Chương 4 Các quy luật phân phối xác suất cơ bản §1 Các quy luật phân phối rời rạc cơ bản Chương 4 Các quy luật phân phối xác suất cơ bản §1 Các quy luật phân phối rời rạc cơ bản 1 Phân phối đều rời rạ[.]
Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất §1 Các quy luật phân phối rời rạc Phân phối rời rạc: Phân phối khơng – A(p): Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p) X x1 x2 xk P k k k X P q p Định lý 1.1: X có phân phối A(p) E(X) = p, D(X) = p.q Phân phối nhị thức B(n,p): k k n k n , p k C p n q , k 1, n Định nghĩa 1.2: Định lý1.2: n, p X np, D npq, Mod k0 n 1 p hoaë c k n 1 p Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Phân phối siêu bội Bài tốn: Cho hộp có N bi có M bi trắng cịn lại đen Lấy ngẫu nhiên từ hộp n bi (khơng hồn lại), n khơng lớn M N-M Hãy lập bảng phân phối xác suất X số bi trắng lấy k n k Giải: CM C N M k , k 0, n n CN Định nghĩa 1.3: Phân phối nói gọi phân phối siêu bội H(N,M,n) H ( N , M , n) np, Định lý 1.3: Giả sử N n M D npq ,p N1 N Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Ghi nhớ: lấy bi có hồn lại: phân phối nhị thức lấy bi khơng hồn lại: phân phối siêu bội Phân phối Poisson P(a),a>0: k a a Định nghĩa 1.4: a k e , k 0,1, k! Định lý 1.4: X có phân phối P(a) E(X) = D(X) = a Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8) Khi ấy: P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng bảng phân phối Poisson) 0 X 12 0,936204 (cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm …) 6 X 12 0 X 12 0 5 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Chú ý: Nếu gọi X số người ngẫu nhiên sử dụng dịch vụ cơng cộng X tn theo quy luật phân phối Poisson P(a) với a số người trung bình sử dụng dịch vụ Ví dụ 1.2: Quan sát 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện Tính xác suất 10 phút có người vào trạm đó Giải: Gọi X là số người ngẫu nhiên vào trạm đó 10 phút thì X có phân phối P(a), a = Khi ấy: e 4! Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 §2: Các quy luật phân phối liên tục Phân phối chuẩn Định nghĩa 2.1: a , , a , f x e 2 2 x a 2 2 Định lý 2.1: X có phân phối a, thì E(X) = a, D(X) = Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối chuẩn tắc (hay chuẩn hóa) N(0,1) nếu: u2 /2 f u e 2 Khoa Khoa Học Máy Tính (hàm mật đợ Gauss) Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Định lý 2.2: U có phân phới N(0,1) u t /2 e dt 0,5 u 2 FU u 0,5 với u là tích phân Laplace (hàm lẻ) Định lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1) Khi ta có: 1 u1 U u2 u2 u1 ; 2 U 2 Định lý 2.4: X a a , U 0,1 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Định lý 2.5: Giả sử a , Khi ta có: a a 2 a 2. Ví dụ 2.1:Chiều cao X niên có phân phối chuẩn N(165, ).Một niên bị coi lùn có chiều cao nhỏ 160 cm.Hãy tính tỷ lệ niên lùn 160 165 X 160 1 0, 34134 0, Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Ví dụ 2.2: Cho U 0,1 tính kỳ vọng U m Giải: u /2 m m U u e du 0 m lẻ cận đối xứng, 2 hàm dấu tích phân hàm lẻ u2 / u2 / 2 U u e du u.u e du 2 2 u2 / u2 / dv u e v e 2 2 u / u /2 U u e e du 1 2 2 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Tương tự: u /2 U u u e du 2 u /2 u e 2 3. u U 5 U 5.3.1; U 2n u /2 e du 3. U 3.1; 2 2n 1!! Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Ví dụ 2.3: Trong hộp bi có trắng, đen, vàng Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại gặp vàng dừng.Tính xác suất để lấy bi trắng, bi đen Giải:Lấy bi cuối vàng nên: C6 C52 P C15 10 Phân phối liên tục: (Xem SGK) Định nghĩa 2.3:(X,Y) có phân phối miền D , neá u (x, y) D f (x, y) S (D) 0 , neá u (x, y) D ,vớ i S(D) làdiệ n tích miề nD Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 10 E ( ) Phân phối mũ : Định nghĩa 2.3: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối mũ hàm mật độ X là: Định lý 2.6 : x e neá u x 0; SGK) Phân phối bình phương:(Xem f (x) Phân phối Student:(Xem SGK) neá ux0, 0 >0 X E ( ) E ( X ) ( X ) Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 11 §3 Các định lý giới hạn ( luật số lớn) Định lý Chebyshev: • Định lý 3.1(Bất đẳng thức Chebyshep): Cho X đại lượng ngẫu nhiên.Khi ta có: P (| X E ( X )| ) D( X ) 2 • Định lý 3.2 (Chebyshep): Cho dãy 1 , , , n , đơi độc lập có C : D(X k ) C, k.Khi ta có: lim P n n n X k1 k n n k1 E (X k ) 1 Định lý Bernoulli: • Định lý 3.3 (Bernoulli): Nếu m số lần thành công dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành cơng p thì: Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 12 m lim P p 1 n n Các định lý giới hạn trung tâm Định lý 3.4(Lyapounov): Giả sử 1 , , , n đôi độc n lập E X k E( X k ) lim k 1 0 3/ n n D k k 1 Khi ta có: n n i E i n n i 1 n 30 U i 1 N 0,1 n đủ lớn n D xi n i 1 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 13 Hệ 3.1:Giả sử thêm vào ta có E ( X i ) a, D( X i ) , i 1, n n ( X i a) n n i 1 U N (0,1) Hệ 3.2: m p) n U n N (0,1) p(1 p) Khoa Khoa Học Máy Tính ( n đủ lớn n đủ lớn Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 14 Ví dụ 3.1:Biến ngẫu nhiên X trung bình cộng n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối: 1 , , n với phương sai: D i 5 i 1, 2, n Xác định n cho với xác suất không bé 0,9973 : a) Hiệu cuả X-E(X) không vượt 0,01 b) Trị tuyệt đối X-E(X) không vượt 0,005 Bài giải: n i , E ( i ) a E X a; n i 1 D i 5 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 15 a ) E 0, 01 0, 9973 a n 0, 01 n U 0, 9973 0, 01 n 0, 0, 9973 0, 01 n 0, 4973 2, 785 2, 785 0, 01 n 2, 785 n 0, 01 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 16 b) ( E 0, 005) 0, 9973 | X E ( X ) | n 0, 005 n P (| U | ) 0, 9973 0, 005 n 2. 0, 9973 0, 005 n 0, 9973 3 0, 005 n 3 n 0, 005 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 17 $4.Các cơng thức tính gần Cơng thức gần siêu bội nhị thức Định lý 4.1:Khi n