Chuyên đề 08 tích phân đơn giản sử dụng tích chất để tính tích phân hướng dẫn giải

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ 08: SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN – TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x liên tục K ; a, b hai phần tử F x f x F b  F  a thuộc K ,   nguyên hàm   K Hiệu số   gọi tích phân của f  x từ a đến b kí hiệu: b f  x  dx F  x  b a F  b   F  a  Các tính chất tích phân: a  a b f  x  dx 0  f  x  g  x   dx f  x  dx g  x  dx  b b a b f  x  dx  f  x  dx  a b   a a b b a c a b f  x dx f  x dx  f  x  dx a a c b b k f  x  dx k f  x  dx a  Nếu f  x  g  x  x   a; b  a b f  x  dx g  x  dx a a Phương pháp đổi biến số loại để tính tích phân b Yêu cầu : Tính tích phân Phương pháp: I f1  x  f  x  dx a b + Biến đổi dạng + Đặt + I f  u  x   u  x  dx a t u  x   dt u  x  dx Đổi cận: x a  t u  a  t1 ; x b  t u  b  t t2 + Khi đó: I f  t  dt t1 tính phân đơn giản t u  x  Một số dấu hiệu cách chọn Dấu hiệu Hàm số chứa mẫu số Hàm số chứa  f x, u ( x ) n  f ( x)  lũy thừa Hàm số có dạng  Hàm số lượng giác có góc xấu Hàm số mũ, mà mũ xấu Hàm số log u mà u xấu Cách chọn t t mẫu số t căn: t  u ( x) t biểu thức lũy thừa, t  f ( x) t góc xấu t mũ xấu t u Hàm số f ( x)  f ( x)  Hàm a sin x  b cos x c sin x  d cos x  e  x  a  x  b Tổng quát đặt x  x   cos 0    + Với x  a   x  b  , đặt t tan t  x  a  x b t  xa  x b + Với x  a   x  b  , đặt t    x  a    x  b R(cos x).sin xdx R(sin x).cos xdx R(tan x) dx cos x R (cot x) dx sin x x x Hàm có e , a Đặt t cos x Đặt t sin x Đặt t tan x Hàm số vừa có ln x vừa có x Đặt t ln x Đặt t cot x x x Đặt t e , t a Phương pháp đổi biến số loại để tính tích phân b I f  x  dx a Yêu cầu: Tính tích phân x   t   dx   t  dt Phương pháp: Đặt x a  t t1 ; x b  t t2 + Đổi cận: t2 I f    t     t  dt t1 + Khi đó: Một số cách đổi biển cần nhớ:    a   bx  c  : bx  c  a tan t , t    ;   2 + +    a   bx  c  : bx  c  a sin t , t    ;   2 a    bx  c   a : bx  c  , t    ;  \  0 sin t  2 + x2 dx  ax  bx  c x1 + Nhớ: 0, a 0  x2  x1 a ( x b   a x    2a  4a  b  ) tan t t2 2a 4a t1 Phương pháp phần để tính tích phân Cơng thức phần: b b b u  x  v x  dx  u  x  v  x    v  x  u x  dx a a a a    dt  b Viết gọn: udv  uv  a b b  vdu a a b Áp dụng: Tính tích phân Phương pháp: I f  x  dx a b + Bước 1: Biến đổi I f1  x  f  x  dx a u  f1  x    dv  f  x  dx + Bước 2: Đặt b du  f1 x  dx  v f  x  dx b I  uv  a  vdu a + Bước 3: Khi I P  x  sin  ax  b  dx P  x ● Dạng , đa thức du P x  dx u P  x      dv sin  ax  b  dx v  a cos  ax  b   Với dạng này, ta đặt I P  x  cos  ax  b  dx P  x ● Dạng , đa thức du P x  dx u P  x      dv cos  ax  b  dx v  a sin  ax  b   Với dạng này, ta đặt ax b I P  x  e dx P  x ● Dạng , đa thức du P x  dx u P  x      ax b ax b dv e dx v  e a  Với dạng này, ta đặt I P  x  ln g  x  dx P  x ● Dạng , đa thức u ln g  x   dv P  x  dx Với dạng này, ta đặt  sin x   x I   e dx  cos x  ● Dạng   sin x  u     cos x   x Với dạng này, ta đặt dv e dx Câu 8:_TK2023 Nếu A Chọn A f  x  dx 2 1 B g  x  dx 3 1 C Lời giải  f  x   g  x   dx 1 D  4  f  x   g  x   dx  f  x  dx  g  x  dx 2 3 5 Ta có 1 1 Câu 24: _TK2023 Nếu A Chọn D 1   f  x   1 2 f  x  dx 4  f  x   2 dx 1  B C Lời giải D  2 1  2 dx  f  x  dx  2dx    20  Câu 1: f  x  dx 3 Nếu A g  x  dx   f  x   g  x   dx B  bằng? D C Lời giải Chọn C 5 Ta có 2 Câu 2:  f  x   g  x   dx f  x  dx  g  x  dx 3     1 f  x  dx 2 Nếu A 3 f  x  dx B C 18 D 12 Lời giải Chọn A 5 3 f  x  dx 3f  x  dx 3.2 6 Ta có 2 Câu 3: f  x  dx 2 Nếu A 20  f  x   x  dx 2 B 10 C 18 D 12 Lời giải Chọn B Ta có: Câu 4: 3 2  f  x   x  dx f  x  dx  2 xdx 2  x 2   10 f  x dx 4 Biết A  1 3 g  x dx 1 B Khi đó:  f  x   g  x   dx C Lời giải Chọn B bằng: D 3 Ta có 2 Câu 5:  f  x   g  x   dx f  x  dx  f  x  dx 3 Biết A g  x  dx 1 g  x  dx 4  3 Khi  f  x   g  x   dx B D C  Lời giải Chọn A Ta có: Câu 6: 3  f  x   g  x   dx f  x  dx  g  x  dx 4 2 2 f  x  dx 3 g  x dx 2  f  x   g  x   dx Biết A Khi bằng? C B D  Lời giải Chọn B Ta có: Câu 7: 2  f  x   g  x   dx f  x  dx  Biết tích phân g  x  dx 3  1 1 f  x  dx 3 g  x  dx   f  x   g  x   dx B A  Khi C  D Lời giải Chọn C Ta có Câu 8: 1  f  x   g  x   dx f  x  dx  g  x  dx 3      0 1 0 f ( x)dx 2 g ( x)dx   f ( x)  g ( x) dx Biết   ,  A B  C  D Lời giải Chọn C 1 0  f ( x)  g ( x) dx 0 f ( x)dx  0 g ( x)dx 2  ( 4)  Câu 9: Biết 1 f  x dx  g  x dx 3  f  x   g  x   dx A  B , C  Lời giải Chọn C D 1  f  x   g  x   dx f  x dx  g  x dx    0 Câu 10: Nếu A 3 f ( x)dx 5 f ( x)dx  f ( x)dx C  10 B D  Lời giải Chọn A c Áp dụng công thức b b f ( x)dx  f ( x)dx f ( x)dx a c ( a  c  b) a , ta có f ( x)dx f ( x)dx  f ( x)dx 5  ( 2) 3 1 2 Câu 11: Tích phân 15 A x dx C 17 B 15 D Lời giải Chọn D x4 x dx   Ta có Câu 12: Nếu A  24 15   4 3  f  x  1 dx 5 f  x dx C B D Lời giải Chọn D 3 3  f  x  1 dx 5  2f  x dx  dx 5  2f  x dx  5  1 1 Ta có 1 f  x  dx 4 2 f  x  dx Câu 13: Nếu A 16 B C Lời giải Chọn D Ta có: 2 f  x  dx 2f  x  dx 2.4 8 0 f  x dx  D Câu 14: Biết f  x  dx 3 Giá trị A 2 f  x  dx B C D Lời giải Chọn C 3 2 f  x  dx 2f  x  dx 2.3 6 Ta có: 1 Câu 15: Biết F  x  x nguyên hàm hàm số f  x  Giá trị   f  x   dx A 13 C B D Lời giải Chọn A 2 Ta có: Câu 16: Biết   f  x   dx  x  x  8  5 5 f  x  dx 4 3 f  x  dx A Giá trị B C 64 D 12 Lời giải Chọn D Ta có 3 f  x  dx 3f  x  dx 3.4 12 1 Câu 17: Biết F  x  x3 nguyên hàm hàm số 23 A B f  x C  Giá trị 15 D Lời giải Chọn C Ta có Câu 18: Biết 2   f ( x)  dx 2dx  f ( x)dx 2 x 1 f  x  dx 2 3 f  x  dx Giá trị 2 2  F ( x) 2 x  x 9 1 1   f ( x)  dx A C B D Lời giải Chọn B Ta có : 3 f  x dx 3f  x dx 3.2 6 1 3 Câu 19: Biết F ( x) x nguyên hàm hàm số f ( x)  Giá trị (1  f ( x))dx A 20 B 22 C 26 D 28 Lời giải Chọn D Ta có Câu 20: Biết A   f ( x) dx  x  F ( x) 1  x  x )  1  f  x   2x  dx=2 f  x dx Khi B 30  28 : D C Lời giải Chọn A Ta có 1 1 0 0 1  f  x   2x dx=2  f  x dx+ 2xdx=2  f  x dx 2  x  f  x dx 2  1  f  x dx 1 1  f  x   x  dx 3 f  x  dx Câu 21: Biết A Khi B C D Lời giải Chọn D 1  f  x   x  dx 3  f  x dx  2xdx 3  Ta có Suy Câu 22: f  x  dx 3  x 1 3     2 1 0 f  x dx  x2 3  f  x   x  dx 4 f  x  dx Biết  Khi  A B C D Lời giải Chọn A 0  f  x   x  dx 4  1 0  f  x  dx  2 xdx 4   f  x  dx 4  3 4 f  x  dx 1 f  t  dt  f  y  dy Câu 23: Cho A I 5 , 2 2 Tính C I 3 B I  D I  Lời giải Ta có: 4 f  t  dt  f  x  dx 2 2 Khi đó: , 2 2 f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx    f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx 2  f  y  dy f  x  dx 2 2 Vậy Câu 24: Cho f  y  dy  f ( x) f ( x) dx  ; 0 A dx 5 Tính f ( x) B dx C D Lời giải Ta có f ( x) f ( x) dx = dx + 3 f ( x) f ( x)  dx dx = f ( x) dx  f ( x ) dx = 5+ 1= Vậy f ( x) dx = Câu 25: Cho hàm số f  x liên tục R có A I 5 I B I 36 f ( x)dx 9; f ( x)dx 4 C Tính I f ( x )dx D I 13 Lời giải 4 I f ( x)dx f ( x )dx  f ( x)dx 9  13 0 Ta có: Câu 26: Cho hàm số f  x liên tục  f  x  dx 10 f  x  dx 4 , 3 Tích phân A B C D f  x  dx Lời giải Theo tính chất tích phân, ta có: 4 0 f  x  dx f  x  dx  f  x  dx 10  6 Suy ra: f  x  dx  f  x  dx f  x  dx f  x  dx 6 Vậy f ( x) Câu 27: Cho hàm số liên tục  thoả mãn 12 f  x  dx 9 f  x  dx 3 f  x  dx 5 , , 12 I  f  x  dx Tính A I = 17 B I = D I = C I = 11 Lời giải 12 12 I  f  x  dx f  x  dx  f  x  dx Ta có: 8 12 f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx 9   7 Câu 28: Cho hàm số f  x liên tục  0;10 thỏa mãn 10 f  x  dx 7 f  x  dx 3 , 10 P f  x  dx  f  x  dx A P 10 C P 7 B P 4 D P  Lời giải 10 Ta có 10 f  x  dx f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx 0 Suy 10 10 f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx 7  4  1;3 thoả: Câu 29: Cho f , g hai hàm liên tục đoạn 3  f  x   3g  x   dx 10  f  x   g  x   dx 6 A , B Tính  f  x   g  x   dx C Lời giải 3  f  x   3g  x   dx 10 f  x dx  3g  x  dx 10  1  D Tính