Chuyen de can bac hai on thi vao 10 THPT

[r]

(1)

Chuyên đề 1: phép toán căn Bổ xung lí thuyết

thay đổi cách viết đẳng thức- kết hợp với lập công thức truy hồi dạng đơn giản:

1/ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2  a2 + b2 = (a + b)2-2ab 2/ (a-b)2 = a2-2ab + b2  a2 + b2 = (a-b)2 + 2ab

3/ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

 a3 + b3 = (a + b)3 -3ab(a + b)

Và tơng tự ta có: a3- b3 = (a-b)3 + 3ab(a-b)

Nhận xét : biết tổng, tích hiệu tích hai số thực ta tính đợc giá trị biểu thức an  bn mà khơng cần tính giá trị a b; khơng cần khai triển

Niut¬n

vÝ dơ ¸p dơng :

cho a; b lµ hai sè thực thoả mÃn: a + b = ab =-2 , tÝnh : a2 + b2 ; a3 + b3; a5 + b5

giải:

chứng minh công thức phần a2 + b2 = ; a3 + b3 = 20

a5 + b5 = (a2 + b2)(a3 + b3)-a2b2(a + b) = 8.20 – 4.2 = 152

Bµi tËp :

cho a; b hai số thực thoả mÃn: a + b = vµ ab = , tÝnh : a2 + b2 ; a3 + b3; a5 + b5; a7 + b7

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định f x( ) có nghĩa  f(x)  0

 chó ý : hµm hợp thông thờng kèm theo điều kiện có nghĩa hàm phân, kết hợp phảI dùng trục số, với hàm vô tỉ có nhiều lớp tìm điều kiện từ

Vớ dụ: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: 1/ A =

1

3

x x  

 2/ B = 3 x 3/ C = x24x5

Gi¶i:

1/ A cã nghÜa 

1

x x

   

 

  1 x

2/ B cã nghÜa

0 0

0

9

3

x x x

x x

 

   

 

        



  

  

 

3/ V× x2 + 4x + = (x + 2)2 + > víi mäi x nªn C cónghĩa với x

* Đặc biệt công thøc A B  A B ( A 0;B 0) hc

A A

B  B

(A 0; B>0) (A 0;B 0) (A 0; B>0) giao hai tập xác định, nên có thể có tập nh sau:

Cho A = (x1)(x 3) B = x1 x tìm x để a/ A có nghĩa; B có nghĩa

b/ A có nghĩa B vô nghĩa c/ A = B

Gi¶i:

a/ A cã nghÜa (x – 1)(x – 3) 0 th1:

1

3

x x

x

x x

  

 

  

 

  

  th2:

1

3

x x

x

x x

  

 

  

 

  

 

B cã nghÜa 

1

3

x x

x

x x

  

 

  

 

  

 

(2)

c/ Tõ kÕt phần a A = B x3

Học sinh sai lầm coi nh câu hỏi c thừa học sinh nghĩ A = B sách giáo khoa khẳng định

Bµi tËp:

1/ Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: A =

1

2

x

x  

 B = 2008 2 x C =

2008

x 2/ Tìm x để biểu thức sau có bậc hai:

A = 3x – B = x2 – x + 2 C = 5 x1

3/ Cho A =

3

x x 

 vµ B =

3

x x 

 tìm x để a/ Chỉ A có nghĩa cịn B vơ nghĩa

b/ A = B

Dạng 2: Chứng minh số số vô tỉ

Về phơng pháp: R có hai tập số Q I dùng lí thuyết phản chứng để chứng minh, với giả sử số Q tối giản

VÝ dô: chøng minh 2; 5là số vô tỉ dựng điểm trục số Giải:

* Giả sử lµ sè Q 

m n 

víi m; n  Z+ vµ (m ; n) =  m2 = 2n2 m2 lµ sè

ch½n  m = 2m1(m1 Z+)  n2 =

2

2m n ch½n n = 2n1(n1 Z+)

