Chuyªn ®Ò Ph¬ng tr×nh bËc cao Chuyªn ®Ò Ph¬ng tr×nh bËc cao Chuyªn ®Ò Ph¬ng tr×nh bËc cao PhÇn I Ph¬ng tr×nh bËc ba I Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Cho ph¬ng tr×nh ax3 + bx2 +cx + d[.]
Chuyên đề : Phơng trình bậc cao Chuyên đề: Phơng trình bậc cao Phần I: Phơng trình bậc ba I.Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Cho phơng tr×nh ax3 + bx2 +cx + d = ( a ) (1) Giải phơng trình biết nghiệm x0 Phơng pháp chung Đoán nghiệm x0 phơng trình (1) phân tích (1) thành: ( x – x0)( ax2 + b1x + c1 ) = Chú ý: Dự đoán nghiệm dựa vào kết sau: NÕu a + b + c + d = th× (1 ) cã nghiƯm x = NÕu a - b + c - d = th× (1 ) cã nghiÖm x = - NÕu a,b,c,d Z (1) có nghiệm hữu tỷ p, q theo thø tù lµ íc cđa d vµ a NÕu a.c3 = d.b3 ( a, d ≠ 0) th× ( ) có nghiệm Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: a.2x3 + x2 - 5x + = b.2x3 + x + c.3x3 - 8x2 - 2x + = d x3 + x2 - =0 x-2 =0 Gi¶i a 2x3 + x2 - 5x + = (1 ) NhËn xÐt ph¬ng tr×nh (1) cã a + b + c + d = Do phơng trình (1) có nghiệm x = Phơng trình Vậy phơng trình có ba nghiƯm ph©n biƯt: x = 1; x = -2; x= (1) ; b.2x3 + x + = (2) Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn Chuyên đề : Phơng trình bậc cao Nhận xét: Phơng trình có: a - b + c - d = phơng trình có nghiệm x = -1 Phơng trình (2) Vậy phơng trình có nghiệm x=-1 c.3x3 - 8x2 - 2x + = (3) Giải Nhận xét: Phơng trình có: a = 3; d = a = có ớc số là: 1; 3; d = có ớc số là: 1; 2; Vậy phơng trình có nghiệm hữu tỷ giá trị sau: ±1; ±2; NhËn thÊy: x = lµ nghiƯm cđa phơng trình Phơng trình (3) Vậy phơng trình có ba nghiƯm ph©n biƯt: x = d x3 + x2 - x-2 ; x = 1± =0 Gi¶i NhËn xÐt: a.c3 = 1= d.b3 phơng trình có nghiệm ; Biến đổi phơng trình dạng Vậy phơng trình có nghiệm : Chú ý: Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn Chuyên đề : Phơng trình bậc cao 1.Khi đà thành thạo phơng pháp nhẩm nghiệm, không cần nêu nhận xét cho lời giải cho phơng trình 2.Nếu phơng pháp nhẩm nghiệm ta cã thĨ vËn dơng kiÕn thøc vỊ ph©n tÝch đa thức thành nhân tử phơng pháp đà học Ví dụ 2: Giải phơng trình: x3 - x2 + 7x - =0 (1) Giải Biến đổi phơng trình dạng Vậy phơng trình có ba nghiệm phân biệt: ; ; II.Cách giải phơng trình bậc ba trờng số phức Cho phơng trình: x3 + ax2 +bx + c = (1) Cách giải đợc thực theo bớc sau: Bớc 1: Làm số hạng ax2 đa phơng trình dạng y3 + py + q =0 Đặt ta đợc Đặt: và ta đa phơng trình (1) dạng: y3 + py + q = (2) Nh ta cần tìm cách giải phơng trình (2) Bớc 2: Đặt y = u + v phơng trình (2) trở thành: Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn Chuyên đề : Phơng trình bËc cao (u + v)3 + p(u + v) + q = (3) hay u3 + v3 +( u + v )( 3uv + p ) + q = (4) Nếu tìm đợc u,v thoả mÃn hệ phơng trình: u,v thoả mÃn phơng trình(4) Do thoả mÃn phơng trình (3):nghĩa y=u + v nghiệm phơng trình (2) Bớc3: Giải hệ gồm hai phơng trình (5) (6) Chia hai vế phơng trình (6) cho lập phơng hai vế ta đợc