ) (( )( )) Tìm hình chiếu vector ( ( ) lên khơng gian → Câu 5: Cho ánh xạ tuyến tính *( )( )( )( ) có ma trận )+ ( sở ) Tìm ( ) Câu 6: Cho ma trận: ( ) a Chéo hóa ma trận A b Cho dãy số ( { )( ) ( ( Tính ) thỏa mãn: ) 31 ƣớng dẫn ơn thi cuối kì mơn ại số hóm ại số - ội Chúng ta tiến áp án: Câu 1: Tìm ma trận X thỏa mãn ( với ( ) ) Giải: ( ( Với ) ) ( ) ta có ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Câu 2: Giải hệ phƣơng trình: { Giải: Biến đổi sơ cấp: { { { { ặt ta có 32 ƣớng dẫn ơn thi cuối kì mơn ại số Vậy hệ pt có nghiệm dạng ( ( hóm ại số - ội Chúng ta tiến ) / ) Câu 3: Trong ( cho hai không gian *( ) ) + ìm sở số chiều Giải: ( Ta có )( ) Viết lại thành ma trận hàng bđsc ( )→( Vậy không gian *( ) ( Câu 4: Trong )→( ) có chiều, sở khơng gian )( )+ với tích vơ hƣớng ( ) (( )( )) Tìm hình chiếu vector ( ( ) lên không gian )( ) Giải: a tìm sở kg bù vng góc U )( (( )( (( kg bù vng góc Ta có hệ pt { )) )) Từ suy { (với (x,y,z) vector tập vector sở { Chọn u3 = (x,y,z) = (15,31,-49) Phân tích 33 ƣớng dẫn ơn thi cuối kì mơn ại số Ta có ( ) ( hóm ại số - ội Chúng ta tiến ) ( ) ( ) { Suy hình chiếu vng góc z lên U : ( ) → Câu 5: Cho ánh xạ tuyến tính *( )( ( )( ) có ma trận )+ ( ( ) sở ) Tìm ( ) Giải : Ta có: , ( )- , - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Câu 6: Cho ma trận: ( ) a Chéo hóa ma trận A b Cho dãy số ( { Tính )( ) ( ( ) thỏa mãn: ) Giải: a Ta có: 34 ƣớng dẫn ôn thi cuối kì môn ại số với ( ) hóm ại số - ội Chúng ta tiến ( ) b Ta có: ( ) ( ) Suy ( ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) Ta có Các bạn đặt câu hỏi thảo luận tập địa quen thuộc: https://www.facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/?fref=ts 35