Chuyên đề 21 ung dung tích phân hướng dẫn giải

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ 21: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ ĐƠN GIẢN KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG  a; b  Định lý 1: Cho hàm số y  f ( x) liên tục, khơng âm   Khi diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) , trục hoành đường thẳng x a , x b là: b S f ( x)dx a Bài toán liên quan  a;b Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f (x) liên tục đoạn   , b trục hoành hai đường thẳng x a , x b xác định: y y  f (x) O a c1 c2 y  f (x)   y 0 (H )   x a   x b c3 b x S  f (x) dx a b S  f (x) dx a Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f (x) , y g(x) liên tục b  a;b đoạn   hai đường thẳng x a , x b xác định: y S  f (x)  g(x) dx a (C1 ) : y  f1 ( x )  (C ) : y  f2 ( x ) (H )   x a  x b  (C1 ) (C2 ) b O a c1 c2 b x S  f1(x)  f2(x) dx a Chú ý: b b f (x) dx  f (x)dx a - Nếu đoạn [a;b] , hàm số f (x) khơng đổi dấu thì: a - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Bài tốn 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đường x g(y) , x h(y) hai đường d thẳng y c , y d xác định: S  g(y)  h(y) dy c Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Bài tốn 4: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C1 ) : f1 ( x) , (C ) : f ( x) là: xn S   f ( x)  g( x) dx x1 Trong đó: x1 , xn tương ứng nghiệm nhỏ phương trình f ( x )  g( x ) II THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRỊN XOAY Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x , (a x b) Giả sử S(x) hàm số liên tục đoạn [a;b] (V ) O b x a b x V  S(x)dx a S(x) Thể tích khối trịn xoay Bài tốn 1: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f (x) , trục hoành hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: y y  f ( x) a O b (C ) : y  f ( x )  b (Ox ) : y 0 V   f ( x ) dx  x  x  x a a  x b Bài tốn 2: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x g(y) , trục hoành hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy: y d O c x (C ) : x g( y)  (Oy) : x 0   y c  y d d V y   g ( y ) dy c Bài tốn 3: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường b V  f 2(x)  g2(x) dx y  f (x) , y  g(x) hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: a Câu 29:_TK2023 Tính thể tích khối trịn xoay thu quay hình phẳng giới hạn hai đường y  x  x y 0 quanh trục Ox Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 16 V  15 A 16 V  B 16 V  C Lời giải 16 V  15 D Chọn D Phương trình hồnh độ giao điểm đường y  x  x đường y 0  x 0  x  x 0    x 2 2  x5 x  16 V    x  x  dx  x  x  x  dx    x     15  0 Thể tích Câu 1: Diện tích hình phẳng gạch chéo hình bên   2x A  1   2x C  1  x   dx  x   dx  2x B  1  2x D  1  x   dx  x   dx Lời giải Chọn A Dựa hình vẽ ta có diện tích hình phẳng gạch chéo hình bên là:     x 1 Câu 2:     x  x    dx    x  x   dx 1 Diện tích S hình phẳng giới hạn đường y 2 x , y  , x 0 x 1 tính cơng thức sau đây? A C S   x  1 dx S  x  1 dx B S  x  1 dx D S  x  1 dx Lời giải Chọn D 1 S 2 x  dx  x  1 dx Diện tích hình phẳng cần tìm Câu 3: 0 x   0;1 x   Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y x  y 2 x  Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT B A 36 4 C Lời giải D 36 Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị cho là:  x 0 x  2 x   x  x 0    x 2 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho là: 2  x3  S  x     x   dx x  x dx  x  x  dx  x    30  0 Câu 4: 2 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y x  y  x   13 13 A B C Lời giải Chọn D D  x 0 x   x   x  x 0    x 1 Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường là: 1 x  x dx   Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y  x  y x  125 125  A B C D Lời giải Chọn B  x 0 x  x   x  x 0    x 1 Ta có Phương trình hồnh độ giao điểm: 