Chuyên đề 08 tích phân đơn giản sử dụng tích chất để tính tích phân đề hs

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ 08: SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN – TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x liên tục K ; a, b hai phần tử F x f x F b  F  a thuộc K ,   nguyên hàm   K Hiệu số   gọi tích phân của f  x từ a đến b kí hiệu: b f  x  dx F  x  b a F  b   F  a  Các tính chất tích phân: a  a b f  x  dx 0  f  x  g  x   dx f  x  dx g  x  dx a  b b a b f  x  dx  f  x  dx  a b   a b b a c a b f  x dx f  x dx  f  x  dx a a c b b k f  x  dx k f  x  dx a  Nếu f  x  g  x  x   a; b  a b f  x  dx g  x  dx a a Phương pháp đổi biến số loại để tính tích phân b Yêu cầu : Tính tích phân Phương pháp: I f1  x  f  x  dx a b + Biến đổi dạng + Đặt + I f  u  x   u  x  dx a t u  x   dt u  x  dx Đổi cận: x a  t u  a  t1 ; x b  t u  b  t t2 + Khi đó: I f  t  dt t1 tính phân đơn giản t u  x  Một số dấu hiệu cách chọn Dấu hiệu Hàm số chứa mẫu số Hàm số chứa  f x, u ( x ) n  f ( x)  lũy thừa Hàm số có dạng  Hàm số lượng giác có góc xấu Hàm số mũ, mà mũ xấu Hàm số log u mà u xấu Cách chọn t t mẫu số t căn: t  u ( x) t biểu thức lũy thừa, t  f ( x) t góc xấu t mũ xấu t u Hàm số f ( x)  f ( x)  Hàm a sin x  b cos x c sin x  d cos x  e  x  a  x  b Tổng quát đặt x  x   cos 0    + Với x  a   x  b  , đặt t tan t  x  a  x b t  xa  x b + Với x  a   x  b  , đặt t    x  a    x  b R(cos x).sin xdx R(sin x).cos xdx R(tan x) dx cos x R (cot x) dx sin x x x Hàm có e , a Đặt t cos x Đặt t sin x Đặt t tan x Hàm số vừa có ln x vừa có x Đặt t ln x Đặt t cot x x x Đặt t e , t a Phương pháp đổi biến số loại để tính tích phân b I f  x  dx a Yêu cầu: Tính tích phân x   t   dx   t  dt Phương pháp: Đặt x a  t t1 ; x b  t t2 + Đổi cận: t2 I f    t     t  dt t1 + Khi đó: Một số cách đổi biển cần nhớ:    a   bx  c  : bx  c  a tan t , t    ;   2 + +    a   bx  c  : bx  c  a sin t , t    ;   2 a    bx  c   a : bx  c  , t    ;  \  0 sin t  2 + x2 ax x1 dx  bx  c + Nhớ: 0, a 0  x2  x1 a ( x b   a x    2a  4a  b  ) tan t t2 2a 4a t1 Phương pháp phần để tính tích phân Cơng thức phần: b u  x  v x  dx  u  x  v  x   a b a b  v  x  u  x  dx a a    dt  b Viết gọn: b b udv  uv  a  vdu a a b Áp dụng: Tính tích phân I f  x  dx a Phương pháp: b + Bước 1: Biến đổi I f1  x  f  x  dx a u  f1  x    dv  f  x  dx + Bước 2: Đặt b du  f1 x  dx  v f  x  dx b I  uv  a  vdu a + Bước 3: Khi I P  x  sin  ax  b  dx P  x ● Dạng , đa thức du P x  