50 D Ạ N G T O Á N P H Á T T R IỂ N Đ Ề M IN H H Ọ A L Ầ N 1 25 TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG HÀM MŨ VÀ LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 25 TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG HÀM MŨ VÀ LÔGARIT 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1[.]
25 TỐN THỰC TẾ SỬ DỤNG HÀM MŨ VÀ LƠGARIT DẠNG 25 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN TỐN THỰC TẾ SỬ DỤNG HÀM MŨ VÀ LƠGARIT KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1) Lãi đơn: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r/kì hạn số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N∗ ) Sn = A + nAr = A(1 + nr) 2) Lãi kép: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r/kì hạn số tiền khách hàng ∗ n nhận … vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ÅN ) ãlà Sn = A(1 + r) Từ ta tìm giá S Sn Sn trị: r = n n − 1, A = , n = log (1+r) n A (1 + r) A Xm = Xn (1 + r)m−n , m, n ∈ Z+ , m ≥ n đó: r tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m Xm dân số năm m Xn dân số năm n Từ ta có cơng thức tính tỉ lệ tăng dân số r = … m−n Xm − Xn 4) Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r/tháng Sau tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách tháng, lần hoàn nợ số tiền X đồng Ta có cơng thức tính số tiền lại sau n tháng: Sn = A(1 + r)n − X (1 + r)n − r 5) Tiền gửi hàng tháng: Đầu tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r/tháng số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n tháng (n ∈ N∗ ) (nhận A tiền cuối tháng, ngân hàng tính lãi) Sn Sn = [(1 + r)n − 1] (1 + r) Từ ta có r Å ã Sn · r Sn · r +1 , A= n = log(1+r) n A(1 + r) (1 + r) [(1 + r) − 1] BÀI TẬP MẪU Ví dụ Để dự báo dân số quốc gia, người ta sử dụng công thức S = A · enr , A dân số năm lấy làm mốc tính, S dân số sau n năm, r tỉ lệ tăng dân số hàng năm Năm 2017, dân số Việt Nam 93 · 671 · 600 người (Tổng cục Thống kê, Niên giám thống kê 2017, Nhà xuất Thống kê, Tr 79) Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi 0, 81%, dự báo dân số Việt Nam năm 2035 người (kết làm tròn đến chữ số hàng trăm)? A 109 · 256 · 100 B 108 · 374 · 700 C 107 · 500 · 500 D 108 · 311 · 100 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 3) Bài tốn tăng trưởng dân số: Cơng thức tính tăng trưởng dân số 25 TỐN THỰC TẾ SỬ DỤNG HÀM MŨ VÀ LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Lời giải Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tăng trưởng dân số HƯỚNG GIẢI: B1 Xác định yếu tố A, n, r công thức B2 Áp dụng công thức S = A · enr A dân số năm lấy làm mốc tính, S dân số sau n năm, r tỉ lệ tăng dân số hàng năm LỜI GIẢI CHI TIẾT Lấy năm 2017 làm mốc, ta có A = 93 · 671 · 600; n = 2035 − 2017 = 18 0,81 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA ⇒ Dân số Việt Nam vào năm 2035 S = 93671600 · e18· 100 ≈ 108 · 374 · 700 Chọn phương án B BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu Cho biết tỉ lệ tăng dân số