Giải phương trình phi tuyến

Tìm nghiệm phương trình: fx=0Input data Xác định khoảng phân ly nghiệm [a, b] Hàm fx [a, b] Tìm nghiệm bằng một trong các phương pháp: Chia đôi/ Nội suy tuyến tính/ Newton-Raphson/ Cát

PHƯƠNG PHÁP SỐ

PHƯƠNG PHÁP SỐ

VÀ LẬP TRÌNH

GV: Hoàng Đỗ Ng ọ c Tr ầ m

Tìm nghiệm phương trình: f(x)=0

Input data

Xác định khoảng phân ly nghiệm

[a, b]

Hàm f(x)

[a, b]

Tìm nghiệm bằng một trong các phương pháp:

Chia đôi/ Nội suy tuyến tính/

Newton-Raphson/ Cát tuyến - Dây cung/Lặp liên tiếp

Output data

Phương pháp chia đôi

f(c)

c

Phương pháp chia đôi

1) Cho ph ươ ng trình f(x) = 0

2) Ấ n đị nh sai s ố

3) Xác đị nh kho ả ng phân ly nghi ệ m [a, b].

-N ế u f(a)=0 thì x=a là m ộ t nghi ệ m chính xác => STOP

-N ế u f(b)=0 thì x=b là m ộ t nghi ệ m chính xác => STOP

ε

-N ế u f(b)=0 thì x=b là m ộ t nghi ệ m chính xác => STOP

4) Ch ọ n đ i ể m c là đ i ể m gi ữ a c ủ a (a, b).

- N ế u f(c)=0 thì x=c là m ộ t nghi ệ m chính xác => STOP

- N ế u nh ư f (c) cùng d ấ u v ớ i f (a) thì thay kho ả ng (a, b) b ằ ng (c, b).

- N ế u nh ư f (c) cùng d ấ u v ớ i f (b) thì thay kho ả ng (a, b) b ằ ng (a, c).

L ặ p quá trình trên m ộ t s ố b ướ c nào đ ó, ho ặ c kho ả ng chia đ ôi bé h ơ n sai s ố

Phương pháp chia đôi

Phương pháp nội suy tuyến tính

Xác đị nh c?

c

c?

1) Cho ph ươ ng trình f(x) = 0

2) Ấ n đị nh sai s ố

3) Xác đị nh kho ả ng phân ly nghi ệ m [a, b].

4) Ch ọ n đ i ể m c là giao đ i ể m gi ữ a đườ ng th ẳ ng đ i qua hai đ i ể m (a, f(a)), (b,f(b)) và tr ụ c Ox.

ε

Phương pháp nội suy tuyến tính

(b,f(b)) và tr ụ c Ox.

- N ế u f(c)=0 thì x=c là m ộ t nghi ệ m chính xác => STOP

- N ế u nh ư f (c) cùng d ấ u v ớ i f (a) thì thay kho ả ng (a, b) b ằ ng (c, b).

- N ế u nh ư f (c) cùng d ấ u v ớ i f (b) thì thay kho ả ng (a, b) b ằ ng (a, c).

L ặ p quá trình trên m ộ t s ố b ướ c nào đ ó, ho ặ c kho ả ng chia đ ôi bé h ơ n sai s ố

( ) ( )

c

−

=

−

c=[af(b)-bf(a)]/[f(b)-f(a)] =

Phương pháp nội suy tuyến tính

Xét hàm f(x)

Khai tri ể n Taylor f(x) t ạ i đ i ể m x lân c ậ n đ i ể m x 0 :

Gi ả s ử : f(x 1 ) = 0, xét khai tri ể n Taylor t ạ i x 1 đế n g ầ n đ úng b ậ c 1:

Phương pháp Newton - Raphson

2

1 f(x) = f(x ) + (x - x )f'(x ) + (x - x ) f''(x ) +

2!

f(x )

T ươ ng t ự , ta có:

=> X n+1 là giao đ i ể m c ủ a đườ ng th ẳ ng qua (x n , f(x n )) và ti ế p tuy ế n v ớ i

đồ th ị f(x) t ạ i x n và tr ụ c Ox.

0

f(x ) f(x ) f(x ) + (x - x )f'(x ) x x

f'(x )

= − n n+1 n

n

f(x )

f'(x )

Phương pháp Newton - Raphson

1) Cho ph ươ ng trình f(x) = 0

2) Ấ n đị nh sai s ố

3) Xác đị nh kho ả ng phân ly nghi ệ m [a, b].

4) Ch ọ n đ i ể m c:

ε

n

= = − f(a )

- N ế u f(c)=0 thì x=c là m ộ t nghi ệ m chính xác => STOP

- N ế u nh ư f (c) cùng d ấ u v ớ i f (a) thì thay kho ả ng (a, b) b ằ ng (c, b).

- N ế u nh ư f (c) cùng d ấ u v ớ i f (b) thì thay kho ả ng (a, b) b ằ ng (a, c).

L ặ p quá trình trên m ộ t s ố b ướ c nào đ ó, ho ặ c kho ả ng chia đ ôi bé h ơ n sai s ố

1

n

n

+

f'(a )

Phương pháp Newton - Raphson

Đặ c đ i ể m:

-H ộ i t ụ nhanh h ơ n so v ớ i PP chia đ ôi và n ộ i suy tuy ế n tính

- Không đả m b ả o s ự h ộ i t ụ

Phương pháp dây cung – cát tuyến

S ử d ụ ng sai phân h ữ u h ạ n để tính x ấ p x ỉ đạ o hàm:

n n-1

f(x ) - f(x ) f'(x )

x - x

Phương pháp dây cung – cát tuyến

1) Cho ph ươ ng trình f(x) = 0

2) Ấ n đị nh sai s ố

3) Xác đị nh kho ả ng phân ly nghi ệ m [a, b].

4) Ch ọ n đ i ể m c:

ε

1

= − f(a ) = − a - a

PP n ội suy tuyến

tính, gi ớ i h ạ n 1

đầu

- N ế u f(c)=0 thì x=c là m ộ t nghi ệ m chính xác => STOP

- N ế u nh ư f (c) cùng d ấ u v ớ i f (a) thì thay kho ả ng (a, b) b ằ ng (c, b).

- N ế u nh ư f (c) cùng d ấ u v ớ i f (b) thì thay kho ả ng (a, b) b ằ ng (a, c).

L ặ p quá trình trên m ộ t s ố b ướ c nào đ ó, ho ặ c kho ả ng chia đ ôi bé h ơ n sai s ố

1 1

1

− +

−

f'(a ) f(a ) - f(a )

Phương pháp dây cung – cát tuyến

Phương pháp lặp

S ử d ụ ng phép bi ế n đổ i ,

công th ứ c l ặ p là

g(x) = T(f(x), x)

1

x = g(x )

- Dùng khảo sát pt nhiều nghiệm, có vài nghiệm đã biết

- Tính hiệu quả phụ thuộc việc chọn hàm g(x )

- Tính hiệu quả phụ thuộc việc chọn hàm g(x n )

Phương pháp lặp

Y=f(x)

Y=x

Bài tập