hệ: Theo định lý Viét (5) (7) chứng tỏ u , v3 hai nghiệm phơng trình bậc hai: Vậy : Do đó: Suy ra: Công thức nghiệm đợc gọi công thức Cacđanô Chú ý: -Trên trờng số phức bậc ba có ba giá trị Tuy nhiên chọn cặp giá trị u, v tuỳ ý mà lấy cặp giá trị thoả mÃn đẳng thức (6) Gọi giá trị phức bậc ba (1), Chẳng hạn ta có = Nếu đà chọ đợc cặp u, v thoả mÃn đẳng thức (6) thì: Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn Chuyên đề : Phơng trình bậc cao nh vậy, đặt u1 = u, v1 = v dễ thấy cặp (u2,v2); (u3,v3) sau đây; u2 =u, v2 =v2; u3 = v2 , v3 =u nghiệm hệ gồm phơng trình (5) (6) Khi giải phơng trình bậc ba áp dụng công thức Cacđanô với ý Song ta nên nhớ bớc giải nêu có ta quên công thức Một số tập phơng trình bậc ba Bài 1: Giải phơng trình sau: a.4x3 + 5x2 - 2x - = (1) b.-2x3 + 11x2 - 2x - = (2) c x3 + 5x2 + 2x - = (3) d.-x3 + 5x2 +22x - 26 = (4) e.4x3 + 5x2 + 2x +3 = (5) f.-2x3 + 5x2 - = (6) g x3 - 5x2 - x - = (7) h.4x3 + 3x +7 = (8) Bài 2: Giải phơng trình sau: a.8x3 -1 = (1) b.9x3 + = (2) c x3 + 3x2 + 3x +1 = (3) d.x3 - 3x2 +3x - = (4) e x3 + 3x2 + x+3 = (5) f.x3 + 5x2 +10x +50 = (6) Bài 3: Giải phơng trình sau: a.4x3 - 10x2 + 6x - 1= (1) b.8x3 - 36x2 + 27 = (2) c x3 - 5x2 + 7x - = (3) c x3 + 6x2 + 30x + 25 = (5) d x3 - 6x - = (4) h x3 - 3x2 - 3x + 11 = (6) Phần II: Phơng pháp giải phơng trình bậc bốn I.Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Cho phơng trình: ax4 + bx3 + cx2 +dx + e = ( a ) (1) Gi¶i phơng trình biết nghiệm x0 Phơng pháp chung Đoán nghiệm x0 phơng trình (1) Phân tích (1) thµnh: (x – x0)( ax3 + b1x2 +c1x + d1) = Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn Chuyên đề : Phơng trình bậc cao Để giải (2) ta áp dụng phơng pháp đà biết để giải: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Chú ý: Dự đoán nghiệm dựa vào kết sau: -NÕu a + b + c + d + e = th× (1) cã nghiƯm x = -NÕu a - b + c - d + e = th× (1) cã nghiƯm x = -1 -NÕu a, b, c, d, e, nguyên (1) có nghiệm hữu tỷ p, q theo thứ tự ớc số e a Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: a x4 - 4x3 - x2 + 16x - 12 = Gi¶i: a x4 - 4x3 - x2 + 16x - 12 = NhËn xÐt: a + b + c + d + e = phơng trình (1) có nghiệm x = Biến đổi phơng trình dạng Vậy phơng trình có nghiệm phân biệt: x = 1; x = 2; x = -2; x = 3; Chó ý: -Khi đà thành thạo cách nhẩm nghiệm không cần nêu nhận xét lời giải cho phơng trình -Nếu Phơng pháp nhẩm nghiệm tác dụng vận dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử ý tởng thờng đợc thực chuyển đa thức Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn Chuyên đề : Phơng trình bậc cao bậc bốn vỊ d¹ng: A2 – B2 = 0(A – B)(A +B) = Khi đợc tích hai tam thức bậc hai Do việc giải phơng trình bậc đợc quy giải phơng trình bậc Đây ý tởng chủ đạo để giải phơng trình bậc bốn Ví dụ 2: Giải phơng trình sau: a x4 - 3x2 - 4x - = b x4 + 2x3 + 10x - 25= Gi¶i: a.x4 - 3x2 - 4x - = (1) (1) ( x4 - 2x2 + )- ( x2 - 4x + )= ( x2 – ) - ( x + ) = ( x2 - x - ) ( x2 + x + )= VËy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: b x4 + 2x3 + 10x - 25= (1) ( x4 + 2x3 + x2 )- ( x2 - 10x + 25 )= ( x2 + x ) - ( x - ) = ( x2 + 2x - ) ( x2 +5 )= Vậy phơng trình có hai nghiệm: II.Phơng pháp đặt ẩn phụ Dạng 1: Giải phơng trình trùng ph¬ng: ax4 + bx2 + c = ( a 0) (1) Phơng pháp chung Bớc 1: Đặt t = x2 ( t ) Khi phơng tr×nh (1) at2 + bt + c = (2) Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn Chuyên đề : Phơng trình bậc cao phơng trình bËc Èn t Bíc 2: KÕt ln vỊ nghiƯm phơng trình (1) Nếu (2) có nghiệm t0 phơng trình (1) có nghiệm x = Ví dụ 1: Giải phơng trình: x4 - 3x2 - = (1) Giải Đặt t = x2 ( t ) Khi phơng trình (1) t2 - 3t - = Víi t = x2 = x = Vậy phơng trình có nghiệm phân biệt: x = Dạng 2: Giải phơng trình hồi quy: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (a 0) (1) víi ; e Phơng pháp chung Bớc 1: Nhận xét x = nghiệm phơng trình Chia vế phơng trình đà cho x2 ta đợc: Bớc 2: Đặt: Khi (2) (Đây phơng tr×nh bËc quen thc ) Bíc 3: KÕt ln nghiệm phơng trình (1) Lu ý: Trong trờng hợp đặc biệt: , tức phơng trình có d¹ng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = ta có cách giải tơng tự Ví dụ 2: Giải phơng trình hồi quy: Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn Chuyên đề : Phơng trình bậc cao 2x4 - 2x3 + 74x2 - 105x + 50 = (1) Giải Nhận xét x = nghiệm phơng trình Chia vế phơng trình đà cho x2 ta đợc: Đặt phơng trình có dạng: +Với +Với Vậy phơng trình có nghiệm phân biệt: x1 = 1; x2 = 5; x3 = 2; Chó ý: Nhiều phơng trình ban đầu phơng trình dạng hồi quy hay phản hồi quy, nhiên với cách đặt ẩn phụ phù hợp ta chuyển chúng dạng hồi quy phản hồi quy, từ áp dụng phơng pháp đà biết để giải Ví dụ 3: Giải phơng trình : ( x -2 )4 + ( x – )( 5x2 -14x + 13 ) +1= (1) Nhận xét: Đây phơng trình hồi quy, nhiên đặt ẩn phụ thích hợp ta có phơng trình hồi quy Đăt y = x đó: Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn Chuyên đề : Phơng trình bậc cao Nhận xét y = nghiệm phơng trình Chia vế phơng trình đà cho y2 ta đợc: Đặt điều kiện: t phơng trình có dạng: Với Vậy phơng trình có nghiệm phân biệt: ; Dạng 3: Giải phơng trình: ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) = m (1) Víi a + b = c + d Phơng pháp chung Bớc 1: Viết lại phơng trình dới dạng: Bớc 2: Đặt: Khi đó: (2) t(t-ab+cd) = m ( 3) Đây phơng trình bậc hai quen thc Bíc 3: KÕt ln vỊ nghiƯm cđa ph¬ng trình (1) Ví dụ 1: Giải phơng trình: ( x + )( x + )( x + 3)( x + ) =3 (1) Gi¶i: Ta thÊy: + = +3 nên ta viết lại phơng trình nh sau: Đặt Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn 10 Chuyên đề : Phơng trình bậc cao Khi ®ã (2) Víi t = Víi t = -3 ( phơng trình vô nghiệm ) Vậy phơng trình có nghiệm phân biệt: : Chú ý: Phơng trình đợc mở rộng cho lớp phơng trình ( a1x + a2 ) ( b1x + b2 ) ( c1x + c2 ) ( d1x + d2 ) = m (1) Với điều kiện: Khi ta đặt: t = ( a1x +a2 ) ( b1x +b2 ) VÝ dô 5: Giải phơng trình: ( 2x - )( x - )( x - )( 2x + ) = (1) Giải: Viết lại phơng trình dới d¹ng: ( 2x2 - 3x + ) ( 2x2 - 3x - ) = -9 (2) Đặt t = 2x2 - 3x + 2x2 - 3x – = t – 10 Khi ®ã (2) Víi Với Vậy phơng trình có nghiệm phân biệt: ; ; Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn ; 11 Chuyên đề : Phơng trình bậc cao Dạng 4: Giải phơng trình: ( x+ a )4 + ( x+ b )4 = c (1) Phơng pháp chung Thực theo bớc sau: Bớc 1: Đặt: Khi phơng trình đà cho có dạng: Đây phơng trình trùng phơng mà ta đà biêt cách giải Bớc 2: Kết luận nghiệm phơng trình (1) Ví dụ 6: Giải phơng tr×nh: ( x+ )4 + ( x+ )4 = (1) Giải: Đặt: Khi (1) ( t – )4 + ( t +1 )4 =2 2t4 + 12t2 + =2 2t4 + 12t2 = t4 + 6t2 = t2 (t2 + 6) = t = Víi t = x + = x =- Vậy phơng trình có nghiêm x = - Dạng 5: Giải phơng trình: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (1) Phơng pháp chung Thực theo bớc sau: Bớc 1: Biến đổi phơng trình dạng: A( x2 + b1x +c1 )2 + B( x2 + b1x +c1 )2 + C = (2) Bớc 2: Đặt t = x2 + b1x +c1 Khi ®ã: (2)A.t2 + Bt + C = ( Đây phơng trình bậc theo t ) Bíc 3: KÕt ln vỊ nghiƯm phơng trình (1) Ví dụ 7: Giải phơng trình: x4 - 8x3 + 7x2 + 36x - 36 = (1) Giải: Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn 12 Chuyên đề : Phơng trình bậc cao Viết lại phơng trình dới dạng: ( x2 4x )2 - 9( x2 – 4x ) + 36 = (2) Đặt t = x2 4x Khi (2) t2 9t + 36 = Vậy phơng trình ®· ch cã nghiƯm ph©n biƯt: x = 1; x = -2; x= 3; x = 6; Chó ý: -Bài toán đợc giải phơng pháp đoán nghiệm phân tích thành nhân tử , nhng phơng pháp pháp đặt ẩn phụ đợc u tiên, nhiều trờng hợp ta đoán đợc nghiệm x0 rồi, nhng phơng trình g(x) = không dự đoán đợc nghiệm, ta phải giải phơng trình dạng bậc ba tổng quát Nh khó khăn -Cách đặt ẩn phụ cho phơng trình bậc bốn phong phú đa dạng tuỳ thuộc vào đặc thù toán Trên minh hoạ kiểu đặt ẩn phụ Ví dụ 8: Giải phơng tr×nh: 2(x2 - x + 1)2 + x3 + = ( x+ )2 (1) Gi¶i: NhËn xÐt: x = -1 nghiệm phơng trình ta chia c¶ hai vÕ cho ( x+ )2 ta đợc phơng trình sau: Đặt Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn 13 Chuyên đề : Phơng trình bậc cao Với ( Vô nghiệm ) Với Vậy phơng trình có nghiệm: ; Ví dụ 9: Giải phơng trình: 2x4 + 3x3 16x2 + 3x +2 = (1) Giải: Nhận xét: x = không nghiệm phơng trình.Chia hai vế phơng trình cho x2 ta đợc phơng trình tơng đơng: Đặt: (2) Với Với Vậy phơng trình có nghiệm phân biệt: ; ; ; Ví dụ 10: Giải phơng trình: ( x + ) ( x + )( x + ) ( x + 8) = (1) Giải: Viết lại phơng trình dới dạng: ( x2 +12x +32 ) ( x2 +12x +35 ) = (2) Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn 14 Chuyên đề : Phơng trình bậc cao Đặt t = x2 +12x +32 x2 +12x +35 = t +3 Khi (2) có dạng: t( t + ) = t2 + 3t - = Víi t = 1 x2 +12x +32 = x2 +12x +31 = Víi t =-4 x2 +12x +32 =-4 x2 +12x +36 = (x + )2 =0 x = -6 Vậy phơng trình có ba nghiệm: ; ; ; Phơng trình đa thức bậc lớn bốn Nhà toán học Aben (1802-1829), ngời Na Uy đà chứng minh đợc: Định lý: Phơng trình đa thức tổng quát bậc n không giải đợc thức Phải dùng lý thuyết Galoa để chứng minh định lý Đó lý thuyết sâu sắc, nằm khuôn khổ chuyên đề Theo định lý Aben nói trên, công thức chung để giải phơng trình đa thức bậc n Song phơng trình có dạng đặc biệt, muốn tìm nghiệm đặc biệt lại có phơng pháp riêng: nh Đặt ẩn phụ, đa phơng trình tích Ví dụ1: Giải phơng trình: x6 + 3x5 + 6x4 + 7x3 + 6x2 +3x + = ( 1) Giải: Nhận xét: Phơng trình có dạng đặc biệt, vế trái đa thức bậc chẵn mà hệ số cách hai đầu Ngời ta gọi phơng trình thuận nghịch bậc 2k (chẵn) Phơng pháp chung để giải nh sau: Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn 15 Chuyên đề : Phơng trình bậc cao Vì x = nghiệm phơng trình nên chia hai vế cho xk Cụ thể k = 3, chia hai vế cho x3, ta đợc phơng trình: Đặt: Do (2) y3 + 3y2 +3y + = ( y + )3 = y = -1 phơng trình vô nghiệm Vậy phơng trình đà cho vô nghiệm trờng số thực Ví dụ 2: Giải phơng trình: 3x5 + 10x4 + 7x3 + 7x2 + 10x + = ( 1) Giải: Nhận xét: Vế trái phơng trình đa thức bậc lẻ mà hệ số cách hai đầu đợc gọi phơng trình thuận nghịch bậc lẻ Phơng trình có nghiệm x =-1.Vì có dạng:(x +1)Q(x)= Ta nhận thấy phơng trình Q(x) = lại phơng trình thuận nghịch bậc chẵn Cụ thể phơng trình đà cho viết: ( x + )( 3x4 + 7x3 + 7x + 3) = Phơng trình: 3x4 + 7x3 + 7x + = phơng trình thuận nghịch bậc chẵn Chia hai vế phơng trình cho x2 ta đợc: Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn 16 Chuyên đề : Phơng trình bậc cao Đặt: ta có: Với Phơng trình vô nghiệm trờng số thực Vậy phơng trình đà cho có nghiệm phân biệt: x=1; Bài tập: Bài 1: Giải phơng trình: a.2x4 13x3 + 24x2 – 13x + = b x4 – 10x3 + 11x2 – 10x + = c.x5 - 11x4 - 11x + = d.x4 – 2x3 - 8x2 + 13x - 24 = e.x4 + 5x3 + 7x2 - = f.x4 – 4x3 + 3x2 + 2x - =0 g.x4 – x3 - x2 + 2x - = h.3x5+10x4+7x3 +7x2 +10x +3 = i.3x5 - 10x4 + 3x3 +2x2–10x +3 = j.x5 - 2x4 - 4x3 + 4x2 – 5x + = l.x5 - 4x4 - 3x3 - 3x2 – 4x + = m.x6+3x5+6x4+7x3+6x23x+1 = Bài 2: Giải phơng trình: a.x4 + 5x3 + 10x2 + 15x + = b x4 +5x3 - 14x2 – 20x + 16 = c x4 + 10x3 + 26x2 + 10x + = d x4 - 4x3 + 6x2 - 4x + =0 Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn 17 Chuyên đề : Phơng trình bậc cao e x4 - 2x3 - x2 - 2x + = g x4 + x3 - x2 - 2x + = h 2x4 + x3 - 4x2 + x + = i 2x4 + x3 - 11x2 + x + 2=0 k x4 - 7x3 + 14x2 -7x + = l x4 + x3 - 10x2 + x + =0 m 6x4 + 7x3 - 36x2 - 7x + = n.x4 – 4x3 + 2x2 + 4x - = Bài 3: Giải phơng trình: a.( x + ) ( x + )( x - ) ( x – ) = 280 b.(x +1 )( x + 2) ( x + )( x + 7)= c.( x + ) ( x + )( x + ) ( x +6 ) = d.(x2 + 7x +12)(x2 -15x +56) = 180 e.(x + )4 – ( x +1 )4 = 80 f.(x + )4 + ( x +5 )4 = g.(2x2 + x )2+ 2x( 2x + ) - = h.(x-90)(x-35)(x +18) (x+7)=-1080x2 Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn 18 Chuyên đề : Phơng trình bậc cao Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng S¬n 19