giới hàng năm 1, 32%, tỉ lệ tăng dân số khơng thay đổi dân số sau N năm tính theo cơng thức tăng trưởng liên tục S = A · eN r A dân số thời điểm mốc, S số dân sau N năm, r tỉ lệ tăng dân số hàng năm Năm 2013 dân số giới vào khoảng 7095 triệu người Biết năm 2020 dân số giới gần với giá trị sau đây? A 7879 triệu người B 7680 triệu người C 7782 triệu người D 7777 triệu người Lời giải Lấy năm 2013 làm mốc, ta có A = 7095, N = 2020 − 2013 = 1,32 ⇒ Dân số giới vào năm 2020 S = 7095 · e7· 100 ≈ 7781, 82 triệu người Chọn phương án C Câu Sinh nhật An vào ngày tháng Bạn An muốn mua máy ảnh giá khoảng 600.000 đồng để làm q sinh nhật cho Bạn định bỏ ống tiết kiệm 10000 đồng vào ngày tháng năm đó, sau tiếp tục ngày sau, ngày bạn bỏ ống tiết kiệm 5.000 đồng Biết năm đó, tháng có 31 ngày, tháng có 28 ngày, tháng có 31 ngày tháng có 30 ngày Gọi a (đồng) số tiền An có đến sinh nhật (ngày sinh nhật An khơng bỏ tiền vào ống) Khi ta có: A a ∈ [610000; 615000) B a ∈ [605000; 610000) C a ∈ [600000; 605000) D a ∈ [595000; 600000) Lời giải Theo giả thiết An bỏ ống tiết kiệm từ ngày tháng đến ngày 30 tháng nên tổng số ngày bỏ tiết kiệm 120 ngày Ngày thứ An bỏ ống: 10000 đồng 25 TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG HÀM MŨ VÀ LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 119 ngày sau An bỏ ống số tiền 119 × 5000 = (120 − 1) × 5000 = 600000 − 5000 đồng Vậy tổng số tiền tiết kiệm a = 600000 − 5000 + 10000 = 605000 đồng Chọn phương án B Câu Một người gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng thời hạn 15 tháng, lãi suất 0, 6%/tháng (lãi kép) Hỏi hết kì hạn tổng số tiền người có bao nhiêu? A 55, 664 triệu đồng B 54, 694 triệu đồng C 55, 022 triệu đồng D 54, 368 triệu đồng Lời giải Gọi T số tiền vốn lẫn lãi sau 15 tháng M số tiền gửi ban đầu n số kì hạn tính lãi r suất định kỳ, tính theo % Hết kì hạn số tiền người Chọn phương án B Câu Tỉ lệ tăng dân số hàng năm Việt Nam trì mức 1, 05% Biết rằng, dân số Việt Nam ngày tháng năm 2014 90.728.900 người Với tốc độ tăng dân số vào ngày tháng năm 2030 dân số Việt Nam A 106.118.331 người B 198.049.810 người C 107.232.574 người D 107.323.573 người Lời giải Dân số vào ngày tháng năm 2030 90728900 × (1 + 1, 05%)16 = 107232574 người Chọn phương án C Câu Cho biết tăng dân số ước tính theo cơng thức S = A · eN r (trong A dân số năm lấy làm mốc tính, S dân số sau N năm, r tỉ lệ tăng dân số năm) Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh 1.038.229 người tính đến đầu năm 2015 dân số tỉnh 1.153.600 người Hỏi tỉ lệ tăng dân số năm giữ nguyên đầu năm 2020 dân số tỉnh nằm khoảng nào? A (1.281.600; 1.281.700) B (1.281.700; 1.281.800) C (1.281.800; 1.281.900) D (1.281.900; 1.282.000) Lời giải Áp dụng công thức S = A · eN r từ đầu năm 2010 đến đầu năm 2015 ta có 1153600 = 1038229 · e5r ⇔ r = 1153600 ln 1038229 1153600 Đầu năm 2020 dân số tỉnh Bắc Ninh S = 1038229 · e10· ln 1038229 ≈ 1281792 người Chọn phương án B Câu Số lượng loại vi khuẩn A phịng thí nghiệm tính theo công thức S(t) = S(0) · 2t , S(0) số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, S(t) số lượng vi khuẩn A có sau t phút Biết sau phút số lượng vi khuẩn A 625 nghìn Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A 10 triệu con? 