GIÁO TRÌNH HÓA LƯỢNG TỬ

§¹i häc §¹i häc §¹i häc §¹i häc ®µ n½ng ®µ n½ng®µ n½ng ®µ n½ng tr−êng ®¹i häc s− ph¹m tr−êng ®¹i häc s− ph¹mtr−êng ®¹i häc s− ph¹m tr−êng ®¹i häc s− ph¹m        lª tù h¶i lª tù h¶ilª tù h¶i lª tù h¶i §µ N½ng §µ N½ng §µ N½ng §µ N½ng - - 200 200200 2009 99 9 ®¹i häc ®µ n½ng ®¹i häc ®µ n½ng®¹i häc ®µ n½ng ®¹i häc ®µ n½ng tr−êng ®¹i häc s− ph¹m tr−êng ®¹i häc s− ph¹mtr−êng ®¹i häc s− ph¹m tr−êng ®¹i häc s− ph¹m  Lª Tù H¶i Lª Tù H¶iLª Tù H¶i Lª Tù H¶i Gi¸o tr×nh Gi¸o tr×nhGi¸o tr×nh Gi¸o tr×nh ho¸ ho¸ ho¸ ho¸ l−îng tö l−îng tö l−îng tö l−îng tö §µ N½ng - 2009 2 Mục lục Mục lụcMục lục Mục lục Trang Chơng 1. Một số mô hình nguyên tử trớc cơ học lợng tử Chơng 1. Một số mô hình nguyên tử trớc cơ học lợng tửChơng 1. Một số mô hình nguyên tử trớc cơ học lợng tử Chơng 1. Một số mô hình nguyên tử trớc cơ học lợng tử 5 1.1. Khái niệm nguyên tử 5 1.2. Mô hình nguyên tử của Rutherford 5 1.3. Phổ nguyên tử 6 1.4. Thuyết lợng tử Planck 7 1.5. Mô hình nguyên tử của Bohr 9 1.6. Mô hình nguyên tử của Sommerfeld 13 Câu hỏi và bài tập 15 Chơng 2. Đại cơng về cơ học lợng tử Chơng 2. Đại cơng về cơ học lợng tửChơng 2. Đại cơng về cơ học lợng tử Chơng 2. Đại cơng về cơ học lợng tử 16 2.1. Tính chất sóng - hạt của ánh sáng 16 2.2. Tính chất sóng - hạt của hạt vật chất 18 2.3. Nguyên lý bất định Heizenberg 18 2.4. Sự khác nhau giữa cơ học cổ điển và cơ học lợng tử 21 Câu hỏi và bài tập 22 Chơng 3. Toán tử và hệ hàm Chơng 3. Toán tử và hệ hàmChơng 3. Toán tử và hệ hàm Chơng 3. Toán tử và hệ hàm 23 3.1. Toán tử 23 3.2. Toán tử tuyến tính 24 3.3. Một số khái niệm về các hệ hàm 26 3.4. Toán tử tuyến tính tự liên hợp (toán tử Hermit) 28 Câu hỏi và bài tập 30 Chơng 4. Hệ tiên đề của cơ học lợng tử Chơng 4. Hệ tiên đề của cơ học lợng tửChơng 4. Hệ tiên đề của cơ học lợng tử Chơng 4. Hệ tiên đề của cơ học lợng tử 32 4.1. Tiên đề về hàm sóng (tiên đề 1). Nguyên lý chồng chất các trạng thái 32 4.2. Tiên đề về toán tử (tiên đề 2) 33 4.3. Tiên đề về trị riêng và đại lợng đo đợc 34 4.4. Điều kiện để hai đại lợng vật lý có giá trị xác định đồng thời trong một trạng thái 36 4.5. Tiên đề về phơng trình Schrodinger. Trạng thái dừng 37 4.6. Một số bài toán ứng dụng 39 Câu hỏi và bài tập 47 Chơng 5. Trờng xuyên tâm và nguyên tử Hidro Chơng 5. Trờng xuyên tâm và nguyên tử HidroChơng 5. Trờng xuyên tâm và nguyên tử Hidro Chơng 5. Trờng xuyên tâm và nguyên tử Hidro 49 5.1. Trờng xuyên tâm và hệ toạ độ cầu 49 5.2. Bài toán nguyên tử H và ion giống H 51 Câu hỏi và bài tập 72 Chơng 6. Nguyên tử nhiều electron Chơng 6. Nguyên tử nhiều electronChơng 6. Nguyên tử nhiều electron Chơng 6. Nguyên tử nhiều electron 74 3 6.1. Phơng trình Schrodinger của nguyên tử nhiều electron 