dx u P  x      dv sin  ax  b  dx v  a cos  ax  b   Với dạng này, ta đặt I P  x  cos  ax  b  dx P  x ● Dạng , đa thức du P x  dx u P  x      dv cos  ax  b  dx v  a sin  ax  b   Với dạng này, ta đặt ax b I P  x  e dx P  x ● Dạng , đa thức du P x  dx u P  x      ax b ax b dv e dx v  e a  Với dạng này, ta đặt I P  x  ln g  x  dx P  x ● Dạng , đa thức u ln g  x   dv P  x  dx Với dạng này, ta đặt  sin x   x I   e dx  cos x  ● Dạng   sin x  u     cos x   x Với dạng này, ta đặt dv e dx Câu 8:_TK2023 Nếu A 4 f  x  dx 2 g  x  dx 3 1 B 1 C Lời giải  f  x   g  x   dx 1 D  Ta có 1 1 Câu 24: _TK2023 Nếu A 1   f  x   f  x  dx 4  f  x   2 dx Câu 4: Câu 7: Câu 8: D  2 f  x  dx 3 Nếu A g  x  dx   f  x   g  x   dx B  bằng? C D C 18 D 12 f  x  dx 2 Nếu A 3 f  x  dx B f  x  dx 2 Nếu A 20  f  x   x  dx 2 B 10 C 18 D 12 3 f  x dx 4 g  x dx 1  f  x   g  x   dx Biết A  Khi đó: B f  x  dx 3 Biết A g  x  dx 1 Khi  f  x   g  x   dx D g  x dx 2 Khi  f  x   g  x   dx bằng? C B Biết tích phân A  C  f  x  dx 3 D B Biết A bằng: C D  1 f  x  dx 3 g  x  dx   f  x   g  x   dx B Khi C  1 0 D f ( x)dx 2 g ( x)dx   f ( x)  g ( x) dx Biết   ,  A Câu 9: Câu 6:  C Lời giải Câu 5: 1  2 dx  f  x  dx  2dx    20  Câu 3: 1 B Câu 2: 1 Câu 1:  f  x   g  x   dx  f  x  dx  g  x  dx 2 3 5 C  1 f  x dx  g  x dx 3  f  x   g  x   dx Biết A  Câu 10: Nếu B  , C  B 3 f ( x)dx 5 f ( x)dx  f ( x)dx D D A B C  10 D  17 B C 15 D C D C D C D Câu 11: Tích phân 15 A Câu 12: Nếu x dx 3  f  x  1 dx 5 f  x dx A B 1 f  x  dx 4 2 f  x  dx Câu 13: Nếu A 16 Câu 14: Biết thì B 3 f  x  dx 3 2 f  x  dx Giá trị A B Câu 15: Biết F  x  x A Câu 16: Biết   f  x   dx   nguyên hàm hàm số Giá trị 13 B C D f  x 5 f  x  dx 4 3 f  x  dx A Giá trị B C 64 D 12 F  x  x3 Câu 17: Biết 23 A nguyên hàm hàm số B Câu 18: Biết f  x  dx 2 f  x  Giá trị   f ( x)  dx C 15 D C D Giá trị A 3 f  x  dx B (1  f ( x))dx Câu 19: Biết F ( x)  x nguyên hàm hàm số f ( x)  Giá trị A 20 B 22 C 26 D 28 Câu 20: Biết A 1  f  x   2x  dx=2 f  x dx Khi B : C D 1  f  x   x  dx 3 f  x  dx Câu 21: Biết A Câu 22: Khi B C 1 0 D  f  x   x  dx 4 f  x  dx Biết  Khi  A Câu 23: Cho A I 5 , 2 Tính f  y  dy C I 3 B I  f ( x) f ( x) dx  ; dx 5 Tính f ( x) dx C Câu 25: Cho hàm số liên tục R có A I 5 Câu 26: Cho hàm số A Câu 27: Cho hàm số f ( x) liên tục  B D 4 f ( x)dx 9; f ( x)dx 4 B I 36 f  x D I  B f  x D f  x  dx 1 f  t  dt  2 Câu 24: Cho A C B C I I f ( x )dx Tính D I 13 4 f  x  dx 10 f  x  dx 4 f  x  dx , C liên tục  thoả mãn