Chuyen de nua duong tron on thi vao 10

Cho nöûa ñöôøng troøn O,ñöôøng kính AB=2R,goïi I laø trung ñieåm AO.Qua I döïng ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AB,ñöôøng naøy caét nöûa ñöôøng troøn ôû K.Treân IK laáy ñieåm C,AC caét [r]

I O B Bài 37:

Cho nửa đường trịn O,đường kính AB=2R,gọi I trung điểm AO.Qua I dựng đường thẳng vng góc với AB,đường cắt nửa đường trịn K.Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) M;MB cắt đường thẳng IK D.Gọi giao điểm IK với tiếp tuyến M N

1 C/m:AIMD nội tiếp C?m CM.CA=CI.CD C/m ND=NC

4 Cb cắt AD E.C/m E nằm đường tròn (O) C tâm đường tròn nội tiếp EIM

5 Giả sử C trung điểm IK.Tính CD theo R D

N

M K

E C A

Mà MBA=ACI(cùng phụ với góc CAI);CAI=KCM(đ đ)NCM+NMC NMC

cân NNC=NM Do NMD+NMC=1v NCM+NDM=1v NCM=NMC NDM=NMDNMD cân NND=NMNC=ND(đpcm)

4/C/m C tâm đường tròn nội tiếp EMI.Ta phải c/m C giao điểm đường

phân giác EMI (xem câu 35)

5/Tính CD theo R:

Do KI trung trực AOAKO cân KKA=KO mà KO=AO(bán kính) AKO  đềuKI=R23 CI=KC=KI2 = R43 Aùp dụng PiTaGo tam

Hình 37

1/C/m AIMD nội tiếp: Sử dụng hai điểm I;M làm với hai đầu đoạn AD… 2/c/m: CM.CA=CI.CD C/m hai CMD CAI

đồng dạng 3/C/m CD=NC:

sđNAM=21 sđ cung AM (góc tt dây) sđMAB= 21 sđ cung AM

D E I

giác vuông ACI có:CA=

4

16

3 2

2

2 AI R R R

CI     CIA∽BMA( hai tam

giác vuông có góc CAI chung)CABA MAIA MA= AC

AI AB

= 2R 

4 : R R =4R7 MC=AM-AC=9R287 áp dụng hệ thức câu 2CD=3R4

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 46:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC.Gọi a điểm nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy F.Gọi D điểm cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy E

1 C/m BD phân giác góc ABC OD//AB C/m ADEF nội tiếp

3 Gọi I giao điểm BD AC.Chứng tỏ CI=CE IA.IC=ID.IB C/m góc AFD=AED

F A

F A B O C

Hay OD phân giác  cân AOCOD^AC

Vì BAC góc nt chắn nửa đường trịn BA^AC

2/C/m ADEF nội tiếp:

Do ADB=ACB(cùng chắn cung AB)

Do ACB=BFC(cùng phụ với góc ABC) Mà ADB+ADE=2vAFE+ADE=2vADEF nội tiếp

3/C/m: *CI=CE:

Ta có:sđ DCA=21 sđ cung AD(góc nt chắn cung AD) Sđ ECD=21 sđ cung DC (góc tt dây)

Hình 47

OD//BA

ADB=AFE

1/* C/mBD phân giác góc ABC:Do cung

AD=DC(gt)ABD=

DBC(hai góc nt chắn hai cung

nhau)BD phân giác

của góc ABC *Do cung AD=DC

goùc AOD=DOC(2

Mà cung AD=DCDCA=ECD hay CD phân giác ICE.Nhưng CD^DB

(góc nt chắn nửa đt)CD vừa đường cao,vừa phân giác ICEICE

cân CIC=CE

*C/m IAD∽IBC(có DAC=DBC chắn cung DC)

4/Tự c/m:

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi47:

Cho nửa đtrịn (O);đường kính AD.Trên nửa đường trịn lấy hai điểm B C cho cung AB<AC.AC cắt BD E.Kẻ EF^AD F

1 C/m:ABEF nt

2 Chứng tỏ DE.DB=DF.DA

3 C/m:I tâm đường tròn nội tiếp CJD

4 Gọi I giao điểm BD với CF.C/m BI2=BF.BC-IF.IC

C B

E

I M

A F O D

Gọi M trung điểm ED

*C/m:BCMF nội tiếp: Vì FM trung tuyến tam giác vuông

FEDFM=EM=MD=21 EDCác tam giác FEM;MFD cân MMFD=MDF

và EM F=MFD+MDF=2MDF(góc ngồi MFD)

Vì CA phân giác góc BCF2ACF=BCF.Theo cmt MDF=ACF BMF=BCFBCMF nội tiếp

*Ta có BFM∽BIC FBM=CBI(BD phân giác FBC-cmt)

BMF=BCI(cmt) BFBI BMBC BF.BC=BM.BIu

* IFM∽IBC BIC=FIM(đđ).Do BCMF nội tiếpCFM=CBM(cùng chắn

cung CM)FIIB IMIC IC.IF=IM.IB v Hình

47

1/Sử dụng tổng hai góc đối 2/c/m: DE.DB=DF.DA

Xét hai tam giác vuông BDA FDE có góc D chung

BDA∽FDEđpcm

3/C/m IE tâm đường trịn ngoại tiếp FBC:

Xem câu 35.

