Bài tập AXTT 10 TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG 1 Đối với 1 ma trận vuông A * Giả sử A là 1 ma trận vuông thực cấp n Véctơ X R n , X 0 được gọi là véc tơ riêng (VTR) của ma trận A nếu có một số thực k sa[.]
TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG Đối với ma trận vuông A: * Giả sử A ma trận vuông thực cấp n Véctơ X Rn, X gọi véc tơ riêng (VTR) ma trận A có số thực k cho A.[X] = k.[X] Giá trị k gọi trị riêng (TR) ma trận A ứng với VTR X + Giả sử X,Y VTR tương ứng với TR ko ma trận A Với a,b R cho (a.X+b.Y) 0, A.(a[X]+b.[Y]) = A.a.[X] + A.b.[Y] = a.(A.[X]) + b.(A.[Y]) = a.ko.[X] + b.ko[X] (đn VTR) = ko.(a.X+b.Y) , suy (a.X+b.Y) VTR A Tập hợp VTR tương ứng với trị riêng ko véc tơ tạo thành không gian Rn; gọi không gian riêng A ứng với TR ko * Giả sử X VTR A tương ứng với TR k Theo định nghĩa A.[X] = k.[X] [A – kI][X] = Do X phải khác véctơ không nên suy hệ [A – kI][X] = có nghiệm khác nghiệm tầm thường, tức | A – k.I | = + Để tìm TR A, ta giải phương trình đặc trưng | A – k.I | = Bội nghiệm k phương trình đặc trưng gọi bội đại số k + Để tìm khơng gian riêng A tương ứng với TR ko biết, ta giải hệ phương trình: [A-ko.I].[X] =0 Nghiệm khác hệ [A-ko.I].[X]=0 VTR tương ứng TR ko Tập nghiệm hệ phương trình khơng gian riêng ứng với TR ko Số chiều không gian riêng bội hình học ko, BHH BĐS + Một hệ gồm VTR không gian riêng khác đôi ln độc lập tuyến tính * Tính chất: Giả sử k X TR VTR tương ứng ma trận A Khi đó: kn X TR VTR tương ứng ma trận An k-1 X TR VTR tương ứng ma trận A-1, A khả nghịch * Ma trận A gọi chéo hóa A đồng dạng với ma trận chéo, tức có ma trận P khả nghịch cho P-1.A.P = D ma trận chéo Việc tìm ma trận P ma trận D gọi ( q trình ) chéo hóa ma trận A Ma trận P gọi ma trận làm chéo hóa A + Ma trận A chéo hóa A có đủ n VTR độc lập tuyến tính Trong trường hợp này, ma trận P cần ma trận có cột VTR độc lập tuyến tính lấy từ sở khơng gian riêng Cịn ma trận chéo D gồm TR tương ứng theo cột với VTR P Mặc dù công thức xác định D có chứa ma trận P-1 xác định P ta có ma trận D + Kiểm tra điều kiện ma trận A chéo hóa ( trường số thực): Bài tập AXTT 10 * Trường hợp riêng: A ma trận vuông thực đối xứng Người ta chứng minh A chéo hóa khơng gian riêng A trực giao với (tức véctơ riêng tương ứng với TR khác vng góc nhau) Nếu chọn ma trận cột P VTR trực chuẩn ma trận P gọi ma trận trực giao Ma trận trực giao có tính chất P-1 = PT Việc chéo hóa ma trận A thực, đối xứng cách sử dụng ma trận P trực giao cịn gọi chéo hóa trực giao * Các dạng tập thường gặp: Tìm điều kiện tham số m để véc tơ cho trước VTR ma trận A; hay giá trị k TR A Tìm TR, VTR A Chéo hóa ma trận A (hay chéo hóa trực giao A) được; tìm điều kiện tham số m để ma trận A chéo hóa Cho ma trận A (chéo hóa được) Tính An Cho ma trận A (chéo hóa được) Tìm ma trận B vng thỏa Bn = A Xác định ma trận A với TR cho trước + thỏa số điều kiện đó… Đối với ánh xạ tuyến tính f: Rn Rn * Véctơ x Rn, x0, véctơ riêng f có số thực k cho f(x) = k.x Giá trị k gọi TR axtt f ứng với VTR x Nếu A ma trận f sở tắc Rn [f(x)]=A.[x] Do TR VTR f TR VTR A * Axtt f gọi chéo hóa có sở E Rn gồm VTR cho ma trận f sở E ma trận chéo + Đồng thời ta nhận thấy ma trận axtt sở khác đồng dạng Do f chéo hóa đồng nghĩa với ma trận tắc chéo hóa Khi véctơ cột ma trận P sở E cần tìm ( P ma trận chuyển sở từ sở tắc sang sở E) Bài tập AXTT 11 * Cũng từ ta có nhận xét: Tất ma trận đồng dạng có tập TR, (các TR có BĐS BHH), nhiên VTR nói chung khơng giống tọa độ coi xem xét sở khác + Công thức liên hệ tọa độ véctơ x sở tắc sở E là: [x] = P.[x]E Cách viết khác dạng đổi biến: X = P.Y hay Y=P-1.X ( Trong dạng toàn phương chương cuối, P ma trận trực giao nên người ta kí hiệu phép đổi biến X= P.Y hay Y=PT.X ; với X tọa độ véctơ sở tắc, Y tọa độ véctơ sở E , tạo véctơ cột P) Phần chéo hóa axtt khơng nằm nội dung thi BÀI TẬP 10 Cho aùnh xạ tuyến tính f : R3−→ R3, biết f( 1, 1, ) = ( ,−2, 1) , f( , 1, 1) = ( 3,−2, 1), f( , , ) = ( , , ) Tìm m để x = ( m,−1 , ) véctơ riêng f 16 11 Tìm m để λ = giá trị riêng ma trận A = 2 m 5 12 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3−→ R3, biết f( x1, x2, x3) = ( x1 − x2 − x3,−4 x1 + x2 + x3;−2 x1 + x2 + x3) Tìm tất trị riêng thực véctơ riêng f 13 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3−→ R3, biết nhân sinh ( , , ) ; ( , , ) vaø f( , , ) = ( , , ) Tìm trị riêng sở không gian riêng 14 Tìm ma trận đối xứng thực A cấp (không ma trận chéo), cho A có ba trị riêng , , Bài tập AXTT 12