1 S  x  3   x  3 dx x  x dx  Diện tích hình phẳng: Câu 6: 0 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y  x  y 3x  9 125 125 A B C D Lời giải Chọn A Xét phương trình hồnh độ giao điểm, ta có: éx = Þ ê x - = 3x - ê ëx = 3 Như vậy, diện tích hình phẳng gới hạn ị( x - 2) - ( x - 2) dx = Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Câu 7: x Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y 2 , y 0 , x 0 , x 2 Mệnh đề đúng? A S  2 x dx B S 2 x dx C Lời giải S  22 x dx D S 22 x dx Chọn B 2 S 2 x dx 2 x dx Câu 8: x Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y e , y 0 , x 0 , x 2 Mệnh đề đúng? 2 x A x S e dx S  e dx B 0 x C Lời giải S  e dx D S  e x dx Chọn A x Diện tích hình phẳng giới hạn đường y e , y 0 , x 0 , x 2 là: Câu 9: Cho hàm số y  f  x y  f  x  , y 0, x  S e x dx liên tục  Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường x 5 Mệnh đề sau đúng? S  A f ( x)dx  f ( x)dx 1 1 C B S  f ( x)dx f ( x)dx 1 S  f ( x )dx  f ( x )dx 1 S  D Lời giải f ( x)dx f ( x)dx 1 Chọn C Ta có: Câu 10: S   f ( x) dx   f  x  dx  f  x  dx  1 Cho hàm số f  x 1 f  x  dx liên tục  Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , y 0, x  1, x 2 Mệnh đề đúng? Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT A S  f  x  dx + f  x  dx 1 1 S  C S  B f  x  dx  f  x  dx 1 1 f  x  dx+f  x  dx 1 D Lời giải S  f  x  dx  1 f  x  dx Chọn D 2 S   f  x  dx=  f  x  dx   f  x  dx 1 1 Nhìn hình ta thấy hàm số f  x liên tục nhận giá trị không âm đoạn   1;1 f  x  1; 2 nên  f  x  dx  f  x dx 1 1 ; hàm số liên tục nhận giá trị âm đoạn nên  f  x  dx  f  x dx 1 Vậy Câu 11: S  f  x  dx  1 f  x  dx Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x đồ thị hàm số y  x  x 37 81 A 12 B C 12 D 13 Lời giải Chọn A  x 0 x  x  x  x  x3  x  x 0   x 1  x  Phương trình hồnh độ giao điểm Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x  x đồ thị hàm số y  x  x là: 3 S  x  x   x  x  dx   x  x  x  dx  2 2  x  x  x  dx  x x3   x x3   16  1     x2      x2              4   2  0 Câu 12: Gọi S diện tích hình phẳng  H  giới hạn đường  37 1   12 y  f  x , trục hoành hai đường Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT thẳng x  , x 2 Đặt A S b  a a  f  x  dx b f  x  dx 1 , , mệnh đề sau đúng? B S b  a C S  b  a Lời giải D S  b  a Chọn A Ta có: 2 S   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  1 Câu 13: 1 f  x  dx  f  x  dx  a  b 1 Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây? A   x  2 dx 1 B C   x 1  x   dx 1 2  x   dx D  x  x   dx 1 Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Lời giải Chọn C Diện tích hình phẳng gạch chéo hình vẽ là: 2 S    x  3   x  x  1 dx   x  x  dx    x  x  dx 1 Câu 14: 1 Cho hàm số f  x A 1 S  f  x  dx 1 C x 4 Mệnh đề đúng? S  f  x  dx  B S  f  x  dx  f  x  dx 1 f  x  dx  f  x  dx 1 liên tục  Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  f  x  , y 0, x  1 1 S  D Lời giải f  x  dx  f  x  dx 1 Chọn A Ta có: hàm số f (x) 0 x    1;1 ; f (x) 0 x   1;  , nên: S   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  f  x  dx  1 1 1 f  x  dx Chọn đáp án B Câu 15: Cho hàm số f  x liên tục  Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn cá đường y  f  x  , y 0, x  x 3 Mệnh đề đúng? S  A f  x  dx  f  x  dx 2 S  C 1 1 2 f  x  dx  f  x  dx 2 B S  f  x  dx  D f  x  dx S  f  x  dx  f  x  dx 2 Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Lời giải Chọn B 3 S   f  x  dx S   f  x  dx   f  x  dx 2 Ta có 2 1 f  x  0 Do Câu 16: với x    2;1 f  x  0 với x   1;3 nên S  f  x  dx  2 f  x  dx Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số trục Ox y  f  x b A x a, x b  a  b  , trục Ox hai đường thẳng , xung quanh b V  f  x  dx B a b V  f  x  dx C Lời giải a b V f  x  dx a D V  f  x  dx a Chọn B Câu 17: Cho hàm số y  f  x liên tục đoạn  