Lấy utrừv vế theo vế

 BF.BC-IF.IC=BM.IB-IM.IB=IB.(BM-IM)=BI.BI=BI2

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 55:

Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax By phía với nửa đường trịn Gọi M điểm cung AB N điểm đoạn AO Đường thẳng vng góc với MN M cắt Ax By D C

1 C/m AMN=BMC C/mANM=BMC

3 DN cắt AM E CN cắt MB F.C/m FE^Ax

4 Chứng tỏ M trung điểm DC

1/C/m AMN=BMA

Ta có AMB=1v(góc nt chắn nửa đtrịn) NM^DCNMC=1v vậy:

AMB=AMN+NMB=NMB+BMC=1v AMN=BMA

2/C/m ANM=BCM:

Do cung AM=MB=90o.

dây AM=MB MAN=MBA=45o.(AMB vuông

cân M)MAN=MBC=45o

Theo c/mt CMB=AMN ANM=BCM(gcg)

3/C/m EF^Ax

Do ADMN ntAMN=AND(cùng chắn cung AN)

Do MNBC ntBMC=CNB(cùng chắn cung CB)  AND=CNB

Hình 55 554

x

y

E

F D

C M

O

A B

Mà AMN=BMC (chứng minh câu 1)

Ta lại có AND+DNA=1vCNB+DNA=1v ENC=1v mà EMF=1v EMFN

nội tiếp EMN= EFN(cùng chắn cung NE) EFN=FNB  EF//AB mà AB^Ax  EF^Ax

4/C/m M trung điểm DC:

Ta có NCM=MBN=45o.(cùng chắn cung MN).

NMC vuông cân M MN=NC Và NDC vuông cân NNDM=45o MND vuông cân M MD=MN MC= DM đpcm

Bài 58:Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vng góc với AB O cắt nửa đường tròn C Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn AC cắt tiếp tuyến Bt I

1 C/m ABI vuông cân

2 Lấy D điểm cung BC, gọi J giao điểm AD với Bt C/m AC.AI=AD.AJ

3 C/m JDCI nội tiếp

4 Tiếp tuyến D nửa đường tròn cắt Bt K Hạ DH^AB Cmr:

AK qua trung điểm DH

ABC vuông cân C Mà Bt^AB có góc CAB=45 o ABI vng cân B

2/C/m: AC.AI=AD.AJ

Xét hai ACD AIJ có góc A chung sđ góc CDA=12 sđ cung AC =45o

Mà  ABI vuông cân BAIB=45 o.CDA=AIBADC∽AIJđpcm

1/C/m ABI vuông cân(Có

nhiều cách-sau C/m cách):

-Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đtrịn)ABC vng

C.Vì OC^AB trung điểm

OAOC=COB=1v

 cung AC=CB=90o CAB=45 o (goùc nt baèng

nửa số đo cung bị chắn)

Hình 58 554

N

H J K I

C

O

A B

3/ Do CDA=CIJ (cmt) CDA+CDJ=2v CDJ+CIJ=2vCDJI nội tiếp

4/Gọi giao điểm AK DH N Ta phải C/m:NH=ND

-Ta có:ADB=1v DK=KB(t/c hai tt cắt nhau) KDB=KBD.Mà KBD+DJK=

1v KDB+KDJ=1vKJD=JDKKDJ cân K KJ=KD KB=KJ

-Do DH^ JB^AB(gt)DH//JB p dụng hệ Ta lét tam giác

AKJ AKB ta có:

AK AN JK

DN

 ;

AK AN KB NH

 

KB NH JK

DN

 maø JK=KBDN=NH

Baøi 65:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa đường trịn lấy điểm M, Trên AB lấy điểm C cho AC<CB Gọi Ax; By hai tiếp tuyến nửa đường trịn Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax P; đường thẳng qua C vng góc với CP cắt By Q Gọi D giao điểm CP với AM; E giao điểm CQ với BM

1/cm: ACMP nội tiếp 2/Chứng tỏ AB//DE

3/C/m: M; P; Q thẳng hàng

Q M

P

D E A C O B 1/Chứng minh:ACMP nội tiếp(dùng tổng hai góc đối) 2/C/m AB//DE:

Do ACMP nội tiếp PAM=CPM(cùng chắn cung PM)

Chứng minh tương tự,tứ giác MDEC nội tiếpMCD=DEM(cùng chắn cung

MD).Ta lại có:

Sđ PAM=12 sđ cung AM(góc tt dây) Sđ ABM=21 sđ cung AM(góc nội tiếp)

ABM=MEDDE//AB

3/C/m M;P;Q thẳng hàng:

 O

Do MPC+MCP=1v(tổng hai góc nhọn tam giác vuông PMC) PCM+MCQ=1v MPC=MCQ

Ta lại có PCQ vng CMPC+PQC=1vMCQ+CQP=1v hay

CMQ=1vPMC+CMQ=2vP;M;Q thẳng hàng

Bài 85:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB.Gọi C điểm nửa đường tròn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax By Một đường tròn (O’) qua A C cắt AB tia Ax theo thứ tự D E Đường thẳng EC cắt By F

1 Chứng minh BDCF nội tiếp

2 Chứng tỏ:CD2=CE.CF FD tiếp tuyến đường tròn (O). AC cắt DE I;CB cắt DF J.Chứng minh IJ//AB

4 Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O)

F C

E

I J  O’

A D B

1/Cm:BDCF nội tiếp:

Ta có ECD=1v(góc nt chắn nửa đường trịn tâm O’)FCD=1v FBD=1v(tính

chất tiếp tuyến)đpcm

2/C/m: CD2=CE.CF Ta có

Do CDBF ntDFC=CBD(cùng chắn cung CD).Mà CED=CAD(cùng chắn cung

CD (O’) Mà CAD+CBD=1v (vì góc ACB=1v-góc nt chắn nửa đt)

CED+CFD=1v nên EDF=1v hay EDF tam giác vuông có DC đường

cao.Aùp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có CD2=CE.CF.

Vì EDF vng D(cmt)FD^ED hay FD^O’D điểm D nằm đường

tròn tâm O’.đpcm

3/C/m IJ//AB

Ta có ACB=1v(cmt) hay ICJ=1v EDF=1v (cmt) hay IDJ=1v ICJD nt

CJI=CDI(cùng chắn cung CI).Mà CFD=CDI (cùng phụ với góc FED) Vì BDCF nt (cmt)CFD=CBD (cùng chắn cung CD)CJI=CBD đpcm

4/ Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O)

Ta có CD^EF C nằm đường trịn tâm O.Nên để EF tiếp tuyến

(O) CD phải bán kính DO

ÐÏ(&(ÐÏ

Bài 58:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vng góc với AB O cắt nửa đường tròn C Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn AC cắt tiếp tuyến Bt I

5 C/m ABI vuông cân

6 Lấy D điểm cung BC, gọi J giao điểm AD với Bt C/m AC.AI=AD.AJ

7 C/m JDCI nội tiếp

8 Tiếp tuyến D nửa đường tròn cắt Bt K Hạ DH^AB Cmr:

AK qua trung điểm DH

ABC vuông cân C Mà Bt^AB có góc CAB=45 o ABI vng cân B

2/C/m: AC.AI=AD.AJ

Xeùt hai ACD AIJ có góc A chung sđ góc CDA=12 sđ cung AC =45o

Mà  ABI vuông cân BAIB=45 o.CDA=AIBADC∽AIJđpcm

1/C/m ABI vuông cân(Có

nhiều cách-sau C/m cách):

-Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đtrịn)ABC vng

C.Vì OC^AB trung ñieåm

OAOC=COB=1v

 cung AC=CB=90o CAB=45 o (góc nt

nửa số đo cung bị chắn)

Hình 58 554

N

H J K I

C

O

A B

3/ Do CDA=CIJ (cmt) CDA+CDJ=2v CDJ+CIJ=2vCDJI nội tiếp

4/Gọi giao điểm AK DH N Ta phải C/m:NH=ND

-Ta có:ADB=1v DK=KB(t/c hai tt cắt nhau) KDB=KBD.Mà KBD+DJK=

1v KDB+KDJ=1vKJD=JDKKDJ cân K KJ=KD KB=KJ

-Do DH^ vaø JB^AB(gt)DH//JB Aùp dụng hệ Ta lét tam giác

AKJ AKB ta có:

AK AN JK

DN

 ;

AK AN KB NH

 

KB NH JK

DN

 maø JK=KBDN=NH

Baøi 74:

Cho ABC nội tiếp nửa đường trịn đường kính AB.O trung điểm

AB;M điểm cung AC.H giao điểm OM với AC> C/m:OM//BC

2 Từ C kẻ tia song song cung chiều với tia BM,tia cắt đường thẳng OM D.Cmr:MBCD hình bình hành

3 Tia AM cắt CD K.Đường thẳng KH cắt AB P.Cmr:KP^AB

4 C/m:AP.AB=AC.AH

5 Gọi I giao điểm KB với (O).Q giao điểm KP với AI C/m A;Q;I thẳng hàng

D

K C I M Q H

A P O B

1/C/m:OM//BC Cung AM=MC(gt)COM=MOA(góc tâm sđ cung bị

chắn).Mà AOC cân OOM đường trung trực

AOCOM^AC.MàBC^AC(góc nt chắn nửa đường trịn)đpcm

2/C/m BMCD hình bình hành:Vì OM//BC hay MD//BC(cmt) CD//MB (gt)

đpcm

3/C/ KP^AB.Do MH^AC(cmt) AM^MB(góc nt chắn nửa đtrịn);

MB//CD(gt)AK^CD hay MKC=1vMKCH nội tiếpMKH=MCH(cùng

chắn cung MH).Mà MCA=MAC(hai góc nt chắn hai cung MC=AM)

HAK=HKAMKA cân HM trung điểm AK.Do AMB vuông M KAP+MBA=1v.mà MBA=MCA(cùng chắn cung AM)MBA=MKH hay

KAP+AKP=1vKP^AB

4/Hãy xét hai tam giác vuông APH ABC đồng dạng(Góc A chung) 5/Sử dụng Q trực tâm cuỉa AKB

Baøi 75:

Cho nửa đường trịn tâm O đường kính EF.Từ O vẽ tia Ot^ EF, cắt nửa

đường trịn (O) I Trên tia Ot lấy điểm A cho IA=IO.Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP AQ với nửa đường tròn;chúng cắt đường thẳng EF B C (P;Q tiếp điểm)

1.Cmr ABC tam giác tứ giác BPQC nội tiếp

2.Từ S điểm tuỳ ý cung PQ.vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn;tiếp tuyến cắt AP H,cắt AC K.Tính sđ độ góc HOK

3.Gọi M; N giao điểm PQ với OH; OK Cm OMKQ nội tiếp

4.Chứng minh ba đường thẳng HN; KM; OS đồng quy điểm D, D nằm đường tròn ngoại tiếp HOK

A

K H S I

D

P M N Q B E O F C

1/Cm ABC tam giác đều:Vì AB AC hai tt cắt Các APO;

AQO tam giác vng P Q.Vì IA=IO(gt)PI trung tuyến tam

gíac vuông AOPPI=IO.Mà IO=PO(bán kính)PO=IO=PIPIO tam giaùc

 O

đềuPOI=60o.OAB=30o.Tương tự OAC=30oBAC=60o.Mà ABC cân

A(Vì đường caoAO phân giác) có góc 60o

ABC tam giác

đều

2/Ta có Góc HOP=SOH;Góc SOK=KOC (tính chất hai tt cắt nhau)

Góc HOK=SOH+SOK=HOP+KOQ.Ta lại có:

POQ=POH+SOH+SOK+KOQ=180o-60o=120o

HOK=60o

3/ Bài 85:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB.Gọi C điểm nửa đường tròn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax By Một đường tròn (O’) qua A C cắt AB tia Ax theo thứ tự D E Đường thẳng EC cắt By F

5 Chứng minh BDCF nội tiếp

6 Chứng tỏ:CD2=CE.CF FD tiếp tuyến đường tròn (O). AC cắt DE I;CB cắt DF J.Chứng minh IJ//AB

8 Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O)

F C

E

I J  O’

A D B 1/Cm:BDCF nội tiếp:

Ta có ECD=1v(góc nt chắn nửa đường trịn tâm O’)FCD=1v FBD=1v(tính

chất tiếp tuyến)đpcm

2/C/m: CD2=CE.CF Ta có

Do CDBF ntDFC=CBD(cùng chắn cung CD).Mà CED=CAD(cùng chắn cung

CD (O’) Mà CAD+CBD=1v (vì góc ACB=1v-góc nt chắn nửa đt)

CED+CFD=1v nên EDF=1v hay EDF tam giác vng có DC đường

cao.p dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có CD2=CE.CF.

Vì EDF vng D(cmt)FD^ED hay FD^O’D điểm D nằm đường

tròn tâm O’.đpcm

3/C/m IJ//AB

Ta có ACB=1v(cmt) hay ICJ=1v vaø EDF=1v (cmt) hay IDJ=1v ICJD nt

CJI=CDI(cùng chắn cung CI).Mà CFD=CDI (cùng phụ với góc FED) Vì BDCF nt (cmt)CFD=CBD (cùng chắn cung CD)CJI=CBD đpcm

4/ Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O)

Ta có CD^EF C nằm đường tròn tâm O.Nên để EF tiếp tuyến