74 6.2. Hệ các hạt độc lập và đồng nhất. Nguyên lý loại trừ Pauli 74 6.3. Phơng pháp trờng tự hợp Hartree giải bài toán nguyên tử nhiều electron 78 6.4. Phơng pháp biến phân 80 6.5. Obital nguyên tử nhiều electron, obital Slater và Gauss 83 6.6. Các mức năng lợng của nguyên tử nhiều electron. Qui tắc Klechkovski. Cấu hình electron của nguyên tử 85 6.7. Sự biến thiên tuần hoàn một số tính chất của các nguyên tố hoá học 89 6.8. Độ âm điện 91 6.9. Số hạng nguyên tử 93 6.10. Quang phổ của nguyên tử nhiều electron 97 Câu hỏi và bài tập 102 Chơng Chơng Chơng Chơng 7 77 7. Khái quát về sự khảo sát phân tử bằng cơ học lợng tử . Khái quát về sự khảo sát phân tử bằng cơ học lợng tử. Khái quát về sự khảo sát phân tử bằng cơ học lợng tử . Khái quát về sự khảo sát phân tử bằng cơ học lợng tử 103 7.1. Quá trình phát triển các thuyết về cấu tạo phân tử và liên kết hoá học 103 7.2. Lý thuyết cơ học lợng tử về liên kết hoá học 104 7.3. Hàm sóng và năng lợng electron của phân tử 105 7.4. Phép tính biến phân 106 Chơng Chơng Chơng Chơng 8 88 8. Thuyết liên kết hoá trị (V.B) . Thuyết liên kết hoá trị (V.B). Thuyết liên kết hoá trị (V.B) . Thuyết liên kết hoá trị (V.B) 109 8.1. Phơng pháp VB giải bài toán phân tử H 2 109 8.2. Phơng pháp VB và phân tử nhiều nguyên tử 114 8.3. Sự lai hoá các obital nguyên tử 117 8.4. Thuyết VB với liên kết cho nhận 123 8.5. Thuyết VB với sự cộng hởng 123 8.6. Công thức vạch hoá trị. Thành công và hạn chế của thuyết VB 125 Câu hỏi và bài tập 126 Chơng Chơng Chơng Chơng 9 99 9. Thuyết obital phân tử (M.O . Thuyết obital phân tử (M.O. Thuyết obital phân tử (M.O . Thuyết obital phân tử (M.O) )) ) 128 9.1. Những luận điểm cơ bản của thuyết MO 128 9.2. Giải bài toán ion phân tử H 2 + bằng phơng pháp MO - LCAO 128 9.3. Sự xen phủ các AO tạo các MO 134 9.4. Thuyết MO và phân tử hai nguyên tử đồng hạch 135 9.5. Phổ hấp thụ phân tử, quang phổ electron và năng lợng các MO 139 9.6. Phân tử hai nguyên tử dị hạch AB 140 9.7. Thuyết MO và liên kết cho nhận 143 9.8. Thuyết MO và phân tử nhiều nguyên tử 143 9.9. Chuyển MO không định c thành MO định c 149 9.10. Thuyết MO và các mô hình khác nhau về liên kết 150 Câu hỏi và bài tập 153 4 Chơng 1 Chơng 1Chơng 1 Chơng 10 00 0. Phơng pháp MO và hệ electron . Phơng pháp MO và hệ electron . Phơng pháp MO và hệ electron . Phơng pháp MO và hệ electron không định c không định c không định c không định c 154 10.1. Sự gần đúng electron 154 10.2. áp dụng phơng pháp MO - Huckel khảo sát các phân tử liên hợp 155 10.3. áp dụng phơng pháp MO-Huckel cho phân tử liên hợp mạch vòng 160 10.4. Giản đồ phân tử 167 10.5. Qui ớc Huckel về tính thơm 170 Câu hỏi và bài tập 171 Chơng 1 Chơng 1Chơng 1 Chơng 11 11 1. Liên kết trong