Bài tập tính đơn điệu của hàm số liên kết

50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT DẠNG 50 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT KIẾN THỨC CẦN NHỚ Điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng K Định nghĩa Giả sử K khoảng, đoạn khoảng y = f (x) hàm số xác định K Ta nói: a) Hàm số y = f (x) gọi đồng biến (tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA b) Hàm số y = f (x) gọi nghịch biến (giảm) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K Nhận xét a) Nếu hàm số f (x) g(x) đồng biến (nghịch biến) D hàm số f (x) + g(x) đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hiệu f (x) − g(x) b) Nếu hàm số f (x) g(x) hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D hàm số f (x) · g(x) đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hàm số f (x), g(x) không hàm số dương D c) Cho hàm số u = u(x), xác định với x ∈ (a; b) u(x) ∈ (c; d) Hàm số f [u(x)] xác định với x ∈ (a; b) Ta có nhận xét sau: (a) Giả sử hàm số u = u(x) đồng biến với x ∈ (a; b) Khi đó, hàm số f [u(x)] đồng biến với x ∈ (a; b) ⇔ f (u) đồng biến với u ∈ (c; d) (b) Giả sử hàm số u = u(x) nghịch biến với x ∈ (a; b) Khi đó, hàm số f [u(x)] nghịch biến với x ∈ (a; b) ⇔ f (u) nghịch biến với u ∈ (c; d) Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu hàm số đồng biến khoảng K f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K b) Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f (x) ≤ 0, ∀x ∈ K Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ K hàm số f đồng biến K b) Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ K hàm số f nghịch biến K 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN c) Nếu f (x) = 0, ∀x ∈ K hàm số f khơng đổi K Chú ý: Khoảng K định lí ta thay đoạn nửa khoảng Khi phải có thêm giả thiết “ Hàm số liên tục đoạn nửa khoảng Chẳng hạn: Nếu hàm số f liên tục đoạn [a; b] f (x) > 0, ∀x ∈ (a; b) hàm số f đồng biến đoạn [a; b] Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên sau: x a b + f (x) f (b) f (x) f (a) a) Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K f (x) = hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K b) Nếu f (x) ≤ 0, ∀x ∈ K f (x) = hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm K (a) Nếu f (x) ≥ với x ∈ K f (x) = số hữu hạn điểm x ∈ K hàm số f đồng biến K (b) Nếu f (x) ≤ với x ∈ K f (x) = số hữu hạn điểm x ∈ K hàm số f nghịch biến K BÀI TẬP MẪU Ví dụ Cho hàm số f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình bên Hàm số g(x) = f (1 − 2x) + x2 − x nghịch biến khoảng đây? y −2 x O −2 A 1; B Lời giải Phân tích hướng dẫn giải 0; C (−2; −1) D (2; 3) 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Định lí (mở rộng định lí 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN a) DẠNG TỐN: Đây dạng tìm khoảng đơn điệu hàm ẩn dạng g(x) = f [u(x)] + v(x) biết đồ thị hàm số y = f (x) b) HƯỚNG GIẢI: Cách B1: Tính đạo hàm hàm số g(x), g (x) = u (x) · f [u(x)] + v (x) B2: Sử dụng đồ thị f (x), lập bảng xét dấu g (x) B3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Cách B1: Tính đạo hàm hàm số g(x), g (x) = u (x) · f [u(x)] + v (x) B2: Hàm số g(x) đồng biến ⇔ g (x) ≥ 0; (Hàm số g(x) nghịch biến ⇔ g (x) ≤ 0) (∗) B3: Giải bất phương trình (∗) (dựa vào đồ thị hàm số y = f (x)) từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Cách (Trắc nghiệm) B1: Tính đạo hàm hàm số g(x), g (x) = u (x) · f [u(x)] + v (x) B3: Hàm số g(x) đồng biến K ⇔ g (x) ≥ 0, ∀x ∈ K ; (Hàm số g(x) nghịch biến K ⇔ g (x) ≤ 0, ∀x ∈ K ) (∗) B3: Lần lượt chọn thay giá trị từ phương án vào g (x) để loại phương án sai Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Cách Ta có: g(x) = f (1 − 2x) + x2 − x ⇒ g (x) = −2f (1 − 2x) + 2x − 1 − 2x t Xét tương giao đồ thị hàm số y = f (t) y = − Hàm số nghịch biến ⇔ g (x) < ⇔ f (1 − 2x) > − y f (t) −2 t O −2 y = − 2t ñ −2 1 ñ x0 (I)   f x2 + 2x > Xét g (x) > ⇔  ®  x+1 ⇔ x2 + 2x   ® ®  xñ > −1 √ x > −1 x+1>0 √ ⇔ ⇔ Xét hệ (I): ⇔ x > −1 + x > −1 +  x2 + 2x > f x2 + 2x > √   x < −1 − ® ® ® 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN y y=x −1O −11 x Bảng xét dấu g (x): x −∞ Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA g(x) −1 + + 0 +∞ − + x2 Từ bảng xét dấu g (x) ta thấy hàm số y = g(x) = f (x) − Đồng biến khoảng (−∞; 1) (2; +∞); nghịch biến khoảng (1; 2) Hàm số y = g(x) đạt cực đại x = Chọn phương án D Câu Cho hàm số f (x) có đồ thị hàm số f (x) hình vẽ y O −3 −2 −1 −11 x −2 −3 −4 −5 x2 − x nghịch biến khoảng đây? B (1; 3) C −1; D (−3; 1) Hỏi hàm số g(x) = f (1 − x) + A (−2; 0) Lời giải Ta có: g (x) = −f (1 − x) + x − Hàm số g(x) nghịch biến ⇔ g (x) < ⇔ f (1 − x) > x − 1(1) Đặt t = − x Khi (1) trở thành f (t) > −t (2) Bất phương trình (2) thỏa f (x) > −x hay đồ thị hàm số f (x) nằm phía đồ thị hàm số y = −x 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN y O1 x −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 y = −x −5 ñ ⇔ 1 ⇒ g(0, 25) < ⇒ loại đáp án B Thử đáp án C: Chọn x = −0, ∈ (−1; 0) ⇒ g (−0, 5) = −2f (2) + Thử đáp án B: Chọn x = 0, 25 ∈ − ; 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Cách 1: Ta có: g(x) = f (1 − 2x) − 2x2 + ⇒ g (x) = −2f (1 − 2x) − 4x Có: g (x) > ⇔ −2f (1 − 2x) − 4x > ⇔ f (1 − 2x) < −2x(1) Đặt t = − 2x, bất phương trình (1) trở thành f (t) < t − Vẽ đường thẳng y = x − Trên đồ thị, ta thấy đường thẳng y = x − nằm đồ thị hàm số y = f (x) khoảng (1; 3) ⇒ f (t) < t − ⇔ < t < ⇔ < − 2x < ⇔ −1 < x < Vậy hàm số g(x) đồng biến khoảng (−1; 0) Cách 2: Ta có: g(x) = f (1 − 2x) − 2x2 + ⇒ g (x) = −2f (1 − 2x) − 4x Có g(x) = ⇔ f (1 − 2x) = −2x ⇔ f (1 − 2x) = (1 − 2x) − Xét tương giao đồ thị hàm ñ số y = f (t) y = t − 1, ñ(t = − 2x) ñ 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Nhìn đồ thị y = f (x) ta thấy f (2) < ⇒ −2f (2) > ⇒ g (−0, 5) > ⇒ Chọn đáp án C Thử đáp án D: Chọn x = ∈ (1; 3) ⇒ g (2) = −2f (−3) − Nhìn đồ thị y = f (x) ta thấy f (−3) > ⇒ −2f (−3) < ⇒ g (2) < ⇒ loại đáp án Chọn phương án C Câu 25 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) có đồ thị hình y Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA O x −1 −1 −3 Hàm số g(x) = f (3x − 1) − 27x3 + 54x2 − 27x + đồng biến khoảng đây? A 0; B ;3 C (0; 3) D (4; +∞) Lời giải y O x −1 −1 −3 Cách Ta có: g(x) = f (3x − 1) − (3x − 1)3 + 3(3x − 1)2 ⇒ g (x) = f (3x − 1) − (3x − 1)2 + 2(3x − 1) Có g (x) > ⇔ f (3x − 1) > (3x − 1)2 − 2(3x − 1)(1) 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Đặt t = 3x − 1, bất phương trình (1) trở thành f (t) > t2 − 2t Vẽ Parabol y = x2 − 2x Trên đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số f (x) nằm đồ thị hàm số y = x2 − 2x khoảng (−∞; −1) (3; +∞)  ñ ñ x t2 − 2t ⇔ ⇔ ⇔ 3x − > t>3 x> Vậy hàm số g(x) đông biến khoảng (−∞; 0) ; +∞ Cách Ta có: g(x) = f (3x − 1) − (3x − 1)3 + 3(3x − 1)2 ⇒ g (x) = f (3x − 1) − (3x − 1)2 + 2(3x − 1) Có: g (x) = ⇔ f (3x − 1) = (3x − 1)2 − 2(3x − 1) Xét tương giao đồ thị hàm số y = f (t) y = t2 − 2t, (t = 3x − 1)  t = −1  Từ đồ thị ta có: f (t) = t2 − 2t ⇔ t = (nghiệm âm kép)  x=0 3x − = −1  Khi g (x) = ⇔ 3x − = 3x − =  ⇔ x = (nghiệm âm kép) x = Ta có bảng xét dấu x g (x) −∞ + − 0 +∞ − + Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến khoảng (−∞; 0) (3; +∞) Chọn phương án D Câu 26 Cho hàm số f (x) liên tục R có f (−1) = có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ y f (x) −1 O Hàm số y = 2f (x − 1) − x2 đồng biến khoảng A (3; +∞) B (−1; 2) C (0; +∞) x D (0; 3) 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN t =  50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Lời giải Đặt g(x) = 2f (x − 1) − x2 ⇒ g (x) = 2[f (x − 1) − (x − 1) − 1] y y =x+1 f (x) −1 O x Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Dựa vào đồ thị hàm số y = f (x) đồ thị hàm số y = x + ta có: g(x) > ⇔ f (x − 1) > (x − 1) + ⇔ −1 < x − < ⇔ < x < Bảng biến thiên x g (x) −∞ − + +∞ + − g(x) Dựa vào bảng biến thiên, hàm số y = 2f (x − 1) − x2 đồng biến khoảng (0; 3) Chọn phương án D Câu 27 Cho hàm số f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình sau 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN y −1 O −3 x −2 Đặt − 2x = t ⇔ x = 1−t 3 1−t 1−t + ⇔ f (t) < t2 + t − −7· 2 2 3 Ta vẽ parapol (P ) : y = x + x − hệ trục Oxy với đồ thị y = f (x) hình vẽ sau 2 33 (đường nét đứt), ta thấy (P ) có đỉnh