a; b Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm y  f  x x a, x b  a  b  số , trục hoành hai đường thẳng Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành tính theo cơng thức: b A b V  f  x  dx B a b V  f  x  dx C Lời giải a b V 2 f  x dx a D V  f  x  dx a Chọn B Câu 18: 3x Gọi D hình phẳng giới hạn đường y e , y 0 , x 0 x 1 Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục Ox bằng: 1 3x A  e dx B e 6x dx 6x  e dx C Lời giải D e 3x dx Chọn C Ta tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục Ox bằng: 1   e3 x  dx  e6 x dx Câu 19: 4x Gọi D hình phẳng giới hạn đường y e tròn xoay tạo thành quay D quanh trục Ox A 4x e dx B  e8 x dx , y 0, x 0 x 1 Thể tích khối  e x dx C Lời giải D e 8x dx Chọn B Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục Ox là: Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 1 V   e4 x  dx  e8 x dx 0 2x y  e , y 0, x 0 x 1 Thể tích khối trịn D Câu 20: Gọi hình phẳng giới hạn đường xoay tạo thành kho quay D quanh Ox A  e4 x dx e B  2x dx  e x dx C Lời giải e D  4x dx Chọn A Thể tích khối trịn xoay tạo thành kho quay D quanh Ox V   e x  dx  e x dx 0 x Câu 21: Gọi D hình phẳng giới hạn đường y e , y 0, x 0 x 1 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục Ox A e x dx B e x dx 1 x e dx e C Lời giải D 2x dx Chọn A Câu 22: Cho hình phẳng H giới hạn đường tích khối tròn xoay tạo thành quay đúng? A H y 0 , x 0 , x 2 Gọi V thể xung quanh trục Ox Mệnh đề V  x  3 dx B C y x  , V   x  3 dx 2 V  x  3 dx D V   x  3 dx Lời giải Chọn D Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay xung quanh trục Ox là: V   x  3 dx Câu 23: H x y e , trục hoành đường thẳng x 0 , Cho hình phẳng D giới hạn đường cong x 1 Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V   e2   e2  V B e V C D V   e2   Lời giải Chọn D   e2  e2 x V  e dx   2 2x  Page 10 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Câu 24: Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y = x +1 , trục hoành đường thẳng x = 0, x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V 2 B V  4 C V 2 Lời giải D V Chọn B Thể tích khối trịn xoay tính theo cơng thức:  V   Câu 25: 1  x3  4 x 1 dx   x  1 dx    x    0  2 y   cos x , trục hồnh đường thẳng Cho hình phẳng D giới hạn đường cong x 0, x   Khối tròn xoay tạo thành D quay quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V (   1) B V   D V (   1) C V   Lời giải Chọn A     2 V    cos x dx   x  sin x  (   1) Câu 26: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y   sin x , trục hoành đường thẳng x 0 , x  Khối tròn xoay tạo thành quay D quay quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V 2    1 B V 2 V 2    1 D V 2 C Lời giải Chọn A  Ta có: Câu 27:    V    sin x dx    sin x  dx Cho hình phẳng H   x  cos x  giới hạn đường thẳng thể tích khối trịn xoay tạo thành quay đúng? 2 V  x   dx A C 2    1 y x  2, y 0, x 1, x 2 Gọi V  H  xung quanh trục Ox Mệnh đề V   x   dx 2 V  x   dx B  D V   x   dx Lời giải Chọn B Page 11 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Ta có: Câu 28: V   x   dx Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x 1 x 3 , biết cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (  x 3 ) thiết diện hình chữ nhật có độ dài hai cạnh 3x 124 V  A B V (32  15) 3x  124 V  D C V 32  15 Lời giải Chọn A Diện tích thiết diện là: S ( x) 3 x x  124 V 3x x  2dx   Thể tích vật thể là: F  x Câu 29: Biết G  x hai nguyên hàm hàm số f  x ¡ f  x dx F  3  G    a,  a   Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y F  x  , y G  x  , x 0, x 3 Khi S 15 a B 12  C 18  Lời giải A 15 D  Chọn D F  x G  x f  x Do hai nguyên hàm hàm số  nên G  x  F  x   C , x   , với C số Mặt khác f  x dx F  3  F   Lại có Do f  x dx F  3  G  0  a, suy a C  G  x  F  x   a, x   G   F    a Diện tích hình phẳng giới hạn đường 3 y F  