phức chất . Liên kết trong phức chất. Liên kết trong phức chất . Liên kết trong phức chất 173 11.1. Khái niệm về phức chất 173 11.2. ứng dụng của phức chất 173 11.3. Các thuyết về liên kết trong phức chất 174 11.4. Thuyết VB 174 11.5. Thuyết trờng phối tử 177 11.6. Định lý Jahn - Teller 183 11.7. Phơng pháp MO - LCAO cho phức chất 184 Câu hỏi và bài tập 194 Tài liệu tham khảo Tài liệu tham khảoTài liệu tham khảo Tài liệu tham khảo 195 5 Chơng 1 Chơng 1Chơng 1 Chơng 1 Một số mô hình nguyên tử trớc cơ học lợng tử Một số mô hình nguyên tử trớc cơ học lợng tửMột số mô hình nguyên tử trớc cơ học lợng tử Một số mô hình nguyên tử trớc cơ học lợng tử 1.1. Khái niệm nguyên tử 1.1. Khái niệm nguyên tử1.1. Khái niệm nguyên tử 1.1. Khái niệm nguyên tử Quan niệm cho rằng toàn bộ thế giới vật chất đợc hình thành do sự kết hợp của một số hữu hạn các nguyên tố là một quan niệm duy vật. Một quan niệm nh vậy đã đợc các nhà triết học cổ Hy Lạp đề xuất từ thế kỷ 6 - 7 trớc công nguyên. Thales cho rằng nguyên tố duy nhất của vật chất là nớc, trái lại Heraclit thì cho rằng nguyên tố đó là lửa. Sang thế kỷ thứ 5 trớc công nguyên, Empedocle đa ra thuyết 4 nguyên tố. Theo ông thì cơ sở vật chất không phải là một, mà là sự tổng hợp của 4 nguyên tố đầu tiên là nớc, lửa, không khí và đất. Thuyết này đợc Aristole (thế kỷ thứ 4 trớc công nguyên) phát triển thêm. Theo Aristole thì đất, nớc , lửa và không khí xuất hiện do sự tổ hợp của bốn tính chất cơ bản: nóng, lạnh, khô và ẩm. Cũng trong thời đại đó, ở phơng Đông có quan nịêm cho rằng thế giới vật chất đợc cấu tạo từ các nguyên tố. Ví dụ thuyết 5 nguyên tố của nhà triết học Vơng Sung: kim, mộc, thuỷ, hoả, thổ. Khái niệm nguyên tử lần đầu tiên đợc Leucippe và Democrite đa ra từ thế kỷ 4 - 5 trớc công nguyên: Nguyên tử là phần tử nhỏ nhất không thể phân chia đợc của vật chất. Các nguyên tử phân biệt với nhau bởi độ lớn và hình dạng của chúng. Học thuyết nguyên tử của Leucippe và Democrite đợc các nhà triết học khác nh Epicure và Lucrece hởng ứng. Tuy nhiên, trong suốt thời gian dài quan niệm này bị các quan điểm duy tâm của Platon chống đối và trấn áp. Năm 1807 nhà Bác học ngời Anh là Dalton đã làm sống lại khái niệm nguyên tử. Theo ông nguyên tử là các quả cầu nhỏ, rắn, không thể xuyên qua đợc. Các định luật tỉ lệ bội (Dalton), định luật tỉ số đơn giản thể tích các chất khí (Gay - Lussac) và định luật Avogadro là kết quả sự tìm kiếm các bằng chứng (gián tiếp) cho sự tồn tại của nguyên tử. Ngày nay, chúng ta biết rằng nguyên tử không phải là những phần tử nhỏ bé nhất của vật chất. Bằng các phơng pháp vật lý (ví dụ sự bắn phá hạt nhân) có thể phân chia nguyên tử thành các phần tử nhỏ bé hơn, các hạt cơ bản. Có thể chính xác