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN T = M (1 + r)n = 50000000 · (1 + 0, 6%)15 = 54694003, 63 ≈ 54694000 đồng 25 TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG HÀM MŨ VÀ LÔGARIT A 19 phút Lời giải B 48 phút Từ giả thiết ta có S(3) = S(0) · 23 hay S(0) = PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN C 12 phút D phút S(3) 625000 = 78125 = Vậy sau t phút, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A 10 triệu 10000000 = 78125 · 2t hay 10000000 = 128 Từ suy t = (phút) 2t = 78125 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Chọn phương án D Câu Anh Nam gửi 500 triệu vào ngân hàng theo hình thức lãi kép kỳ hạn năm với lãi suất không thay đổi hàng năm 7, % năm Sau năm anh Nam nhận số tiền vốn lẫn lãi A 685755000 đồng B 717815000 đồng C 667735000 đồng D 707645000 đồng Lời giải Số tiền thu vốn lẫn lãi sau năm T = 500 · 106 (1 + · 075)5 = 717815000 đồng Chọn phương án B Câu Dân số giới cuối năm 2010, ước tính khoảng tỉ người Hỏi với mức tăng trưởng 1, 5% năm sau năm dân số giới lên đến 10 tỉ người? A B 28 C 23 D 24 Lời giải n Áp dụng công thứcÅSn = ã A(1 + r) Suy n = log(1+r) Sn A 1, Trong A = (tỉ người), Sn = 10 (tỉ người), r = 1, 5% = 100 Ta n = 23, 95622454 Vậy sau 24 năm dân số giới lên đến 10 tỉ người Chọn phương án D Câu Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kỳ hạn quý với lãi suất 1, 65%/ quý Hỏi sau người nhận 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi) A năm B năm quý C năm quý D năm Lời giải Ta biết, gửi số tiền A vào ngân hàng n kỳ hạn theo hình thức lãi kép với lãi suất khơng đổi kỳ hạn r sau n kỳ hạn số tiền nhận vốn lẫn lãi N = A(1 + r)n Gọi số kỳ hạn mà người gửi n Sau n kỳ hạn số tiền vốn lẫn lãi nhận N = 15000000 + 1, 65 100 n = 15000000 · 1, 0165n Theo giả thiết N = 20000000 4 Vậy ta có 15000000 · 1, 0165n = 20000000 ⇔ 1, 0165n = ⇔ n = log1,0165 ≈ 17, 3 Kết luận Người phải gửi 18 kỳ hạn, tương đương 18 quý (tức năm quý) Chọn phương án B 25 TỐN THỰC TẾ SỬ DỤNG HÀM MŨ VÀ LƠGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 10 Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng, với kỳ hạn tháng với lãi suất 2%/kỳ Theo hình thức lãi kép, hết tháng người gửi thêm 100 triệu đồng, với kỳ hạn lãi suất trước Sau năm kể từ lần gửi số tiền người có gần với số sau đây? A 210 triệu B 220 triệu C 212 triệu D 216 triệu Lời giải Theo công thức lãi kép, sau tháng (2 kỳ) số tiền người nhận a = 100(1 + 2%)2 = 104, 04 triệu Sau tháng tiếp theo, số tiền người thu tổng cộng (a + 100)(1 + 2%)2 = 204, 04 · (1 + 2%)2 = 212, 283216 triệu Như sau năm số tiền người có gần với 212 triệu Chọn phương án C Gọi số tiền gửi ban đầu T đồng, r lãi suất kỳ Theo thể thức