(m ; n)  tr¸I với giả thiết giả sử sai 2là số I

Vì ( 2)2 = 12 + 12 2là độ dài cạnh huyền tam giác vng có độ dài hai cạnh

góc vng hình đợc dựng nh sau điểm B im 2trờn trc s

* Giả sử sè Q 

m n 

víi m; n  Z+ vµ (m ; n) =  m2 = 5n2 m2 lµ sè cã

tận m = 5m1(m1 Z+)  n2 =

2

5m n có tận n = 5n1(n1 Z+)

(m ; n)  trái với giả thiết giả sử sai 5là số I

Vì ( 5)2 = 22 + 12 cách dựng tơng tự

Dạng 3:

Tìm số hữu tỉ phơng trình có hệ số vơ tỉ (thơng thờng có phần ph-ơng trình bậc hai, có kỳ thi học sinh giỏi huyện đề cập đến)

Chú ý : a số vô tỉ ; b số hữu tỉ tích a.b tổng (a + b) ln số vơ tỉ đẳng thức a.b = c với a; c hữu tỉ b vơ tỉ a = c = 0

Ví dụ: cho phơng trình bậc hai : x2 + bx-c + = víi b ; c lµ số hữu tỉ.

A

2

(3)

Tìm b c biết phơng trình có nghiệm số vô tỉ Giải:

Thay x = vào phơng trình ta cã: b 2-c + =  b = c

Vì c số hữu tỉ; số nguyên c số hữu tỉ b phảI số hữu tØ

c – = đồng thời b = (vì số vơ tỉ) c = v b =

Bài tập:

Tìm số hữu tỉ a b biết phơng trình x2 + bx + a – = cã mét nhgiƯm lµ

+ vµ số vô tỉ

Dạng 4: Các tính toán thông thờng

Phng phỏp: dựng cỏc cụng thc biến đổi thông thờng mà sgk nêu quy tắc khai phơng tích nhân bậc hai; quy tắc khai phơng thơng chia hai bậc hai; biến đổi đơn giản bậc hai Do nhìn vào biểu thức tính phảI khoanh vùng phép tốn, hay nói cách khác xác định cơng việc phảI làm phép tốn đó để đa biểu thức đồng dạng sau đơn giản đồng dạng với Sau ví dụ:

TÝnh A =

2 10

24

3

 



Nh×n vào ta thấy hạng tử đầu đa thừa số phơng dấu bậc hai; hạng tư thø hai lµ khư mÉu cđa biĨu thøc lÊy bậc hai; hạng tử thứ ba trục thøc ë mÉu

A = 6 2   nhìn vào ta thấy có hạng tử đồng dạng

A = 6 2

* Chú ý: phép trục mẫu phân thức tử mẫu có bậc hai tổng hiệu nhiều khả có nhân tử chung

( với để ý tránh đợc khó khăn thực trục) Ví dụ: Tính A =

2 15 10 5(2 2) 35

7

84 7(2 2)

 

  

Dạng 5: phá hai lớp A m B (B không chứa thừa số phơng)

Phơng pháp:

TH1: m chn m B hai lần tích hai số; A tổng bình phơng hai số đó TH2: m lẻ nhân tử mẫu với biến đổi nh TH1

Trong hai trờng hợp nhỏ hai lần tích phảI sử dụng tính chất kết hợp phép nhân Ví dụ: m B 12

V× 12 2.(6 6).1 2.6 2.(6 2) 2.(6 3) 2.(2 3).(3 2) 2.(2 2).(3 3)     

Do vËy A cã thĨ lµ 217; 42; 75; 110; 30; 35

VÝ dô:

1/





2

5 6  2 2  3

= 3  3 ( v× 3 2>0)

2/ 4 =

2

2 2

2

8 7 7.1

2 2

 

   

   

 

  =

7 14

2 2

  

 

V× >  7- > 

7



(4)

3/









2

31 12 3  3  2.3 3.2 2  3 2 3 2 3

vì 3 > nên 3-2 >

Chú ý : xếp đẳng thức (a  b)2 thì cố gắng xếp a > b để a  b > tránh

khi sót điều kiện bỏ dấu trị tuyệt đối mà không bị trừ điểm

TH3: biểu thức tính có liên hợp bình phơng hai vế, nhng trớc bình phơng phảI xét dấu biểu thức, để lấy dấu khai phơng trở lại

( Do x2 = a ; a 0 x =  a)

VÝ dô: TÝnh A = 4 - 4 Ta cã 4 < 4  A < Ta cã A2 =





2

4 7 4  4 4  4 

=8 2 

 A =- (v× A < 0)

TH4: với nhiều lớp nguyên tắc nh TH1 TH2 với ý phảI phá từ trong từ phảI sang trái

Dạng 6: So sánh

Phng phỏp: gi s A  B sau bình phơng hai vế hai vế không âm, dẫn đến điều giả sử cịn dẫn đến điều vơ lí thi kết luận ngợc lại Ví dụ: So sánh: 13 15 với 14(1)

Gi¶ sư: 13 15  14  ( 13 15)2  (2 14 )2  13 15 13.15 4.14  





 



2

2 13.15 2.14 13.15 14  14 14 1 14

vô lí giả sö sai VËy 13 15 < 14

Chú ý tốn thay đổi

C1: So sánh 15 14 với 14 13 phảI giả sử 15 14 14 13 đa (1)

C2: So sánh 13 15 với 57 làm nh ví dụ sau khẳng định

2 14< 57 để suy 13 15< 57

Nhận xét : tổng hai lẻ liên tiếp nhỏ lần chẵn xen giữa

Bài tập áp dụng :

So sánh: 2009 2011 2010

Dạng 7: Bài toán có quy luật

Thông thờng toán tính tổng nhiều phân thức mẫu tổng liên tiếp; toán có nội dung hình häc

Chó ý r»ng nÕu n < S < n + ( với n tự nhiên ) S không tự nhiên (lý thuyết kẹp) Các ví dụ:

1/ TÝnh A =

1 1

1  2 3  98 99 99 100

=

1 2 98 99 99 100

   

   

   

=

1 2 98 99 99 100

1

       

 =

1 100

1



(5)

2/ TÝnh A =

1 1

2 1 2 3    99 98 98 99 100 99 99 100  

Ta cã :





















2

( 1)

1

( 1)

1 1

n n n n

n n n n

n n

n n n n n n n n

               =





( 1)

n n

n n n n

 

 

  (1) với n tự nhiên khác 0 áp dụng (1) ta cã

A =

1 1 1 1

1  2 3  98 99 99  100 =

1 1

1

10 10

1 100   

Quy luật nghịch đảo thứ trừ nghịch đảo cuối ( khơng tính hệ số hay hệ số )

3/ cho a; b; c m; n; t thứ tự độ dài cạnh tơng ứng hai tam giác đồng dạng CMR: am bn ct 



a b c m n t

 

GiảI : theo ta có: k =

a b c a b c m n t m n t     

  ( k > 0)

 a = km ; b = kn ; c = kt 





2 2

am bn ct  km  kn  kt  k m n t 

=











 



2 a b c

k m n t m n t a b c m n t

m n t  

         

 

4/ Cho S =

1 1

1

2 99 100

    

Chøng minh S không phảI số tự nhiên Giải:

Ta cã : 2( n n1) =





n

2 2

1

n n  n n  n  n (1)

Ta cã :









2 2

2

1

n n

n n n n n n n n

 

      

     (2)

¸p dơng (1) ta cã:





1

2

2   ;





1

2

3   ; ;





1

2 99 98

99   ;





1

2 100 99

100  



1 1

1

2 99 100

    

<1 + 2







1 1

1

2 99 100

    

< + 2









1

2

2   ;





1

2

3   ; ;





1

2 100 99

99   ;





1

2 101 100

100  



1 1

1

2 99 100

    

>1 + 2





(6)

Nhận xét : áp dụng (2) sử dụng biện pháp làm trội 101với 100; giữa2 2 với

5/ Chøng minh r»ng :





2 2

1 1 1

a b  a b a b a b   (1)

¸p dơng tÝnh: A =

2

999 999

1 999

1000 1000

  

Gi¶i:

 Vì hai vế (1) dơng nên bình phơng hai vế (1) ta đợc điều phảI chứng minh

 A =

2

2 2

1 1 999

999

999 1000 1000

 

  

 

  =

1 1 999

999

999 1000 1000

 

  

 



=1000

6/ Trục Đa nô ( hay gọi nhân với biểu thức liên hợp ) dạng tổng quát: Tìm quan hệ x y biÕt:







2

x x a y y a a

(1) víi a khác Giải:

nhân hai vế với



 



2

x x a y y a

ta cã:



x

a y

 

y

a



a

    



x

a y

 

y

a







 



2

x x a y y a

= a (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã:







2

x x a y y a

=



 



2

x x a y y a

2

2x y a 2y

  

x a TH1: x = y =

TH2: x y hai số trái dấu



2

x y a 

(- y x2a)2  x2 y2  x y x y x y đối nhau

Bµi tËp ¸p dơng :

Cho hai sè thùc x vµ y tho¶ m·n:



x



y



    

TÝnh A = x2009 + y2009

Giải:

nhân hai vÕ víi



 



2 2008 2008

x x  y y 

ta cã:



x

 

y



    



x

 

y







 



2 2008 2008

x x  y y 

= 2008 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã:



 



2

2008 2008

x x  y y 

=







2

2008 2008

x x  y y 

2

2x y 2008 2y

   x2 2008



TH1: x = y =

(7)







x y  

(- y x22008)2  x2 y2  x y x y x y đối nhau Nên A = + = ; A = (- y)2009 + y2009 =-y2009 + y2009 = 0

VËy A =

Bµi tËp :

Cho hai số thực x y thoả mÃn:





2 2009 2009 2009

x x  y y   tÝnh E = x + y

7/ Cho A =

1 1

1 2  99  100 chøng minh r»ng A > 10

Gi¶i: Ta cã

1 1

1   99  100

V×:

1

10

100  nªn

1

10 99  ; ;

1

10

2  ;

1

10

1 

Cộng bất đẳng thức chiều ta có:

1 1

1   99  100 > 100.

10 = 10 VËy A > 10

Quy luật cuối bao già số phơng; phân thức có tử mẫu tăng dần nên giá trị phân thức giảm dần

Bài tập áp dụng:

Chứng minh r»ng:

1 1

1 2  63 64 > 8

D¹ng 8: Phép toán với bậc cao:

B xung lí thuyết : nâng số thức củana (cũng hạ đợc số nhng dễ nhớ giới thiệu chiều nâng số căn)

1/ n a nkak víi mäi n vµ k lµ số tự nhiên khác a không âm 2/ n tự nhiên lẻ; a < có hai trờng hợp

TH1: k lẻ ta có na nkak TH2: k chẵn na nkak

3/ tính tổng bậc trờng hợp có biểu thức liên hợp đặt ẩn phụ để đa phơng trình tích s lớ

Ví dụ: Tính giá trị biểu thức sau đây:

A = 35 7  35 7 B =





5

101 19 10 2

2

Giải:

a/ Đặt 35 7 = a ; 35 7 = b A = a – b  A3 = (a – b)3

 A3 = a3 – b3 – 3ab(a – b) = a3 – b3 – 3ab.A

 A3 =



 



3

5 7 7     

.A

 A3 = 14 – 3A  A3 + 3A – 14 =  (A – 2)(A2 + 2A + 7) =  A – = 0

 A = ( v× A2 + 2A + = (A + 1)2 + > víi mäi A)

(8)

b/ B =









2 10

10 19 10 2

2

 

   

  v× 3 2 < 2 5 nªn 3 2-2 5< 0

B =-



 



10 19 10 19 10

=-1

Một số tập

1.Tính giá trị biểu thức sau:

A = 40 12 2 75 48 ; B =

1 20 125 45 15

5

  

C =



 



D =

















2

2 3

:

3

   

 

; E =

2 2

3 12

3  

F =





2

7 2 35

; G =





15 12

6 11

6 6

 

  

 

  

 

2 TÝnh : A =

6 14 45 243

2 28

 



  ; B =

1

7 24 1  7 24 1

C =

1

2 3 3  3 ; D =



 



2

8

5



 

E =

3 5

2 2

 



    ; F =









1

9 5   5 

3 TÝnh:

A = 2  2 ; B = 40 57  40 57

C = 4 10 5  4 10 5 ; D = 35 12 6  35 12 6

E = 8 8 20 40 ; F =



 



K = 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 TÝnh: A = 326 15 3  326 15 3 ; B =





3

26 15 3

9 80 80

 

  

C = x3 + 3x + t¹i x =

3

1

2

  

D = 2 2 2

1 1 1

1

2 3 99 100

        

E =

1 1

(9)

5 Cho 16 2 x x  2 x x 1 tÝnh: S = 16 2 x x  2 x x Cho



 



2

1

xy x y a

tÝnh S =

2

1

x y y x theo a Tìm tất số nguyên dơng x y thoả mÃn: x y 1980 Cho số dơng thoả mÃn: xy + yz + zx = tính giá trị

A =



 





 





 



2 2

1 1 1

1 1

y z x z x y

x y z

     

 

  

9 t×m tất số nguyên dơng thoả mÃn:

1 1

a b c a b c a b c

     

 

   



10 Cho số thực thoả mÃn:





2 3 3 3

x x  y y  

tÝnh E = x + y 11 Cho số thực thoả m·n: x y  y z  z x chøng minh r»ng:

1 1

x yz  12 Chøng minh r»ng víi sè thùc không âm thì:

a b c ab bc ca  a b c  13 Cmr: nÕu x y z 0 th×:

1 1

0

y z x  z x y  x y z   14 Cho số thực đôI khác CMR:













1 1

a b  b c  c a

lµ mét sè hữu tỉ

15 Cho số thực thoả mÃn: ab + bc + ca = k (k h÷u tØ) CMR:



 



2 2

k a k b k c

số hữu tỉ 16 Đặt :

1 1

; ;

x y z

b c c a a b

  

   CMR: a + c = 2b  x + z = 2y

17 Cho P =

2 3 2

:

9

3 3

x x x x

x

x x x

     

  

   

       

   

a/ Rút gọn tìm x để P <-0,5 b/ tìm giá trị nhỏ P 18.Cho P =





2 2 2 1

1

x

x x x x



 

a/ Rút gọn tìm giá trị nhỏ P

b/ Tỡm x nguyên dơng thích hợp để giá trị biểu thức

2 x

P nguyªn

(10)

a/ CMR: am bn ct 



a b c m n t

 



b/ Với giả thiết tam giác vng có a t độ dài cạnh huyền ta ln có: am = bn + ct

21 Cho A = a a ab vµ B = b b abchứng minh a bvà ab hữu tỉ A + B AB hữu tỉ

22 Cho P = x x1 x 3 x1 xác định đoạn



a b





a b



23.Cho c¸c số thực dơng thoả mÃn abc = tính tổng S =

1 1

1 a ab 1 b bc 1 c ca

24 Cho A =

3 3

2

x x x x

   

 

   

a/ Rót gän A

b/ Tìm tất giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên

25 Cho P =









2

1 1

2

x x x

x

 

    

 

 

  a/ Rót gän P

b/ Tìm  để Sin = P 26

a/CMR: nÕu 3a3b3 c3 a b c với số nguyên dơng lẻ n ta có:

nanbnc na b c 

b/ CMR: a; b; c hữu tỉ ( a + b + c) hữu tỉ a ; b ; c số hữu tỉ

27 Cho B = 1 x

x   a Rót gän B

b Tìm giá trị nhỏ B

28 Chng minh tam giác vng có độ dài cạnh huyền a; bán kính đờng trịn nội tiếp r ta ln có:





r

a 

29 Chứng minh tam giác vng có R bán kính đờng trịn ngoại tiếp; r bán kính đờng trịn nội tiếp; S diện tích ta ln có R r  2S

30 Tìm tất số nguyên dơng n tho¶ m·n:





1 1 4

1.2 2.3 5

n

n n n

 

   