hoá khái niệm nguyên tử nh sau : Nguyên tử là phần tử nhỏ bé nhất của vật chất không thể phân chia đợc bằng các phản ứng hoá học. 1.2. Mô hình nguyên tử của Rutherford 1.2. Mô hình nguyên tử của Rutherford1.2. Mô hình nguyên tử của Rutherford 1.2. Mô hình nguyên tử của Rutherford Dựa vào kết quả nghiên cứu sự tán xạ hạt (tức là hạt nhân nguyên tử He 2+ ) trên màng mỏng nhiều nguyên tố khác nhau, Rutherford (1911) đa ra mô hình nguyên tử: Giống nh trong một hệ hành tinh, electron trong nguyên tử quay xung quanh hạt nhân nh những hành tinh quay xung quanh mặt trời (mô hình hành tinh). Các electron chuyển động sao cho lực li tâm của chúng cân bằng với lực hút Coulomb giữa hạt nhân 6 và electron. Trong mô hình này electron có thể chuyển động trên quĩ đạo cách hạt nhân một khoảng cách tuỳ ý, miễn là có sự cân bằng lực. Dễ dàng nhận thấy rằng, mô hình hành tinh của Rutherford chứa đựng trong nó nhiều mâu thuẫn. Trớc hết, theo các định luật của điện động lực học cổ điển, một nguyên tử đợc cấu tạo nh vậy không thể bền. Khi electron, một hạt mang điện, chuyển động có gia tốc nó sẽ phát ra bức xạ điện từ. Quá trình ấy làm mất năng lợng, electron chuyển động theo đờng xoắn ốc rồi cuối cùng rơi vào hạt nhân (giả thiết rằng bán kính ban đầu của quĩ đạo electron là 10 -8 cm thì chỉ sau một thời gian là 10 -12 giây electrron đã rơi vào hạt nhân). Hơn nữa, bức xạ do electron phát ra phải tạo thành một phổ liên tục vì tần số chuyển động của electron trên đờng xoắn ốc không ngừng tăng lên. Cả hai điều đó trái với sự thật là nguyên tử là một hệ bền và phổ phát xạ của nguyên tử là phổ gián đoạn. 1.3. Phổ nguyên tử 1.3. Phổ nguyên tử1.3. Phổ nguyên tử 1.3. Phổ nguyên tử Một trong những yêu cầu đặt ra đối với mọi lí thuyết về nguyên tử là giải thích đợc sự xuất hiện phổ vạch của nguyên tử và một số tính chất của chúng. Khi nung nóng một chất (bằng ngọn lửa, phóng điện trong chân không, hồ quang ) tới một nhiệt độ đủ lớn thì nó phát sáng. Ví dụ cho ít NaCl vào ngọn lửa đèn cồn thì ngọn lửa nhuộm màu vàng thẫm. ánh sáng vàng ấy là do nguyên tử Na (xuất hiện trong quá trình nhiệt phân NaCl trong ngọn lửa) phát ra. Phân tích ánh sáng ngọn lửa có chứa hơi Na bằng một quang phổ kế ngời ta thấy bên cạnh phổ liên tục của ánh sáng ngọn lửa là một vạch đậm màu vàng có bớc sóng 5892 A 0 (với quang phổ có độ phân giải cao sẽ thấy dó là một vạch kép). Phổ xuất hiện nh vậy gọi là phổ phát xạ. Trái lại, nếu chiếu ánh sáng trắng qua hơi Na thì trên phổ liên tục, ở vị trí tơng ứng với vạch vàng Na là một vệch tối. Đó là phổ hấp thụ của Na. Nguyên tử có khả năng hấp thụ ánh sáng có tần số đúng bằng tần số ánh sáng phát xạ của nó. Phổ nguyên tử H ở vùng thấy đợc có cấu trúc đặc biệt đơn giản. Balmer (1885) tìm thấy các phổ vạch nguyên tử H có bớc sóng tuân theo công thức đơn giản: = 22 2 2 . m mK (1.1) với K = 3645,6 . 