N hó m P H Á T T R IỂ N Đ Ề M IN H H Ọ A 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ Điều kiện để hàm số đơn điệu tr[.]
50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT DẠNG 50 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT KIẾN THỨC CẦN NHỚ Điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng K Định nghĩa Giả sử K khoảng, đoạn khoảng y = f (x) hàm số xác định K Ta nói: a) Hàm số y = f (x) gọi đồng biến (tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA b) Hàm số y = f (x) gọi nghịch biến (giảm) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K Nhận xét a) Nếu hàm số f (x) g(x) đồng biến (nghịch biến) D hàm số f (x) + g(x) đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hiệu f (x) − g(x) b) Nếu hàm số f (x) g(x) hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D hàm số f (x) · g(x) đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hàm số f (x), g(x) không hàm số dương D c) Cho hàm số u = u(x), xác định với x ∈ (a; b) u(x) ∈ (c; d) Hàm số f [u(x)] xác định với x ∈ (a; b) Ta có nhận xét sau: (a) Giả sử hàm số u = u(x) đồng biến với x ∈ (a; b) Khi đó, hàm số f [u(x)] đồng biến với x ∈ (a; b) ⇔ f (u) đồng biến với u ∈ (c; d) (b) Giả sử hàm số u = u(x) nghịch biến với x ∈ (a; b) Khi đó, hàm số f [u(x)] nghịch biến với x ∈ (a; b) ⇔ f (u) nghịch biến với u ∈ (c; d) Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu hàm số đồng biến khoảng K f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K b) Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f (x) ≤ 0, ∀x ∈ K Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ K hàm số f đồng biến K b) Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ K hàm số f nghịch biến K 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN c) Nếu f (x) = 0, ∀x ∈ K hàm số f khơng đổi K Chú ý: Khoảng K định lí ta thay đoạn nửa khoảng Khi phải có thêm giả thiết “ Hàm số liên tục đoạn nửa khoảng Chẳng hạn: Nếu hàm số f liên tục đoạn [a; b] f (x) > 0, ∀x ∈ (a; b) hàm số f đồng biến đoạn [a; b] Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên sau: x a b f (x) + f (b) f (x) f (a) a) Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K f (x) = hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K b) Nếu f (x) ≤ 0, ∀x ∈ K f (x) = hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm K (a) Nếu f (x) ≥ với x ∈ K f (x) = số hữu hạn điểm x ∈ K hàm số f đồng biến K (b) Nếu f (x) ≤ với x ∈ K f (x) = số hữu hạn điểm x ∈ K hàm số f nghịch biến K BÀI TẬP MẪU Ví dụ Cho hàm số f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Hàm số g(x) = f (1 − 2x) + x2 − x nghịch biến khoảng đây? y −2 x O −2 3 A 1; B Lời giải Phân tích hướng dẫn giải 1 0; C (−2; −1) D (2; 3) 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Định lí (mở rộng định lí 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN a) DẠNG TỐN: Đây dạng tìm khoảng đơn điệu hàm ẩn dạng g(x) = f [u(x)] + v(x) biết đồ thị hàm số y = f (x) b) HƯỚNG GIẢI: Cách B1: Tính đạo hàm hàm số g(x), g (x) = u0 (x) · f [u(x)] + v (x) B2: Sử dụng đồ thị f (x), lập bảng xét dấu g (x) B3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Cách B1: Tính đạo hàm hàm số g(x), g (x) = u0 (x) · f [u(x)] + v (x) B2: Hàm số g(x) đồng biến ⇔ g (x) ≥ 0; (Hàm số g(x) nghịch biến ⇔ g (x) ≤ 0) (∗) B3: Giải bất phương trình (∗) (dựa vào đồ thị hàm số y = f (x)) từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Cách (Trắc nghiệm) B1: Tính đạo hàm hàm số g(x), g (x) = u0 (x) · f [u(x)] + v (x) B3: Hàm số g(x) đồng biến K ⇔ g (x) ≥ 0, ∀x ∈ K ; (Hàm số g(x) nghịch biến K ⇔ g (x) ≤ 0, ∀x ∈ K ) (∗) B3: Lần lượt chọn thay giá trị từ phương án vào g (x) để loại phương án sai Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Cách Ta có: g(x) = f (1 − 2x) + x2 − x ⇒ g (x) = −2f (1 − 2x) + 2x − 1 − 2x t Xét tương giao đồ thị hàm số y = f (t) y = − Hàm số nghịch biến ⇔ g (x) < ⇔ f (1 − 2x) > − y f (t) −2 t O −2 y = − 2t ñ −2 1 ñ x0 (I) f x + 2x > Xét g (x) > ⇔ ® x+1 ⇔ x2 + 2x ® ® xñ > −1 √ x > −1 x+1>0 √ ⇔ ⇔ Xét hệ (I): ⇔ x > −1 + x > −1 + x2 + 2x > f x2 + 2x > √ x < −1 − ® ® ® 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN y y=x −1O −11 x Bảng xét dấu g (x): x −∞ Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA g(x) −1 + + 0 +∞ − + x2 Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số y = g(x) = f (x) − Đồng biến khoảng (−∞; 1) (2; +∞); nghịch biến khoảng (1; 2) Hàm số y = g(x) đạt cực đại x = g (x) Chọn phương án D Câu Cho hàm số f (x) có đồ thị hàm số f (x) hình vẽ y O −3 −2 −1 −11 x −2 −3 −4 −5 x2 − x nghịch biến khoảng đây? B (1; 3) C −1; D (−3; 1) Hỏi hàm số g(x) = f (1 − x) + A (−2; 0) Lời giải Ta có: g (x) = −f (1 − x) + x − Hàm số g(x) nghịch biến ⇔ g (x) < ⇔ f (1 − x) > x − 1(1) Đặt t = − x Khi (1) trở thành f (t) > −t (2) Bất phương trình (2) thỏa f (x) > −x hay đồ thị hàm số f (x) nằm phía đồ thị hàm số y = −x 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN y O1 x −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 y = −x −5 ñ ñ ⇔ 1