Thông tin tài liệu
TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ 21: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ ĐƠN GIẢN KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG a; b Định lý 1: Cho hàm số y f ( x) liên tục, khơng âm Khi diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y f ( x) , trục hoành đường thẳng x a , x b là: b S f ( x)dx a Bài toán liên quan a;b Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f (x) liên tục đoạn , b trục hoành hai đường thẳng x a , x b xác định: y y f (x) O a c1 c2 y f (x) y 0 (H ) x a x b c3 b x S f (x) dx a b S f (x) dx a Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f (x) , y g(x) liên tục b a;b đoạn hai đường thẳng x a , x b xác định: y S f (x) g(x) dx a (C1 ) : y f1 ( x ) (C ) : y f2 ( x ) (H ) x a x b (C1 ) (C2 ) b O a c1 c2 b x S f1(x) f2(x) dx a Chú ý: b b f (x) dx f (x)dx a - Nếu đoạn [a;b] , hàm số f (x) khơng đổi dấu thì: a - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Bài tốn 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đường x g(y) , x h(y) hai đường d thẳng y c , y d xác định: S g(y) h(y) dy c Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Bài tốn 4: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C1 ) : f1 ( x) , (C ) : f ( x) là: xn S f ( x) g( x) dx x1 Trong đó: x1 , xn tương ứng nghiệm nhỏ phương trình f ( x ) g( x ) II THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRỊN XOAY Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x , (a x b) Giả sử S(x) hàm số liên tục đoạn [a;b] (V ) O b x a b x V S(x)dx a S(x) Thể tích khối trịn xoay Bài tốn 1: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y f (x) , trục hoành hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: y y f ( x) a O b (C ) : y f ( x ) b (Ox ) : y 0 V f ( x ) dx x x x a a x b Bài tốn 2: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x g(y) , trục hoành hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy: y d O c x (C ) : x g( y) (Oy) : x 0 y c y d d V y g ( y ) dy c Bài tốn 3: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường b V f 2(x) g2(x) dx y f (x) , y g(x) hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: a Câu 29:_TK2023 Tính thể tích khối trịn xoay thu quay hình phẳng giới hạn hai đường y x x y 0 quanh trục Ox Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 16 V 15 A 16 V B 16 V C Lời giải 16 V 15 D Chọn D Phương trình hồnh độ giao điểm đường y x x đường y 0 x 0 x x 0 x 2 2 x5 x 16 V x x dx x x x dx x 15 0 Thể tích Câu 1: Diện tích hình phẳng gạch chéo hình bên 2x A 1 2x C 1 x dx x dx 2x B 1 2x D 1 x dx x dx Lời giải Chọn A Dựa hình vẽ ta có diện tích hình phẳng gạch chéo hình bên là: x 1 Câu 2: x x dx x x dx 1 Diện tích S hình phẳng giới hạn đường y 2 x , y , x 0 x 1 tính cơng thức sau đây? A C S x 1 dx S x 1 dx B S x 1 dx D S x 1 dx Lời giải Chọn D 1 S 2 x dx x 1 dx Diện tích hình phẳng cần tìm Câu 3: 0 x 0;1 x Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y x y 2 x Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT B A 36 4 C Lời giải D 36 Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị cho là: x 0 x 2 x x x 0 x 2 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho là: 2 x3 S x x dx x x dx x x dx x 30 0 Câu 4: 2 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y x y x 13 13 A B C Lời giải Chọn D D x 0 x x x x 0 x 1 Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường là: 1 x x dx Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y x y x 125 125 A B C D Lời giải Chọn B x 0 x x x x 0 x 1 Ta có Phương trình hồnh độ giao điểm: 1 S x 3 x 3 dx x x dx Diện tích hình phẳng: Câu 6: 0 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y x y 3x 9 125 125 A B C D Lời giải Chọn A Xét phương trình hồnh độ giao điểm, ta có: éx = Þ ê x - = 3x - ê ëx = 3 Như vậy, diện tích hình phẳng gới hạn ị( x - 2) - ( x - 2) dx = Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Câu 7: x Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y 2 , y 0 , x 0 , x 2 Mệnh đề đúng? A S 2 x dx B S 2 x dx C Lời giải S 22 x dx D S 22 x dx Chọn B 2 S 2 x dx 2 x dx Câu 8: x Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y e , y 0 , x 0 , x 2 Mệnh đề đúng? 2 x A x S e dx S e dx B 0 x C Lời giải S e dx D S e x dx Chọn A x Diện tích hình phẳng giới hạn đường y e , y 0 , x 0 , x 2 là: Câu 9: Cho hàm số y f x y f x , y 0, x S e x dx liên tục Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường x 5 Mệnh đề sau đúng? S A f ( x)dx f ( x)dx 1 1 C B S f ( x)dx f ( x)dx 1 S f ( x )dx f ( x )dx 1 S D Lời giải f ( x)dx f ( x)dx 1 Chọn C Ta có: Câu 10: S f ( x) dx f x dx f x dx 1 Cho hàm số f x 1 f x dx liên tục Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y f x , y 0, x 1, x 2 Mệnh đề đúng? Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT A S f x dx + f x dx 1 1 S C S B f x dx f x dx 1 1 f x dx+f x dx 1 D Lời giải S f x dx 1 f x dx Chọn D 2 S f x dx= f x dx f x dx 1 1 Nhìn hình ta thấy hàm số f x liên tục nhận giá trị không âm đoạn 1;1 f x 1; 2 nên f x dx f x dx 1 1 ; hàm số liên tục nhận giá trị âm đoạn nên f x dx f x dx 1 Vậy Câu 11: S f x dx 1 f x dx Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x x đồ thị hàm số y x x 37 81 A 12 B C 12 D 13 Lời giải Chọn A x 0 x x x x x3 x x 0 x 1 x Phương trình hồnh độ giao điểm Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x x đồ thị hàm số y x x là: 3 S x x x x dx x x x dx 2 2 x x x dx x x3 x x3 16 1 x2 x2 4 2 0 Câu 12: Gọi S diện tích hình phẳng H giới hạn đường 37 1 12 y f x , trục hoành hai đường Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT thẳng x , x 2 Đặt A S b a a f x dx b f x dx 1 , , mệnh đề sau đúng? B S b a C S b a Lời giải D S b a Chọn A Ta có: 2 S f x dx f x dx f x dx 1 Câu 13: 1 f x dx f x dx a b 1 Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây? A x 2 dx 1 B C x 1 x dx 1 2 x dx D x x dx 1 Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Lời giải Chọn C Diện tích hình phẳng gạch chéo hình vẽ là: 2 S x 3 x x 1 dx x x dx x x dx 1 Câu 14: 1 Cho hàm số f x A 1 S f x dx 1 C x 4 Mệnh đề đúng? S f x dx B S f x dx f x dx 1 f x dx f x dx 1 liên tục Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y f x , y 0, x 1 1 S D Lời giải f x dx f x dx 1 Chọn A Ta có: hàm số f (x) 0 x 1;1 ; f (x) 0 x 1; , nên: S f x dx f x dx f x dx f x dx 1 1 1 f x dx Chọn đáp án B Câu 15: Cho hàm số f x liên tục Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn cá đường y f x , y 0, x x 3 Mệnh đề đúng? S A f x dx f x dx 2 S C 1 1 2 f x dx f x dx 2 B S f x dx D f x dx S f x dx f x dx 2 Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Lời giải Chọn B 3 S f x dx S f x dx f x dx 2 Ta có 2 1 f x 0 Do Câu 16: với x 2;1 f x 0 với x 1;3 nên S f x dx 2 f x dx Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số trục Ox y f x b A x a, x b a b , trục Ox hai đường thẳng , xung quanh b V f x dx B a b V f x dx C Lời giải a b V f x dx a D V f x dx a Chọn B Câu 17: Cho hàm số y f x liên tục đoạn a; b Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm y f x x a, x b a b số , trục hoành hai đường thẳng Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành tính theo cơng thức: b A b V f x dx B a b V f x dx C Lời giải a b V 2 f x dx a D V f x dx a Chọn B Câu 18: 3x Gọi D hình phẳng giới hạn đường y e , y 0 , x 0 x 1 Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục Ox bằng: 1 3x A e dx B e 6x dx 6x e dx C Lời giải D e 3x dx Chọn C Ta tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục Ox bằng: 1 e3 x dx e6 x dx Câu 19: 4x Gọi D hình phẳng giới hạn đường y e tròn xoay tạo thành quay D quanh trục Ox A 4x e dx B e8 x dx , y 0, x 0 x 1 Thể tích khối e x dx C Lời giải D e 8x dx Chọn B Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục Ox là: Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 1 V e4 x dx e8 x dx 0 2x y e , y 0, x 0 x 1 Thể tích khối trịn D Câu 20: Gọi hình phẳng giới hạn đường xoay tạo thành kho quay D quanh Ox A e4 x dx e B 2x dx e x dx C Lời giải e D 4x dx Chọn A Thể tích khối trịn xoay tạo thành kho quay D quanh Ox V e x dx e x dx 0 x Câu 21: Gọi D hình phẳng giới hạn đường y e , y 0, x 0 x 1 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục Ox A e x dx B e x dx 1 x e dx e C Lời giải D 2x dx Chọn A Câu 22: Cho hình phẳng H giới hạn đường tích khối tròn xoay tạo thành quay đúng? A H y 0 , x 0 , x 2 Gọi V thể xung quanh trục Ox Mệnh đề V x 3 dx B C y x , V x 3 dx 2 V x 3 dx D V x 3 dx Lời giải Chọn D Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay xung quanh trục Ox là: V x 3 dx Câu 23: H x y e , trục hoành đường thẳng x 0 , Cho hình phẳng D giới hạn đường cong x 1 Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V e2 e2 V B e V C D V e2 Lời giải Chọn D e2 e2 x V e dx 2 2x Page 10 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Câu 24: Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y = x +1 , trục hoành đường thẳng x = 0, x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V 2 B V 4 C V 2 Lời giải D V Chọn B Thể tích khối trịn xoay tính theo cơng thức: V Câu 25: 1 x3 4 x 1 dx x 1 dx x 0 2 y cos x , trục hồnh đường thẳng Cho hình phẳng D giới hạn đường cong x 0, x Khối tròn xoay tạo thành D quay quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V ( 1) B V D V ( 1) C V Lời giải Chọn A 2 V cos x dx x sin x ( 1) Câu 26: Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y sin x , trục hoành đường thẳng x 0 , x Khối tròn xoay tạo thành quay D quay quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V 2 1 B V 2 V 2 1 D V 2 C Lời giải Chọn A Ta có: Câu 27: V sin x dx sin x dx Cho hình phẳng H x cos x giới hạn đường thẳng thể tích khối trịn xoay tạo thành quay đúng? 2 V x dx A C 2 1 y x 2, y 0, x 1, x 2 Gọi V H xung quanh trục Ox Mệnh đề V x dx 2 V x dx B D V x dx Lời giải Chọn B Page 11 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Ta có: Câu 28: V x dx Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x 1 x 3 , biết cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x ( x 3 ) thiết diện hình chữ nhật có độ dài hai cạnh 3x 124 V A B V (32 15) 3x 124 V D C V 32 15 Lời giải Chọn A Diện tích thiết diện là: S ( x) 3 x x 124 V 3x x 2dx Thể tích vật thể là: F x Câu 29: Biết G x hai nguyên hàm hàm số f x ¡ f x dx F 3 G a, a Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y F x , y G x , x 0, x 3 Khi S 15 