XÁC SUẤT THỐNG KÊ Chương 3 các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên, vecto ngẫu nhiên

Chương 3 Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên Chương 3 Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên §1 Kỳ vọng 1 Định nghĩa Định nghĩa 1 1 Giả sử Định nghĩa 1 2 Giả[.]

Chương 3.Các đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên véctơ ngẫu nhiên §1 Kỳ vọng Định nghĩa    xi   pi      xi pi Định nghĩa 1.1: Giả sử i Định nghĩa 1.2: Giả sử X liên tục có hàm mật độ  f X  x       x f X  x  dx  Ý nghĩa: Kỳ vọng E(X) giá trị trung bình X Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C số (3) E(X+Y) = E(X) + E(Y) (4) X, Y độc lập suy E(XY) = E(X).E(Y) Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 §2: PHƯƠNG SAI 1.Định nghĩa 2.1:Phương sai đại lượng ngẫu nhiên X là:  D            Định lý 2.1 :     D()         vớ i     xi2.pi , nế u X rờ i raïc ;   i     x2 f  x dx , neá u X liê n tục  C D (  ) Tính chất: (1) D(C) = ; (2) D(CX) = (3) X,Y độc lập suy D(X+Y) = D(X)+D(Y) (4) D(C+ X) = D(X), với C số Độ lệch:     D   Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 §3.Các đặc trưng khác đại lượng ngẫu nhiên 1.Mod X (giá trị X ứng với xác suất lớn nhất) Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc    xi   pi  M od   xi neá u pi  M ax pi 0 Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục có hàm f X  x , ta có  Mod   x0 neá u fX  x0   Max f X  x Med X(medium – trung vị X) Định nghĩa 3.3: Med  m     m 1/ 2,  X  m 1/     Định lý 3.1: Nếu X liên tục m MedX m  FX (m)  f X  x  dx   Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 3.Moment Định nghĩa 3.4: Moment cấp k cuả đại lượng ngẩu nhiên X số a :    X  a k    a = 0: moment gốc a = E(X):moment trung tâm Hệ số nhọn hệ số bất đối xứng(xem SGK) Ví dụ 3.1: cos x, x   0,  / 2  ~ f X  x   0, x   0,  / 2   /2      x f X  x  dx   Khoa Khoa Học Máy Tính  x.cos xdx   Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010   D  X   x cos xdx    1   0      2   /2    X2 Mod X =0 Med X = m  m   m f X  x  dx  cos xdx 1/  sin m 1 /  m  / Ví dụ 3.2 :Cho X có bảng phân phối xác suất sau   p pq Khoa Khoa Học Máy Tính m m pq m pq m 1 m pq m k k1 pq Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010  E ( X )  kp.q k   p k 1  D ( X )  k pq k 1    k1 1  q   1    p    p 2      1 q 1 q q  p       (1  q )3  p  p2 p2 p2 Mod X =  p 1  q   q m   1 /  Med X =m   m m p  q   q  q   1 /   Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010   q m  p  q 1/ m   q 1 /      m m  1  q 1 /  p  q 1/   1 q  m ln q  ln , m  1ln q  ln  m 1 q     q m     ln  ln  m  1 ln q ln q Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 .Ví dụ 3.3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau: X P 0,4 0,3 0,3    2.0,  5.0,3  7.0,3 4, D    2 0.4   5 .0,3   7 0,3   4,  2 2    2     D( X ) 2,107 Mod X = ; Med X = Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Cách dùng máy tính bỏ túi ES • Mở tần số(1 lần): Shift Mode • Nhập: Mode Stat 1-var xi Stat On(Off) ni 0,4 0,3 0,3 AC: báo kết thúc nhập liệu Cách đọc kết quả: Shift Stat Var Khoa Khoa Học Máy Tính x     4, x n     2,107 Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 Cách dùng máy tính bỏ túi MS:Vào Mode chọn SD Xóa liệu cũ: SHIFT CLR SCL = Cách nhập số liệu : 2; 0,4 M+ 5; 0,3 M+ 7; 0,3 M+ Cách đọc kết quả:  