Tích phân D 12 f  x  dx 9 f  x  dx 3 f  x  dx 5 , , 12 I  f  x  dx Tính A I = 17 Câu 28: Cho hàm số B I = f  x liên tục A P 10  0;10 thỏa mãn 10 f  x  dx 7 f  x  dx 3 , 10 P f  x  dx  f  x  dx D I = C I = 11 B P 4 C P 7 D P   1;3 thoả: Câu 29: Cho f , g hai hàm liên tục đoạn 3  f  x   3g  x   dx 10  f  x   g  x   dx 6 A , B Tính C  f  x   g  x   dx D Tính Câu 30: Cho hàm số f  x  0;10 liên tục đoạn 10 f  x  dx 7 f  x  dx 3 ; Tính 10 P f  x  dx  f  x  dx A P 4 B P 10 D P  C P 7 1;3 Câu 31: Cho f , g hai hàm số liên tục   thỏa mãn điều kiện  f  x   3g  x   dx=10 đồng  f  x   g  x   dx=6 thời A  f  x   g  x   dx Tính B C D f, Câu 32: Cho g hai hàm liên tục  1;3  f  x   3g  x   dx 10 thỏa:  f  x   g  x   dx 6 A Tính B I  f  x   g  x   dx C 5 f  x  dx   f  x   3x Câu 33: Cho A  140 Tích phân B  130 2  f  x   x  dx 1 f  x dx Câu 34: Cho A Khi B  D  dx C  120 D  133 bằng: C D  B C D  26 B C D 1 f  x  dx 1  f  x   3x  dx Câu 35: Cho A tích phân Câu 36: Tích phân 28 A x dx Câu 37: Tích phân x dx bằng A 15 B ln C ln D  Câu 38: Tích phân A sin xdx B 1 C D x Câu 39: Tích phân e dx e e  A B e  e C D B 2022 C D Câu 40: Tích phân x 2021 dx A   Câu 41: Tích phân A  cos xdx B C D B 12 C D C D  C 17 D  17 C D  Câu 42: Tích phân  x  x  dx A Câu 43: Tích phân  x  x   dx  B A Câu 44: Tích phân A  18  3x  x  1 dx B 18 2 x Câu 45: Tích phân 2 dx B ln A 3.ln Câu 46: Tính tích phân I   x  1 dx 1 A I 0 B I 1 I  C I 2 D C -1  D  Câu 47: Giá trị A sin xdx B 1 2 Câu 48: dx 2 x  1 ln 35 A 2 Câu 49: B ln ln C D ln dx 3x  1 ln B ln C A ln D ln x2 dx a  b ln c,  x Câu 50: Biết với a, b, c  , c  Tính tổng S a  b  c A S 7 B S 5 C S 8 D S 6 Câu 51: e x 1 dx 1 e  e A 3 B e  e 1 e  e C D e  e C I 4 D I 6 f ( x)dx 12 Câu 52: Cho A I 5 Tính I f (3 x)dx B I 36  Câu 53: Cho hàm số 2  A f  x f  x  dx  f  x  2sin x  x  R Biết , , 2   8    8  3  2  8 B C D f   4  Câu 54: Cho hàm số f ( x ) Biết f (0) 4 f ( x) 2 cos x  3, x   ,   8  8 A x Câu 55: Cho A B òx 2   8  B dx a ln  b ln  3x  2 Câu 56: Cho biết A 13 bằng?  2 D 2 , với a , bẻ Ô Tớnh T = a + b C 25 D dx  x 1  x   a ln  b ln  c ln Câu 57: Cho A , với a, b số hữu tỷ Khi a  b C D  x- dx = a ln + b ln + 4x +3 B 10   6  8 C f ( x)dx B với a, b, c số hữu tỉ Giá trị a  b  c C D Câu 58: Cho hàm số y  f  x f    f  1 5 có đạo hàm  đồng thời thỏa mãn Tính tích phân I f  x  e f  x  dx A I 10 21 x B I  dx x4 55 x D I 5 a ln  b ln  c ln , với a, b, c số hữu tỉ Mệnh đề sau đúng? B a  b  2c C a  b c D a  b  c