Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH BIÊN SOẠN LÊ TUẤN ANH ( ctv đại số chương trình ‘chúng ta cùng tiến’) PHẦN MỘT CÁC NỘI DUNG CẦN ÔN TẬP I ma trận 1 các phép toán 2 hạng ma trận 3 ma trận nghịch đảo 4 định thức II hệ[.]
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH BIÊN SOẠN: LÊ TUẤN ANH ( CTV ĐẠI SỐ CHƯƠNG TRÌNH ‘CHÚNG TA CÙNG TIẾN’) PHẦN MỘT: CÁC NỘI DUNG CẦN ÔN TẬP I.ma trận: phép toán hạng ma trận ma trận nghịch đảo định thức II.hệ phương trình tuyến tính: cách giải hệ pt AX=b III.khơng gian vecto: 1.tìm sở (cs), số chiều không gian (kg) F 2.tìm cs số chiều F G 3.tìm cs số chiều F+G IV.khơng gian Euclid: 1.tính tốn modun, góc, khoảng cách… 2.tìm cs, số chiều khơng gian bù vng góc 3.tìm hình chiếu vecto v xuống khơng gian F, tính khoảng cách 4.dùng trình gram-schmidt tìm sở trực chuẩn V.ánh xạ tuyến tính (axtt) (ít câu): Cho ánh xạ tuyến tính Sau yếu cầu giải vấn đề: 1.tìm ảnh phần tử cho trước 2.tìn f 3.tìm cs, số chiều imf, kerf 4.tìm ma trận axtt cặp sở cho trước VI.trị riêng (tr), vecto riêng (vtr) (ít câu): 1.tìm tr,vtr ma trận A 2.chéo hóa ma trận, tính chéo hóa ma trận đối xứng ma trận trực giao VII.dạng tồn phương (ít câu) 1.đưa dạng tồn phương tắc biến đổi trực giao biến đổi laarange (biến đổi sơ cấp) 2.phân loại dạng tồn phương PHẦN HAI: LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM I.ma trận: 1.các phép toán ( dễ dàng thực được): lưu ý phép nhân khơng có tính giao hốn, điều kiện để thực phép nhân ma trận, phép công hai ma trận 2.hạng ma trận: để tìm hạng ma trận ta dùng biến đổi sơ cấp đưa ma trận dạng bậc thang hạng ma trận số hàng khác ma trận bậc thang 3.ma trận ngịch đảo: phần bấm máy nên k cần làm theo thuật toán học 4.định thức:để tính định thức có cách: Cách 1:đưa ma trận bậc thang định thức tích phần tử đường chéo ma trận bậc thang Cách 2: dùng khai triển laplace: Cho A ma trận vng cấp n Khi Nếu khai triển định thức A theo dòng thứ i detA biểu diễn dạng Nếu khai triển định thức A theo cột thứ j detA biểu diễn dạng Với Aij phần bù đại số II.hệ phương trình tuyến tính: Trong trường hợp tổng quát, ta xét ma trận hệ số A và ma trận hệ số bổ sung thêm cột số hạng vế phải A/b A= A/b= Chuyển ma trận dạng bậc thang: Nếu r(A) W a tìm sở, số chiều kerf b tìm cs, số chiều imf giải a.tìm f(X) với x thuộc V với x thuộc kerf f(x)=0 AX=0 giải hệ tìm nghiệm tổng quát => tập sinh, cs, số chiều b chọn tập sinh V {e1,e2,… ,en} tìm ành tập sinh f(e1), f(e2),….,f(en) imf = < f(e1), f(e2),….,f(en)> từ tìm dc cs, số chiều cách lập ma trận phần kg 2.tìm ma trận axtt cặp sở cho trước: dùng sơ đồ để tìm VI trị riêng, vector riêng: 1.tìm tr,vtr: Các bước tìm tr,vtr ma trận vng A B1: lập phương trình đặc trưng det(A- I)=0 Tính định thức, giải phương trình tìm tr B2: tìm vtr A ứng với tr giải hệ (A- I)X=0 (tất nghiệm khác tất vtr ứng với tr ) 2.chéo hóa ma trận: Ma trận A gọi chéo hóa A viết dạng : a=Pd *điều kiện để ma trận A chéo hóa được: a.bội hình học=bội đại số bhh tr bđs b.ma trận vng cấp n chéo hóa tồn đủ n vtr đơc lập tuyến tính *các bước chéo hóa ma trận vuông A B1: giải pt đặc trưng để tìm tr xác định bđs tr B2:tìm sở kg riêng ứng với giá trị giải hệ (A- I)X=0 suy sở tr xác định bhh=dim(không gian riêng) bước 3: kết luận + có tr mà bhh< bđs A k chéo hóa dc + với tr có bhh=bđs A chéo hóa được, Với D ma trận chéo có đường chéo tr P có cột sở kg riêng tương ứng với tr 3.bài tốn tính : Chéo hóa ma trận A sau dùng cơng thức chéo hóa ma trận đối xứng ma trận trực giao: Ma trận trực giao ma trận thỏa mãn Các bước chéo hóa ma trận đối xứng A Bước 1: giải pt đặc trưng tìm tr Bước 2: tìm sở trực chuẩn kg riêng tương ứng Bước 3: kết luận Trong D ma trận chéo P có cột sở trực chuẩn kg riêng VII.dạng toàn phương: *các bước đưa dạng tồn phương tắc biến đổi trực giao: Bước 1:viết ma trận A dạng toàn phương Bước 2: chéo hóa trực giao ma trận A ( ) Bước 3: kết luận Phép đổi biến X=PY Dạng tắc Q(Y)= *phương pháp chuyển dạng tồn phương tắc biến đổi lagrange Bước 1: chọn số hạng chứa chứa lập thành nhóm, nhóm gồm tất số hạng , nhóm gồm tất số hạng lại Bước 2: nhóm viết thành bình phương tổng ta thu bình phương dạng tồn phương biến Bước 3: lặp lại bước cho dạng toàn phương Lặp lại bước thu dạng tắc ( tổng bình phương) *lưu ý: Trường hợp dạng tồn phương không chứa Ta lại thu mà tồn lại thực bước ta đổi biến *lưu ý: kết cuối phải kết luận phép đổi biến theo x (phép đổi biến theo y phép đổi biến trung gian) 2.phân loại dạng toàn phương: Dạng toàn phương f(x) = x TAx gọi • xác định dương, ∀x khác : f(x) > tương đương với TR A dương • xác định âm, ∀x khác : f(x) < tương đương với TR A âm • nửa xác định dương, ∀x : f(x) >= 0, ∃x0 khác : f(x0) = tương đương với TR A khơng âm • nửa xác định âm, ∀x : f(x)= < 0, ∃x0 khác : f(x0) = tương đương với TR A khơng dương • khơng xác định dấu, ∃x1, x2 : f(x1) < 0, f(x2) > tương đương với TR A có dương, có âm * Tiêu chuẩn Sylvester Cho dạng toàn phương f(x) = x TAx, ∆i định thức cấp i A i) f(x) xác định dương ∆i > 0, ∀i = 1, 2, , n ii) f(x) xác định âm (−1)i∆i > 0, ∀i = 1, 2, , n * Luật quán tính: Chỉ số dương quán tính, số âm qn tính dạng tồn phương đại lượng bất biến không phụ thuộc vào phép biến đổi (khơng suy biến) đưa dạng tồn phương dạng tắc GOOD LUCK TO YOU