lãi kép thì: Sau kỳ thứ nhất, tổng số tiền thu T1 = T + T · r = T (1 + r) Sau kỳ thứ hai, tổng số tiền thu T2 = T1 + T1 · r = T1 (1 + r) = T (1 + r)2 Sau kỳ thứ n, tổng số tiền thu Tn = T (1 + r)n Thầy giáo gửi tiền thời gian năm tháng nên năm tháng đầu (tương ứng với 13 kỳ kỳ tháng) hưởng lãi suất 3, 45%/1 kỳ, 90 ngày hưởng lãi suất không kỳ hạn 0, 002%/ ngày 3, 45 13 0, 002 90 Vậy tổng số tiền thầy giáo nhận 20 · 10 + 1+ = 311392503 đồng 100 100 Chọn phương án C Câu 12 Anh Nam trường làm với mức lương khởi điểm triệu đồng/ tháng Anh muốn dành khoản tiền tiết kiệm cách trích 20% lương hàng tháng gửi vào ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0, 5%/ tháng Hỏi sau năm, số tiền tiết kiệm anh Nam gần với số sau đây? A 15320000 đồng B 14900000 đồng C 14880000 đồng D 15876000 đồng Lời giải Số tiền anh Nam trích từ tiền lương để gửi tiết kiệm hàng tháng M = 20% · 6000000 = 1200000 đồng Đầu tháng anh Nam gửi số tiền cố định M vào ngân hàng với lãi suất cố định r với kì hạn 50 DẠNG TỐN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 11 Một thầy giáo gửi 200 triệu đồng loại kỳ hạn tháng vào ngân hàng với lãi suất 3, 45%/kỳ Hỏi sau năm tháng, thầy giáo nhận số tiền gốc lãi bao nhiêu? Biết thầy giáo khơng rút lãi tất kỳ hạn trước rút trước hạn ngân hàng trả lãi theo lãi suất không kỳ hạn 0, 002%/ ngày (Giả sử tháng có 30 ngày) A 471688328 đồng B 321556228 đồng C 311392503 đồng D 302088933 đồng Lời giải 25 TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG HÀM MŨ VÀ LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN N tháng ta có cơng thức tính tiền thu anh sau N tháng gửi T = M (1 + r) Từ suy T = 1200000(1 + · 5%) (1 + · 5%)12 − = 14876668 đồng · 5% (1 + r)N − r Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Chọn phương án C Câu 13 Một người tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội cơng ty X với thể lệ sau: Cứ đến tháng hàng năm người đóng vào cơng ty 12 triệu đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất hàng năm không đổi 6%/ năm Hỏi sau 18 năm kể từ ngày đóng, người thu tất tiền? Kết làm tròn đến hai chữ số thập phân A 412, 23 (triệu đồng) B 393, 12 (triệu đồng) C 403, 32 (triệu đồng) D 293, 32 (triệu đồng) Lời giải Đặt p = 6% = 0, 06 Theo ta có: Sau năm số tiền có 12 + 12p = 12 · (1 + p) Sau hai năm số tiền có [12 + 12 · (1 + p)] · (1 + p) = 12 · (1 + p) + (1 + p)2 (1 + p) [(1 + p)n − 1] Sau n năm số tiền có 12 · (1 + p) + (1 + p)2 + · · · + (1 + p)n = 12 · (1 + p) − 18 Sau 18 năm số tiền có 12 · (1 + 0, 06) (1 + 0, 06) (1 + 0, 06) − −1 ≈ 393, 12 (triệu đồng) Chọn phương án B Câu 14 Một kĩ sư trường làm việc với mức lương khởi điểm 7.000.000 đồng/tháng Cứ sau tháng làm việc, mức lương kĩ sư lại tăng thêm 10% Hỏi sau năm làm việc, tổng số tiền lương kĩ sư nhận bao nhiêu? A 415.367.400 đồng B 418.442.010 đồng C 421.824.081 đồng D 407.721.300 đồng Lời giải Tổng tiền lương tháng đầu · · 106 (đồng) Tiền lương tháng 10 · 106 (1 + 10%) = · 