Câu 59: Cho A a  b  2c C I 0 dx a ln  b ln  c ln11 x 9 , với a, b, c số hữu tỉ Mệnh đề Câu 60: Cho 16 đúng? A a  b 3c B a  b  3c D a  b c C a  b  c e ln x dx a  b  x  ln x Câu 61: Biết với a, b số hữu tỷ Tính S a  b S S S A S 1 B C D  Câu 62: Cho tích phân số A 2a  b 0 s inx dx a ln  b ln   cos x  B a  2b 0 với a, b   Mệnh đề đúng? C 2a  b 0 D a  2b 0 e 3ln x  I  dx x Câu 63: Cho tích phân Nếu đặt t ln x A 3t  I  t dt e e e 3t  I  dt t B C I  3t  1 dt D I  3t  1 dt 1 xf  x  dx x2  f  0  y  f  x  f x  xe   Câu 64: Cho hàm số biết với x   Khi e 1 e e e 1 A B C D e   x ln x  dx ae Câu 65: Cho A a  b c  be  c với a , b , B a  b  c c số hữu tỷ Mệnh đề đúng? C a  b c D a  b  c e   x ln x dx ae Câu 66: Cho A a  b c  be  c với a, b, c số hữu tỉ Mệnh đề sau đúng? B a  b c C a  b  c D a  b  c x ln  x Câu 67: Biết A 193  1dx a ln  b c Tính P 13a  10b  84c B 191 C 190 D 189 x  x +1 e dx = a + b.e Câu 68: Biết tích phân A  15 , tích a.b B  C D 20  x   ln xdx a  b ln  c ln Câu 69: Biết tồn số nguyên a, b, c cho Giá trị a  b  c A 19 B  19 C D  x ( x  2)e dx a  be Câu 70: Cho tích phân A B  , với a; b   Tổng a  b C D  I xe x dx Câu 71: Tính tích phân A I e B I  e D I 3e  2e C I e ln x b I  dx   a ln x c Câu 72: Cho tích phân với a số thực, b c số nguyên dương, đồng b thời c phân số tối giản Tính giá trị biểu thức P 2a  3b  c A P 6 B P  C P 5 D P 4 2025 I = ò e x  dx Câu 73: Tích phân tính phương pháp đồi biến t = x Khi tich phân I viết dươi dạng sau 2025 A I = 2ò t t.edt e I  Câu 74: Cho tích phân B I = 45 C 2 I 2 t dt t I = 2ò t.edt 2025 D I =ò t t ×edt  ln x dx x Đổi biến t   ln x ta kết sau đây? A 45 t edx ò1 B 2 I 2 t dt C I  t dt D I 2 t dt  Câu 75: Cho I sin x.ecos x dx Nếu đặt t cos x ta có A I  et dt 1 B Câu 76: Cho tích phân I    I et dt I  et dt C x 1 dx x 1 Khi đặt t  x  ta được? D I  et dt 1 A t 1 I  dt Câu 77: Cho I  t2  I  dt B 3 I  t  1 d t C t 1 I  dt D ln x  dx 2022 x Khi đặt t  ln x  ta được? t2 I  dt 4044 A I  t I  dt 1011 B f  x  1 f  x  Câu 78: Cho f  x  d x Khi đặt t2 I  dt 1011 C t  f  x  t2 I  dt 2022 D ta được? A I 2 t  d t   t 1 I  dt B 2021 I Câu 79: Cho tích phân   x  12 dx 2021 I A u 12 C I  t  d t  I B D I 2 t  d t   u 2021 2022 12 du I C  u  1 12 I du D  u  1 12 x dx x  , đặt t  x  Tìm khẳng định khẳng định sau? Câu 80: Cho 3 6 t 3 t 3 t 3 t 3 I  dt I  2tdt I  2tdt I  dt t t t t 2 1 A B C D I  1 Câu 81: Cho I x5  x dx Nếu dặt t   x I A I t   t I t   t  dt B 1 2  dt I  t  t dt C D I t   t  dt I 2 x x  dx Câu 82: Tính tích phân A I 2  u du cách đặt u  x  , mệnh đề đúng? 2 I  u du I  u du I   u du 21 B C D  Câu 83: Cho tích phân   cos x sin xdx A Nếu đặt t 2  cos x kết sau đúng?  2 I  t dt B I 2 t dt C I  t dt D I  t dt  Câu 84: Tính tích phân I cos x sin x dx A I t dt cách đặt t cos x Mệnh đề đúng?  B Đặt u  x  ta 2022 du  I  t dt C I t dt  D I  t dt du I 3e x 1.x 2dx Câu 85: Tính tích phân A u e du B 1011 I  Câu 86: Cho tích phân 1011 I   t 2022dt A Câu 87: Cho tích phân x f I   x2 1 x 1 I  16  x dx C I  t 2022dt 1 1011 D I  t 2022dt 3 ln e f   e2 x  dx 2x C 77 D 76   ; 2  Mệnh đề sau đúng?  I  B dx   I 8  cos 2t  dt C I 8  cos 2t  dt I 8   cos 2t  dt  D   x đặt x 2sin t Mệnh đề sau đúng?    I dt I tdt B 0 C  I  dt t D I dt  1 x Câu 91: Tính tích phân dx  A  cos tdt B  sin tdt cos C  tdt D cos tdt Câu 92: Cho hàm số A 192 , đặt t 1  x Tìm mệnh đề  t  Đặt x 4sin t , với 1 dx  Câu 90: Cho tích phân D 2021 B 78 Đặt t 2 x  , khẳng định sau đúng? ln I  16 cos tdt 3eu du  dx  A dx C t 2022dt   B A 79 A hàm 2022 3eu du 3  t  1  t  1  t  1 I  dt I   dt I   dt t 21 t 21 t B C D x   2x y  f ( x)   x  x 2 số Tính tích phân  t  1 I   dt 21 t A Câu 88: Cho 2021   x2  u e du  x  1 x I  Câu 89: Cho cách đổi biến đặt x  u I   liên tục  thỏa mãn f  x f x B 57 Câu 93: Phát biểu sau đúng?   3x   x  57 C Tính f  x  dx D 196 A 1 C ln x dx x ln x  1dx B 1 ln x dx x ln x  1dx 1 ln x dx x ln x  1dx D 2 ln x dx x ln x  1dx 1  Câu 94: Cho A I x.cos xdx   I x.sin x|  cos xdx B   C Nếu đặt u  x dv cos xdx ta có I  x.sin x|  sin xdx 0 I  x.sin x|  sin xdx D     I x.sin x|  sinxdx 0 Câu 95: Cho tích phân I  xe  x dx Mệnh đề đúng? x 9 x 2 I  x x.e  x  x x e x dx 34 C Câu 96: Phát biểu sau đúng?  0  3sin xdx  I  x   cos xdx  3x   sin x  0 I  x   cos xdx  3x   sin x  0 D Câu 97: Phát biểu sau đúng?   0   0 y  f  x 0  B 2018 x f  x  dx 2 x Giá trị  0  D 2019 f  x  dx  x.sin xdx  x.cos x|  cos xdx   x.sin xdx  x.cos x|  cos xdx 0 có đạo hàm liên tục đoạn  sin xdx  x.sin xdx x.cos x|  cos xdx   x.sin xdx x.cos x|  cos xdx Câu 98: Cho hàm số  sin xdx  I  x   cos xdx  3x   sin x C  3sin xdx   A 1 dx  x 24e x  I  x   cos xdx  3x   sin x  C D  B I  x.e  x   A e x I  x.e   dx 24 x B e I  x.e  dx 4 x A x  0;1 thỏa mãn f  1 0 B 2019 A  4038 C 4038 D 2019  f  x Câu 99: Cho hàm số liên tục có đạo hàm  0;1 Biết I  x   f  x  dx 5 f    f  1 7 Giá trị tích phân B A f  x  dx C D f  x Câu 100: Cho hàm số có đạo hàm  thỏa mãn xf '  x  dx 10 f  3 6 Tính I f  x  dx I A B I  10 I C D I 24  x   f  x  dx 0 f  x f   2 Câu 101: Hàm số liên tục thỏa mãn A I  B I 4 C I 0 I f  x  dx Tính D I 2 y  f  x Câu 102: Cho hàm số liên tục đoạn  0;3 xf  x dx = thỏa mãn f  3 2 Tính I f  x dx B I  A I 4 D I 6 C I  f  x Câu 103: Cho hàm số liên tục có đạo hàm  0;1 Biết  x   f  x dx 5 f    f  1 7 A f  x dx Giá trị B D C  3x 1 f  x  dx 2019, Câu 104: Cho A f  1  f   2020 B Tính C f  3x  dx D f  x Câu 105: Cho liên tục  thỏa mãn f   16 f  x  dx 2 Tính tích phân I xf  x  dx A I 30 B I 28 C I 36 D I 16 y  f  x Câu 106: Cho hàm số có đạo hàm f '  x liên tục thoả mãn   3x 1 f '  x  dx 2022 f  1  f   2028 B A Giá trị 2022 C I f  x  dx D f  x Câu 107: Cho hàm số liên tục  thỏa mãn f  1 1 f  t  dt  Tính  I  sin xf  sin x  dx I A B I C I D I     0;  y  f  x f  x  cos x  f  x  sin x 1, Câu 108: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn Biết   x   0;    f   1 Tính 1 A B y  f  x Câu 109: Cho hàm số  f  x  dx 3 C liên tục  f '  x   f  x  x, x   A e Giá trị 1 e B A f (1) e B f (1) 2e f  2 1 1 D có đạo hàm thỏa f  1 e 1 e D  x Câu 110: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục  , thỏa mãn f ( x )  f ( x) e f (0) 1 Tính f (1) Câu 111: Cho hàm số A  f  x liên tục  thỏa 2 f  x dx f  x dx 3 biết Câu 112: Cho hàm số B f  x C f (1) e  D f (1) e  f  x   xf  x  1 x  x  x  x  7 C D f  x  x   x  2, x   có đạo hàm  thỏa mãn Tính x f '  x  dx 27 A Tính giá trị C 219 B 357 C 27 D f  x Câu 113: Cho hàm số f    2 f   1 liên tục  có ; Tính I  2 f  x   f  x  dx ex 2 2 A I 1  2e B I 1  2e C I 1  2e D I 1  2e y  f  x f  x  f  x  x, x   f   1 Câu 114: Cho hàm số có đạo hàm  thỏa mãn Biết , khẳng định sau đúng? f   4 f   5 f   6 f   3 A B C D Câu 115: Cho hàm số f  x x I  f  x  f   x  e x A I   0; 2 nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục  4x với 14 B x   0; 2 I  32 Tính tích phân 16 I  C  3x  f  x  f  x I  D f   1 Biết dx 16 Câu 116: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) trục hoành gồm hai phần, phần nằm trục hồnh có diện tích S1  phần nằm trục hồnh có y I  f (3 x  1)dx S2  12 1 diện tích Tính 37 I I 36 A B C I D I S1 -2 O S2 x 27 Câu 117: Cho hàm số y  f ( x) liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích S1 , S thỏa mãn S1 2 S2 3 Tính tích phân B A Câu 118: Cho hàm số y  f  x f ( x)dx C  D liên tục không âm khoảng  0;  Biết diện tích hình thang cong giới hạn đường y  f  x  ; y 0; x 1; x 9 12 Tính I x f  x  dx A I 6 I 2 B I 24 C I 122 D