Chuyªn ®Ò Ph¬ng tr×nh bËc cao Chuyªn ®Ò Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn Chuyªn ®Ò Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn PhÇn I Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn A Tãm t¾t lý thuyÕt 1 Sè 2 lµ sè nghu[.]
Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên Chuyên đề: Phơng trình nghiệm nguyên Phần I: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên A Tóm tắt lý thuyết 1.Số số nghuyên tố chẵn 2.Phơng trình đợc đa dạng f(x).g(x) = k với f(x) g(x) đa thức hệ số nguyên Ta phân tích k thừa số nguyên tố giải hệ phơng trình với m.n = k 3.Phơng trình đối xứng ẩn x, y, z Khi tìm nghiệm nguyên dơng ta giả sử x y z 4.Không tồn số phơng nằm hai số phơng liên tiếp B dạng toán Thờng gặp Dạng 1: Sử dụng phÐp chia hÕt vµ chia cã d Hai vÕ cđa phơng trình nghiệm nguyên chia cho số có số d khác phơng trình nghiệm nguyên Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau (1) Giải: Rõ ràng x = y = lµ nghiƯm cđa (1) NÕu Ta cã: vµ nghiệm (1) Gọi chẵn , suy chẵn, vô lý Vậy phơng trình (1) có nghiệm nguyên (0,0) Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau (1) Giải: 1)Nếu vô lý 2)Nếu từ ta có suy Vậy phơng trình nghiệm nguyên Ví dụ 3: Chứng minh tổng bình phơng ba số nguyên phép chia cho có d từ suy phơng trình nghiệm nguyên Giải: Giả sử: mà nên suy nhng vô lý Phơng trình đà cho viết: Vậy Từ suy phơng trình nghiệm nguyên Ví dụ 4: Giải phơng trình sau tập số nguyên: Giải: 1)Nếu x = 2k 2)Nếu x = 2k + Vậy Do chia tổng d không vợt 7, cho 16 có số Suy phơng trình nghiệm nguyên Dạng 2: Phơng pháp phân tích Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên Tìm nghiệm nguyên phơng trình: a( x+ y ) + b = cxy ( víi a, b, c Z ) (1) Ta cã: (1) Ph©n tÝch víi m, n Z, sau lần lợt giải hệ: Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: Giải: Ta có: Giả sử: 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta có hệ sau: Giải hệ ta đợc nghiệm nguyên dơng phơng trình là: ( 1, 18); ( 18, 1); ( 2, 5); ( 5, 2); VÝ dơ 2: T×m nghiƯm nguyên phơng trình: Giải: Vì 105 số lẻ nên nên lẻ suy y chẵn mà chẵn lẻ x = Víi x = ta cã phơng trình ( 5y + ) ( y + ) = 21.5 Do ( 5y + 1, ) =1 nên Thử lại ta thấy x = 0, y = - nghiệm nguyên phơng trình Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên Ví dụ 3: Tìm tất tam giác vuông có cạnh số nguyên có diện tích chu vi Giải: Gọi x, y, z cạnh tam giác vu«ng : Ta cã: Tõ (1) ta cã: Thay vào (2) ta đợc: cặp: Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: với p số nguyên tố Giải: Ta có: Mà Từ phơng trình đà cho có nghiệm nguyên là: Dạng 3: Phơng trình đối xứng Để tìm nghiệm nguyên phơng trình đối xứng ta giả sử x y z chặn ẩn Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: Giải: Vì x, y ,z có vai trò nh nên ta gi¶ sư x y z Từ (1) suy ra: Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên Víi x = ta cã VËy (1) cã nghiệm nguyên dơng ( x, y, z ) = ( 1, 2, ) hoán vị Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: Giải: Vì x, y ,z có vai trò nh nên ta gi¶ sư x y z t 1 Tõ (1) suy ra: *)Víi ta cã: 1)Víi z = ta cã: Ta cã c¸c nghiƯm( x, y, z, t) =( 35, 3, 1, ),( 9, 5, 1, ) hoán vị chúng, 2) Với z = 2, z= 3, phơng trình nghiệm nguyên dơng *) Với , ta có: Khi đó: Do nên , mà 265 = 53.5 Trờng hợp phơng trình nghiệm nguyên dơng Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên Ví dụ 3: Một tam giác có số đo độ dài đờng cao mhững số nguyên dơng đờng tròn nội tiếp tam gi¸c cã b¸n kÝnh b»ng Chøng minh tam gi¸c tam giác Giải: Đặt a = BC, b = CA, c = AB Gọi độ dài đờng cao ứng với cạnh a, b, c tam giác Bán kính đờng tròn nội tiếp nên x, y, z > Giả sử x y z > DiƯn tÝch tam gi¸c ABC: Mặt khác: Từ (1) (2) Suy ra: Thay z = vào ta đợc: Vậy x = y = z = 3, ®ã a = b = c Vậy tam giác ABC tam giác Dạng 4: Phơng pháp loại trừ Tính chất: Nếu có số nguyên m cho n số phơng Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: Giải: Với x x! có chữ số tận nên: Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên Có chữ số tận nên số chinh, Vậy x phơng trình đà cho nghiện nguyên dơng Với x < 5, b»ng c¸ch thư trùc tiÕp x = 1, 2, 3, phơng trình có nghiệm (1,1) (3,3) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: Giải: Rõ ràng x = 0, y = nghiệm nguyên phơng trình +)Với x > ta cã: ( v« lý ) +)Víi x - th× : +)Víi x = - th× : ( v« lý ) , ( v« lý ) VËy phơng trình đà cho có hai cặp nghiệm ( 0; ); ( 0; -1 ) VÝ dơ 3: T×m nghiệm nguyên phơng trình: Giải: Khai triển rút gọn hai vế ta đợc: +)Nếu x > từ suy không số phơng nên (1) nghiệm nguyên +)Nếu x < - từ suy (1) nghiệm nguyên +)Nếu x = x = - từ (1) suy Vậy phơng trình có nghiệm nguyên ( x; y ) = ( 0; ); ( 0; -1 ); ( -1; ); (-1; -1 ); Dạng 5: Phơng pháp xuống thang Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: Giải: Giả sử nghiệm nguyên phơng trình đặt thay vào (1) ta đợc: đặt đó: đặt đó: Vậy nghiệm phơng trình Quá trình tiếp tục đợc: nghiệm nguyên (1) với k điều xảy Vậy ( 0, 0, ) nghiệm phơng trình đà cho Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: Giải: Giả sử nghiệm nguyên phơng trình đó: số chẵn nên số phải có số chẵn số lẻ (0; ) +)Nếu lẻ , +)Nếu số có , hai số Vậy lẻ phải số chẵn, đặt , , , phơng trình trở thành: Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên Lý luận tơng tự ta có: Với tiếp tục ta có: Là số nguyên vơi n, điều xảy VËy ( 0, 0, 0, ) lµ nghiƯm phơng trình đà cho Dạng 6: Hạn chế tập hợp chứa nghiệm dựa vào điều kiện ẩn Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: Giải: Ta thấy từ ta có Vì y nguyên nên với nhận giá trị: 0; 1; 2; 3; 4; Lùa chän k số để thoả mÃn phơng trình ta đợc nghiệm: Dạng 7: Một số dạng khác Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: Giải: Ta có: (1) Đặt Do đó: Do (3, 5) = nên , Ta có: Vậy x = 2, y = Phơng trình có hai nghiệm nguyªn ( 2, ); ( -2, ) VÝ dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: Giải: Tac có: Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên Vì: nên Giải hệ phơng trình ta đợc nghiệm nguyên phơng trình là: Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: Giải: Phơng trình đà cho đợc viết lại là: Phơng trình (1) có nghiệm khi: Do y nguyên nên +)Với y = ta cã x = +)Víi y = ta cã x = +)Víi y = y = ta có không tìm đợc x nguyên Vậy phơng trình có hai nghiệm nguyên ( x ; y ) = ( ; ); ( ; ); Phần II: Bài tập Dạng 1: Sư dơng phÐp chia hÕt vµ chia cã d Giải phơng trình tập số nguyên a) d) b) e) c) f) D¹ng 2: Phơng pháp phân tích Giải phơng trình tập sè nguyªn a) d) b) e) c) e) Dạng 3: Phơng trình đối xứng Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình sau a) b) c) Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn 10 Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên d) e) f) Dạng 4: Phơng pháp loại trừ Giải phơng trình tập số nguyên a) b) d) c) f) e) Dạng 5: Phơng pháp xuống thang Giải phơng trình trªn tËp sè nguyªn a) b) c) Dạng Dạng Giải phơng trình tập số nguyên a) b) c) Phần III: Kết luận Trên vài dạng tập phơng trình nghiệm nguyên mà đà su tầm đợc, chắn không tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến đánh giá, nhận xét đồng chí hội đồng khoa học Phòng giáo dục Hiệp Hoà, để chuyên đề đợc đầy đủ góp phần vào việc thi giáo viên giỏi cấp tỉnh huyện đạt kết qua cao Xin chân thành cảm ơn ! Hùng Sơn, ngày 21 tháng 02 năm 2008 Ngời viết Đào Minh Trởng Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng Sơn 11 Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên Đào Minh Trởng: Trờng THCS Hùng S¬n 12