106 · 1, đồng Tổng tiền lương từ tháng 10 đến tháng 18 · · 106 · 1, đồng Tiền lương tháng 19 · 106 (1 + 10%)2 = · 106 · 1, 12 đồng Tổng tiền lương từ tháng 19 đến tháng 27 · · 106 · 1, 12 đồng Tiền lương tháng 28 · 106 (1 + 10%)3 = · 106 · 1, 13 đồng Tổng tiền lương từ tháng 28 đến tháng 36 · · 106 · 1, 13 đồng Tiền lương tháng 37 · 106 (1 + 10%)4 = · 106 · 1, 14 đồng Tổng tiền lương từ tháng 37 đến tháng 45 · · 106 · 1, 14 đồng Tiền lương tháng 46 · 106 (1 + 10%)5 = · 106 · 1, 15 đồng Tổng tiền lương từ tháng 46 đến tháng 48 · · 106 · 1, 15 đồng Tổng tiền lương sau năm (từ tháng đến tháng 48) 418 · 442 · 010 đồng Chọn phương án B Câu 15 Trong thời gian liên tục 25 năm, người lao động gởi 4.000.000 đồng vào 25 TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG HÀM MŨ VÀ LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ngày cố định tháng ngân hàng A với lãi suất không thay đổi suốt thời gian gửi tiền 0, 6%/ tháng Gọi A đồng số tiền người có sau 25 năm Hỏi mệnh đề đúng? A 3.350.000.000 < A < 3.400.000.000 B 3.500.000.000 < A < 3.550.000.000 C 3.450.000.000 < A < 3.500.000.000 D 3.400.000.000 < A < 3.450.000.000 Lời giải Gọi a = · 000 · 000 số tiền người gửi vào ngân hàng tháng, r = 0, 6% lãi suất tháng Cuối tháng thứ nhất, ngân hàng tính lãi số tiền có a S1 = a(1 + r) = r (1 + r) − (1 + r) T1 = a(1 + r) + a = a[(1 + r) + 1] = a (1 + r) − a = (1 + r)2 − (1 + r) − r Cuối tháng thứ hai, ngân hàng tính lãi số tiền có a S2 = r (1 + r) − (1 + r) Từ ta có số tiền có sau 12 · 25 = 300 tháng a 4000000 300 300 S300 = r (1 + r) − (1 + r) = 0, 6% (1 + 0, 6%) − (1 + 0, 6%) = · 364 · 000 · 000 Chọn phương án A Câu 16 Một người mua hộ với giá 900 triệu đồng Người trả trước với số tiền 500 triệu đồng Số tiền cịn lại người tốn theo hình thức trả góp với lãi suất tính tổng số tiền nợ 0, 5% tháng Kể từ ngày mua, sau tháng người trả số tiền cố định triệu đồng (cả gốc lẫn lãi) Tính số tháng tối thiểu (làm trịn đến hàng đơn vị) để người trả hết nợ A 133 tháng B 140 tháng C 136 tháng D 139 tháng Lời giải Tổng số tiền người cần phải trả N = 900 − 500 = 400 (triệu) Lãi suất hàng tháng r = 0, 5%/tháng, số tiền cần phải trả tháng A = (triệu) Gọi n tổng số tháng cần phải trả Số tiền gốc cuối tháng 1: N + N r − A = N (r + 1) − A Cuối tháng 2: [N (r + 1) − A] + [N (r + 1) − A]r − A = N (r + 1)2 − A[(r + 1) + 1] Cuối tháng 3: N (r + 1)2 − A[(r + 1) + 1] (1 + r) − A = N (r + 1)3 − A (r + 1)2 + (r + 1) + Cuối tháng n: N (r + 1)n − A (r + 1)n−1 + (r + 1)n−2 + · · · + (r + 1) + Sau n tháng, người trả hết số tiền N = 400 triệu nên n n−1 n−2 N (r + 1) − A (r + 1) + (r + 1) + · · · + (r + 1) + = 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Đầu tháng thứ hai, gửi thêm số tiền a đồng số tiền 25 TỐN THỰC TẾ SỬ DỤNG HÀM MŨ VÀ LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ⇔ N (r + 1)n = A (r + 1)n−1 + (r + 1)n−2 + · · · + (r + 1) + ⇔ N (1 + r)n · r = A [(1 + r)n − 1] Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Thế