a B 12 C 18 Lời giải A 15 D Chọn D F x G x f x Do hai nguyên hàm hàm số nên G x F x C , x , với C số Mặt khác f x dx F 3 F Lại có Do f x dx F 3 G 0 a, suy a C G x F x a, x G F a Diện tích hình phẳng giới hạn đường 3 y F x , y G x , x 0, x 3 a 0 S G x F x dx 15 a dx 15 3a a 5 Câu 30: Biết F x G x hai nguyên hàm hàm số f x ¡ f x dx F 5 G a a Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y F x , y G x , x 0 A x 5 Khi S 20 a B 15 C 25 D 20 Page 12 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Lời giải Chọn A F x G x f x Vì hai nguyên hàm hàm số nên F G a f x d x F F G G F G a F G a F x G x a F x G x a Do S diện tích hình phẳng giới hạn đường y F x , y G x , x 0 x 5 nên 5 5 5 S F x G x dx a dx a dx adx ax 5a 0 0 a 0 Mà S 20 nên 5a 20 a 4 Câu 31: Biết F x G x hai nguyên hàm hàm số f x ¡ f x dx F G a a Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y F x , y G x , x 0 x 4 Khi S 8 a B C 12 Lời giải A D Chọn D F x nguyên hàm f x nên f x dx F F f x dx F G a a Mà nên F F F G a G F a G x F x a x nên y F x , y G x , x 0 Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng x 4 Lại có G x nguyên hàm f x S F x G x dx a dx 4a 8 a 2 Câu 32: Biết F x G x hai nguyên hàm hàm số f x ¡ f x dx F G a a Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y F x , y G x , x 0 A x 2 Khi S 6 a B C Lời giải D Chọn C Page 13 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT F x G x f x F x G x C Do hai nguyên hàm hàm số nên với C số Ta có 2 S F x G x dx C dx C 1dx 2 C 6 C 3 0 * F G C F G C Ta lại có: Theo đề bài: f x dx F F F G C F G C F G a 2 Suy ra: a C mà a nên C 1 suy ra: C a C 3 Từ Vậy: a 3 Câu 33: y x 2 parabol y x a Gọi S1 , S2 diện tích hai hình Cho đường thẳng phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi 2 0; A 1 ; B 16 S1 S2 a thuộc khoảng đây? 2 ; C 20 1 ; D 20 Lời giải Chọn C Giải toán: x a x x x 2a 0 Phương trình hồnh độ giao điểm: a a a 16 Để phương trình có nghiệm dương Gọi hai nghiệm x1 x2 x2 16a Page 14 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT x2 x a x dx 0 S S Để x2 x23 x a x d x ax2 x22 0 Ta có: 16a 16a 16a a 0 4 2 ; Giải nhanh máy tính cho kết x 0, 421875 thuộc khoảng 20 Câu 34: y x y x2 a Cho đường thẳng parabol , ( a tham số thực dương) Gọi S1 S a thuộc lượt diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi khoảng đây? 1 ; A 32 1 ; B 32 3 7 ; C 16 32 S1 , S2 lần 3 0; D 16 Lời giải Chọn C x x a 0 x 3x 4a 0 Ta có phương trình hồnh độ giao điểm * x1 x2 x1 x2 thỏa mãn x1 x2 2a ** Theo đề phương trình có hai nghiệm x1 S1 S 0 x 2 3 x x a d x x x a dx 0 4 x1 3 x x ax x2 x2 2 x 2 0 x23 x22 ax2 0 a x2 3x2 8 ** * x1 x2 Từ , thay vào x a dx 0 *** x22 3x2 3 x22 3x2 x x 0 x2 2 27 a ; (***) a 16 32 128 Vậy Page 15 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Câu 35: Cho đường thẳng y 3 x parabol x a ( a tham số thực dương) Gọi S1 S2 diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi S1 S a thuộc khoảng đây? 9 1; A ;1 B 10 4 ; C 10 Lời giải 4 0; D Chọn C 2 Phương trình hồnh độ giao điểm x a 3 x x x a 0 có hai nghiệm dương phân biệt 9 8a a a 0a a x Ta nghiệm phương trình 3 a S1 S 2x 3 a a 3x dx 2x a x dx 3 a 2x 3 a 2x a 3x dx 3 a Ta có 3 a 8a a 3x dx 0 3 a x 3x a dx 0 23 x3 32 x2 ax 3 8a 0 8a 8a a a 0 3 4 3 Page 16 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 8a a a a 0 4 8a 0 (vn) 8a a a 0 4 2 8a a 27 CASIO a a 0 Shift Solve 3 4 32 3 Page 17 Sưu tầm biên soạn
Ngày đăng: 07/04/2023, 18:17
Xem thêm:
