Chuyên đề 27 tích phân vd hướng dẫn giải

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ 27 TÍCH PHÂN Câu 40 TK2023 Cho hàm số liên tục trên Gọi là hai nguyên hàm của trên thỏa mãn và Khi đó bằng B 3 B C 6 D Lời giả[.]

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ 27: TÍCH PHÂN f  x Câu 40_TK2023 Cho hàm số F x ,G x f x liên tục R Gọi     hai nguyên hàm   R thỏa mãn F    G   4 F    G   1 Khi B B f  x  dx D C Lời giải Chọn B G x F  x   C Ta có:    F (4)  G (4) 4 2 F (4)  C 4   F (4)  F (0)    F (0)  G (0) 1 2 F (0)  C 1 Vậy: Câu 1: 1 f (2 x )dx  f (t )dt   F (4)  F (0)    20 Cho hàm số f  x F x ,G x f x liên tục R Gọi     hai nguyên hàm   R thỏa mãn A  F    G   8 F    G    B Khi f   x  dx 2 C Lời giải D   G   F    C G  x  F  x   C    G   F    C Ta có:  F    G   8    F (0)  G (0)  Vậy: Câu 2: 2 F (8)  C 8  F (8)  F (0) 5  2 F (0)  C  1 f   x  dx  f (t ) dt   F (8)  F (0)    40 4 2 Cho hàm số f  x F x ,G x f x liên tục R Gọi     hai nguyên hàm   R thỏa e8 mãn F    G   8 A  F    G    B Khi x f  5ln  x   dx C Lời giải D   G   F    C G  x  F  x   C    G   F    C Ta có: Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT  F    G   8    F (0)  G (0)  2 F (8)  C 8  F (8)  F (0) 5  2 F (0)  C  e8 Vậy: Câu 3: 1 f  ln  x   dx  f (t )dt   F (8)  F (0)  1  x 50 Cho hàm số f  x F x ,G x f x liên tục R Gọi     hai nguyên hàm   R thỏa  mãn F    G  8 18 F    G   2 A  Khi cos x f  8sin x  dx C Lời giải B D   G   F    C G  x  F  x   C    G   F    C Ta có:  F    G   18    F (0)  G (0) 2 2 F (8)  C 18  F (8)  F (0) 8  2 F (0)  C 2  Vậy: Câu 4: 1 cos x f  8sin x  dx  f (t )dt   F (8)  F (0)  1  80 Cho hàm số f  x F x ,G x f x liên tục R Gọi     hai nguyên hàm   R thỏa  mãn F    G   17 A  F    G   1 Khi sin x f  8cos x  dx C Lời giải B D   G   F    C G  x  F  x   C    G   F    C Ta có:  F    G   18 2 F (8)  C 18   F    F   8   F (0)  G (0) 2 2 F (0)  C 2  Vậy: Câu 5: sin x f  8cos x  dx  Cho hàm số f  x 1 f (t )dt   F (8)  F (0)  1  80 F x ,G x f x liên tục R Gọi     hai nguyên hàm   R thỏa mãn F    G   2 A  F    G    B Khi  x f   dx C Lời giải D Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT  G   F    C G  x  F  x   C    G   F    C Ta có:  F    G   2 2 F (2)  C 2   F (2)  F (0) 2   F (0)  G (0)  2 F (0)  C   x f   dx 4f (t )dt 4  F (2)  F (0)  8  Vậy:   Câu 6: Cho hàm số f  x f  x  3 f  x  F  x f x liên tục R thỏa Gọi nguyên hàm   F   3 F    F   0 R thỏa mãn Khi A 15 Ta có: B  15 f  x  3 f  x   f  x  dx C Lời giải D   F  x  F  2x  C f x d x  f x d x        F   3F    2C  F   3F    2C  F    3F   5F   15   Từ có:  Kết hợp   với giả thiết F    F  8 0 Vậy Câu 7: f  x  dx F  x  Cho hàm số f  x f  x F   12 F  8  ; F    F    15 f  x   f  x  1 F  x liên tục R thỏa Gọi nguyên hàm F  3 4 F  1  F   R thỏa mãn Khi giá trị B  10 A 12 Ta có: ta f  x   f  x  1  C Lời giải D  f  x  dx f  x 1 dx  F  x   F  x  1  C 2 F  1 F  3  2C  F  3 F    2C  F  1  F   3F  3 12 Từ có:  Câu 8: Cho hàm số f  x f  x  4 f   x  3 F  x liên tục R thỏa Gọi nguyên hàm f  x A 10 F    F   24 R thỏa mãn Khi B 12 f  x  dx 1 C  10 Lời giải D  12 Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Ta có: f  x  4 f   x  3  f  x  dx 4f   x  3 dx  F  x   2F   x  3  C  F    F  1  C  F    F    C  F    F   2  F    F  1   F    F  1 12 Từ có:  f  x  dx F  x  Vậy F    F  1 12 Câu 9: Cho hàm số y  f ( x) liên tục  thỏa mãn f    x  dx 4 x f  sin x  cos xdx 2 I f ( x)dx Tích phân A I 8 B I 6 D I 10 C I 4 Lời giải Chọn C t  x  dt  Đặt Suy x  x  dx 2 f  x dx Khi x 1  t 1; x 9  t 3 3 f (t )dt 4  f (t )dt 2 1     t sin x; x    ;   dt cos dx x 0  t 0; x   t 1  2 Đặt Khi Suy f ( x)dx f ( x)dx  f ( x)dx 2  4 0 Câu 10: Cho f  x  dx 2018 Tính tích phân A I 0 B I 2018 Ta có I  f  x   f   x   dx C I 4036 Lời giải D I 1009 I f  x  dx  f   x  dx H  K 0 Tính K f  x  dx Đặt t 2 x  dt 2dx ; đổi cận: x 0  t 2; x 2  t 4 Nên K  f  t  dt 1009 20 Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Tính H f   x  dx , Đặt t 4  x  dt  2dx ; đổi cận: x 0  t 4; x 2  t 0 Nên H  f  t  dt 1009 20 Suy I K  H 2018 Câu 11: Cho f  x f  x   f  10  x  liên tục  thỏa mãn A 80 B 60 f  x  dx 4 C 40 Lời giải Tính I xf  x  dx D 20 Đặt t 10  x Khi dt  dx Đổi cận: x 3  t 7 x 7  t 3 7 I   10  t  f  10  t  dt  10  t  f  10  t  dt  10  x  f  10  x  dx Khi 7 7  10  x  f  x  dx 10f  x  dx  3 xf  x  dx 10f  x  dx  I 3 I 10 f  x  dx 10.4 40 Suy Do I 20  Câu 12: Cho hàm số f  2x  Tính f  x x liên tục  thỏa mãn * tan x f  cos x  dx 2 f  ln x   x ln x e dx 2 dx B A  e2  f  cos x  I1 tan x f  cos x  dx   sin2xdx cos x D C Lời giải Đặt cos x t  sin xdx  dt Đổi cận x  Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT t 1 f t I1   dt 21 t Khi e2 * I2  e f  ln x   f  t dt 4  t e f  ln x  ln x dx   dx x ln x e ln x x Đặt ln x t  2 ln x dx dt x Đổi cận x t f t I2   dt  21 t Khi e e2 4 f  t dt 4  t * Tính f  2x  I  dx x  dx  dt Đặt 2x t Đổi cận x t Khi 4 f t f t f t I  dt  dt   dt 4  8 t t t 1 2 x  thỏa mãn f ( x )  f (2  x )  x.e , x   Tính tích phân Câu 13: Cho f ( x ) hàm số liên tục I f ( x )dx e4  I A B I 2e  C I e  Lời giải D I e  Đặt x 2  t  dx  dt 2  I f   t    dt  f   t   dt  f   x  dx 2 2 1  I  f  x   f   x   dx xe dx  e x d  x   e x 20 0 x2 e4   Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT e4  I Vậy Câu 14: Cho hàm số f  x f  x  3 f  x  x   liên tục  thỏa mãn , Biết f  x  dx 1 Tính tích phân I f  x  dx A I 5 B I 6 Ta có: 1 0 f  x  d  x  , x   2 , với x 0  t 0 ; x 1  t 2 2 1   f  x  d  x   f  t  dt  f  x  dx , x   20 20 20  D I 2 3.1 3.f  x  dx 3 f  x  dx f  x  dx  x t  d  x  dt Đặt C I 3 Lời giải f  x  dx 6 , x    f  x  dx  f  x  dx 6, x     f  x  dx 6, x    f  x  dx 5, x   2017 Câu 15: Cho f  x liên tục  thỏa mãn f  x   f  2020  x   f  x dx 4 Khi 2017  xf  x dx A 16160 B 4040 C 2020 Lời giải D 8080 Chọn B Đặt u 2020  x  x 2020  u Ta có dx  du Với x 3 u 2017 Với x 2017 u 3 2017 Khiđó  xf  x dx 2017 = 2017  2020  u  f  2020  u du   2020  x  f  x dx 3 Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2017 Suy 2017  xf  x dx = 2017  2020 f  x dx = 8080 3 Câu 16: Cho hàm số y  f ( x) liên tục  xf  x dx Do = 4040 3 xf ( x )  f (2 x)  x   thỏa mãn Giá trị f ( x)dx 52 A 25 48 C 25 B 52 D 48 Lời giải Chọn A xf ( x )  f (2 x)  x3   2 3   xf ( x )  f (2 x)  dx  x3   dx   0   f ( x )d( x )  3f (2 x )d(2 x)  0 4 52 52  f (t )dt  3f (u )du  5 0 52 52  f ( x )dx  3f ( x)dx   5f ( x)dx   5 0 52 f ( x)dx  25 f  x Câu 17: Cho liên tục  thỏa mãn A 30 B 28 f   16, f  x  dx 2 C 36 Lời giải Tích phân xf  x dx D 16 Chọn B Ta có: u  x   dv  f  x  dx   Đặt  f  x  d  x  2  2 f  x  dx 2  xf  x dx  xf  x  f  x  dx 4 du dx  v  f  x  2  f  x dx 2 f    32  28 1  f ( x)  x f  ;3 y  f ( x ) Câu 18: Cho hàm số liên tục thỏa mãn 1   x  x  x Giá trị tích phân f ( x) I  dx x x A bằng: 16 B C 3 D Lời giải Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Chọn A 1 f   f ( x) x 1 f ( x)  x f   x3  x     x  x  x x 1  x 1 f  f ( x) 16 x  dx   dx (x  1)dx   x x x 1 3 3 1 f  x I '    dx x 1 Xét 1 dt t  dx dt  dx  x t Đặt x 1 f  3 f ( t ) dt f (t ) f ( x) x I '     dx    dt  dx I 2    t t  t x  x x 1 1 1 3 t 16 2I   I  9 Suy f  1  0;1 f  x 18 Câu 19: Cho hàm số có đạo hàm liên tục ,   1 x f  x  dx 36 Giá trị A  f  x  dx 12 B 36 C 12 D  36 Lời giải Chọn A u  x    dv  f  x  dx   Đặt du dx    v  f  x  , ta có 1 x f  x  dx x f  x   f  x  dx  f  1  f  x  dx    36 0 1 f  x  dx  f  1  2x  f  x   e x f  x f  1 e x Câu 20: Cho hàm số có với 1  36 12 ln x khác Khi xf  x  dx A  e  e2 B C  e Lời giải  e2 D Chọn D Xét tích phân 2x  2x e dx x2 f  x  dx  Page Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT u  x  1 e x    d v  d x  x2 Đặt  du 4 xe2 x dx   v  x  , 2x  2x 1 e dx   x  1 e x  4e x dx   x  1 e x  2e2 x  C x2 x x f  x  dx  Do f  1 e2  C 0 Vậy ln f  x    x  1 e2 x  2e x x ln3 Khi đó, ta có ln ln e2 x   xf x d x   x e  xe d x  e d x     e2      1     2 1 2x 2x 2x Câu 21: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f (2) 16, f ( x) dx 4 Tính I xf (2 x )dx A I 20 B I 7 1 I xf (2 x)dx  xf  x   0 Ta có: D I 13 C I 12 Lời giải 1 1 f  x  dx  f (2)  f  x  d  x   2 40 1 1 I  f (2)  f ( x)dx  16  7 40 Câu 22: Cho hàm số  f '  x   f ( x) dx  có đạo hàm liên tục Giá trị A 12 B   0;1 thỏa mãn x f  x  dx  21 , f  1 0  f  x  dx C D  10 Lời giải du  f '  x  dx u  f  x       x3 dv  x dx v    Đặt 1 g x f  x  dx udv uv 0 21  x f '  x  dx  x3 f  x  vdu  1 x3   f '  x  dx  1 x f '  x  dx 3 1 1 1 2 1 g x  f '  x   dx x dx  2x f '  x  dx   f '  x   dx    0 0 0 7 Page 10 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT   f ' x  x  0, x   0;1  f '  x   x , x   0;1 f  1 0 Kết hợp điều kiện ta có f  x   x  1 ; x   0;1 4 1 x  1 dx   x  1 dx   4 1  f  x  dx  Vậy Câu 23: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục đoạn x f  x  dx 3  ;1 thỏa mãn f  1 0 , Tính x f '  x  dx A  B C D  Lời giải Chọn A u  f ( x)  du  f '( x)dx   x3 dv x dx  v   1 x3 I  f ( x)  x3 13 f '( x )dx  f (1)  f (0)   3 1 1  x f '( x )dx  3  Câu 24: Cho hàm số f  x  dx  ,  2 A  x3 f '( x )dx  x f '( x)dx  y  f  x 1 có đạo hàm liên tục đoạn  f  x  cos   x  dx   f    f  1 0 Biết Tính 3 B  0;1 f  x  dx C  D  Lời giải Xét tích phân I f  x  cos   x  dx  u cos  x    dv  f ' x dx   Đặt   du   sin  x  dx  v  f  x  , ta có 1 I  f  x  cos  x    f  x  sin  x  dx  f  1  f     f  x  sin  x  dx  f  x  sin  x  dx Mà   I   f  x  sin  x  dx   2 1 f  x  sin  x  dx  Page 11 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Mặt khác: 1 sin  x  dx  1 1  1  cos  2x   dx   x  sin  2x     20 2 2 0  1  f  x   f  x  sin  x   sin  x   dx   2  0 2 Khi Vì  f  x   sin  x   dx 0  0;1 có đạo hàm liên tục đoạn f  x f  x   sin  x  0  f  x  sin  x  Do  f  x   sin  x   0, x   0;1  nên ta suy 1 f  x  dx sin   x  dx  cos   x      0 Câu 25: Cho hàm số f  x x f  x  dx   0;1 có đạo hàm liên tục đoạn f  1 0 thỏa mãn ,  f  x   dx 7 Tích phân A f  x  dx C B D Lời giải 1 x f  x  dx   3 x f  x  dx 1  0 Từ giả thiết: Tính: I 3x f  x  dx u  f  x    d v  x d x  Đặt:  du  f  x  dx  v  x Ta có: 1 I 3x f  x  dx x f  x   0 Mà: 1 x f  x  dx 1 f  1  f    3 x f  x  dx  x f  x  dx 0 3x f  x  dx 1   x f  x  dx 0 1 1  x f  x  dx   x f  x  dx   7 x f  x  dx   f  x   dx   ,   x f  x  +  f  x   dx 0  f  x   x + f  x   dx 0 Page 12 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT  x + f  x  0  f  x   x3  f  x   x  C 7 f  1 0    C 0  C  Với Khi đó: f  x   7 x  4  7    x  x  f  x  dx   x  dx   7  4   0 0 Vậy: 1 Câu 26: Cho hàm số f  x x f  x  dx   0;1 có đạo hàm liên tục đoạn , dx 36 f  x  dx Tích phân A B Từ giả thiết: thỏa mãn f  1 4  f  x   D C Lời giải x f  x  dx    5 x f  x  dx 1 I 5 x f  x  dx Tính: Đặt: u  f  x    dv 5 xdx  d u  f   x  dx   v  x  1 Ta có: 5 I 5 x f  x  dx  x f  x   x f  x  dx 20 0 1 5  f  1  x f  x  dx 10  x f  x  dx 20 20 Mà: I 5 x f  x  dx 1  10  , x f  x  dx  2 1 2  10 x f  x  dx 36  10x f  x  dx  f  x   dx 0   10 x f  x    f  x    dx 0    18 x f  x  dx  , f  x  10 x  f  x   dx 0 Page 13 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 10 x3  10 x  f  x  0  f  x  10 x  f  x    C 10.1 f  1 4    C  C  Với 10 x3 f  x   3 Khi đó:  10 x3   x  x   f x d x   dx        0 3   0 Vậy: 1 Câu 27: Cho hàm số  0; 2 có đạo hàm liên tục đoạn f  x x f  x  dx  thỏa mãn f   3 ,  f  x   dx 4 Tích phân A 115 f  x  dx 297 B 115 562 C 115 266 D 115 Lời giải 2 x f  x  dx   3 x f  x  dx 1  0 Từ giả thiết: Tính: I 3x f  x  dx u  f  x    d v  x d x  Đặt:  du  f  x  dx  v  x Ta có: I 3x f  x  dx x f  x   0 Mà: x f  x  dx , x f  x  dx 4  23  f  x   23 x 0 x f  x  dx x f  x  dx  f  x   dx   23 0 ,  x f  x  dx 24  I 3x f  x  dx 1  24   x f  x  dx 23     23 x f  x    f  x     dx 0   f  x   dx 0  Page 14 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT  4 x  f  x  0  f  x   x  f  x   x  C 23 23 23 16 53 f   3   23  C  C  23 Với Khi đó: f  x  53 x  23 23 2  53  53  562 f  x  dx  x  dx  x  x   23 23  23  115  115 0 Vậy Câu 28: Cho hàm số f  x x f  x  dx   0;1 có đạo hàm liên tục đoạn thỏa mãn f  1 4 ,  f  x   dx 5 Tích phân 15 A 19 f  x  dx 17 B 17 C 18 15 D Lời giải Tính: Ta có: I x f  x  dx  1   2  x f  x  dx 2 20 x f  x  dx 5   , x f  x  dx  f  x   dx   x f  x    f  x   , x f  x  dx  1  du  f  x  dx   v  x  1 11 1 I  x f  x   x f  x  dx 2  x f  x  dx 20 20 Mà: Đặt: u  f  x    dv  xdx  dx 0  f  x   x  f  x   dx 0 2  x  f  x  0  f  x  x  f  x  3 x  C 11 f  1 4  C  Với 11 f  x   x3  3 Khi đó: Vậy 1 f  x  dx  x 0  11   11  15  dx  x  x   3   12 Page 15 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Page 16 Sưu tầm biên soạn