số vào ta 400·(1+0, 5%)n ·0, 5% = [(1 + 0, 5%)n − 1] ⇔ (1+0, 5%)n = ⇔ n ≈ 139 (tháng) Chọn phương án D Câu 17 Kết thúc năm 2017, thu nhập bình quân đầu người Việt Nam đạt 2300 USD/ người/ năm Trong hội nghị bàn “ Tầm nhìn mới, động lực cho tăng trưởng kinh tế”, đại diện phủ Việt Nam đặt mục tiêu thu nhập bình quân đầu người nước ta vào cuối năm 2035 đạt mức 10000 USD/ người/ năm (theo giá hành) Hỏi để đạt mục tiêu đó, trung bình năm thu nhập bình qn đầu người nước ta tăng A 8, B 8, C 7, D 8, Lời giải Giả sử để đạt mục tiêu đề ra, trung bình năm thu nhập bình quân đầu người nước ta tăng x(%) x Cuối năm 2018, thu nhập bình quân đầu người Việt Nam S1 = 2300 + · 2300 = 100 x (USD) 2300 · + 100 x · S1 = Cuối năm 2019, thu nhập bình quân đầu người Việt Nam S2 = S1 + 100 x (USD) 2300 · + 100 Cuối năm 2035, thu nhập bình quân đầu người Việt Nam S18 x = 2300 · + 100 18 (USD) Ta có x 18 x = 10000 ⇔ + 100 100 x 100 ⇔ 18 log + = log ⇔ x ≈ 8, 100 23 S18 = 10000 ⇔ 2300 · + 18 = 100 23 Chọn phương án D Câu 18 Bác Minh có 400 triệu đồng mang gửi tiết kiệm hai kì hạn khác theo hình thức lãi kép Bác gửi 200 triệu đồng theo kì hạn quý với lãi suất 2, 1%/ q 200 triệu cịn lại bác gửi theo kì hạn tháng với lãi suất 0, 73%/ tháng Sau gửi năm, bác rút tất số tiền loại kì hạn theo quý gửi vào kì hạn theo tháng Hỏi sau năm kể từ gửi tiền lần đầu, bác Minh thu tất tiền lãi? (kết làm tròn đến hàng phần nghìn) A 75, 304 triệu đồng B 75, 303 triệu đồng C 470, 656 triệu đồng D 475, 304 triệu đồng Lời giải Cơng thức tính lãi kép Sn = A(1 + r)n Tổng số tiền bác Minh thu sau năm theo kì hạn quý S1 = 200(1 + 2, 1%)4 triệu đồng Tổng số tiền bác Minh thu sau năm theo kì hạn tháng S2 = 200(1 + 0, 73%)12 triệu đồng 25 TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG HÀM MŨ VÀ LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Tổng số tiền bác Minh thu sau năm S1 + S2 triệu đồng Tổng số tiền bác Minh thu sau năm S = (S1 + S2 )(1 + 0, 73%)12 ≈ 475, 304 triệu đồng Vậy tiền lãi bác Minh thu sau năm L = S − 400 = 75, 304 triệu đồng Chọn phương án A M (1 + r)n − 5(1 + r)n−1 − 5(1 + r)n−2 − · · · − 5(1 + r) − = M (1 + r)n − [(1 + r)n − 1] r Sau năm tức 60 tháng, số tiền lại ngân hàng 100 triệu nên ta có (1 + r)60 − 60 M (1 + r)60 − (1 + r) r −1 100 + = 200 ⇔ M = r (1 + r)60 ≈ 289, 440 triệu đồng Chọn phương án A Câu 20 Anh Quý vừa trường công ty nhận vào làm việc với cách trả lương sau: năm đầu tiên, hưởng lương 10 triệu đồng/tháng Sau ba năm tăng thêm triệu đồng tiền lương hàng tháng Để tiết kiệm tiền mua nhà ở, anh Quý lập kế hạch sau: Tiền lương sau nhận dành nửa vào chi tiêu hàng ngày, nửa lại sau nhận lương gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 0, 8%/tháng Công ty trả lương vào ngày cuối hàng tháng Sau làm 10 năm cho cơng ty anh Quý rút tiền tiết kiệm để mua nhà Hỏi thời điểm đó, tính tiền gửi tiết kiệm tiền lương tháng cuối anh Quý có số tiền bao nhiêu?