I(− ; − ) qua điểm (−3; 3), (−1; −2), (1; 1) 16 Ta có (∗) trở thành f (t) < · 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Hàm số g(x) = 3f (1 − 2x) + 8x3 − 21x2 + 6x đồng biến khoảng đây? A (1; 2) B (−3; −1) C (0; 1) D (−1; 2) Lời giải Ta có g (x) = −6f (1 − 2x) + 24x2 − 42x + g (x) < ⇔ f (1 − 2x) < 4x2 − 7x + 1(∗) 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN y (P ) −1 O −3 x Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA −2 3 Từ đồ thị hàm số ta thấy khoảng (−3; 1) ta có f (t) < t2 + t − ⇔ −3 < t < −1 2 ⇔ −3 < − 2x < −1 ⇔ < x < Vậy hàm số g(x) nghịch biến khoảng (1; 2) Chọn phương án A Câu 28 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đạo hàm f (x) thỏa mãn: f (x) = − x2 (x−5) Hàm số y = 3f (x + 3) − x3 + 12x nghịch biến khoảng sau đây? A (1; 5) B (2; +∞) C (−1; 0) D (−∞; −1) Lời giải Ta có: f (x) = − x2 (x − 5) suy f (x + 3) = − (x + 3)2 (x + − 5) = −(x + 4)(x + 2)(x − 2) Mặt khác: y = · f (x + 3) − 3x2 + 12 = −3 (x + 4)(x + 2)(x − 2) + x2 − = −3(x − 2)(x + 2)(x + 5) ñ Xét y < ⇔ −3(x − 2)(x + 2)(x + 5) < ⇔ 3f (x + 3) − x3 Vậy hàm số y = Chọn phương án B − < x < −2 x > + 12x nghịch biến khoảng (−5; −2) (2; +∞) Câu 29 Cho hàm số y = f (x), hàm số y = f (x) = x3 + ax2 + bx + c (a, b, c ∈ R) có đồ thị hình vẽ 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN y f (x) −1 O x Hàm số g(x) = f (f (x)) nghịch biến khoảng đây? C (−1; 0) D √ ã 3 − ; 3 Lời giải Vì  điểm (−1; 0), (0; 0), (1; 0) thuộc đồ thị hàm số y = f (x) nên ta có hệ:   −1+a−b+c=0 a = ⇔ b = −1 ⇒ f (x) = x3 − x ⇒ f (x) = 3x2 − c=0     1+a+b+c=0 c=0 Ta có: g(x) = f (f (x)) ⇒ g (x) = f (f (x)) · f (x) x3 − x =  Xét g (x) = ⇔ g (x) = f (f (x)) · f (x) = ⇔ f x3 − x  x − x = 3x2 − = ⇔  x3 − x = −1  3x2 − =  x = ±1  x =  x = 1, 325 ⇔  x = −1, 325  √  x=± Bảng biến thiên x g (x) √ − −∞ −1.325 −1 − + − + √ 0 − 3 + +∞ 1.325 − + Dựa vào bảng biến thiên ⇒ g(x) nghịch biến (−∞; −2) Chọn phương án B Câu 30 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x2 + 2x − 3, ∀x ∈ R Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [−10; 20] để hàm số g(x) = f x2 + 3x − m + m2 + đồng biến (0; 2)? 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN B (−∞; −2) A (1; +∞) Å √ 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT A 16 Lời giải PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN B 17 C 18 D 19 ñ Ta có f (t) = t2 + 2t − ≥ ⇔ t ≤ −3 (∗) t≥1 Có g (x) = (2x + 3)f x2 + 3x − m Vì 2x + > 0, ∀x ∈ (0; 2) nên g(x) đồng biến (0; 2) ⇔ g (x) ≥ 0, ∀x ∈ (0; 2) ⇔ f x2 + 3x − m ≥ 0, ∀x ∈ (0; 2) ñ ñ x + 3x − m ≤ −3, ∀x ∈ (0; 2) x + 3x ≤ m − 3, ∀x ∈ (0; 2) ⇔ ⇔ (**) x + 3x − m ≥ 1, ∀x ∈ (0; 2) x + 3x ≥ m + 1, ∀x ∈ (0; 2) ñ m − ≥ 10 ñ m ≥ 13 Có h(x) = x2 + 3x ln đồng biến (0; 2) nên từ (**) ⇒ ⇔ m+1≤0 m ≤ −1 ® Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Vì m ∈ [−10; 20] m∈Z ⇒ Có 18 giá trị tham số m Vậy có 18 giá trị tham số m cần tìm Chọn phương án C Câu 31 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục R đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ y −1 y = f (x) O x −2 Đặt g(x) = f (x − m) − (x − m − 1)2 + 2019 với m tham số thực Gọi S tập giá trị nguyên dương m để hàm số y = g(x) đồng biến khoản (5; 6) Tổng phần tử S A B 11 C 14 D 20 Lời giải Ta có g (x) = f (x − m) − (x − m − 1) Đặt h(x) = f (x) − (x − 1) Từñđồ thị hàm số y = f (x) đồ thị y = x − hình vẽ ta suy h(x) ≥ ⇔ −1≤x≤1 x≥3 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN y −1 y =x−1 y = f (x) O x −2 ñ Ta có g (x) = h(x − m) ≥ ⇔ −1≤x−m≤1 m−1≤x≤m+1 ⇔ x ≥ m + Do hàm số y = g(x) đồng biến khoảng (m − 1; m + 1) (m + 3; +∞) ® m−1≤5 đ 5≤m≤6  Do vậy, hàm số y = g(x) đồng biến khoảng (5; 6) ⇔  m + ≥ ⇔ m ≤ m+3≤5 Do m nguyên dương nên m ∈ {1; 2; 5; 6}, tức S = {1; 2; 5; 6} Tổng phần tử S 14 Chọn phương án C Câu 32 Cho hàm số y = f (x) hàm đa thức có đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ y −2 O x −1 −3 Có giá trị nguyên tham số m, m ∈ Z, −2020 < m < 2020 để hàm số g(x) = f (x2 ) + mx2 x2 + x − đồng biến khoảng (−3; 0) A 2021 B 2020 C 2019 Lời giải Ta có g (x) = 2xf (x2 ) + 4mx x2 + 2x − Hàm số g(x) đồng biến khoảng (−3; 0) suy g (x) ≥ 0, ∀x ∈ (−3; 0) D 2022 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN x−m≥3 đ 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ⇔ 2xf (x2 ) + 4mx x2 + 2x − ≥ 0, ∀x ∈ (−3; 0) ⇔ f (x2 ) − 2m −x2 − 2x + ≤ 0, ∀x ∈ (−3; 0) f (x2 ) ⇔ f (x2 ) ≤ 2m −x2 − 2x + , ∀x ∈ (−3; 0) ⇔ m ≥ , ∀x ∈ (−3; 0) (−x2 − 2x + 3) f (x2 ) ⇔ m ≥ max (−3;0) (−x2 − 2x + 3) Ta có −3 < x < ⇒ < x2 < ⇒ f (x2 ) ≤ −3 dấu “ = ” x2 = ⇔ x = −1 −x2 − 2x + = −(x + 1)2 + ⇒ < −x2 − 2x + ≤ 4, ∀x ∈ (−3; 0) 1 ≥ , dấu “ = ” x = −1 ⇔ −x2 − 2x + −3 −3 f (x2 ) ≤ = , ∀x ∈ (−3; 0), dấu “ = ” x = −1 2 (−x − 2x + 3) 2·4 f (x2 ) ⇒ max =− (−3;0) (x + 2x + 3) Vậy m ≥ − , mà m ∈ Z, −2020 < m < 2020 nên có 2020 giá trị tham số m thỏa mãn toán Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Suy Chọn phương án B Câu 33 Cho hàm số f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình sau y y = f (x) O x −2 −2 Có tất giá trị nguyên dương tham số m đề hàm số g(x) = 4f (x−m)+x2 −2mx+2020 đồng biến khoảng (1; 2) A B C D Lời giải Ta có g (x) = 4f (x − m) + 2x − 2m x−m g (x) ≥ ⇔ f (x − m) ≥ − (∗) t Đặt t = x − m (∗) ⇔ f (t) ≥ − x Vẽ đường thẳng y = − hệ trục Oxy với đồ thị y = f (x) hình vẽ sau 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN y y = f (t) O −2 t −2 y= ñ −2≤t≤0 m−2≤x≤m t Từ đồ thị ta có f (t) ≥ − ⇔ ⇔ t≥4 x ≥ m + Hàm ñ số g(x) đồng biến ñ khoảng (1; 2) ⇔ g(x) ≥ 0, ∀x ∈ (1; 2) m−2≤1