10 -7 mm và m = 3,4,5 Công thức Balmer đợc Rydberg (1896) và Ritz (1908) khái quát hoá: = R H ( 2 2 2 1 11 nn ) (1.2) n 1 = 1, 2, 3, n 2 = n 1 + 1, n 1 + 2, 7 R H = K 4 gọi là hằng số Rydberg. Thay n 2 = m và n 1 = 2 ta có đợc công thức Balmer. Cho n 1 các giá trị 1,2,3, và n 2 các giá trị nguyên lớn hơn n 1 ta có công thức biểu diễn toàn bộ phổ nguyên tử H. Theo Ritz, ngời ta gọi các đại lợng R/n 1 2 và R/n 2 2 là các số hạng. Nh vậy mỗi một vạch phổ ứng với hai số hạng. Mỗi một giá trị của n 1 đặc trng cho một dãy phổ. Các dãy phổ của nguyên tử H Các dãy phổ của nguyên tử HCác dãy phổ của nguyên tử H Các dãy phổ của nguyên tử H n 1 n 2 Dãy phổ Vùng phổ 1 2,3, Lyman Cực tím 2 3,4, Balmer BalmerBalmer Balmer Nhìn thấy và gần cực tím 3 4,5, Paschen Hồng ngoại gần 4 5,6, Brackett Hồng ngoại xa 5 6,7, Pfund Hồng ngoại xa 1.4.Thuyết lợng tử 1.4.Thuyết lợng tử 1.4.Thuyết lợng tử 1.4.Thuyết lợng tử Planck PlanckPlanck Planck 1.4.1. Sự khủng hoảng tử ngoại Khi bức xạ điện từ gặp một vật nào đó thì trong trờng hợp chung, một phần bức xạ đợc phản xạ, một phần bị hấp phụ và một phần còn lại có thể đi qua vật chất. Khác với trờng hợp chung, thì vật đen tuyệt đối là vật hấp thụ hoàn toàn tất cả năng lợng bức xạ. Một thí dụ về vật đen tuyệt đối là một quả cầu bằng đồng, bên trong rỗng đợc bôi đen hoàn toàn. Khi có một bức xạ truyền vào bên trong quả cầu qua một khe hở nhỏ, do cấu tạo của quả cầu, bức xạ đợc truyền vào sẽ bị hấp thu hoàn toàn (hình 1.1a). Sau khi hấp thụ toàn bộ năng lợng đợc truyền đến, vật đen tuyệt đối sẽ nóng lên. Cũng nh bất cứ vật rắn nào khác, vật đen tuyệt đối bị nóng lên sẽ phát ra năng lợng dới dạng sóng điện từ. Từ thực nghiệm của Lummer và Pringsheim cho thấy trong điều kiện đẳng nhiệt, đờng cong phân bố năng lợng E () theo bớc sóng có dạng nh hình 1.1b. Hình 1.1. a) Bức xạ truyền đến cho vật đen tuyệt đối bị nó hấp thụ hoàn toàn b) Đờng cong đẳng nhiệt biểu diễn sự phụ thuộc của năng lợng E ( ) vào bớc sóng do vật đen tuyệt đối phát ra 8 Nhìn vào quang phổ trên ta thấy rằng, tổng năng lợng bức xạ E tăng theo nhiệt độ và khả năng bức xạ quang phổ E () đối với mỗi nhiệt độ có một trị số cực đại tại một sóng nhất định. Nh vậy, có hai vấn đề cần đợc giải thích đó là sự phụ thuộc của E vào T và sự phụ thuộc của E vào . - Theo định luật Stefan-Boltzamnn ta có biểu thức sự phụ thuộc của E vào T: E = kT 4 (1.3) Trong đó K là hằng số tỉ lệ và T là nhiệt độ tuyệt đối. Nh vậy, biểu thức trên cho thấy E tỉ lệ thuận với T - Từ quan điểm của cơ học cổ điển về tính liên tục của các đại lợng vật lý, Rayleigh đã thiết lập biểu thức sự phụ thuộc của E vào : kT c E 4 2 = (1.4) Trong đó k là hằng số Boltzmann, c là vận tốc ánh sáng trong chân không. T là nhiệt độ tuyệt đối, là tần số của bức xạ. Từ (1.4) cho thấy, ở miền bớc sóng lớn thì sự phụ thuộc của E vào phù hợp với thực nghiệm. Tuy nhiên, ở miền bớc sóng nhỏ, ứng với miền tử ngoại của quang phổ thì theo (1.4) E phải tăng. Điều này không phù hợp với quan sát thực nghiệm của Lummer và Pringsheim. Nh vậy, việc ứng dụng vật lý học kinh điển để giải thích quang phổ của vật đen tuyệt đối có liên quan đến sự bức xạ năng lợng của các phần tử dao động tích điện có kích thớc nguyên tử hoàn toàn thất bại ở vùng bớc sóng tử ngoại. Hiện tợng này đợc các nhà vật lý gọi là S SS Sự ựự ự khủng hoảng tử ngoại khủng hoảng tử ngoạikhủng hoảng tử ngoại khủng hoảng tử ngoại . . 1.4.2. Thuyết lợng tử Planck Để đa vật lý thoát ra khỏi Sự khủng hoảng tử ngoại, năm 1900 nhà vật lý ngời Đức là Max Planck đa ra thuyết lợng tử gọi là thuyết lợng tử Planck. Theo thuyết lợng tử Planck thì: Một dao động tử dao động với tần số chỉ có thể phát ra hay hấp thụ năng lợng từng đơn vị gián đoạn, từng lợng nhỏ một nguyên vẹn, gọi là lợng tử năng lợng . Lợng tử năng lợng này tỉ lệ với tần số của dao động tử". = h. (1.5) (h = 6,625.10 -27 erg.sec = 6.625.10 -34 J.s) ý nghĩa quan trọng của thuyết lợng tử Planck là đã phát hiện ra tính chất gián đoạn hay tính chất lợng tử của năng lợng trong các hệ vi mô. Năng lợng của 9 electron trong nguyên tử, năng lợng quay, năng lợng dao động của các nguyên tử hay nhóm nguyên tử trong phân tử đều nhận những giá trị gián đoạn xác định. Theo thuyết lợng tử Planck thì năng lợng của dao động tử dao động với tần số chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn: 0, h, 2h, 3h, 4h, nh nghĩa là bội số nguyên lần lợng tử năng lợng = h. Do đó, ta có thể biểu diễn E theo công thức: E = nh (n = 0, 1, 2, 3, ) Mặt khác, vì năng lợng của dao động tử phát ra hay hấp thụ dới dạng năng lợng bức xạ nên thuyết lợng tử Planck cũng có nghĩa là: ánh sáng hay bức xạ nói chung gồm những lợng tử năng lợng = h. phát đi từ nguồn sáng . Vì vậy, thuyết lợng tử Planck còn đợc gọi là thuyết lợng tử ánh sáng. 1.5. Mô hình nguyên tử của Bohr 1.5. Mô hình nguyên tử của Bohr1.5. Mô hình nguyên tử của Bohr 1.5. Mô hình nguyên tử của Bohr 1.5.1. Các tiên đề của Bohr Năm 1913, Bohr nhận thấy rằng hằng số tác dụng Planck và xung lợng góc có cùng một thứ nguyên giống nhau là (năng lợng * thời gian). Kết hợp mô hình nguyên tử của Rutherford với thuyết lợng tử của Planck (1900), Bohr đa ra mô hình nguyên tử nổi tiếng mang tên ông. Mô hình này dựa trên 3 tiên đề: 1. Trong nguyên tử electron không chuyển động trên những quĩ đạo bất kì mà chỉ đợc phép chuyển động trên những quĩ đạo sao cho xung lợng quay (còn gọi là mô men xung lợng) của nó bằng số nguyên lần đại lợng 2 h = (điều kiện lợng tử hoá xung lợng quay). L = n. hay mvr = n. (1.6) ( n = 1,2,3, ) Ngời ta gọi n là số lợng tử. 2. Khi chuyển động trên các quĩ đạo đợc lợng tử hoá nói trên, electron không phát ra bức xạ nghĩa là không mất năng lợng. Quĩ đạo hay trạng thái trên đó năng lợng của electron có một giá trị xác định, không đổi gọi là quĩ đạo dừng hay trạng thái dừng. 3. Electron chỉ phát xạ hay hấp thụ bức xạ khi chuyển từ trạng thái dừng này sang trạng thái dừng khác. Năng lợng của bức xạ đợc phát ra hay hấp thụ đúng bằng hiệu số năng lợng của hai trạng thái đó. E = E n2 - E n1 = h (1.7) E n2 là trạng thái có năng lợng cao, E n1 là trạng thái có năng lợng thấp. [...]... toán tử tuyến tính Hermit - Nếu L là toán tử tuyến tính Hermit thì L a (a 0) cũng là toán tử tuyến tính Hermit Ví dụ: Toán tử i d d là toán tử tuyến tính Hermit thì -i cũng là toán tử dx dx tuyến tính Hermit - Nếu A và B là toán tử tuyến tính Hermit thì giao hoán tử A B = B A cũng là toán tử tuyến tính Hermit 29 - Toán tử A và B là Hermit thì tổng hoặc hiệu của chúng cũng là toán tử tuyến... v u,v: hàm ; Ví dụ: toán tử (3.2) a,b: các hằng số bất kì d của hàm f(x) theo x là toán tử tuyến tính vì: dx d d d (af1(x) + bf2(x)) = a f1(x) + b f2(x) dx dx dx Một số toán tử tuyến tính nh: toán tử nhân (với một số, một hàm số) +Toán tử , vi phân: d , dx d2 dx 2 24 2 2 2 + 2 + 2 x 2 y z +Toán tử Laplace: = +Toán tử Napla: = + + x y z +Toán tử Hamilton H = Các toán tử không tuyến tính: - 2 ... loại toán tử này mới đủ khả năng biểu diễn bản chất của các đại lợng vật lý của hệ lợng tử Và đó cũng là lý do tại sao toán tử Hermite là công cụ toán học trong cơ học lợng tử Câu hỏi và bài tập 1 2 3 4 5 6 Toán tử là gì? Thế nào là toán tử tuyến tính? Cho biết điều kiện để hai toán tử A và B đợc gọi là giao hoán với nhau Cho biết định nghĩa về phơng trình hàm riêng - trị riêng của toán tử Cho biết... cả nguyên tử He chỉ có 2 electron) thì thuyết này cũng hoàn toàn bất lực Nh vậy, thuyết Bhor-Sommerfeld chỉ đợc coi là một giai đoạn quá độ để đi đến một lí thuyết hoàn chỉnh: Cơ học lợng tử Câu hỏi và bài tập 1 Trình bày nội dung mô hình nguyên tử của Rutherford 2 Trong điều kiện nào xuất hiện phổ nguyên tử? Phổ nguyên tử của hydro có những đặc điểm gì? 3 Trình bày nội dung của thuyết lợng tử Planck... và L là trị riêng của toán tử L : (3.3) L u = Lu u là hàm riêng của L , còn L là trị riêng của L ứng với hàm riêng u Vd: d (eax) = a eax dx hàm u(x) = eax là hàm riêng của toán tử d , còn a là trị riêng của toán tử và ứng dx với hàm riêng eax Phơng trình (3.3) đợc gọi là phơng trình hàm riêng- trị riêng của toán tử L b Trị riêng không suy biến và suy biến Một toán tử tuyến tính L có thể tồn tại... vào số lợng tử phụ nửa: E n,n = - àZ 2 e 4 2 Z 2 1 3 [1 + ( )] 2 2 2 n n 4n (4 ) 2n (1.12) Ngời ta gọi là hằng số cấu trúc tinh tế, nó đợc tính bằng: = e2 1 ) 4 e 137 1 ( Nh vậy: Mẫu nguyên tử của Bohr-Sommerfeld có một ứng dụng quan trọng trong quá trình phát triển lí thuyết về cấu tạo nguyên tử và phân tử Mẫu nguyên tử Bohr-Sommerfeld đợc coi là hoàn hảo nhất trong số các mẫu nguyên tử đầu tiên... 1); 3.2.2 Tính chất của toán tử tuyến tính Nếu hai toán tử A , B là toán tử tuyến tính (t4) thì tổ hợp tuyến tính của chúng là toán tử tuyến tính và tích của chúng nhân với một số cũng là toán tử tuyến tính A , B : t4 thì (a A + b B ) : t4 (c A B , d B A ) : t4 3.2.3 Hàm riêng và trị riêng của toán tử tuyến tính a Định nghĩa: Nếu kết quả tác động của toán tử tuyến tính L lên một hàm u... biết định nghĩa về toán tử Hermit Toán tử Hermit có những tính chất gì? Chứng minh Hãy xác định hàm g(x) thu đợc khi cho toán tử U tác dụng lên hàm f(x) trong các trờng hợp dới đây: a) u = x; f ( x) = e x 2 2 d ; f(x) = e x dx (toán tử nghịch đảo); f(x) = x2 - 3x + 5 c) u = i 2 du và hàm số f(x) = e x Hãy thực hiện phép 7 Cho toán tử x = x; toán tử u = dx giao hoán tử [ x , u ] Từ kết quả... bản chất của hệ lợng tử Một trong những công cụ ấy là toán tử tác dụng lên hàm sóng 3.1.1 Định nghĩa: Toán tử là một phép toán khi ta tác dụng lên một hàm thì cho ra một hàm mới Thực hiện các phép toán đợc qui ớc trong toán tử A đối với hàm số x đứng sau nó ta nhận đợc hàm mới x Hay nói cách khác x là kết quả của sự tác động toán tử A lên hàm số x A x = x Kí hiệu: Ví dụ: nó Toán tử A nhân với a d/ dx... nhân với a d/ dx hàm số x 4 x +5 (3.1) hàm mới ax 4x3 Toán tử A = nhân với a có nghĩa là thực hiện phép nhân a vào hàm số đứng sau A = d/ dx nghĩa là lấy đạo hàm theo x hàm số đứng sau nó Ngời ta thờng kí hiệu các toán tử: A , B , C 3.1.2 Các phép toán về toán tử a Phép cộng của hai toán tử A và B: Tổng các toán tử A và B là toán tử C ( C = A + B ) sao cho khi C tác dụng lên hàm u (tuỳ ý) . hàm Chơng 3. Toán tử và hệ hàm 23 3.1. Toán tử 23 3.2. Toán tử tuyến tính 24 3.3. Một số khái niệm về các hệ hàm 26 3.4. Toán tử tuyến tính tự liên hợp (toán tử Hermit) 28 Câu hỏi và bài tập. qua vật chất. Khác với trờng hợp chung, thì vật đen tuyệt đối là vật hấp thụ hoàn toàn tất cả năng lợng bức xạ. Một thí dụ về vật đen tuyệt đối là một quả cầu bằng đồng, bên trong rỗng đợc. 1.1a). Sau khi hấp thụ toàn bộ năng lợng đợc truyền đến, vật đen tuyệt đối sẽ nóng lên. Cũng nh bất cứ vật rắn nào khác, vật đen tuyệt đối bị nóng lên sẽ phát ra năng lợng dới dạng sóng điện