Bai tap axtt 1 CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Bài tập AXTT 7 CHƯƠNG III ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH MỘT SỐ KHÁI NIỆM và TÍNH CHẤT Giả sử X,Y là các không gian véc tơ trên E={ e1, e2, , en} là một cơ sở của X B ={ u1, u2, , um} là một cơ sở của Y * Ánh xạ f[.]

CHƯƠNG III - ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH MỘT SỐ KHÁI NIỆM TÍNH CHẤT Giả sử X,Y khơng gian véc tơ E={ e1, e2,…, en} sở X B ={ u1, u2,…, um} sở Y * Ánh xạ f: X  Y gọi ánh xạ tuyến tính ( hay đồng cấu )  x,y X; a,b  R: f(a.x+b.y) = a.f(x) + b.f(y) * f: X  Y axtt  f(0X) = 0Y * Ma trận A axtt f cặp sở E X sở B Y:    A   f E , B    f (e1 )B    dn   f (e2 )B     f (en ) B      Ký hiệu [ f]E,E = [f]E * Liên hệ tọa độ x X f(x): + CT tổng quát:  f ( x)B  [ f ]E ,B [ x]E Ở [x]E tọa độ cột véctơ x sở E; [f(x)]B tọa độ cột véctơ f(x) sở B; [f]E,B ma trận ánh xạ tuyến tính f cặp sở E X B Y + Trường hợp f: X X ( f phép tự đồng cấu):  f ( x)E   f E  xE + Trường hợp f: Rn Rm, ta ký hiệu [ f] ma trận f sở tắc Rn, Rm  f ( x)  [ f ].[ x] Đây biểu thức xác định ánh xạ tuyến tính f * Ánh xạ tuyến tính f xác định khi: (1) Biết biểu thức f(x1,x2, ,xn) hay ma trận A: f(X)=A.X ( tọa độ X= (x1,x2, ,xn)T f(X)= [f(x1,x2, ,xn)] ) (2) Biết ma trận f cặp sở E X B Y (3) Biết ảnh sở E X, ( tức biết véctơ f(e1), f(e2), ,f(en) ) Về mặt thực hành: Chúng ta xét mối liên hệ (1) (3) để giải toán: Cho axtt f: Rn Rm, xác định f(ei) = bi; i=1,2,…n , E = { e1, e2,…, en} sở Rn Gọi A=[ f] Tìm ma trận A Từ cơng thức f(X)=A.X, suy [b1 | b2…| bn]=A[e1 |e2…| en ] Gọi [B] ma trận mà cột tọa độ véctơ bi ; [E] ma trận mà cột tọa độ véctơ ei [B] = A.[E] hay A = [B].[E]-1 * Ánh xạ tuyến tính có tính chất bảo tồn cấu trúc đại số: + Nếu A kg X f(A) kg Y; dim f(A)  dim A + Nếu B kg Y f-1(B) kg X + Nếu { x1, x2, …, xn } hệ sinh khơng gian A X { f(x1), f(x2), …, f(xn)} hệ sinh không gian f(A) Bài tập AXTT * Ảnh hạt nhân ánh xạ tuyến tính f: + Imf  f(X) = { f(x); xX } = { y Y:  xX, f(x) = y } gọi ảnh f Imf = < f(e1) , f(e2), …., f(en) > , với { e1, e2,…, en} sở X = < Hệ véctơ cột mt tắc f > X=Rn; Y=Rm Dim Imf = Hạng ma trận (bất kỳ) f (  dim X ) + Định nghĩa: Hạng axtt f = dim Imf + Kerf = f-1({0}) = { x X: f(x) = 0Y } gọi hạt nhân axtt f + Liên hệ số chiều: dim Imf + dim Kerf = dim X * Đơn cấu, toàn cấu đẳng cấu (tham khảo): + f đơn cấu  f đồng cấu + f đơn ánh (?)  Kerf ={0} hay dim Kerf=0 + f toàn cấu  f đồng cấu + f toàn ánh (?)  Imf = Y hay dim Imf = dim Y + f đẳng cấu  f đồng cấu + f song ánh  dim X = dim Y dim kerf =0 (hay dim Imf = dim Y) * Liên hệ ma trận axtt f cặp sở khác nhau: + Giả sử f: X  Y axtt E1, E2 sở tùy ý X S ma trận chuyển từ sở E1 sang E2 B1, B2 sở tùy ý Y T ma trận chuyển từ sở B1 sang B2  f E , B  f E , B  A; f: X (E1) T (E2)  f E  A; (B1) S B + Trường hợp riêng (thường gặp hơn): Giả sử f: X  X phép biến đổi tuyến tính E1, E2 sở tùy ý X S ma trận chuyển từ sở E1 sang E2 A B = T-1AS  f E Y B -1 B (B2) f: X (E1) X A S (E2) (E1) S B (E2) B = S AS (Nhắc lại cách tìm S E1  E2 : Do  E1 .SE1  E2   E2  nên S E1  E2   E1  1  E2  ) * Khái niệm ma trận đồng dạng: Ta nói ma trận vng A, B đồng dạng có ma trận P khả nghịch cho B = P-1AP Dễ thấy ma trận phép biến đổi tuyến tính Rn sở khác đồng dạng Bài tập AXTT BÀI TẬP Cho f: R2  R3 axtt xác định f(2,3) =(0,7,8); f(1,1) = (1,4,4) Tìm f(x,y) Axtt f: R3  R3 xác định f(1,2,0) =(5,1,1); f(1,1,0)=(3,2,1); f(1,1,1)=(4,4,6) a) Tìm f( 2,3,4) b) Tìm f(x,y,z) Trong khơng gian R3, cho ánh xạ tuyến tính f phép lấy đối xứng điểm không gian qua mặt phẳng x+ y -2z = Tìm biểu thức f(x,y,z) Axtt f: R3  R2 xác định f(x,y,z)=(2x+5y-3z, x-4y+7z) a) Tìm ma trận tắc f b) Tìm ma trận f sở E={x1= (1,2,1); x2= (1,1,0) ;x3=(0,3,1)} R3 B={y1=(1,3); y2=(2,5)} R2 ( theo nhiều cách) c) Giả sử véctơ x  R3 có tọa độ sở E (1,2,3) Tìm véctơ f(x) tọa độ f(x) sở B ( làm theo nhiều cách) d) Tìm sở chiều Kerf; Imf 1  (ĐCK) Cho axtt f: R  R có ma trận tắc A =  1 1   3 2    a) Tìm f(x,y,z,t) b) Xác định nhân ảnh axtt f ( xác định sở chiều) Cho axtt f: R3  R3 xác định f(x,y,z) = (x-y+z, x+z, x+y+α.z) a) Tìm giá trị α để f khơng đẳng cấu b) Với điều kiện câu a), tìm sở chiều Imf, Kerf c) Biết A={(x,y,z): x-2y+z=0} Tìm sở chiều f(A)  3  Biết axtt f:R2  R2 có ma trận A=   sở E={(2,1);(1,3)} 3  a) Tìm ma trận f sở tắc R2 b) Tìm f(4,5) nhiều cách ; Tìm f(x,y) c) Tìm ma trận f sở B={ (1,1); (1,2)}  3  Giả sử phép biến đổi tuyến tính f R có ma trận A    sở  6    E={ (0, 1, 2); (4,1,0); ( 1, 0, 2)} a) Tìm biểu thức f(x,y,z) b) Tìm ma trận f sở B = { (1, 2, 3); ( 3, 4, 2); (0, 1, -1 )} c) Tìm sở chiều Imf; Kerf ( làm nhiều cách) Hãy xác định ánh xạ tuyến tính f: R3 R4 cho Kerf = Imf = < (1, 2, 1, 0); (2, 3, , 1) > Ánh xạ tuyến tính f thỏa yêu cầu đề có xác định hay khơng, sao? Bài tập AXTT