x     4, SHIFT S – VAR   x n     2,107 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 10 Ví dụ 3.4: Tung cùng lúc xúc xắc cân đối,đồng chất Gọi X là tổng số điểm nhận được Hãy tính E(X), D(X) Giải: Gọi Xi là sớ điểm của xúc xắc thứ i  1            1       5 1  Xi độc lập  D     D  1   D      D    5 D 1  X1 PX 1   1   , 6 Khoa Khoa Học Máy Tính 35 D 1   12 Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 11 §4: Kỳ vọng của hàm 1.Trường hợp rời rạc: Y      xi   pi  E (Y )    xi .pi i 2.Trường hợp liên tục:    f X  x    Y     x  f X  x  dx     cos x, x   0,      x   0 , x   0,       Tìm kỳ vọng và phương sai của Y= sinX Ví dụ 4.1: Cho   fX Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 12  /2  Y    Y sin x sin x cos xdx     /2 D Y   Y Khoa Khoa Học Máy Tính  /2 sin x sin x cos xdx    E Y    /2  1    12 Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 13 §5: Kỳ vọng của hàm   ,Y  1.Trường hợp rời rạc:    xi , Y  y j   pij Ví dụ 5.1:        xi , y j  pij i, j  Y   xi y j pij i, j 2.Trường hợp liên tục: (X,Y) liên tục và có hàm mật độ f(x,y) Ví dụ 5.2:       x, y  f  x, y  dxdy    R Z         u  x  y 1, (hình 5.1) f  x, y  8xy, nế 0 , nế u trá i lại Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 14 HÌNH 5.1 y   Khoa Khoa Học Máy Tính X Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 15      x f R2  Y   y f R2 y  x, y  dxdy  x, y  dxdy   X Y   xy f Khoa Khoa Học Máy Tính dy  y.8 xydx  x, y  dxdy  0   X   x  f R2 y dy  x.8 xydx  x, y  dxdy  0  Y   y  f R2  x, y  dxdy Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 16 §6: Các đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên 1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y)) Hiệp phương sai (covarian): Định nghĩa 6.1: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y – E(Y))] Định lý 6.1: cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y) Tính chất: (1) X,Y độc lập thì cov(X,Y) = (2) cov(X,X) = D(X) n m n  m  (3) cov    i ,  Y j    cov i , Y j  j 1  i 1  i 1 j 1 m m  m  (4) cov    i ,   k   D  i    cov  i , X k  k 1 i k  i 1  i 1 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 17 Hệ số tương quan Định nghĩa 6.2: RXY cov , Y     . Y  Tính chất: (1) X,Y độc lập  RY 0 (2) RXY 1, , Y (3) RXY 1  a, b, c : a  bY c Ý nghĩa: Hệ số RXY đặc trưng cho sự ràng buộc tuyến tính giữa X và Y: RXY càng gần1, thì X,Y càng gần có quan hệ tuyến tính  cov ,  ,cov , Y  Ma trận tương quan: D , Y     cov Y ,  ,cov Y , Y     Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 18 • Ví dụ 6.1:Cho các biến ngẫu nhiên có phương sai đều bằng 1 ,  , ,  m ; Y1 , Y2 , , Yn cov i ,  j   p1 ;cov Yi , Y j   p2 ;cov i , Y j   p3 Tìm hệ số tương quan của biến ngẫu nhiên: Giải: U 1      m  V Y1  Y2   Yn  n  m  m n cov U ,V  cov   i ,  Yi    cov i , Y j  m.n p3 j 1  i 1 j 1  i 1 m  m  m D U  cov   i ,  X k   D  i    cov  i ,  k  m  m(m  1) p1 i k  i 1 k 1  i 1 D V  n  n(n  1) p2 cov U ,V  m.n p3 RUV    U . V  m  m m  1 p1 n  n n  1 p2 Khoa Khoa Học Máy Tính Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 19 Cách dùng máy tính bỏ túi a)Loại ES: MODE STAT a+bx xi yi pij AC Cách đọc kết quả: SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT REG SHIFT STAT SUM Khoa Khoa Học Máy Tính x    X  x n    X  y   Y  y n   Y  r  RXY  xy    XY  Xác Suất Thống Kê Chương @Copyright 2010 20