(lấy kết gần nhất) A 1102, 535 triệu đồng B 1089, 535 triệu đồng 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 19 Ông A người già hết tuổi lao động Trước hết tuổi lao động, ông có dành dụm khoản tiền để gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất ưu đãi dành cho người già 0, 9% tháng Sau gửi tiết kiệm ngân hàng, đủ tháng gửi, ông A đến ngân hàng rút khoản tiền triệu đồng để chi tiêu hàng ngày Sau năm kể từ ngày gửi tiết kiệm, số tiền tiết kiệm cịn lại ơng 100 triệu đồng Hỏi số tiền ban đầu mà ông A gửi tiết kiệm bao nhiêu? (lấy kết gần đúng) A 289, 440 triệu đồng B 291, 813 triệu đồng C 287, 044 triệu đồng D 233, 663 triệu đồng Lời giải Gọi số tiền ban đầu M , lãi suất tháng r Hết tháng thứ nhất, số tiền vốn lẫn lãi ơng A có ngân hàng M + M r = M (1 + r) Ngay sau ơng A rút triệu đồng để chi tiêu nên số tiền để tính lãi cho tháng thứ hai M (1 + r) − Do hết tháng thứ hai, số tiền vốn lẫn lãi ơng A có ngân hàng [M (1 + r) − 5](1 + r) = M (1 + r)2 − 5(1 + r) Ngay sau ơng A lại rút triệu để chi tiêu nên số tiền để tính lãi cho tháng thứ ba M (1 + r)2 − 5(1 + r) − Cứ tiếp tục lập luận ta thấy sau tháng thứ n, n ≥ 2, số tiền vốn lẫn lãi ơng A có ngân hàng 25 TỐN THỰC TẾ SỬ DỤNG HÀM MŨ VÀ LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN C 1093, 888 triệu đồng D 1111, 355 triệu đồng Lời giải Đặt q = + r = 1, 008 Giả sử anh Quý bắt đầu làm từ ngày 01 tháng 01 năm X Đến cuối tháng 1, đầu tháng 2, anh Quý bắt đầu gửi tiết kiệm ngân hàng với số tiền ban đầu triệu đồng (một nửa số tiền lương hàng tháng) Số tiền gửi tiết kiệm đầu tháng thứ 5q + q 36 − Số tiền gửi tiết kiệm đầu tháng thứ 37 q 35 + q 34 + · · · + = · q−1 Vì tiền lương kể từ tháng thứ 37 tăng thêm triệu đồng cho tháng lương, nên số tiền q 36 − q + 5, q−1 q 36 − Số tiền gửi tiết kiệm đầu tháng thứ 39 q + 5, 5(1 + q) q−1 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA gửi tiết kiệm đầu tháng thứ 38 Số tiền gửi tiết kiệm đầu tháng thứ 73 (tròn năm làm) q 36 − 36 q 36 − 36 q 36 − 35 q + 5, + q + · · · + q =5 q + 5, q−1 q−1 q−1 Lập luận tương tự trên, số tiền tiết kiệm đầu tháng thứ 109(tròn năm làm) q 36 − 36 q 36 − q 36 − 72 q + 5, q +6· q−1 q−1 q−1 Đến đầu tháng thứ 120 (tháng cuối làm để tròn 10 năm), số tiền tiết kiệm q 36 − 72+11 q 36 − 36+11 q 36 − 11 q 11 − q + 5, q +6· q + 6, q−1 q−1 q−1 q−1 Đến cuối tháng thứ 120 (thời điểm tròn 10 năm làm) số tiền gửi ngân hàng anh Quý có Å 36 ã 36 36 11 q − 83 q − 47 q − 11 q −1 q + 5, q +6· q + 6, q q−1 q−1 q−1 q−1 Tại thời điểm này, anh Quý rút tiền để mua nhà ở, tổng số tiền lương tháng cuối số tiền tiết kiệm 10 năm q 36 − 83 q 36 − 47 q 36 − 11 q 11 − q + 5, q +6· q + 6, q + 13 ≈ 1102, 535 triệu đồng q−1 q−1 q−1 q−1 Å Chọn phương án A ã 25 TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG HÀM MŨ VÀ LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN BẢNG ĐÁP ÁN C 11 C B 12 C B 13 B C 14 B B 15 A D 16 D B 17 D D 18 A B 19 A 10 C 20 A 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN