Đang tải... (xem toàn văn)
[CTCT] CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage facebook com/Chungtacungtien/ [CTCT] CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage facebook com/Chungtacungtien/ Group facebook com/groups/chungtacungtien hcmut/ Trang 1 TÀI LIỆU ÔN TẬP[.]
[CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ TÀI LIỆU ƠN TẬP CUỐI KỲ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Nội dung gồm chủ điểm : Ma trận Hệ phương trình tuyến tính Khơng gian vector Khơng gian Euclide Ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ma trận Dạng tồn phương Tài liệu biên soạn Ban Chuyên môn – CLB [CTCT] Chúng Ta Cùng Tiến Đây tâm huyết anh/chị/bạn CLB [CTCT], gửi tặng đến em, bạn sinh viên năm – Đại học Bách Khoa Tp.HCM (BKU) Bản quyền thuộc cộng đồng Chúng Ta Cùng Tiến Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ CHỦ ĐIỂM MA TRẬN Dạng toán dạng “cho điểm” đề thi cuối kì Để làm câu cách xác nhanh nên có số lưu ý sau đây: - 𝑨𝑿 ≠ 𝑿𝑨: Phép nhân ma trận tổng qt khơng có tính giao hốn, biến đổi phải để ý vị trí (trước, sau) ma trận nghịch đảo Nếu muốn chắn làm cẩn thận bước (VD: 𝐴𝑋 = 𝐵 ⇔ 𝐴−1 𝐴𝑋 = 𝐴−1 𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1 𝐵) - 𝑰𝑿 = 𝑿𝑰 = 𝑿: Ma trận vuông nhân bên trái bên phải ma trận đơn vị ma trận - Bấm máy tính xác: máy tính cầm tay tính ma trận 3x3 (thường có đề) ma trận nghịch đảo, chuyển vị tương ứng - Có hai dạng chính: Dạng biến đổi để tách riêng ma trận X vế Dạng ma trận X tách riêng để đưa vế được, phải gọi ẩn để giải - Thông thường, dạng cho ma trận vuông cấp dạng cho ma trận vuông cấp Với ma trận không vuông, cách làm tương tự 2 Ví dụ 1.1 : Tìm ma trận X thỏa mãn 𝑋𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑋 + 𝐵 với 𝐴 = (2 1) 𝐵 = −1 −2 (−3 ) −3 𝑇 Giải : - Ở ví dụ 1, ta thấy đề cho ma trận vuông cấp 3, đồng thời 𝑋 = 𝑋 𝐼, 𝐼 𝐴 nằm bên phải so với 𝑋, ta tách riêng 𝑋 (dạng 1) - Đầu tiên biến đổi ma trận: 𝑋𝐴 + 𝐴𝐵 𝑇 = 𝑋 + 𝐵 ⟺ 𝑋𝐴 − 𝑋 = 𝐵 − 𝐴𝐵 𝑇 ⇔ 𝑋(𝐴 − 𝐼) = 𝐵 − 𝐴𝐵 𝑇 ⇔ 𝑋 = (𝐵 − 𝐴𝐵 𝑇 ) (𝐴 − 𝐼)−1 - Bấm máy: nhập MatA ma trận A, MatB ma trận B, MatC ma trận đơn vị I Bấm máy (𝑀𝑎𝑡𝐵 − 𝑀𝑎𝑡𝐴 × 𝑇𝑟𝑛(𝑀𝑎𝑡𝐵)) × (𝑀𝑎𝑡𝐴 − 𝑀𝑎𝑡𝐶)−1 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN 11 ta có kết 𝑋 = ( 27 Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ −4 −8 −2 ) −7 −23 - Nếu muốn thử lại kết quả, ta sử dụng chức MatAns để kiểm tra lại, nhập: 𝑀𝑎𝑡𝐴𝑛𝑠 × 𝑀𝑎𝑡𝐴 + 𝑀𝑎𝑡𝐴 × 𝑇𝑟𝑛(𝑀𝑎𝑡𝐵) − 𝑀𝑎𝑡𝐴𝑛𝑠 − 𝑀𝑎𝑡𝐵 kết ma trận kết vừa tính xác Ví dụ 1.2 : Tìm ma trận 𝑋 ∈ 𝑀3 thỏa mãn (𝑋 + 𝐵)𝐴 = 𝐵 𝑇 − 2𝑋, đó: 1 1 𝐴 = (1 ) ; 𝐵 = (0 0 1) Giải : - Thêm ví dụ cho dạng - Biến đổi: (𝑋 + 𝐵)𝐴 = 𝐵 𝑇 − 2𝑋 ⟺ 𝑋𝐴 + 2𝑋 = 𝐵 𝑇 − 𝐵𝐴 ⟺ 𝑋(𝐴 + 2𝐼) = 𝐵 𝑇 − 𝐵𝐴 ⟺ 𝑋 = (𝐵 𝑇 − 𝐵𝐴) (𝐴 + 2𝐼)−1 - Dựa vào tính chất nhân với ma trận đơn vị nên 2𝑋 = 𝑋 (2𝐼) - Bấm máy: nhập MatA ma trận A, MatB ma trận B, MatC ma trận I (hoặc 2I được) - Đáp số: 11 − 14 𝑋= − 14 − − ( 7 − Ví dụ 1.3 : Cho hai ma trận 𝐴 = ( 11 14 17 − 14 ) − 12 ),𝐵 = ( ) Tìm tất ma trận 𝑋 ∈ 𝑀2 (𝑅) −1 thỏa 𝐴𝑋 − 𝑋𝐴𝑇 = 𝐵 Giải : Đề cho ma trận vng cấp nhìn vào phương trình ta thấy rõ ràng khơng thể tách - riêng 𝑋 vế (dạng 2) Cách làm dạng sau: 𝑥 𝑦 Gọi 𝑋 = ( ) 𝑧 𝑡 Thay vào phương trình ta có: Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ 𝑥 )( −1 𝑧 𝐴𝑋 − 𝑋𝐴𝑇 = 𝐵 ↔ ( ↔( −1 Giải HPT suy 𝑋 = ( −3 −1 −1 𝑦 𝑥 )−( 𝑡 𝑧 𝑦 𝑇 12 )( ) =( ) 𝑡 −1 𝑥 12 0 ) (𝑦) = ( ) 𝑧 1 −3 𝑡 −3𝛼 + 𝛽 − 𝛽 − ) với 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅 𝛽 𝛼 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ CHỦ ĐIỂM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài tốn thường khơng khó có dạng tốn giải hệ phương trình – ẩn với trường hợp vơ số nghiệm Quy trình giải tốn này: - Viết ma trận (A|b) - Biến đổi sơ cấp theo hàng đưa ma trận bậc thang (chú ý không nên biến đổi sơ cấp theo cột khó kiểm sốt nghiệm) - Tìm phần tử sở, đặt tham số ẩn khơng có phần tử sở Rút ẩn lại theo thứ tự từ lên - Bài toán biện luận nghiệm cho HPT có tham số cách giải tương tự Ví dụ 2.1 : Giải hệ phương trình: 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2𝑡 = { −𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 − 𝑡 = 3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 𝑡 = Giải : * Cách : - Ma trận: −1 1 −2 (𝐴|𝑏) = (2 −1 −1 −1 −1 0) - Biến đổi sơ cấp: −1 1 −2 (2 −1 −1 −1 −1 ℎ3=3ℎ3−2ℎ2 ℎ4=3ℎ4−5ℎ2 → (0 0 ℎ2=ℎ2−2ℎ1 ℎ3=ℎ3+ℎ1 ℎ4=ℎ4−3ℎ1 )→ (0 −1 −3 −4 −2 −4 −1 1 −1 −3 −4 −2) → ( 14 0 14 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ −2) 2 1 −3 −4 −2) 14 Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN - Đặt 𝑡 = 9𝑚, ta có 𝑧 = 14 Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ − 8𝑚 14 8 − 24𝑚 = + 12𝑚 ⇒ 𝑦 = + 4𝑚 3 28 11 𝑥 = − 9𝑚 − + 16𝑚 + + 4𝑚 = − + 11𝑚 9 3𝑦 = −2 + 36𝑚 + Vậy hệ pt có nghiệm dạng (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = (− 11 + 11𝑚, + 4𝑚, 14 − 8𝑚, 9𝑚) (𝑚 ∈ ℝ) Ngồi ta giải theo cách biến đổi trực tiếp (không cần ghi ma trận (A|b) để biến đổi sơ cấp) Cách 2: Biến đổi: 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2𝑡 = 3𝑦 − 3𝑧 − 4𝑡 = −2 3𝑦 − 3𝑧 − 4𝑡 = −2 { ⇔{ ⇔{ −𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 − 𝑡 = 2𝑦 + 𝑧 = 9𝑧 + 8𝑡 = 14 3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 𝑡 = 5𝑦 − 2𝑧 − 4𝑡 = 9𝑧 + 8𝑡 = 14 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = ⇔ {3𝑦 − 3𝑧 − 4𝑡 = −2 9𝑧 + 8𝑡 = 14 Đặt 𝑡 = 9𝑚, ta có 𝑧 = 14 − 8𝑚 14 8 − 24𝑚 = + 12𝑚 ⇒ 𝑦 = + 4𝑚 3 28 11 𝑥 = − 9𝑚 − + 16𝑚 + + 4𝑚 = − + 11𝑚 9 3𝑦 = −2 + 36𝑚 + Vậy hệ pt có nghiệm dạng (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = (− 11 + 11𝑚, + 4𝑚, 14 − 8𝑚, 9𝑚) (𝑚 ∈ ℝ) Ví dụ 2.2 : Giải hệ phương trình: 𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 + 3𝑥4 = −13 2𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥4 = { 4𝑥1 + 4𝑥2 + 5𝑥3 + 9𝑥 = −25 𝑥1 + 𝑥2 + 11𝑥3 + 12𝑥4 = −94 Giải : (𝐴|𝑏) = (2 1 11 12 −13 𝑏𝑑𝑠𝑐 ) → (0 −25 −94 0 −13 −3 −3 27 ) −3 −3 27 9 −81 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ 𝑏𝑑𝑠𝑐 → ( 1 −13 ) −9 - Từ pt sau suy 𝑥3 = −9 − 𝑥4 - Từ pt đầu suy 𝑥1 = −13 − 3𝑥4 − 2(−9 − 𝑥4 ) − 𝑥2 = − 𝑥2 − 𝑥4 - Suy nghiệm hệ : (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 ) = (5 − 𝛼 − 𝛽, 𝛼, −9 − 𝛽, 𝛽) với 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ 𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 + 4𝑡 = 𝑥 + 4𝑦 + 4𝑧 + 3𝑡 = Ví dụ 2.3 : Giải biện luận HPT { 𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 + 𝑚𝑡 = 2𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 + 9𝑡 = Giải : Viết lại HPT dạng ma trận: ( 5 Xét ma trận mở rộng ( 5 𝑥 𝑦 ) ( ) = ( ) 𝑧 𝑚 𝑡 4 | ) 𝑚3 1 Biến đổi sơ cấp ta thu được: ( 0 2 0 0 1 −1 | ) 𝑚−2 0 Kết luận: TH1: 𝑚 = nghiệm hệ: (−2 − 7𝛼 + 4𝛽, + 𝛼 − 2𝛽, 𝛽, 𝛼) TH2: 𝑚 ≠ nghiệm hệ: (2 + 4𝛾, − 2𝛾, 𝛾, 0) Với 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ 𝑅 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ CHỦ ĐIỂM KHÔNG GIAN VECTOR Dạng 1: Trong Rn , tìm sở số chiều không gian F a Khi đề cho tập sinh F = < e1, e2,…,en > Đề cho tập sinh yêu cầu tìm sở, mục đích tốn tìm vector ĐLTT tập sinh Để làm dạng ta lập ma trận hàng A vector ei, biến đổi sơ cấp theo hàng để đưa bậc thang Khi đó, dim(F) = rank(A) lấy hàng khác (tức vector ĐLTT) làm sở b Khi đề cho F dạng phương trình: F = {x | Ax = 0} Khi đó, dim(F) = n – rank(A) (trùng với số ẩn tự do) sở F nghiệm hệ Ví dụ 3.1: Tìm sở số chiều không gian L a L = −1 Xét A= ( 1 1 2) → (0 1 0 1) Suy dim(L) = rank(A) = Cơ sở L (1,1,1); (0,1,1); (0,0,2) b L = {(x1, x2, x3, x4) R4 | x1 – x4 = x1 + x3 – x4 = 0} 1 Xét A = ( 0 −1 −1 )→( ) 0 1 −1 rank(A) = 2, n = Suy dim(L) = Với x2, x4 ẩn tự x2 = α, x4 = β x1 = β, x3 = Suy x = (β, α, 0, β) = α(0, 1, 0, 0) + β(1, 0, 0, 1) Cơ sở L (0, 1, 0, 0) (1, 0, 0, 1) Hoặc để tìm sở L cách nhanh chóng, ta xếp ẩn sở bên, ẩn tự bên Bên phía ẩn tự ta ghép vào ma trận đơn vị để suy ẩn sở từ phương trình hệ phương trình đề : (ẩn sở) (ẩn tự do) x1 x3 | x2 x4 0 1 0 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Dạng 2: Tìm tham số m để vector u thuộc KGV F=< e1, e2,…,en > - Để làm dạng trước hết phải hiểu vector u ∈ F nghĩa u tổ hợp vector tập sinh F ↔ u = 𝛼 1.e1+ 𝛼 2.e2+ + 𝛼 n.en - Sau viết lại biểu thức dạng hệ phương trình: 𝛼1 𝛼 (𝑒1 𝑒2 … 𝑒𝑛 ) ( …2 ) = [𝑢] 𝛼𝑛 - Ở u viết thành cột, hiểu tọa độ u khơng gian Ví dụ 3.2 : Trong không gian R3 cho không gian F = Với giá trị m x = (2,m,3) ∈ F Giải : - x ∈ F ↔ x = 𝛼(1,0,1) + 𝛽(2,3,-1) + 𝛾(5,6,-1) - Viết lại thành hệ phương trình: 𝛼 + 2𝛽 + 5𝛾 = 3𝛽 + 6𝛾 = 𝑚 { 𝛼 − 𝛽−𝛾 =3 ↔{ - 𝛼 + 2𝛽 + 5𝛾 = 3𝛽 + 6𝛾 = 𝑚 =𝑚+1 x ∈ F tồn số 𝛼, 𝛽, 𝛾 tức hệ có nghiệm ↔ m = -1 Dạng : Tổng giao hai không gian o Cho không gian F G, tìm sở số chiều F+G FG Dạng khơng khó, cần nắm bắt cách làm giải nhanh chóng o Tính chất cần lưu ý: dim(FG) + dim(F+G) = dim F + dim G Tìm số chiều sở F+G Trước tiên ta xác định tập sinh (cơ sở) F G Nhớ tới tính chất tổng không gian con: F = < f1, f2, …, fn > ; G = < g1, g2, …, gn > F + G = < f1, f2, …, fn, g1, g2, …, gn > Sau tìm sở số chiều F+G không gian bình thường với dim(F+G) = rank< f1, f2, …, fn, g1, g2, …, gn > (các vector fi, gi xếp theo hàng) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Tìm số chiều sở FG : (có nhiều dạng đề) a Khi F G cho dạng phương trình nhất: o Gọi x = FG x phải thỏa đồng thời phương trình F G Vậy x nghiệm hệ phương trình o Đây dạng dễ nhất! Ví dụ 3.3 : Trong không gian R3, cho không gian con: F = {(x1; x2; x3) | x1– x2 + x3 = 0} không gian G = {(x1; x2; x3) | x1–2x2+x3 =0} Tìm số chiều sở không gian F+G, FG Giải: Trường hợp F+G Tìm sở F = {(x1; x2; x3) | x1–x2+x3 =0} x1 | x2 x3 1 -1 F = {(1; 1; 0), (-1; 0; 1)}, dim F = Tương tự G = {(2; 1; 0), (-1; 0; 1)}, dim G = 1 F+G = (−1 1) dim(F+G) = Do dim(F+G) = nên ta lấy vector (1; 1; 0), (-1; 0; 1), (2; 1; 0) làm sở F+G chúng ĐLTT Trường hợp FG 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) ∈ FG ↔ { 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 𝑥1 = −𝛼 { 𝑥2 = x = α(-1; 0; 1) Suy dim(FG) =1 sở FG (-1; 0; 1) 𝑥3 = 𝛼 Chú ý: Có thể tính dim(FG) trực tiếp cơng thức biết dim F, dim G dim(F+G) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 10 [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ z = α1e1 + α2e2 = α1(1, –1, –1, 0) + α2(2, –2, 0, 1) F x = y + α1e1 + α2e2 (x, e1) = α1(e1, e1) + α2(e2, e1) –1 = 3α1 + 4α2 (x, e2) = α1(e1, e2) + α2(e2, e2) = 4α1 + 9α2 Từ hệ phương trình α1 = –13/11, α2 = 7/11 Suy Hình chiếu x lên F z = prF(x) = (1/11; –1/11; 13/11; 7/11) x – z = (10/11; 12/11; –2/11; 4/11) Khoảng cách từ x đến F d(x, F) = ||y|| = ||x – z|| = 2√66 11 Ví dụ 4.5: Trong R3, cho tích vơ hướng (x, y) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + 3x2y2 – 2x2y3 –2x3y2 + 3x3y3 không gian F = a/ Tìm sở số chiều 𝐹 b/Tìm hình chiếu z = (–8, 7, 3) xuống F khoảng cách từ z đến F Giải: F== 1 Đặt A = (1 −2) (x, y) = xAyT (Để tính tốn nhanh tích vơ hướng) −2 a/ Gọi 𝑥 = (𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) ∈ 𝐹 2𝑥1 + 4𝑥3 = 𝑥 𝑓1 𝑥𝐴𝑓1𝑇 = →{ →{ →{ 𝑇 𝑥 𝑥 𝑓2 𝑥𝐴𝑓2 = − 3𝑥2 + 5𝑥3 = Giải hệ phương trình suy ra: 𝐹 =< (−2; 1; 1) > Vậy sở 𝐹 {(-2;1;1)} dim(𝐹 ) = Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 16 [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ b/ Gọi z = x + y, xF, yF Cách 1: Khi x = αf1 + βf2 = α(1, 1, 2) + β(2, –1, 1) F z = αf1 + βf2 + y (*) Nhân vế (*) với f1 f2, ta { (𝑧, 𝑓1 ) = 𝛼(𝑓1 , 𝑓1 ) + 𝛽(𝑓2 , 𝑓1 ) 10𝛼 + 8𝛽 = −4 𝛼=2 { { 𝛽 = −3 8𝛼 + 10𝛽 = −14 (𝑧, 𝑓2 ) = 𝛼(𝑓1 , 𝑓2 ) + 𝛽(𝑓2 , 𝑓2 ) Suy hình chiếu x = PrF(z) = 2(1, 1, 2) – 3(2, –1, 1) = (–4, 5, 1) Khoảng cách d(z, F) = ||y|| = ||z – x|| = ||(–4, 2, 2)|| =2√2 Cách 2: yF y hình chiếu vng góc z lên khơng gian F Lại có F không gian chiều (đường thẳng), áp dụng cơng thức tìm hình chiếu vector lên đường thẳng ta có: 𝑦 = Pr𝐹 𝑧 = (𝑧, 𝑓 ) 𝑧𝐴(𝑓 )𝑇 𝑓 = 𝑓 = (−2; 1; 1) (𝑓 , 𝑓 ) 𝑓 𝐴(𝑓 )𝑇 → 𝑥 = PrF(z) = 𝑧 − 𝑦 = (−8; 7; 3) − (−2; 1; 1) = (−4; 5; 1) 𝑑(𝑧, 𝐹) = ||𝑦|| = ||2(−2; 1; 1)|| = 2√2 Dạng 3: Gram – Schmidt o Quá trình Gram – Schmidt thường dùng đề thi dạng toán “Đưa dạng tồn phương dạng tắc phép biến đổi trực giao” cần phải nhớ cơng thức để hồn thành trọn vẹn tốn o Phương pháp xây dựng hệ vector trực giao Gram – Schmidt Cho khơng gian vector V có sở E = {e1, e2, …, en} Để xây dựng sở E’ = {f1, f2, …, fn} cho E’ trực giao, ta chọn 𝑓1 = 𝑒1 𝑓2 = 𝑒2 − (𝑒2 , 𝑓1 ) 𝑓 (𝑓1 , 𝑓1 ) 𝑓3 = 𝑒3 − (𝑒3 , 𝑓1 ) (𝑒3 , 𝑓2 ) 𝑓1 − 𝑓 (𝑓1 , 𝑓1 ) (𝑓2 , 𝑓2 ) … 𝑓𝑛 = 𝑒𝑛 − (𝑒𝑛 , 𝑓1 ) (𝑒𝑛 , 𝑓2 ) (𝑒𝑛 , 𝑓𝑛−1 ) 𝑓1 − 𝑓2 − ⋯ − 𝑓 (𝑓1 , 𝑓1 ) (𝑓2 , 𝑓2 ) (𝑓𝑛−1 , 𝑓𝑛−1 ) 𝑛−1 Ta chia vector trực giao cho độ dài nó, ta sở trực chuẩn Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 17 [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ 4.6 : Trong R4 với tích vơ hướng tắc, cho tập ĐLTT E = {(1, 0, 1, 1); (0, 1, 1, 1); (1, 1, 1, 1)} Hãy trực chuẩn E thuật toán Gram – Schmidt Giải: E = {e1, e2, e3} = {(1; 0; 1; 1), (0; 1; 1; 1), (1; 1; 1; 1)} Chọn 𝑓1 = 𝑒1 = (1; 0; 1; 1) 𝑓2 = 𝑒2 − (𝑒2 , 𝑓1 ) 2 1 𝑓1 = (0; 1; 1; 1) − (1; 0; 1; 1) = (− ; 1; ; ) (𝑓1 , 𝑓1 ) 3 3 Vì fi vector nên ta chọn vector phương với chúng để dễ tính Ở ta chọn f2 = (–2; 3; 1; 1) 𝑓3 = 𝑒3 − (𝑒3 , 𝑓1 ) (𝑒3 , 𝑓2 ) 2 1 𝑓1 − 𝑓2 = ( ; ; − ; − ) (𝑓1 , 𝑓1 ) (𝑓2 , 𝑓2 ) 5 5 Ta chọn f3 = (2; 2; –1; –1) Họ trực giao cần tìm F = {f1; f2; f3} Để sở trực chuẩn ta chia vector cho độ dài nó, ta sở trực chuẩn {( √3 ; 0; ; √3 √3 ) , (− 2 1 ),( ; ;− ;− )} √10 √10 √15 √15 √15 √15 √10 √10 ; ; ; Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 18 [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ CHỦ ĐỀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Ánh xạ tuyến tính thường gặp gồm loại: Cho phương trình tắc: hay [𝑓(𝑥)] = 𝐴0 [𝑥] - Với A0 ma trận axtt f sở tắc Ví dụ: 𝑓: 𝑅 → 𝑅 , 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) = (𝑥1 + 2𝑥2 , 𝑥1 − 𝑥2 ) 𝑥1 [𝑓(𝑥)] = 𝐴0 [𝑥] = ( ) (𝑥 ) −1 2 Cho sở ma trận f sở ) −1 Ví dụ: 𝑓: 𝑅 → 𝑅 , biết ma trận 𝑓 sở 𝐸 = {(1,1), (1,2)} 𝐴 = ( Cho ảnh sở Ví dụ: 𝑓: 𝑅 → 𝑅 , biết 𝑓(1,1) = (2,3); 𝑓(2,1) = (−1,2) Ở dạng coi sở ban đầu E={(1,1),(2,1)} f(E)={(2,3),(-1,2)} Đây loại thường gặp ánh xạ tuyến tính Tùy vào loại đề cho yêu cầu tốn mà ta có cách làm khác Chuyển đổi loại AXTT: o Sử dụng công thức chuyển tọa độ từ sở E sở tắc: A0 = E.AE.E-1 đưa loại o Sử dụng công thức: A0 = f(E).E-1 đưa loại loại o Sử dụng công thức: AE = E-1.f(E) đưa loại loại Dạng 1: Cho ánh xạ tuyến tính f Tìm ma trận f sở cặp sở: o Trước tiên cần kiểm tra xem ánh xạ loại o Sau xác định sở ban đầu (E) ma trận f sở ban đầu (AE) đó: + Với f loại 1: sở ban đầu E sở tắc (E0) AE A0 + Với f loại 2: dạng cho sẵn E AE + Với f loại 3: dạng cho sẵn E AE xác định theo công thức: AE = E1 f(E) o Ma trận f sở E’ là: AE’ = E’-1.E.AE.E-1.E’ o Ma trận f cặp sở E’,F’ là: AE’,F’ = F’-1 E.AE.E-1.E’ Lưu ý: Các vector sở viết dạng cột Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 19 [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ 5.1: Giải: AXTT ví dụ loại (cho phương trình tắc) Cách 1: (thông thường) 𝑓(𝑒1 ) = 𝑓(1,1,1) = (0,4, −1) 𝑓(𝑒2 ) = 𝑓(1,1,0) = (3,3,1) 𝑓(𝑒3 ) = 𝑓(1,0,0) = (2,1,1) Tìm tọa độ 𝑓(𝑒1 ), 𝑓(𝑒2 ), 𝑓(𝑒3 ) sở E 𝑥+𝑦+𝑧 =0 −1 Giải hệ phương trình { 𝑥 + 𝑦 = ta có [𝑓(𝑒1 )]𝐸 = ( ) −4 𝑥 = −1 1 Tương tự [𝑓(𝑒2 )]𝐸 = (2) , [𝑓(𝑒3 )]𝐸 = (0) −1 1 Suy ma trận f E 𝐴𝐸 = ( 0) −4 Cách 2: Ta có 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = (2𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 , 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 , 𝑥1 − 2𝑥3 ) suy ma trận sở tắc: 𝐴0 = (1 1 −3 ) , 𝐸0 = (0 −2 0 0) Suy ma trận sở E: 1 −1 −1 𝐴𝐸 = 𝐸 𝐸0 𝐴0 𝐸0 𝐸 = (1 1 −1 1 Bấm máy ta có 𝐴𝐸 = ( 0) −4 1 −1 0) (1 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ −3 1 ) (1 −2 1 0) Trang 20