x  , y G  x  , x 0, x 3 a 0 S G  x   F  x  dx  15 a dx  15 3a  a 5 Câu 30: Biết F  x G  x hai nguyên hàm hàm số f  x ¡ f  x  dx F  5  G    a  a   Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y F  x  , y G  x  , x 0 A x 5 Khi S 20 a B 15 C 25 D 20 Page 12 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Lời giải Chọn A F  x G  x f  x Vì hai nguyên hàm hàm số  nên  F   G    a   f x d x  F  F  G  G  F  G  a                 F   G    a F  x  G  x   a  F  x   G  x   a Do S diện tích hình phẳng giới hạn đường y F  x  , y G  x  , x 0 x 5 nên 5 5 5 S F  x   G  x  dx  a dx a dx adx ax 5a 0 0  a  0 Mà S 20 nên 5a 20  a 4 Câu 31: Biết F  x G  x hai nguyên hàm hàm số f  x ¡ f  x  dx F    G    a  a   Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  F  x  , y G  x  , x 0 x 4 Khi S 8 a B C 12 Lời giải A D Chọn D F  x nguyên hàm f  x  nên f  x  dx F    F   f  x  dx F    G    a  a   Mà nên F    F   F    G    a  G   F    a G x F  x   a x    nên   y F  x  , y G  x  , x 0 Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng x 4 Lại có G  x nguyên hàm f  x S F  x   G  x  dx a dx 4a 8  a 2 Câu 32: Biết F  x G  x hai nguyên hàm hàm số f  x ¡ f  x  dx F    G    a  a   Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y F  x  , y G  x  , x 0 A x 2 Khi S 6 a B C Lời giải D Chọn C Page 13 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT F  x G  x f  x F  x   G  x  C Do hai nguyên hàm hàm số  nên với C số Ta có 2 S F  x   G  x  dx C dx  C 1dx 2 C 6  C 3 0  * F    G   C  F   G    C Ta lại có: Theo đề bài: f  x  dx F    F   F     G    C  F    G    C F    G    a  2 Suy ra: a  C mà a  nên C   1   suy ra: C   a  C 3 Từ Vậy: a 3 Câu 33: y x 2 parabol y x  a Gọi S1 , S2 diện tích hai hình Cho đường thẳng phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi  2  0;  A   1   ;  B  16  S1 S2 a thuộc khoảng đây? 2   ;  C  20   1 ;   D  20  Lời giải Chọn C Giải toán: x  a  x  x  x  2a 0 Phương trình hồnh độ giao điểm: a  a       a   16 Để phương trình có nghiệm dương Gọi hai nghiệm  x1  x2 x2    16a Page 14 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT x2   x  a  x  dx 0   S  S   Để x2 x23   x  a  x d x    ax2  x22 0     Ta có:     16a      16a    16a     a    0 4   2   ;  Giải nhanh máy tính cho kết x 0, 421875 thuộc khoảng  20  Câu 34: y x y  x2  a Cho đường thẳng parabol , ( a tham số thực dương) Gọi S1 S a thuộc lượt diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi khoảng đây?  1  ;  A  32  1   ;  B  32  3 7  ;  C  16 32  S1 , S2 lần  3  0;  D  16  Lời giải Chọn C x  x  a 0  x  3x  4a 0 Ta có phương trình hồnh độ giao điểm   *  x1  x2    x1  x2 thỏa mãn  x1 x2 2a  ** Theo đề phương trình có hai nghiệm x1 S1  S 0   x 2 3 x  x  a d x  x  x  a dx 0    4 x1 3 x  x  ax x2 x2 2 x 2 0  x23  x22  ax2 0  a  x2  3x2 8  **   *  x1   x2 Từ , thay vào  x  a dx 0  *** x22 3x2 3  x22 3x2  x x     0  x2  2      27 a  ;   (***)  a  16 32  128 Vậy Page 15 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Câu 35: Cho đường thẳng y 3 x parabol x  a ( a tham số thực dương) Gọi S1 S2 diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi S1 S a thuộc khoảng đây?  9  1;  A      ;1 B  10  4   ;  C  10  Lời giải  4  0;  D   Chọn C 2 Phương trình hồnh độ giao điểm x  a 3 x  x  x  a 0 có hai nghiệm dương phân biệt   9  8a   a   a   0a   a  x Ta nghiệm phương trình 3  a S1 S    2x 3  a   a  3x dx     2x   a  x dx  3  a     2x 3  a   2x   a  3x dx 3  a Ta có 3  a   8a   a  3x dx 0 3  a  x  3x  a  dx 0   23 x3  32 x2  ax  3   8a 0    8a     8a     a         a   0 3 4  3    Page 16 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT     8a      a     a            a  0 4             8a 0 (vn)       8a     a         a 0 4      2    8a     a  27   CASIO   a       a 0  Shift Solve 3 4 32  3  Page 17 Sưu tầm biên soạn